線性代數(shù)課件：第六章二次型與對稱矩陣（第一講）

第六章二次型與對稱矩陣

二次型及其對稱矩陣在數(shù)學(xué)理論、數(shù)值計(jì)算及工程應(yīng)用中都占有重要地位。

§1二次型及其矩陣

在解析幾何中，為了便于研究二次曲線的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形

(1)的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看,化標(biāo)準(zhǔn)型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,使它只有平方項(xiàng).

現(xiàn)在我們把這類問題一般化,討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡問題.4.1二次型概念

定義1.1

n個(gè)變量x1,x2,…xn的二次齊次多項(xiàng)式稱為n元二次型,實(shí)數(shù)域上的二次型稱為實(shí)二次型,復(fù)數(shù)域上的二次型稱為復(fù)二次型.其中若令（1）1、二次型的矩陣形式則其中

1）稱A為二次型f的矩陣，顯然A=AT

；2）A=(aij),若aij

為復(fù)數(shù)，稱

f為復(fù)二次型；

3）A=(aij),若aij

為實(shí)數(shù)，稱

f為實(shí)二次型；

4）R(A)稱為二次型f

的秩R(f).

n元二次型f與n階對稱矩陣是相互唯一決定的，因而是一一對應(yīng)的。（2）

例1把下面的二次型寫成矩陣形式：

二次型理論研究的問題之一就是適當(dāng)選取變量的線性變換把一般二次型化成只含平方項(xiàng)而不含交叉項(xiàng)的簡單二次型。

2、線性變換

定義1.2

把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關(guān)系式叫做由變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一個(gè)線性變換。若記

x=Py。（3）

則線性變換可表示為上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣.當(dāng)P可逆時(shí)，(3)稱為可逆的線性變換;當(dāng)P不可逆時(shí),(3)稱為不可逆的線性變換.當(dāng)線性變換(3)可逆時(shí),線性變換y=P-1x(4)稱為(3)式的逆變換.今后關(guān)心的，就是用可逆線性變換化簡二次型。

定義1.3

對于n階矩陣A、B,如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B則稱矩陣A與B合同,記為A

B.對方陣A進(jìn)行的運(yùn)算PTAP稱為對A的合同變換,P稱為合同因子.

設(shè)x=Py是可逆的線性變換,將二次型化為

f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y.令B=PTAP,則B是對稱矩陣,yTBy是新變量y1,y2,…,yn的一個(gè)二次型。變換前后兩個(gè)二次型矩陣A、B間的這種關(guān)系稱為合同關(guān)系.

顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：2）對稱性：若A

B，則B

A；1）反身性：若A

A

；3）傳遞性：若A

B，B

C,則A

C;4）若A

B，則R(A)=R(B);5）若A

B，且A為對稱矩陣,則B亦為對稱矩陣.※合同與相似是兩個(gè)互相獨(dú)立的概念.合同的矩陣未必相似,相似的矩陣也未必合同.但是,對于實(shí)對稱矩陣A,當(dāng)合同因子P是正交矩陣時(shí),由于P-1=PT,所以此時(shí)對A的合同變換與相似變換是一致的.

顯然，如果二次型xTAx經(jīng)可逆的線性變換

x=Py化為二次型

yTBy，則必有A

B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。

綜上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的線性變換x=Py化為yTBy的充分必要條件是有可逆矩陣P，使PTAP=B.作業(yè)習(xí)題6.1(A)1(3),5(B)2§2

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

定義2.1

稱只含有平方項(xiàng)的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形式的二次型，簡稱為標(biāo)準(zhǔn)形。

顯然,一個(gè)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。（5）

所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個(gè)可逆的線性變換：

定理2.1

設(shè)A為n階對稱矩陣,二次型f(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形（5）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣P使

PTAP=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).

二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實(shí)質(zhì)上是同一問題。f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTΛy

x=Py把含有交叉項(xiàng)的二次型f(x)化為標(biāo)準(zhǔn)形，即

2.1

用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

定理2.2

對于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中λ1,λ2,…,λn恰是A的全部特征值。

證明

由于A為n階實(shí)對稱矩陣.由第五章定理5.3

知有n階正交矩陣P,使得PTAP=P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)，其中λ1,λ2,…,λn恰是A的全部特征值.由定理2.1便知定理成立。

求實(shí)二次型f(x)=xTAx標(biāo)準(zhǔn)形問題,其實(shí)質(zhì)上就是用正交變換化實(shí)對稱矩陣A為對角矩陣的問題。

總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟：

1、將二次型寫成矩陣形式；

2、由|λE-A|=0，求出A的全部特征值；

4、把求出的n個(gè)兩兩正交的單位向量,拼成正交矩陣P,作正交變換x=Py;

3、由(λE-A)x=0，求出A的特征向量:對于ni重特征值λi

所對應(yīng)的ni個(gè)線性無關(guān)的特征向量,用Schimidt標(biāo)準(zhǔn)正交化方法把他們化為ni個(gè)兩兩正交的單位向量.

5、用x=Py，把f化成標(biāo)準(zhǔn)形

解(1)二次型的矩陣為

例2

求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.得A的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1，

(3)