計量誤差與數(shù)據(jù)處理

第3章計量誤差與數(shù)據(jù)處理3.1計量誤差3.2數(shù)據(jù)處理習題計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!3.1計量誤差 3.1.1計量誤差的定義 計量誤差是計量結(jié)果與被計量的量的真值之間的差異。 在第2章已經(jīng)講過,量的真值是指某量在所處的條件下被完善地確定或嚴格定義的量值。因此量的真值是一個理想的概念,一般是未知的。雖然基本單位量的真值可以按定義給出,但是復現(xiàn)起來還是含有誤差。實際上,真值常用實際值——用高一等級的計量標準器具所計量的量值或一列計量結(jié)果的平均值來代替。當測量結(jié)果僅含有隨機誤差時,測量結(jié)果算術(shù)平均值（數(shù)學期望）是被測量真值的最佳估計值。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁! 3.1.2計量誤差的表示方法 計量誤差有四種表示方法。 1.絕對誤差 對某一量進行計量以后,用被計量的量的計量結(jié)果x減去其真值x0而得到的差值,稱為絕對誤差（也簡稱誤差）Δx。即 Δx=x-x0（3.1.1） 【例3.1.1】真值為6.42μA的電流,在微安表上的示值為6.34μA,則微安表的示值6.34μA的絕對誤差為 6.34-6.42=-0.08μA計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁! 【例3.1.2】用一個頻率計測量準確值為100kHz的頻率源,測得值為101kHz,則其絕對誤差為 Δx=101-100=1kHz 相對誤差為

【例3.1.3】用波長表測量準確值為1MHz的標準頻率源,測得值為1.001MHz,則其絕對誤差為 Δx=1.001-1=0.001MHz=1kHz計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁! 從本質(zhì)上講,在這些場合用對數(shù)形式描述物理量是因為它們符合人的心理感受特征。在一定的刺激范圍內(nèi),當物理刺激量呈指數(shù)變化時,人們的心理感受是呈線性變化的,人的感受器官好像是一個對數(shù)轉(zhuǎn)換裝置一樣,這就是心理學上的韋伯定律和費希納定律。 分貝誤差是相對誤差的另一種表現(xiàn)形式,在電學和聲學計量中,常用分貝誤差表示相對誤差。 先看一下分貝的定義： 對于電壓、電流類參量 D=20lgxdB 式中,x=U2/U1或x=I2/I1,U1、U2為電壓,I1、I2為電流。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁! 由分貝誤差計算相對誤差的公式為：

當誤差本身不大時,分貝誤差與一般的相對誤差之間有簡單的計算關(guān)系： 對于電壓、電流類參量

ΔD≈8.69δx δx≈0.115ΔD

ΔD≈4.34δx δx≈0.230ΔD對于功率類參量計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!則分貝誤差為在實際工作中,常用dB來表示信號電平,用dBm來表示功率電平。為此,必須確定一個基礎(chǔ)電平,也就是所謂的零電平。在電學領(lǐng)域中,零電平一般定義為：在600Ω的純電阻上耗散1mW的功率,電阻上的電壓和流過的電流分別為計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁! dBm表示以1mW為基準的功率電平的分貝值,在微波和通訊領(lǐng)域廣泛應用。 我國現(xiàn)在使用的測量儀器,有以1mW為零電平刻度的功率電平表,也有以0.7746V電壓為零電平刻度的電壓電平表,在使用這些測量儀器時,要注意這一點。 另外,也有取1μ為零電平的（例如測量接收機）,在這種情況下,應予以注明。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

式中,xlim稱為特定值,也稱為引用值,通常是計量儀器量程中的滿刻度值（最大刻度值）或標稱范圍的上限。 【例3.1.5】檢定2.5級、上限為100V的電壓表時,發(fā)現(xiàn)50V

刻度點的最大示值誤差為2V,并且比其他各刻度點的誤差都大,問該電壓表是否合格？ 解該電壓表的最大引用誤差為

2.5級的含義是合格儀器儀表最大引用誤差的界限為2.5％,可見,該電壓表合格。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁! 一般情況下,x≠xn,因此,x越接近于xn（因為x在分母上）,其測量準確度越高；x越遠離xn,其測量準確度越低；這就是為什么人們利用這類儀表測量時,盡可能在儀表滿刻度值2/3以上量程內(nèi)測量的原因所在。在選擇儀表作測量時,要注意到這一情況。在分析此類儀表對測量值的實際影響時,需要按上面兩個式子作換算,而不能直接采用對應于儀表的準確度等級的值,也就是說不能把引用誤差當作相對誤差來使用。 【例3.1.6】某待測的電壓約為100V,現(xiàn)有0.5級0～300Ｖ和1.0級0～100V兩個電壓表,問用哪一個電壓表測量比較好？ 解用0.5級0～300V測量100V時的最大相對誤差為

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁! 3.1.3計量誤差的分類

根據(jù)誤差的性質(zhì),計量誤差可以分為三類：系統(tǒng)誤差,隨機誤差和粗大誤差。下面分別介紹這三類誤差。 1．系統(tǒng)誤差 在分析和研究測量誤差時,必須把系統(tǒng)誤差排除才能按隨機誤差理論對測量誤差進行處理。實際上,測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差。在某些情況下,系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大,因此,測量結(jié)果的精度,不僅取決于隨機誤差,還取決于系統(tǒng)誤差的影響。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁! 但有時由于對某些系統(tǒng)誤差的認識不足或沒有相應的手段予以充分確定,而不能修正,這種系統(tǒng)誤差稱為未定或剩余系統(tǒng)誤差,也稱為未消除的系統(tǒng)誤差。 前面已經(jīng)提到,系統(tǒng)誤差與計量次數(shù)無關(guān),因此,也不能用增加計量次數(shù)的方法使其減小或消除。 2）系統(tǒng)誤差的分類 系統(tǒng)誤差按其呈現(xiàn)的特征可以分為常值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差；而變值系統(tǒng)誤差又可分為累積的、周期的和按復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 常值系統(tǒng)誤差是指在計量過程中絕對值和正負號始終不變的誤差。比如：某量塊的標稱尺寸為10mm,實際尺寸為10.001mm,誤差為-0.001mm,若按標稱尺寸使用,則始終存在-0.001mm的系統(tǒng)誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁! 周期性系統(tǒng)誤差是指在計量過程中周期性變化的誤差。 例如,由于刻度盤偏心所引起的誤差。指針式儀表中,由于安裝問題,使指針動中心偏離儀表刻度盤的中心,就會出現(xiàn)周期性變化的指示誤差。如圖3.1.1所示,指針的轉(zhuǎn)動中心O沿水平方向偏移刻度盤中心O′的距離為l,則指針與水平線的夾角φ為90°,指示超前值為l所表示的刻度值,當φ為0°及180°時,指示誤差為0,當φ為270°時,指示滯后值為l所代表的刻度值。對于任意φ,圖上兩平行線間的弧線的長度就對應了指針的指示誤差。因為l很小,可以用兩平行線間的直線距離代替弧長,因此可以得到,指針的指示誤差Δl與夾角φ呈正弦規(guī)律變化,即 Δl=lsinφ(3.1.6)計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!圖3.1.1刻度盤誤差示意圖計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁! (3)方法或理論誤差：計量方法或理論不完善引起的誤差。 (4)人員誤差:計量人員生理差異和技術(shù)不熟練引起的誤差。 4）系統(tǒng)誤差的消除 根據(jù)前面所講的產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的種種原因,可以得出一些消除系統(tǒng)誤差的基本方法。 (1)計量前消除可消除的誤差源。 這種消除系統(tǒng)誤差的方法是最理想的,也就是在目前的技術(shù)條件下,找出造成系統(tǒng)誤差的原因,并想辦法消除造成系統(tǒng)誤差的因素對測量的影響,從而使測量不會產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁! 具體做法是:先將被計量量接入測試裝置,使系統(tǒng)誤差處于某個工作狀態(tài),然后用已知量替代被計量量,并使系統(tǒng)的工作狀態(tài)保持不變。 替代法最直觀的例子就是利用精密天平稱重。在電子計量中也大量采用替代法,例如，用電橋計量電阻、電感和電容等,以及用直流替代交流的方法高精度地計量高頻電壓。在替代法的使用中,原有的測量系統(tǒng)在同一工作狀態(tài)下起到了判斷被測量和已知量是否等量值的作用,而被測數(shù)據(jù)的取得或者來自已知量的自身顯示,或者要依靠其他輔助儀表。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁! 對于一般的稱重,這樣做就可以了。 實際在制造天平時,很難保證天平的兩臂長度相等,即l1≠l2,所以對于精密的稱重測量,還像般天平稱重那樣,認為所加砝碼重即為物重,這樣就會因天平臂長不等而造成系統(tǒng)誤差。 為了消除因天平臂長不等而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差,可用已知標準砝碼P代替x,若天平仍達到平衡,則（3.1.9）（3.1.10）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!圖3.1.2直流電橋法計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!

R1(Rx+R3)=Rx(R1+R2) R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2 R1

R3=RxR2 由式（3.1.11）可以看出,各橋臂電阻的誤差ΔR1、ΔR2、ΔR3對測量結(jié)果有影響,其誤差為（3.1.11）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁! 例如,用正反向兩次計量來消除熱電轉(zhuǎn)換器的直流正反向差。不少帶有慣性（如熱慣性）的傳感器的定度測量就必須用反向補償法來處理。 ·反向補償法的應用之一——消除恒溫箱熱慣性引入的系統(tǒng)誤差。

在對某些控溫裝置的標定中,為了消除熱慣性引入的誤差,常常要使標準恒溫箱的溫度升高或降低,并在兩種不同溫度變化方向的同一溫度下讀取溫度計的讀數(shù),以它們的中間值作為讀數(shù)刻度的修正,如圖3.1.4所示,以T=(T1+T2)/2作為恒溫箱在t1溫度下的溫度值。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁! ·反向補償法的應用之二——測電阻時,消除接觸電動勢帶來的系統(tǒng)誤差。 在電學測量中,為了測量一未知電阻值,可將待測電阻Rx與一已知阻值的標準電阻R0串聯(lián),用電壓表測出兩電阻上通電后的電壓降。根據(jù)所得電壓比及標準電阻值,由歐姆定律可得待測電阻為

（3.1.13） 在測量回路中,由于導線、接頭等材料的差異會產(chǎn)生接觸電動勢,為了消除它們對測量造成的影響,可以改變電流方向進行兩次測量。設次正向電流測得的電壓降為Ux,1、U0,1,第二次反向電流測得的電壓降為Ux,2、U0,2。取兩次測量的平均值,兩個電阻上的電壓降為計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁! ③對稱法：當被計量量的系統(tǒng)誤差為某量（如時間）的線性函數(shù)時,在距離相等的間隔依次進行數(shù)次計量（最少三次）,則其中任何一對對稱觀測值的累積誤差的平均值都等于兩次觀測的間隔中點相對應的累積誤差,利用這一對稱性便可將線性累積系統(tǒng)誤差消除,如圖3.1.5所示,則 ·對稱法的應用——用電位差計測電壓。 利用對稱法來消除由于電池組的電壓下降而在直流電位差計中引起的累積系統(tǒng)誤差。實踐證明,在一定的時間內(nèi),電池組的電壓下降所產(chǎn)生的誤差是與時間成正比的線性系統(tǒng)誤差，因此,可以利用對稱法來消除這個誤差。原理線路如圖3.1.6所示。（3.1.17）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!圖3.1.6電位差計計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁! 再次平衡En,有 如果使每次計量的時間間隔相等,則

（3.1.21） 由式（3.1.19）得(3.1.20)（3.1.22）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!再將式（3.1.21）代入式（3.1.25）,得 由此可得出不含累積系統(tǒng)誤差的被測電壓Ex的值： ④交換法：也稱為對置法,在待測量與標準量的位置互換前后各進行一次測量,就可以實現(xiàn)消除恒定系統(tǒng)誤差的目的。（3.1.26）（3.1.27）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁! 兩式相比得 這樣就消除了由于天平不等臂而造成的系統(tǒng)誤差。這種方法最早在天平稱重中應用,因此稱高斯稱量法。根據(jù)式（3.1.31）可以得到不帶有因天平臂長不等而產(chǎn)生的恒定系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。 用C表示Q′與Q之差,即 Q′=Q+C（3.1.32）（3.1.30）即（3.1.31）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁! 即待測值可近似地用兩次測量值的平均值來表示。將式（3.1.28）與式（3.1.29）相乘,得(3.1.36)則(3.1.37)式（3.1.37）就是通過交換法測量,計算天平兩臂長度比的計算公式,可作為單次測量對臂長不等進行修正的修正值計算公式。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁! 在具體實現(xiàn)這個測量回路時,因標準可變電感難于制造,因此用標準線圈產(chǎn)生固定電感Lb,用標準可變電容Cb進行調(diào)諧。將被測電容與Cb并聯(lián),則回路諧振時有 由此可得到

（3.1.38）（3.1.39）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁! 再用Cb進行調(diào)諧,減小Cb值,使回路重新諧振,電壓表的指示又達到最大,此時,標準可變電容Cb的讀數(shù)為Cb2,回路中的諧振電感量為Cb2+C0+Cx。由于兩次諧振都是與固定電感Lb耦合產(chǎn)生的,所以回路中的電容量相等,即

Cb1+C0=Cb2+C0+Cx（3.1.41）從而

Cx=Cb1-Cb2（3.1.42） 因此,待測電容Cx在頻率為ω0條件下的電容量,可由兩次諧振時標準可變電容Cb的讀數(shù)之差來求得。此時,回路中的寄生電容C0在用抵消法測量時不會產(chǎn)生影響,即消除了因C0存在而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁! 當t=t0時,系統(tǒng)誤差值為 若創(chuàng)造條件經(jīng)過τ=T/2,使誤差的相位相差半個周期,即t=t0+τ=t0+T/2時，誤差值為

（3.1.44）（3.1.45）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!圖3.1.8計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁! 典型的例子是:當把一個未經(jīng)溫度補償?shù)木w振蕩器用作頻率計的頻標時,如果該振蕩器的頻率隨溫度變化的誤差已知,就可以在測量結(jié)果的計算公式中根據(jù)溫度傳感器獲得的溫度值,對計量結(jié)果進行修正來保證測量精度。這個工作過程經(jīng)軟件處理后,在相對簡單的硬件結(jié)構(gòu)下能夠保證較高的精度。由于計算機技術(shù)的發(fā)展,這種方法獲得了廣泛的應用。 這方面的成功例子是：頻率計硬件結(jié)構(gòu)的簡化和其精度的提高。在通常的多周期同步測量技術(shù)設計的頻率計中,對被測頻率的計算公式是計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁! (4)采用不同人員或其他處理手段重復計量來消除人員誤差,或者通過自動測試和智能化處理消除人員誤差。 2.隨機誤差 隨機誤差是在測量過程中,因存在許多隨機因素對測量結(jié)果造成干擾,而使測得值帶有大小和方向都難于預測的測量誤差,這種隨機誤差是誤差理論研究的主要對象。 對測量數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差進行處理后,仍會殘留微小的系統(tǒng)誤差,這些微小的系統(tǒng)誤差已具有隨機誤差的性質(zhì),因而也可把這種殘存的系統(tǒng)誤差當作隨機誤差來考慮。

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁! 隨機誤差是由尚未被認識和控制的規(guī)律或因素所導致的。也就是說,隨機誤差的出現(xiàn)具有隨機的性質(zhì),因此不能修正,也不能完全消除,只能根據(jù)其本身存在的規(guī)律,用增加計量次數(shù)的方法,加以減小和限制。要想得出正確的評定,必須經(jīng)過多次重復測量得到測量列,發(fā)現(xiàn)它所遵循的統(tǒng)計規(guī)律,借助概率論和數(shù)理統(tǒng)計學的原理來進行研究。 2）研究隨機誤差的理論基礎(chǔ) 隨機誤差雖然不具有確定的規(guī)律性,但隨機誤差卻遵從統(tǒng)計規(guī)律,因此概率論和數(shù)理統(tǒng)計學是研究隨機誤差的理論基礎(chǔ)。

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁! 設對某量X進行n次等精度獨立測量,觀測值為xi,i=1，2，…，n,當n→∞時,測得值將服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)為 式中,μ為測量列的平均值,σ為標準差。 測量列服從正態(tài)分布規(guī)律的前提是測量次數(shù)n為無窮大,也就是要把隨機誤差看成是連續(xù)型隨機變量,而且還要求系統(tǒng)誤差已經(jīng)完全排除,這些條件在實際測量中是不可能實現(xiàn)的,因此,就決定了正態(tài)分布規(guī)律在應用時有一定的局限性和近似性。（3.1.49）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁! (3)抵償性：當計量次數(shù)無限增加時,誤差的算術(shù)平均值的極限為零,即（3.1.51）

(4)單峰性：在一系列等精度計量中,絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大于絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率,也就是說,絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。需要說明的是:上述的隨機誤差的性質(zhì)是大量實驗的統(tǒng)計結(jié)果,其中的單峰性不一定對所有的隨機誤差都存在。隨機誤差的主要性質(zhì)是抵償性。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁! (2)最大絕對誤差（U）： 因為通過測量不能得到真實值,所以嚴格地講,也就無法求得絕對誤差（真差）。若能找到一個界限值U,并能做出判斷： U≥|x-x0|（3.1.53）即U=sup|Δx|（3.1.54） 則稱U為最大絕對誤差(其中,sup表示測得值x的絕對誤差Δx的絕對值不超過U)。因為在實用中很少用絕對誤差Δx,所以習慣上都把最大絕對誤差U簡稱為最大誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁! 標準偏差是每個計量值的函數(shù),對一組計量值中的大、小誤差反映都比較靈敏,是表示計量精度的比較好的方式。 標準差所表征的是一個被計量量的n次計量所得結(jié)果的分散性,因此稱為計量列中單次計量的標準差。其幾何意義是正態(tài)分布曲線上的拐點的橫坐標。通過查正態(tài)積分表可知,測得值的誤差不超過±σ的概率為68％。 式(3.1.55)給出的只是標準偏差的理論計算公式,在實際工作中,如何根據(jù)理論上的定義來求得標準偏差,在后面將作較為詳細的介紹。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁! 從理論上可以證明,因為n→∞,誤差間具有相互抵償性,所以用誤差的絕對值求平均,才能得到表征誤差的數(shù)值。 標準差與算術(shù)平均誤差的關(guān)系推導如下： 根據(jù)概率論的知識,θ實際上就是|δ1|,|δ2|,…,|δn|在n→∞時的數(shù)學期望。對于連續(xù)的隨機變量,則有

因為正態(tài)分布曲線是左右兩邊對稱的,而且對于右半部分,隨機誤差的絕對值與隨機誤差本身的數(shù)值相等,即 |δ|=δ

δ≥0（3.1.58）（3.1.57）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁! 所以θ=0.7979σ≈（3.1.60） 算術(shù)平均誤差的幾何意義是:正態(tài)分布曲線左半或右半面積重心的橫坐標。 通過查正態(tài)分布積分表可知,測得值的誤差不超出±θ的置信概率為57.62％。 算術(shù)平均誤差這種誤差形式的缺點是無法體現(xiàn)各次計量值之間的離散情況。因為不管離散大小,都可能有相同的平均誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁! 根據(jù)定義,可以得出或然誤差的求解方法： 將一組n個計量值的殘差分別取絕對值按大小依次排列,如果n為奇數(shù),則取中間的計量值,如果n為偶數(shù),則取最靠近中間的兩個數(shù)的平均值作為或然誤差,因此或然誤差又稱為中值誤差。 標準差與或然誤差的關(guān)系推導如下： 根據(jù)或然誤差的定義,有（3.1.63）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!

根據(jù)或然誤差的定義,或然誤差的幾何意義是在-ρ～+ρ范圍內(nèi),正態(tài)分布曲線與橫坐標所組成的面積為總面積的一半。因此,與或然誤差±ρ相應的置信概率為50％。 在自然科學的不少領(lǐng)域的科學研究中,用或然誤差來表示隨機誤差也比較普遍,這主要是因為它的置信概率的數(shù)值比較圓整、直觀。（3.1.67）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁! (7)極差（R）: 一系列計量所得值中的最大值與最小值之差的絕對值稱為極差。記作

R=|xmax-xmin|（3.1.69） 顯然,極差只用到了兩個數(shù)據(jù),大多數(shù)的中間信息沒有利用,而且沒有反映計量次數(shù)的影響,體現(xiàn)不了誤差的隨機性及其概率。 評價一個測量列的精度高低,可以用極限誤差δlim、標準偏差σ、算術(shù)平均誤差θ和或然誤差ρ等參數(shù)作為置信限,因此稱這些參數(shù)為測量列精度參數(shù)。對同一測量列若按大小數(shù)值（取相同計量單位）進行排列,則有計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁! (1)計算的極差法:

（3.1.72） 其中,d為轉(zhuǎn)換因子,它隨測量次數(shù)不同而異。這種估計方法因為有現(xiàn)成數(shù)據(jù)表(見表3.1.1)可查,因此十分簡單。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁! 極差法主要適用于測量次數(shù)較少的情況,因為它只利用了一組數(shù)據(jù)中的兩個數(shù)據(jù),估計的效率隨測量次數(shù)的增加而減少。所以,當n>10時,為了提高用極差估計標準偏差的精度，應該采用分組處理方法。將觀測數(shù)據(jù)分成幾個數(shù)據(jù)個數(shù)相等的組（如將n個數(shù)據(jù)分成k組,每組有m個數(shù)據(jù)(n=km)）,求出各組極差Ri,然后用平均極差來估計標準偏差。的估計公式為（3.1.73）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁! 標準偏差的極大似然估計是有偏估計。 (3)用貝塞爾公式計算。 根據(jù)概率論,已知樣本方差為 若用樣本的標準偏差Sσ作為標準偏差σ的估計,則有（3.1.76）（3.1.77）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁! 令則（3.1.79）根據(jù)貝塞爾公式求得的,乘以修正系數(shù)kσ,即可對其有偏性進行修正。7）算術(shù)平均值的標準差和標準差的標準差σσ。(1)算術(shù)平均值的標準差σ。在多次測量的測量列中,是以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果的,因此必須進一步研究算術(shù)平均值精度的評定標準。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁! 測量列的各個測得值是服從相同正態(tài)分布的隨機變量,因此隨機變量的分布就是n個正態(tài)分布的合成。根據(jù)概率論原理可知,正態(tài)分布和的分布仍為正態(tài)分布,且其方差為各正態(tài)分布的方差和。 對式（3.1.80）取方差,有 且 D(x1)=D(x2)=…=D(xn)=σ2 因此

（3.1.81）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁! 計量平均值的標準差與計量次數(shù)n之間的關(guān)系曲線如圖3.1.10所示。由圖可見,平均值標準差。

隨計量次數(shù)n的增加而減小,并且開始較快,逐漸變慢,當n等于5時,曲線變化已比較緩慢,當n大于10的時候,變化得更慢。所以一般計量中,計量次數(shù)n等于10或12就足夠了。同時也說明,要提高測量結(jié)果的精密度,不能單靠無限地增加計量次數(shù),而應在增加計量次數(shù)的同時,減小標準偏差σ,也就是說要改善計量方法,采用精度較高的儀器。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!圖3.1.10與n的關(guān)系曲線計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁! 當n=8時,當n=100時,由上述計算可以得出兩個結(jié)論：·當n較大時,所求出的標準差比n較小時求出的更可靠。這是因為n大,σσ小,說明估計值密集在標準偏差周圍的比較多?！た偟膩碚f,估計值并不精密,因此,用貝賽爾公式求出的標準偏差的有效數(shù)字最多取兩位,如果其首位為8或9,有效數(shù)字取1位即可。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!

將電阻率ρ計算出來。其中電阻R、導線的長度l和導線的直徑d為直接測量量,電阻率ρ為間接測量量。由此可見,間接測量就是根據(jù)一些直接測量的結(jié)果按一定的關(guān)系式去求得被測量的量,因此間接測量量是直接測量量的函數(shù)。通常用 來表示間接測量量y與n個直接測量量x1，x2,…,xn的關(guān)系。（3.1.86）（3.1.87）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁! 略去高次項,就能夠得到間接測量的絕對誤差:

或者對式（3.1.87）取全微分：（3.1.90）（3.1.91）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁! 2．間接測量的相對誤差 利用間接測量的絕對誤差的計算公式可得間接測量的相對誤差： 3．間接測量的標準差 標準差是隨機誤差常用的一種誤差表示方法,設y=f(xi)中的xi只含有隨機誤差,并分別對各直接測量量xi進行m次等精度測量,結(jié)果有（3.1.93）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁! 將上式的右側(cè)按泰勒級數(shù)展開并略去高次項,可得（3.1.96）將式（3.1.96）兩邊取平方,得（3.1.97）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁! 根據(jù)標準差的定義,有（3.1.100）（3.1.101）代入式（3.1.99）,得（3.1.102）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁! 代入式（3.1.102）,有

若各測量值的隨機誤差是相互獨立的,且當m足夠大時,相關(guān)系數(shù)ρij應該為零,得到間接測量的標準差計算公式:（3.1.105）（3.1.106）（3.1.107）即上式也稱為函數(shù)隨機誤差傳遞公式。同樣,f/xi也稱為誤差傳遞系數(shù)。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁! 1．代數(shù)和法 將所有的誤差按正負號取代數(shù)和:（3.1.108） 這種方法適用于已定系統(tǒng)誤差的合成,也就是說,適用于已經(jīng)確切掌握了誤差的大小和方向的系統(tǒng)誤差的合成。 2．絕對值和法 絕對值和法是將所有誤差按絕對值取和,即 （3.1.109）這種誤差合成方法對誤差的估計是偏大的,因為絕對值和法完全沒有考慮誤差間的抵償性,是最保守的,但也是最穩(wěn)妥的。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁! 4．廣義方和根法 廣義方和根法是將所有誤差分別除以相應的置信系數(shù)Ki,再取方和根,然后乘以總置信系數(shù)K,即 （3.1.111） 這種方法考慮了各隨機誤差的具體分布,具有通用性和合理性。但需要事先確定與誤差相應的置信系數(shù),往往比較麻煩。 上述各種計量誤差的合成方法在具體應用時,必須根據(jù)各分項誤差的性質(zhì)和大小,酌情而定。在總誤差合成時,也可以將不同方法混合使用。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁! e= =e1+e2+…+ek+…+en（3.1.112） 設其中第k項誤差ek為微小誤差,即ek與其他分項誤差ei相比很小,與總誤差e相比可以忽略,則忽略ek后的總誤差e′為

e′=e1+e2+…+ek-1+ek+1+…+en（3.1.113） 且e-e′=ek。 根據(jù)微小誤差定義,若ek是微小誤差,則e≈e′（3.1.114）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁! 2．隨機誤差的微小準則 確立隨機誤差微小準則的個依據(jù)——隨機誤差的合成法則,按方和根法有 設其中第k項誤差ek為微小誤差,即ek與其他分項誤差ei相比很小,與總誤差e相比可以忽略,則忽略ek后的總誤差e′為（3.1.115)（3.1.116)計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁! (1)當總誤差取一位有效數(shù)字時,有 e-e′<(0.1～0.05)e

e′>(0.9～0.95)e

e′2>(0.81～0.9025)e2 e2-e′２=e2k<(0.19～0.0975)e2 于是

ek<(0.436～0.312)e 或近似地取 ek<(0.4～0.3)e 即當某分項誤差ek約小于總誤差e的1/3時,ek便可忽略不計。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁! 微小誤差準則在總誤差計算和選擇高一級標準量等方面都有實際意義。計算總誤差或誤差分配時,若發(fā)現(xiàn)有微小誤差,可不考慮該誤差對總誤差的影響。選擇高一級精度的標準器具時,其誤差一般應小于被檢器具允許誤差的1/3～1/10。另外在校對儀表時,標準儀表的誤差可以忽略,這樣標準儀表的測得值就可作為“真值”來對待。 微小準則的另一用途,就是在進行間接測量的誤差計算時,若能根據(jù)微小誤差準則來判斷構(gòu)成微小誤差的部分誤差,就可以簡化誤差的計算。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!圖3.1.11精確度、正確度和準確度示意圖計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁! 1993年,國際標準化組織、國際電工委員會、國際計量委員會、國際法制計量組織制定出（GUM）ISO：1993（E）(《測量不確定度表達指南》),并頒布實施,從而使不確定度的評定與表示有了統(tǒng)一的標準,使不確定度的研究和應用進入了一個新的階段。 測量不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù),用來表征合理地賦予被測量之值的分散性。

測量不確定度以測量結(jié)果為中心,來評估測量結(jié)果與被測量真值相符合的程度。測量不確定度一般由多個分量組成,一些分量可以由測量結(jié)果的統(tǒng)計分布估算,用實驗標準偏差表征,另一些分量可以用基于實驗或其他信息的概率分布來估算,也可用標準偏差表征。測量不確定度評定分為A類標準不確定度評定和B類標準不確定度評定。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁! 由于各個不確定度的分量都會影響到測量結(jié)果,因此通常用合成標準不確定度（即測量結(jié)果的總的不確定度）來表示各種不確定度分量聯(lián)合影響測量結(jié)果的一個最終的、完整的標準不確定度。合成標準不確定度用uc來表示,是用不確定度傳播定律計算出的標準偏差估計值,等于對所有方差和協(xié)方差求和后得到的總方差的平方根。合成標準不確定度通常用于報告基本常數(shù),計量學基礎(chǔ)研究及有關(guān)SI單位的計量、標準的國際比對的測量結(jié)果。用合成標準不確定度uc乘以包含因子（覆蓋因子）k得到擴展不確定度U,其用途是提供測量結(jié)果的一個區(qū)間,期望被測量以較高的置信水平落在此區(qū)間內(nèi)。擴展不確定度通常用于報告除需要用合成標準不確定度表述以外的其他測量結(jié)果。上述幾個不確定度的關(guān)系如圖3.1.12所示。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!3.2數(shù)據(jù)處理 3.2.1有效數(shù)字 先來看看下面兩個問題。 【問題1】是否一個數(shù)值中小數(shù)點后面的位數(shù)越多,這個數(shù)值就越準確？ 【問題2】是否在計算結(jié)果中,保留的位數(shù)越多,這個數(shù)就越準確？ 個問題的錯誤在于,小數(shù)點的位置不是決定數(shù)值準確與否的標準,而僅與所用單位的大小有關(guān)。例如,長度為21.3mm與0.0213m,其準確程度完全相同。

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁! 一個數(shù),有效數(shù)字占有的位數(shù),即有效數(shù)字的個數(shù),為該數(shù)的有效位數(shù)。 在科學試驗中有兩類數(shù)：一類數(shù)的有效位數(shù)均可認為無限制,也就是它們的每一位數(shù)都是確定的。這類數(shù)多為純數(shù)學計算的結(jié)果,例如各種計算式中的2、1/2、π及自然數(shù)等,在位數(shù)上可根據(jù)需要取多少位來表示都是有效的。另一類則是有效位數(shù)為有限的數(shù),這類數(shù)多與實際相聯(lián)系,不能單憑數(shù)學上的運算而任意確定其有效位數(shù),而是要結(jié)合實際恰當?shù)乇硎境鏊硎镜牧炕蛩哂械木?。這類數(shù)的有效位數(shù)要受到原始數(shù)據(jù)所能達到的精度、獲取數(shù)據(jù)的技術(shù)水平、獲取數(shù)據(jù)所依據(jù)的理論等因素的限制。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁! 反之,這些數(shù)值所取的有效位數(shù)少于實際所能達到的精度,不能把已經(jīng)達到的精度表示出來,也是錯誤的。這一類數(shù)的末一位往往由估計得來,因此具有一定的誤差或不確定性。例如,不考慮測量誤差,單從數(shù)值來考慮,在數(shù)學上23與23.00兩個數(shù)是相等的,而作為表示測量結(jié)果的數(shù)值,兩者相差是很懸殊的。用23表示的測量結(jié)果,其誤差可能為±0.5；而用23.00表示的測量結(jié)果,其誤差可能是±0.005。 關(guān)于數(shù)字“0”,需要特別提一下,它在數(shù)中的位置不同,可能是有效數(shù)字,也可能是多余數(shù)字。要分幾種情況來討論： （1）整數(shù)前面的“0”無意義,是多余數(shù)字。例如,00713,最前面的兩個“0”是多余數(shù)字。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁! 2.有效數(shù)字的舍入規(guī)則 在對數(shù)值判定應取的有效位數(shù)以后,就應當把數(shù)中的多余數(shù)字舍棄。為了盡量減小因舍棄多余數(shù)字所引起的誤差,應當根據(jù)下述原則進行取舍: （1）在整數(shù)后面經(jīng)判定有多余數(shù)字,則舍棄多余數(shù)字用“0”來代替,而這些“0”用10的乘冪來表示。若為帶小數(shù)的數(shù)或小數(shù),則只舍棄多余數(shù)字。 例如：397451用4位有效數(shù)字表示為3975×102；1.4142用4位有效數(shù)字表示為1.414。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第71頁! 例如：1234.6用4位有效數(shù)字表示為1235；9876.54用4位有效數(shù)字表示為9877。 湊偶原則,一方面考慮到湊成偶數(shù)后有可能給以后的計算帶來方便；另一方面考慮到使舍棄多余數(shù)字后進1與不進1的機會,在0至9的十個數(shù)字中各占一半,從而使舍入誤差正負相消的機會均等,以減少最后計算結(jié)果的舍入誤差。 （3）在某些特殊的情況下,所處理的數(shù)據(jù)多余數(shù)字的個數(shù)字是“5”的數(shù)值過多,可不按湊偶原則來處理,而采用一半的數(shù)值進1,另一半只舍不進的辦法。這樣可避免造成舍入誤差(即因數(shù)值的舍入而造成的誤差)過大。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第72頁! 例如：未舍入的數(shù)字“偶舍奇入”規(guī)則“四舍五入”規(guī)則175.5176176 286.5286287 394.5394395 410.5410411 521.5522522 633.5634634 744.5744745 +）857.5+）858+）858 4024.040244028計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第73頁! 行上面的數(shù)是按“偶舍奇入”規(guī)則所得,而行下面的數(shù)則是按“四舍五入”規(guī)則所得?？梢?前者形成的偶數(shù)為14個,奇數(shù)為10個,而后者形成的偶數(shù)和奇數(shù)皆為12個,分布是均勻的。 需要指出的是,舍入規(guī)則只是一般的原則,而不是定律,實際效果將因具體情況而異。 3.有效數(shù)字的運算規(guī)則 1）加減運算 在加減計算中,所得結(jié)果的小數(shù)點后保留的位數(shù),應與參與加減運算的各數(shù)據(jù)中小數(shù)點后位數(shù)最少的那個數(shù)據(jù)的位數(shù)相同。例如：4.286+1.32-0.4563=5.1497≈5.15計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第74頁! 例如,60.4,2.02,0.222,0.0467四個數(shù)相加,其中三個數(shù)在其小數(shù)點后有兩位或兩位以上,因此各數(shù)據(jù)小數(shù)點后多保留一位比較合適。則運算的結(jié)果為60.4+2.02+0.22+0.05=62.69≈62.7 如果各數(shù)據(jù)小數(shù)點后只保留一位,則運算的結(jié)果為60.4+2.0+0.2+0.0=62.6 在使用計算器或電子計算機進行運算時,無須作簡化處理,可將各數(shù)據(jù)的全部數(shù)字保留進行運算,記錄數(shù)據(jù)時再按上述規(guī)則將多余數(shù)字舍去。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第75頁! 為盡力減小數(shù)字舍入帶來的誤差,參與運算的各數(shù)據(jù)可多保留一位數(shù)字。在使用計算器或計算機計算時,各數(shù)據(jù)可先不進行簡化處理,待計算完成,只將最后結(jié)果中的多余數(shù)字舍去即可。 3）乘方與開方運算 數(shù)據(jù)經(jīng)乘方與開方運算,所得結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與該數(shù)據(jù)的位數(shù)相同。例如： 3.252=10.5625≈10.6 4）對數(shù)運算 在對數(shù)運算中,所取對數(shù)的位數(shù)應與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。例如：

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第76頁!表3.2.1三角函數(shù)值的位數(shù)與角度誤差的對應關(guān)系計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第77頁! （4）運算中,若有效數(shù)字的位數(shù)為8或9,則有效數(shù)字的位數(shù)可多計一位。 例如：9.27已接近10.00,可認為它是四位有效數(shù)。 再比如：計算8.5、1.38、0.267三個數(shù)的乘積,應計8.5的有效數(shù)字位數(shù)為三位,則算式與結(jié)果為 8.5×1.38×0.267=3.13 4.測試結(jié)果的有效數(shù)字 在表示精度時,大多情況下只取一位有效數(shù)字,最多取兩位有效數(shù)字。根據(jù)有效數(shù)字的定義,一般測試結(jié)果的有效位數(shù)的最末一位應取到與精度參數(shù)的末位同一量級。

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第78頁! 根據(jù)有效數(shù)字的運算規(guī)則,σ的有效數(shù)字最多只能取兩位；若σ的首位有效數(shù)字為8或9,則σ的有效數(shù)字只能取一位。 3.2.2粗大誤差處理 1．粗大誤差定義 超過規(guī)定條件下預期的誤差就是粗大誤差。粗大誤差明顯地歪曲了計量結(jié)果。含粗大誤差的值稱為異常值,一旦發(fā)現(xiàn)異常值,應該將其剔除。 2．粗大誤差產(chǎn)生的原因 粗大誤差產(chǎn)生的主要原因有：

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第79頁! 3．粗大誤差剔除準則 常用的粗大誤差的剔除準則有3σ準則、格羅貝斯準則、狄克松準則、羅曼諾夫斯基準則、肖維勒準則等,下面依次予以介紹。 1）3σ準則 3σ準則也稱為萊以特（Paйтa）準則,是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則。它以測量次數(shù)充分大為前提,但是通常測量次數(shù)都較少,因此3σ準則只是一個近似的準則。對于某一測量列x1，x2，…，xn,若各測得值只含有隨機誤差且服從正態(tài)分布,則根據(jù)隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律,其殘差落在±3σ以外的概率約為0.27％,即計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第80頁! 3σ準則可以重復應用,直至所保留數(shù)據(jù)中已不含粗大誤差為止。3σ準則比較保守,因為在測量次數(shù)有限時,出現(xiàn)在靠近±3σ界限處的數(shù)據(jù)較少,除非有較大的粗大誤差,否則依據(jù)|vi|>3σ而導致數(shù)據(jù)被剔除的可能性很小。因為對任何vi存在（3.2.6）（3.2.7）因此當n≤10時,3σ準則不能剔除任何異常值。也就是說,測量次數(shù)少于10次時,不能用3σ準則。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第81頁! 把測量列按大小順序重新排列成順序統(tǒng)計量為x(1)≤x（２）≤…≤x

(n)(3.2.10) 其中左右兩端邊緣測得值最可能含有粗大誤差。 根據(jù)順序統(tǒng)計原理,格羅貝斯找出了統(tǒng)計量

的確切分布,兩者分布相同。因此在給定顯著水平a（一般取a為0.05或0.01）后,就可找出格羅貝斯統(tǒng)計量的臨界值g0(n,a),且有及(3.2.11)(3.2.12)計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第82頁!

g(i)是數(shù)據(jù)x(i)的統(tǒng)計量；g0(n,a)是統(tǒng)計量g(i)的臨界值,依測量次數(shù)n及顯著度a而定；a是顯著度,也稱為顯著水平,相當于犯“棄真”錯誤的概率,也就是當x(i)不含粗大誤差時,判斷出現(xiàn)錯誤的概率。 因順序統(tǒng)計測量列是按數(shù)值大小的順序排列的,所以可疑值一定出現(xiàn)在順序統(tǒng)計測量列的兩端。因此可得出準則： 把按大小順序排列的測量列端值x(i)（i=1或n）所對應的格羅貝斯統(tǒng)計量g(i)算出后,若滿足計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第83頁!表3.2.2格羅貝斯準則g0(n,a)數(shù)值表計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第84頁! 設對一固定量經(jīng)過等精度相互獨立的n次測量,得到一測量列xi,i=1,2,…,n,并設此測量列服從正態(tài)分布。根據(jù)測得值數(shù)值的大小重新排成順序統(tǒng)計測量列:x(1)≤x（２）≤…≤x

(n)（3.2.16） 這些測得值中,首先最值得懷疑的是x

(1)或x

(n),因為它們偏離算術(shù)平均值最遠。 狄克松準則是先構(gòu)成一個與n及x(1)或x(n)有關(guān)的極差比統(tǒng)計量rjk,在選定顯著水平a（取0.05或0.01）后,就可根據(jù)統(tǒng)計量rjk的分布,找出其對應的臨界值r0(n,a)。對構(gòu)成小概率事件 P｛rjk≥r0(n,a)｝=a（3.2.17）

相對應的測得值x(1)或x

(n),就可判別是否為可疑值。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第85頁! 根據(jù)統(tǒng)計量rjk的分布,檢驗用臨界值r0(n,a)是測量次數(shù)n和顯著水平a的函數(shù)。對應不同測量次數(shù)n,rjk的計算公式及臨界值r0(n,a)的數(shù)值見表3.2.3。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第86頁! 狄克松準則是于1953年提出來的,它的特點是不需要計算標準差,由數(shù)據(jù)的極差比可直接計算出檢驗用統(tǒng)計量rjk,使用比較方便。 當使用狄克松準則剔除一個數(shù)據(jù)后,應按剩余順序量,重新計算統(tǒng)計量,再檢驗另一可疑數(shù)據(jù),直到無粗大誤差為止。 4）羅曼諾夫斯基（Pomaнвcкий）準則 當測量次數(shù)較少時,按t分布的實際誤差分布范圍來判別粗大誤差較為合理,因此羅曼諾夫斯基準則又稱為t檢驗準則。它的特點是首先剔除一個可疑的測得值,然后按t分布檢驗被剔除的測量值是否含有粗大誤差。

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第87頁! 根據(jù)測量次數(shù)n和選取的顯著度a（取0.05或0.01）,可以查表得到t檢驗系數(shù)K(n,a)。如果xk的殘差滿足|vk|=|xk-|>K(n,a)σ（3.2.21） 則認為測量值xk含粗大誤差,應將其剔除。

t檢驗系數(shù)為 式中,ta(n-1)為t分布的置信系數(shù)。

t檢驗系數(shù)K(n,a)數(shù)值表見表3.2.4。（3.2.22）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第88頁! 5）肖維勒（Chauvenet）準則 肖維勒準則也是以正態(tài)分布為前提的。假設多次重復測量所得n個測得值中,某數(shù)據(jù)的殘余誤差滿足 |vi|>Zcσ（3.2.23）則剔除此數(shù)據(jù)。實用中,當測量次數(shù)n≤185時,Zc<3,這在一定程度上彌補了3σ準則的不足。 從圖3.2.1上可以看出,|vi|>Zcσ的概率為圖中陰影部分。即 P［|vi|>Zcσ］=1-2φ(Zc)（3.2.24）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第89頁!圖3.2.1|vi|>Zcσ的概率分布計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第90頁! 在觀測次數(shù)較少時,肖維勒準則犯“棄真”錯誤的概率是較大的,例如,n=5時,犯“棄真”錯誤的概率可達20％。在n≤185時,肖維勒準則比3σ準則嚴格；當n>185時,肖維勒準則比3σ準則寬松；當n→∞時,由于Zc→∞,肖維勒準則就無法應用了。 在應用以上各準則判別粗大誤差時要注意,若同時有兩個數(shù)據(jù)被判別出含有粗大誤差,只能剔除其中含最大誤差的那一個數(shù)據(jù)；如果這兩個數(shù)據(jù)相同,則只能剔除其中的任一個。

也就是說,一次只能剔除一個數(shù)據(jù)。之后,再對剩下的(n-1)個數(shù)據(jù)繼續(xù)判斷是否還有可疑數(shù)據(jù),直到全部數(shù)據(jù)都沒有問題為止。那些在前次判斷中和被剔除的數(shù)據(jù)同時超限的數(shù)據(jù),在重新計算后,可能不超過判斷的界限,所以每次只能剔除一個超限的數(shù)據(jù)。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第91頁! 其中,格羅貝斯準則的可靠性最高,通常測量次數(shù)n=20～100時,其判別效果較好;當測量次數(shù)很少時,可采用t檢驗準則; 若要從測量列中迅速判別出含有粗大誤差的測得值,則可采用狄克松準則。 在較為精密的試驗中,可以選用兩、三種準則對試驗數(shù)據(jù)進行判別。 要注意以上各準則都是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的,當偏離正態(tài)分布時,判斷的可靠性將受影響,特別是計量次數(shù)很少時更不可靠。因此,對待粗大誤差,除了從測量結(jié)果中及時發(fā)現(xiàn)和利用剔除準則鑒別外,更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責任心。另外,要保證測量條件的穩(wěn)定,防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第92頁!表3.2.6例3.2.1表計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第93頁! 所以第八個測得值20.30含有粗大誤差,應該將其剔除。 再根據(jù)剩下的14個測得值重新計算,可得平均值 則 3σ′=3×0.0161=0.0483 剩下的14個測得值的殘差均滿足計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第94頁! 即x(1)的殘差更大,所以首先懷疑x（１）可能含有粗大誤差。 已知g0(15,0.05)=2.41,則

g（１）>g0(15,0.05) 因此,第八個測得值20.30含有粗大誤差,應該將其剔除。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第95頁! （3）按狄克松（Dixon）準則判斷。 首先將測得值按大小排序,得 20.30<20.39≤20.39≤20.39<20.40≤20.40≤20.40<20.41<20.42≤20.42≤20.42<20.43≤20.43≤20.43≤20.43先判斷最大值x（１５）,因為n=15,所以計算統(tǒng)計量r22: 已知r0(15,0.05)=0.525,則

r22<r0(15,0.05) 因此x(15)不含有粗大誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第96頁!已知K(15,0.05)=2.24,則因為因此,第八個測得值20.30含有粗大誤差,應該將其剔除。對剩下的14個數(shù)據(jù),重復上述步驟。將第七個測得值20.39剔除,對其余13個測得值計算平均值和標準差,得計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第97頁! 因為第八個測得值的殘差為 |v8|=|x8-|=|20.30-20.404|=0.104>0.07 所以,可判斷第八個測得值20.30含有粗大誤差。再對剩下的14個數(shù)據(jù)重新計算平均值和標準差,得 當n=14,Zc=2.10,則

Zcσ=2.10×0.0161=0.034 剩下的14個測得值均滿足 |v′i|<0.034 所以這些測得值中不再含有粗大誤差。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第98頁! (2)求殘差vi=xi-i=1,2,…,n（3.2.28） (3)求單次計量標準偏差 (4)求平均值標準偏差（3.2.29）（3.2.30）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第99頁! 則有所以（3.2.32）（3.2.33）即算術(shù)平均值可以表示為x0與x′i的算術(shù)平均值之和。x0的值的選取應使x′i的值盡可能小,并且便于計算。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第100頁!表3.2.7例3.2.2表計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第101頁! 2．不等精度計量所得值的處理 1）不等精度計量的定義 在不同的條件下（如環(huán)境、方法、儀器以及人員等）或不同的計量次數(shù)下,所進行的精度不等的計量,稱為不等精度計量。 在不等精度計量中,所得各測量數(shù)據(jù)具有不同的可信程度,因此數(shù)據(jù)處理方法與等精度測量時有所不同。 2）測量數(shù)據(jù)的權(quán) 若測量數(shù)據(jù)具有不同的精度,其可信程度也就不一樣。在數(shù)據(jù)處理過程中,精度較高的數(shù)據(jù)應給予較多的重視,而精度較低的數(shù)據(jù)則相反。為了便于數(shù)據(jù)處理,這一差別應以數(shù)值來表示,這一數(shù)值就是測量數(shù)據(jù)的權(quán)。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第102頁! 或

（3.2.35） 上面兩個式子給出了確定權(quán)的一般方法,即測量數(shù)據(jù)的權(quán)與相應標準差的平方成反比。 權(quán)本身是無量綱的,它只反映各測量數(shù)據(jù)之間的相對可信程度,只要能滿足上面兩個式子,其絕對值大小是無關(guān)緊要的。這就是權(quán)的相對性。但是應注意,權(quán)的數(shù)值一旦確定,在數(shù)據(jù)處理過程中就不允許再隨意改變。一般為了簡化處理,應使權(quán)的數(shù)值盡可能約簡。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第103頁! 由此可知,各組算術(shù)平均值的權(quán)之比等于各組測量次數(shù)之比。 因此,我們可以得到下面的結(jié)論：權(quán)可以根據(jù)計量值的精度來定,有時也可以根據(jù)計量次數(shù)來定。 若根據(jù)計量值的精度來定,則某計量值的權(quán)p應該與其方差σ2成反比,即 若以計量次數(shù)來定,則權(quán)p應該與計量次數(shù)n成正比,即 p=Cn（3.2.39）上述兩個式子中的Ｃ為比例系數(shù),可任選,以便于計算為原則。（3.2.38）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第104頁! 加權(quán)算術(shù)平均值是被測量X的無偏估計。特別地,當各測量數(shù)據(jù)的權(quán)均相等時,即p1=p2=…=pn=p時,有 這正是等精度測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。顯然,算術(shù)平均值是加權(quán)算術(shù)平均值的特例。 與算術(shù)平均值相似,加權(quán)算術(shù)平均值也是以隨機誤差的抵償性為基礎(chǔ)的,按加權(quán)算術(shù)平均值原理處理不等精度的測量數(shù)據(jù)可充分利用這一抵償性,并使隨機誤差的影響減至最低限度。而對于各次測量中的同一系統(tǒng)誤差則沒有這種抵償性。（3.2.41）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第105頁!（3.2.42）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第106頁! 設有不等精度測量數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,相應的權(quán)分別為p1,p2,…,pn,則各測量數(shù)據(jù)的殘差為 將各殘差vi分別乘以各自的權(quán)的平方根,得加權(quán)殘差

i=1,2,…,n（3.2.46）

i=1,2,…,n

(3.2.47)計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第107頁!即計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第108頁!（3.2.53）若將單位權(quán)標準差的兩個計算公式i=1,2,…,n

（3.2.54）計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第109頁! 分別按上面兩式計算加權(quán)算術(shù)平均值的標準差,所得結(jié)果理應是相同的。但由于種種原因,實際上這兩種計算方法給出的值常常是不同的。這是由于對測量數(shù)據(jù)標準差估計不準以及測量數(shù)據(jù)中存在系統(tǒng)誤差等原因而引起的,特別是系統(tǒng)誤差的影響。當測量數(shù)據(jù)中存在不同的系統(tǒng)誤差時,一般各測量數(shù)據(jù)之間的差異會增大,因此按照式（3.2.57）計算的值比按式（3.2.56）計算的要大些。即按式（3.2.57）計算加權(quán)算術(shù)平均值的標準差時,能在一定程度上反映系統(tǒng)誤差的影響；而按式（3.2.56）計算時,一般不反映這一系統(tǒng)誤差的影響,所以,通常以式（3.2.57）的計算結(jié)果為準。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第110頁! (3)求單位權(quán)標準差 (4)求加權(quán)平均值標準差(3.2.60)(3.2.61)計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第111頁!表3.2.8例3.2.3表計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第112頁! 計算單位權(quán)標準差,得加權(quán)平均值的標準差為計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第113頁! 勒讓德（Legendre）于1805年提出最小二乘法。雖然勒讓德與高斯同時獨立地運用最小二乘法,但人們一般都認為在1795年,高斯（18歲時）首先創(chuàng)立并成功地將最小二乘法應用于天文觀測和大地測量工作中。此后的200多年來,最小二乘法已經(jīng)廣泛應用于科學實驗與工程技術(shù)中?，F(xiàn)代矩陣理論的發(fā)展及電子計算機的廣泛應用,為這一方法提供了新的理論工具和得力的數(shù)據(jù)處理手段,使最小二乘法得到了迅速發(fā)展,并不斷完善,成為回歸分析、數(shù)理統(tǒng)計等方面的理論基礎(chǔ)之一。作為數(shù)據(jù)處理手段,最小二乘法在諸如實驗曲線的擬合、方差分析與回歸分析、天文測量、大地測量及其他科學實驗的數(shù)據(jù)處理等方面,在多種學科中均獲得了廣泛的應用。隨著計量技術(shù)及其他現(xiàn)代科學技術(shù)的迅速發(fā)展,最小二乘法在各科學領(lǐng)域?qū)@得更為廣泛的應用和發(fā)展。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第114頁! 2．最小二乘法求直線 在計量工作中,經(jīng)常要尋求表征兩個量的直線關(guān)系的問題。這時,只要找到表征兩個量的關(guān)系直線后,就可以只測一個量,而另一個量按已找出的關(guān)系算出來。最小二乘法是求線性經(jīng)驗公式中常用的方法。由于兩個量在一個小范圍總可以認為是線性的,因而求直線的方法有著廣泛的應用。計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第115頁!圖3.2.2最小二乘法計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第116頁! 將以上n個式子左邊和右邊分別相加,得 令,根據(jù)最小二乘法原理,要使V=min,則a和b必須滿足(3.2.66)(3.2.67)計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第117頁! 其中是全部試驗點的點系中心（或平均點）。 從上面的分析結(jié)果可以看出用最小二乘法求出的直線一定通過全部試驗點的點系中心這一點。 【例3.2.4】在不同的溫度t（以℃為單位）,計量所得某尺的長度l（以mm為單位）如表3.2.9所示。試按最小二乘法求尺長的溫度膨脹系數(shù)與0℃時的尺長。 解設尺長l與溫度t的關(guān)系為l=βt+α計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第118頁!表3.2.9例3.2.4表計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第119頁! 設已知一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),要用通常的n（n<m-1）次多項式pn(x)=a0+a1

x+a2

x2+…+anxn(3.2.71) 去近似它。下面要解決的問題就是應該如何選擇a1,a2,…,an,使pn(x)能較好地擬合已知數(shù)據(jù)。按最小二乘法,應該選擇a0，a1，…，an，使得Q(a0，a1，…，an)=(yi-pn(xi))2（3.2.72） 取最小。注意到Q是非負的,且是a0，a1，…，an的二次多項式,因此它必有最小值。求Q對a0，a1，…，an的偏導數(shù),并令其等于零,得到

計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第120頁! 則上述方程組可以寫為 s0

a0+s1

a1+…+sn

an=u0 s1

a0+s2

a1+…+sn+1an=u1 … sna0+sn+1a1+…+s2nan=un（3.2.77）令計量誤差與數(shù)據(jù)處理共296頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第121頁! 在利用最小二乘法組成和式（3.2.72）時,所有點xi都起到了同樣的作用,即認為是通過等精度測量獲得各數(shù)據(jù)。對于不等精度計量,要用加權(quán)和pi(yi-pn(xi))2（3.2.81）代替和式（3.2.72）取最小值。其中pi