概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)

第五節(jié)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：1、每次試驗(yàn)都在相同條件下進(jìn)行；2、每次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；3、每次試驗(yàn)有有限個(gè)確定的結(jié)果；如果試驗(yàn)共進(jìn)行n次，稱為n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).4、每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同；比如：多次擲骰子；產(chǎn)品有放回地抽樣檢驗(yàn)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!如果每次試驗(yàn)的結(jié)果有且僅有兩種：，稱為n重伯努利試驗(yàn).貝努利(1700—1782)瑞士下面我們來研究n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!例1設(shè)在10件產(chǎn)品中有1件廢品，現(xiàn)進(jìn)行3次有放回的抽樣檢查，求抽得2件廢品的概率。解設(shè)“第次抽取時(shí)抽到廢品”“共抽得2件廢品”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率簡記為b(k；n，p）.則b(k；n，p）＝Cnkpkqn－k.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!例3向單位圓中隨機(jī)拋入3個(gè)點(diǎn)，求這3個(gè)點(diǎn)中恰有2個(gè)點(diǎn)落在第1象限的概率。解拋入3個(gè)點(diǎn)相當(dāng)于3重貝努利試驗(yàn)，所求概率為3個(gè)點(diǎn)中恰有2個(gè)點(diǎn)落在第1象限的事件記為B由幾何概率，點(diǎn)落在第1象限的概率為1/4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!趣例---“驚人的預(yù)測”一天，喬治在自己的郵箱中發(fā)現(xiàn)一封陌生的郵件，他好奇地打開了它：“親愛的球迷，我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確預(yù)測足球比賽的方法。今晚英國足球杯第三場考文垂隊(duì)對(duì)謝非爾隊(duì)，我們以95%的概率預(yù)測考文垂隊(duì)獲勝。”

喬治看后一笑。喬治并不在意。當(dāng)晚看比賽時(shí)，考文垂隊(duì)果然獲勝。三周后，他又收到一封郵件：“親愛的球迷，我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確預(yù)測足球比賽的方法。今晚考文垂隊(duì)對(duì)米德爾斯堡隊(duì)，我們以95%的概率預(yù)測米德爾斯堡隊(duì)獲勝。”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!這之后，喬治又收到一封郵件：“親愛的球迷，你是否發(fā)現(xiàn)我們已經(jīng)多次預(yù)測成功。如果你支付200英鎊，我們將為你預(yù)測以下多次比賽結(jié)果，并保證正確率在95%以上?！眴讨蜗耄喝绻l(fā)郵件的人只是猜測，則5次猜測成功的概率為這不太可能!當(dāng)然他們也可能與黑社會(huì)有關(guān)或有非法財(cái)團(tuán)支持,但這與喬治無關(guān)----只要能掙錢就行!如果預(yù)測成功,可以從彩票商那里賺回20萬.喬治支付了200英鎊.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!第六節(jié)

全概率公式和貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!2.加法公式：當(dāng)A、B互斥時(shí)，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)3.乘法公式：P(AB)＝P(B)P(A|B)當(dāng)A、B獨(dú)立時(shí)，有P(AB)＝P(Ａ)P(Ｂ)

互斥簡化了加法公式，獨(dú)立簡化了乘法公式

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!

例1有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球.某人從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球，求摸出紅球的概率.解則B=A1B+A2B+A3B

P(B)=P(A1B+A2B+A3B)摸出紅球=從1號(hào)箱中摸出紅球或從2號(hào)箱中摸出紅球或從3號(hào)箱中摸出紅球設(shè)Ai={從i號(hào)箱中摸},i=1,2,3;B={摸出紅球}=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)此題不合適要修改概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!如果事件A1，A2，…，An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且有P(Ai)>0，i=1,2…,n，則對(duì)任一事件B，有全概率公式（定理1.9）:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!例2某廠的一批產(chǎn)品,由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn),其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%,若已知他們的次品率依次為5%、4%、2%,現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中任意抽取一件,求這一件是次品的概率.解用A1、A2、A3分別表示“甲、乙、丙生產(chǎn)的產(chǎn)品”，用B表示“抽取的是次品”則A1、A２、A３

構(gòu)成一個(gè)完備事件組由全概率公式得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!全概率公式應(yīng)用的關(guān)鍵在于尋找或構(gòu)造一個(gè)完備事件組…………概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!實(shí)際生活中還存在這樣一類問題，是“已知結(jié)果求原因”.全概率公式解決的是“已知原因求結(jié)果”的問題.解決這一類問題就要用到

貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!1.結(jié)果B的發(fā)生來自于原因Ai的可能性:已知結(jié)果求原因2.結(jié)果B的發(fā)生來自于哪種原因的可能性最大:求P(Ai|B)比較哪個(gè)P(Ai|B)最大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因。例如，貝葉斯公式可用于鑒定廢品來源,從而可以為進(jìn)一步的經(jīng)濟(jì)處罰提供依據(jù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!貝葉斯公式在疾病診斷中也有著重要的意義

A1，A2，…，An：ｎ種疾?。拢海钪屑膊《紩?huì)導(dǎo)致的某種癥狀概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!下面來分析一下結(jié)果的意義：由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:P(A|B)=0.10662.檢查出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!2.檢查出是陽性是否一定患有癌癥?試驗(yàn)結(jié)果為陽性，此人確患癌癥的概率為

P(A|B)=0.1066即使檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥因?yàn)檫@種情況下患癌癥的可能性只有10.66%(平均1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!完備事件組：A1，A2，…，An核心事件：B原因結(jié)果概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!貝葉斯公式就是用來求后驗(yàn)概率的。后驗(yàn)概率P(Ai|B)是相對(duì)于先驗(yàn)概率P(Ai)來說的。P(Ai)是試驗(yàn)前根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)確定的一種假設(shè)概率，P(Ai|B)是在獲知事件B已經(jīng)發(fā)生這一信息之后，事件Ai發(fā)生的條件概率，它是根據(jù)新的信息對(duì)各“原因”的發(fā)生情況獲得的新的認(rèn)識(shí)。貝葉斯公式又稱為后驗(yàn)概率公式或逆概公式。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!在不知道事件B發(fā)生的情況下，但在知道事件B發(fā)生后，先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率也就是說，在不知道摸出的是紅球的情況下，我們只能認(rèn)為球取自三個(gè)箱子的可能性相同，即即知道摸出的是紅球了，我們對(duì)于球取自哪個(gè)箱子的可能性較大的估計(jì)就發(fā)生變化了：考慮剛才摸球的例子概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例（教材P36）用某種檢驗(yàn)方法,對(duì)發(fā)病率為0.35%的甲種疾病的漏檢率為5％,對(duì)無甲種疾病者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為有甲種疾病的概率為1％.若在一次普查中,某人經(jīng)此檢驗(yàn)查為患甲種病,求該人確實(shí)患有甲種病的概率.解：設(shè)B=“患甲種病”，C=“經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患甲種病”則欲求后驗(yàn)概率‰‰‰‰概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!問題一：你的生日是否在7月1日之前？問題二：你是否看過黃色書刊和黃色影像？具體操作時(shí)要求被調(diào)查者從一個(gè)罐子中（其中有60個(gè)紅球和40個(gè)白球）任取一球，看后放回，若抽到白球則回答問題一，若抽到紅球則回答問題二。答卷時(shí)只需劃鉤。答卷是否概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!貝葉斯公式在疾病診斷中的意義

A1，A2，…，An：ｎ種疾?。拢海钪屑膊《紩?huì)導(dǎo)致的某種癥狀概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!２.貝葉斯公式：已知結(jié)果求原因條件概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!稍事休息概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!例1設(shè)在M件產(chǎn)品中有N件廢品，現(xiàn)進(jìn)行n次有放回的抽樣檢查，求抽得k件廢品的概率。解設(shè)“第次抽取時(shí)抽到廢品”“共抽得k件廢品”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例2

一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.6，檢查10件，求至少有兩件一級(jí)品的概率P(B)。解：這是n＝10的10重伯努利試驗(yàn)，p＝0.6依題意概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!思考彩票投注點(diǎn)的門口有一副對(duì)聯(lián):“多買少買多少要買，早中晚中早晚要中”每次開獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為而堅(jiān)持十年，從未中獎(jiǎng)的概率為每年按52周算，則十年中獎(jiǎng)1次的概率為你如何理解“早晚要中”？假定每周開獎(jiǎng)一次，每次中獎(jiǎng)的概率為十萬分之一，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!當(dāng)晚，米德爾斯隊(duì)果然獲勝。喬治不由心中一震。一周后，他又收到第三封郵件：“親愛的球迷，我們的統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確預(yù)測足球比賽的方法。今晚我們以95%的概率預(yù)測米德爾斯隊(duì)將敗給特倫米爾隊(duì)。”。喬治發(fā)現(xiàn)這次預(yù)測又對(duì)了時(shí)不由大吃一驚。第四次，預(yù)測仍然是對(duì)的。第五次，預(yù)測還是對(duì)的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!

實(shí)際上,這些騙子先發(fā)出8000封電子郵件,一半猜甲勝,一半猜乙勝,于是有4000人得到正確預(yù)測。第二次只給這些人發(fā)郵件，…..，依次類推，可以有250人獲得五次成功的結(jié)論。只要有100人付錢，就可騙到20000英鎊！喬治就是這100人中的一個(gè)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!1.完備事件組如果n個(gè)事件A１，A２，…，Aｎ互不相容，并且它們的和是必然事件，稱這n個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組?！瓘?fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!這一節(jié)我們將要學(xué)習(xí)的全概率公式貝葉斯公式是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用，主要用于計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!A1BA2BA3BA1，A2，A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組B的發(fā)生必然伴隨著A1,A2,A3之一同時(shí)發(fā)生即故概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因，全概率公式可以這樣來理解：每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的總概率是各原因引起的B發(fā)生概率的總和。P(AiB)＝P(Ai)P(B|Ai)這些原因我們用A1、A2、…、An等來表示，其中原因Ai對(duì)總概率P(B)所作的貢獻(xiàn)為全概率公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!例（教材P35）

M地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個(gè)行政小區(qū)，其人口比例為9：7：4。據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在該地區(qū)三個(gè)小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4‰，2‰，5‰，試求出M地甲種疾病的發(fā)病率。解：設(shè)Ai=“某人是第i個(gè)小區(qū)內(nèi)的人”，i=1,2,3

B=“M地的人得病”，則A1，A2，A3構(gòu)成完備事件組,由全概率公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!

例3甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解設(shè)A=飛機(jī)被擊落由全概率公式則A=C1A+C2A+C3ACi=飛機(jī)被i人擊中,i=1,2,3Bi=飛機(jī)被第i人擊中,i=1,2,3顯然Ｃ1，Ｃ2，Ｃ3構(gòu)成一個(gè)完備事件組P(A)=P(C1)P(A|C1)+P(C2)P(A|C2)+P(C3)P(A|C3)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!

例1有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球.某人從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球，求摸出紅球的概率.

如果摸出的是紅球，求該球取自１號(hào)箱的概率.解設(shè)Ai＝{球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B＝{取得紅球}所求概率為P(A1|B)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!

例1有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)紅球3個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)紅球.某人從三箱中任取一箱，再從中任意摸出一球，

如果摸出的是紅球，求該球取自１號(hào)箱的概率.

如果摸出的是紅球，求該球最有可能取自哪個(gè)箱子?解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!貝葉斯公式：

設(shè)A1,A2,…,An構(gòu)成一完備事件組，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對(duì)任一概率不為零的事件B，有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!

例2某廠的一批產(chǎn)品，由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，且已知他們的次品率依次為5%、4%、2%，現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中任意抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品。而工廠規(guī)定，出現(xiàn)一件次品罰款69元。請(qǐng)問這69元該誰出？解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!例4某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.解設(shè)A＝{抽查的人患有癌癥}，

B＝{試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，所求為P(A|B).已知P(A)＝0.005,P(B|A)＝0.95,P()＝0.995,P(B|)＝0.04概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率

P(A)=0.005患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為P(A|B)=0.1066這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥是有意義的從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!下面我們?cè)倩剡^頭來看一下全概率公式和貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!已知：用全概率公式求：用貝葉斯公式求先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!P(Ai)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)事件Ai發(fā)生的可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)事件Ai發(fā)生的可能性大小有了新的估計(jì)，這就是P(Ai|B).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。P(Ai|B)P(Ai)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)156節(jié)共54頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)的情況下，偵破人員根據(jù)過去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)。比如原來認(rèn)為作案可能性最小的丙，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯.丙乙甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情細(xì)節(jié)后(知道B發(fā)生后),這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(A1|B)P(A2

|B)P(A3|B)最大最小再如：某地發(fā)生了一個(gè)