線性代數(shù)課件：第二章 方陣的行列式（第一講）

第二章方陣的行列式

行列式是一種常用的數(shù)學(xué)工具，也是代數(shù)學(xué)中必不可少的基本概念，在數(shù)學(xué)和其他應(yīng)用科學(xué)以及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。本章主要介紹行列式的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。

教學(xué)目的：通過本章的教學(xué)使學(xué)生了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算各種類型的行列式.

教學(xué)要求：理解行列式的概念，深刻理解方陣與方陣的行列式的關(guān)系，會(huì)用行列式的六條性質(zhì)熟練計(jì)算各種類型的行列式，掌握行列式的展開定理和拉普拉斯定理.

教學(xué)重點(diǎn)：方陣行列式的性質(zhì)及展開定理，計(jì)算典型的行列式的各種方法.

教學(xué)難點(diǎn)：n階行列式的計(jì)算，拉普拉斯定理的應(yīng)用.

教學(xué)時(shí)間：6學(xué)時(shí).§1n

階行列式的定義

設(shè)n階方陣A=(aij),稱為方陣A的行列式,記為|A|或det

A.

用消元法求解，得：

當(dāng)時(shí)，求得方程組有唯一解：1、

二元線性方程組1.1n階行列式的引出引入二階行列式則方程組的解可以寫成：例1解二元線性方程組解由于2.三元線性方程組

用消元法可求得，當(dāng)時(shí)，

三元線性方程組有唯一解：其中

三階行列式的定義

例2

解三元線性方程組

解

由于所以，方程組的解為，，.

3.n元線性方程組構(gòu)造：提出三個(gè)問題（1）D=？（怎么算）？（2）當(dāng)D≠0時(shí)，方程組是否有唯一解？（3）若D≠0時(shí)，方程組有唯一解，解的形式是否是

1.2全排列及其逆序數(shù)

1、全排列用1，2，3三個(gè)數(shù)字可以排6個(gè)不重復(fù)三位數(shù)即：

123，231，312，132，213，321

一般地，把n個(gè)不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？這是一個(gè)全排列問題。從n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上，有n種取法；再?gòu)氖Ｏ碌膎-1個(gè)元素中任取一個(gè)元素，放在的第二個(gè)位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個(gè)元素放在最后位置上，只有一種取法；于是：

這樣得到:由n個(gè)自然數(shù)1,2,…,n按照任何一種次序排成的有序數(shù)組j1j2…jn稱為一個(gè)n級(jí)排列,簡(jiǎn)稱排列.

顯然不重復(fù)的n級(jí)排列共有n!個(gè).

2.逆序數(shù)

對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)順序（例如，n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)順序）。于是，在這n個(gè)元素的任意一個(gè)排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的順序與標(biāo)準(zhǔn)順序不同時(shí)，就說產(chǎn)生了一個(gè)逆序，一個(gè)n級(jí)排列中所有逆序的總和叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)。排列j1j2…jn

的逆序數(shù)記為τ(j1j2…jn).3.逆序數(shù)的計(jì)算方法

設(shè)元素為1至n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，設(shè)j1,j2,…,jn

為這n個(gè)自然數(shù)的一個(gè)n級(jí)排列，自j1開始直到j(luò)n-1,逐個(gè)計(jì)算每個(gè)元素的右邊比它小的元素的個(gè)數(shù)k1,k2,…,kn-1,則該排列的逆序數(shù)為

由逆序數(shù)的定義可知,標(biāo)準(zhǔn)排列12…n的逆序數(shù)為0.

而對(duì)于一般的n級(jí)排列,逆序數(shù)可以用如下方法計(jì)算:

例如，5級(jí)排列32514,其逆序數(shù)為：

τ

(32514)=2+1+2+0=5定理1.1一次對(duì)換必改變排列的奇偶性.當(dāng)我們把上面排列改為31524，相當(dāng)于把32514這個(gè)排列的第2、4兩個(gè)數(shù)碼對(duì)換（將一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的變換稱為對(duì)換）。通過計(jì)算可知31524

的逆序數(shù)為τ

(31524)=2+0+2+0=4

.逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列。那么排列32514

為奇排列，而31524

為偶排列，由此得一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。1.3n階行列式值的定義

定義1.1設(shè)n階方陣A=（aij)，定義n階行列式|A|的值為的項(xiàng)（稱為行列式的一個(gè)均布項(xiàng)），其中j1,j2,…,jn

為自然數(shù)1，2，…，n的一個(gè)排列，τ為這個(gè)排列的逆序數(shù)。這樣的排列共有n!個(gè)，所有這些項(xiàng)的代數(shù)和即為n階行列式的值。

作出n階方陣A=（aij)中位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)因子

，得到形如

行列式的另一種定義形式為:

同理，也可以定義為:1.4幾種特殊的行列式（1）對(duì)角行列式（2）下（上）三角行列式（3）

其中，證記D=det(dij)，其中

dij=aij

i=1,2,…,m；j=1,2,…,m。dm+i

,m+j=bij

i=1,2,…,n；j=1,2,…,n。在行列式中任取一個(gè)均布項(xiàng)

由于當(dāng)i≤m，j>m時(shí)，dij=0，因此r1,r2,…,rm只有在1,…,m中選取時(shí)，該均布項(xiàng)才可能不為0，而當(dāng)r1,r2,…,rm在1,…,m中選取時(shí)，rm+1,…,rm+n只能在m+1,…,m+n中選取。于是D中可能不為0的均布項(xiàng)可以記為這里，pi=ri,