【高數(shù)課件】第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2022/12/101目錄第二章第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

本章的主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本概念和性質(zhì)；重點(diǎn)介紹復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的冪級(jí)數(shù)和由正、負(fù)整次冪項(xiàng)所組成的洛朗級(jí)數(shù).關(guān)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的某些概念和定理都是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相應(yīng)的內(nèi)容在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的直接推廣，因此，在學(xué)習(xí)中結(jié)合高等數(shù)學(xué)中無(wú)窮級(jí)數(shù)部分的復(fù)習(xí)，并在對(duì)此中進(jìn)行學(xué)習(xí)．2022/12/102第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示本章的主要內(nèi)容是：復(fù)第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.3泰勒級(jí)數(shù)4.4洛朗級(jí)數(shù)本章小結(jié)思考題2022/12/103第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限

定義：

定理1：2022/12/104第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限定義：2022/12/證明：必要性

充分性

2022/12/105證明：必要性充分性2022/12/105例1．解：2022/12/106例1．解：2022/12/1062022/12/1072022/12/107定義：

例1．解：二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

2022/12/108定義：例1．解：二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2022/12/10定理2：證明：定理3：2022/12/109定理2：證明：定理3：2022/12/109定理3：證明：2022/12/1010定理3：證明：2022/12/1010說(shuō)明：例2．下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？

解：2022/12/1011說(shuō)明：例2．下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？解：2022/第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

定義：

稱表達(dá)式：稱為級(jí)數(shù)的部分和．2022/12/1012第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：稱表達(dá)式二、冪級(jí)數(shù)

1．冪級(jí)數(shù)概念定義：形如2022/12/1013二、冪級(jí)數(shù)1．冪級(jí)數(shù)概念定義：形如2022/12/1定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2022/12/1014定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2022/12/證明：充分性用反證可以證明．（略）

必要性2022/12/1015證明：充分性用反證可以證明．（略）必要性2022/12/2．收斂圓與收斂半徑定義：

注意：

2022/12/10162．收斂圓與收斂半徑定義：注意：2022/12/101例1．解：冪級(jí)數(shù)的部分和故級(jí)數(shù)發(fā)散.2022/12/1017例1．解：冪級(jí)數(shù)的部分和故級(jí)數(shù)發(fā)散.2022/12/1013．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2022/12/10183．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2022/12定理3：（根值法）例1．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解：2022/12/1019定理3：（根值法）例1．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解：20所以不能直接用公式．

用比較審斂法:2022/12/1020所以不能直接用公式．用比較審斂法:2022/12/1024．冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)（1）冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

2022/12/10214．冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)（1）冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2022/12022/12/10222022/12/1022（2）復(fù)合運(yùn)算這個(gè)運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來(lái)將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)．

例2．解：2022/12/1023（2）復(fù)合運(yùn)算這個(gè)運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來(lái)將函數(shù)展為冪級(jí)（3）冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分

2022/12/1024（3）冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分例3．試求給定冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2022/12/1025例3．試求給定冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2022/12/第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)前面已討論了已知冪級(jí)數(shù)，如何求收斂圓、和函數(shù)，并且知道和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)，下面研究與此相反的問(wèn)題：即任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？

2022/12/1026第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)前面已討論了已知冪級(jí)數(shù)，如何求收斂

2022/12/10272022/12/10272022/12/10282022/12/1028定理5：2022/12/1029定理5：2022/12/1029說(shuō)明：由此可見(jiàn)解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)，即展開(kāi)式是唯一的．

2022/12/1030說(shuō)明：由此可見(jiàn)解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)，即展開(kāi)一、利用直接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

例1．解：2022/12/1031一、利用直接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例1．解：2022/12/二、利用間接展開(kāi)法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

借助于已知函數(shù)的展開(kāi)式，利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)，以唯一性為理論依據(jù)得到函數(shù)的泰勒展開(kāi)式．

2022/12/1032二、利用間接展開(kāi)法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)借助于已知函數(shù)例2．解：例3．解：2022/12/1033例2．解：例3．解：2022/12/1033例4．解：例4．2022/12/1034例4．解：例4．2022/12/1034三、將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)

例5．解：2022/12/1035三、將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)例5．解：2022/12/1035例6．解：2022/12/1036例6．解：2022/12/1036例7．解：2022/12/1037例7．解：2022/12/1037第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)2022/12/1038第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)2022/12/10382022/12/10392022/12/10392022/12/10402022/12/10402022/12/10412022/12/1041一、直接展開(kāi)法

定理6（洛朗定理）證明：證明：2022/12/1042一、直接展開(kāi)法定理6（洛朗定理）證明：證明：2022/122022/12/10432022/12/10432022/12/10442022/12/10442022/12/10452022/12/10452022/12/10462022/12/1046例1．解：---------直接展開(kāi)法2022/12/1047例1．解：---------直接展開(kāi)法2022/12/104證明：2022/12/1048證明：2022/12/1048二、間接展開(kāi)法

根據(jù)由正、負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性，可通過(guò)代數(shù)運(yùn)算、變量代換、函數(shù)求導(dǎo)、積分等方法將函數(shù)展開(kāi)，這種方法稱為間接展開(kāi)法．

例2．解：2022/12/1049二、間接展開(kāi)法根據(jù)由正、負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性例3．解：2022/12/1050例3．解：2022/12/10502022/12/10512022/12/1051例4．解：例5．解：2022/12/1052例4．解：例5．解：2022/12/10522022/12/10532022/12/1053

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第七章拉普拉斯變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2022/12/1054目錄第二章第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

本章的主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本概念和性質(zhì)；重點(diǎn)介紹復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的冪級(jí)數(shù)和由正、負(fù)整次冪項(xiàng)所組成的洛朗級(jí)數(shù).關(guān)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的某些概念和定理都是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相應(yīng)的內(nèi)容在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的直接推廣，因此，在學(xué)習(xí)中結(jié)合高等數(shù)學(xué)中無(wú)窮級(jí)數(shù)部分的復(fù)習(xí)，并在對(duì)此中進(jìn)行學(xué)習(xí)．2022/12/1055第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示本章的主要內(nèi)容是：復(fù)第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.3泰勒級(jí)數(shù)4.4洛朗級(jí)數(shù)本章小結(jié)思考題2022/12/1056第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限

定義：

定理1：2022/12/1057第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限定義：2022/12/證明：必要性

充分性

2022/12/1058證明：必要性充分性2022/12/105例1．解：2022/12/1059例1．解：2022/12/1062022/12/10602022/12/107定義：

例1．解：二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

2022/12/1061定義：例1．解：二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念2022/12/10定理2：證明：定理3：2022/12/1062定理2：證明：定理3：2022/12/109定理3：證明：2022/12/1063定理3：證明：2022/12/1010說(shuō)明：例2．下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？

解：2022/12/1064說(shuō)明：例2．下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？解：2022/第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

定義：

稱表達(dá)式：稱為級(jí)數(shù)的部分和．2022/12/1065第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義：稱表達(dá)式二、冪級(jí)數(shù)

1．冪級(jí)數(shù)概念定義：形如2022/12/1066二、冪級(jí)數(shù)1．冪級(jí)數(shù)概念定義：形如2022/12/1定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2022/12/1067定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2022/12/證明：充分性用反證可以證明．（略）

必要性2022/12/1068證明：充分性用反證可以證明．（略）必要性2022/12/2．收斂圓與收斂半徑定義：

注意：

2022/12/10692．收斂圓與收斂半徑定義：注意：2022/12/101例1．解：冪級(jí)數(shù)的部分和故級(jí)數(shù)發(fā)散.2022/12/1070例1．解：冪級(jí)數(shù)的部分和故級(jí)數(shù)發(fā)散.2022/12/1013．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2022/12/10713．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2022/12定理3：（根值法）例1．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解：2022/12/1072定理3：（根值法）例1．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解：20所以不能直接用公式．

用比較審斂法:2022/12/1073所以不能直接用公式．用比較審斂法:2022/12/1024．冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)（1）冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

2022/12/10744．冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)（1）冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2022/12022/12/10752022/12/1022（2）復(fù)合運(yùn)算這個(gè)運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來(lái)將函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)．

例2．解：2022/12/1076（2）復(fù)合運(yùn)算這個(gè)運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來(lái)將函數(shù)展為冪級(jí)（3）冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分

2022/12/1077（3）冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分例3．試求給定冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2022/12/1078例3．試求給定冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2022/12/第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)前面已討論了已知冪級(jí)數(shù)，如何求收斂圓、和函數(shù)，并且知道和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)，下面研究與此相反的問(wèn)題：即任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？

2022/12/1079第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)前面已討論了已知冪級(jí)數(shù)，如何求收斂

2022/12/10802022/12/10272022/12/10812022/12/1028定理5：2022/12/1082定理5：2022/12/1029說(shuō)明：由此可見(jiàn)解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)，即展開(kāi)式是唯一的．

2022/12/1083說(shuō)明：由此可見(jiàn)解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)，即展開(kāi)一、利用直接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

例1．解：2022/12/1084一、利用直接法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)例1．解：2022/12/二、利用間接展開(kāi)法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

借助于已知函數(shù)的展開(kāi)式，利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)，以唯一性為理論依據(jù)得到函數(shù)的泰勒展開(kāi)式．

2022/12/1085二、利用間接展開(kāi)法將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)借助于已知函數(shù)例2．解：例3．解：2022/12/1086例2．解：例3．解：2022/12/1033例4．解：例4．2022/12/1087例4．解：例4．2022/12/1034三、將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)

例5．解：2022/12/1088三、將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)例5．解：2022/12/1035例6．解：2022/12/1089例6．解：2022/12/1036例7．解：2022/12/1090例7．解：2022/12/1037第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)2022/12/