線性代數(shù)課件：第三章 可逆矩陣 （第二講）

3.1矩陣秩的定義§3矩陣的秩

定義3.1

在m×n矩陣A中,任取k行k列（1≤k≤min{m,n}）,位于這些行和列交叉處的k2個(gè)元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。m×n矩陣A

的k階子式共有個(gè)。

特別的，規(guī)定R(O)=0.

對于m×n

矩陣A,顯然有

定義3.2

如果矩陣A中有一個(gè)r階子式Dr≠0，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么Dr

稱為矩陣A的最高階非零子式。數(shù)r稱為矩陣A的秩,記作R(A)=r

。例1

求下列矩陣的秩．

解

在A中，容易看出：一個(gè)2階子式，A的3階子式只有一個(gè)|A|，經(jīng)計(jì)算可知｜A｜＝０,因此R（A）＝２.

由于B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有３行，故可知B的所有４階子式全為零。而以三個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素為對角元的３階行列式因此Ｒ（B）＝３.注：行階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù)。

3.2矩陣秩的有關(guān)定理

定理3.1對矩陣施以初等變換，其秩不變。

推論3.1等價(jià)矩陣有相同的秩。

推論3.2設(shè)A為m×n矩陣,P是m階可逆矩陣,Q是n階可逆矩陣,則R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).注：根據(jù)定理3.1，求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換化成行階梯形矩陣。這個(gè)行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩數(shù)。

例2設(shè)求矩陣Ａ的秩．

解對A作初等行變換，變成行階梯形矩陣：

因?yàn)殡A梯形矩陣有4個(gè)非零行，所以R(B)=4。從而R(A)=4。

設(shè)A為m×n矩陣，當(dāng)R(A)=m時(shí)，稱A為行滿秩矩陣；當(dāng)R(A)=n時(shí)，稱A為列滿秩矩陣。

若A為n階方陣，且R(A)=n，則稱A為滿秩矩陣。它既是行滿秩矩陣，又是列滿秩矩陣。顯然，方陣A可逆的充分必要條件是A為滿秩矩陣。

若A為n階方陣，且R(A)<

n，則稱A為降秩矩陣。由此方陣A不可逆的充分必要條件是A為降秩矩陣。

非奇異矩陣又稱為滿秩矩陣，而奇異矩陣又稱為降秩矩陣。

例如

顯然，A為滿秩矩陣，而B則為降秩矩陣。

定理3.2對行滿秩矩陣Am×n，必有列滿秩矩陣B

n

×m，使AB=E.

證明當(dāng)m=n時(shí)，定理顯然成立。所以只需考慮m<n的情況。由R(A)=m，知A中存在m個(gè)列，由它們構(gòu)成的m階子式|A1|≠0。A經(jīng)過適當(dāng)?shù)牧械膿Q法變換可使A1位于A的前m列。即有n階的可逆矩陣P，使AP=(A1,A2)其中A1為m階的可逆矩陣。令則顯然R(B)=R(A1-1)。于是B為列滿秩矩陣，且有

例3

設(shè)Am×n

、Bn×p，試證R(AB)≥R(A)+R(B)-n。

證明

設(shè)R(A)=r，則存在m、n階的可逆矩陣P和Q，使得

將矩陣Q-1B分塊為其中，B1是r×p

矩陣，B2是(n-r)×p

矩陣。

由于所以注意B1是Q-1B去掉n-r行得到的矩陣，而矩陣每去掉一行其秩減1或不變，因此R(B1)≥R(Q-1B)-(n-r)=R(B)-(n-r)。從而R(AB)≥

r+R(B)-n。即

R(AB)≥R(A)+R(B)-n。

顯然，在上式中當(dāng)AB=O時(shí)，有公式R(A)+R(B)≤n。

例4設(shè)A為n階方陣(n≥2)，A*是A的伴隨矩陣，試證1）當(dāng)R(A)=n時(shí)，R(A*)=n;2）當(dāng)R(A)=n-1時(shí)，R(A*)=1;3）當(dāng)R(A)<n-1時(shí)，R(A*)=0。

證明1）當(dāng)R(A)=n時(shí),即A為滿秩矩陣,所以|A*|=|A|n-1≠0,從而R(A*)=n。2）當(dāng)R(A)=n-1時(shí)，|A|=0，所以AA*=|A|E=O。由R(A)+R(A*)

n，得R(A*)1。又由R(A)=n-1知，A中至少有一個(gè)元素的代數(shù)余子式不等于零，即A*是非零矩陣，從而R(A*)≥1，故R(A*)=1。

3）當(dāng)R(A)<n-1時(shí)，A的每一個(gè)n-1階子式都為零，因而A的所有元素的代數(shù)余子式均為零，即A*是零矩陣，故R(A*)=0。1)AA*

=A*A

=|A|E2)A*=|A|A-13)|A-1|=|A|-1|λA|=λn|A|5)(λA)-1=λ-1A-1

例6若|A|≠0,試證(1)|A*|=|A|n-1;(2)(A*)-1=(A-1)*;(3)(A*)T=(AT)*;(4)(A*)*=|A|n-2A;(5)(kA)*=kn-1A*。A*

與R(A)專題總結(jié)(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A(5)(kA)*=|kA|(kA)-1=kn|A|k-1A-1=kn-1|A|A-1=kn-1A*證（1）|A*|=(2)(A*)-1=(3)(A*)T=||A|A-1|=|A|n|A-1|=|A|n-1;(|A|A-1)-1=|A-1|(A-1)-1=(A-1)*;(|A|A-1)T=|AT|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*例6