數(shù)列求和7種方法方法全-例子多

nn(n-1),=na+ d1 2一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：S=-(1c 1、n22、等比數(shù)列求和公式：s=\

nna1a(1-qn)(q=1)一(q21)1-q33、S=Zk=1n(n+1)4、S

n 2 nk=1

=Zk2=n.n(n+1)(2n+1)6k=1［例1］已知10g310g23求X+X2+x3H FXnH 的前n項(xiàng)和.解：由log-1x= n3log32logX=-1og2nX=13 3 2由等比數(shù)列求和公式得s=X+X2+X3+…+Xn(利用常用公式)n、1(1-—)X(1-Xn) 2 2n1=1-27ss［例2］設(shè)S=1+2+3+…+n,n￡N*,求f(n)=一一-n--的最大值.

n (n+32)S解：由等差數(shù)列求和公式得S=n-n(n+1)n2

n+1Sn=2("1)("2)(利用常用公式)11=一64

n+34+-nSn2+34n+64n2+34n+64(n+32)Sn+11 1= Z 4 建n-上)2+5050?—8?二當(dāng).n一者即n=8時(shí)，f(n)max1504M—1題1號比數(shù)列低｝的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則1+M+蠟++只=F題2.若l2+22+...+(n-1)2=an3+bn2+cn，貝口a=,b=,c=(福一1)甩?(2對-1) +ra解：原式=

二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列｛ajbj的前n項(xiàng)和，其中｛an｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.［例3］求和：S=1+3%+5%2+7%3H F(2n11)xn-1 ①解：由題可知，｛(2n-1)xn-1｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n—1｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛xn-1｝的通項(xiàng)之積設(shè)xS設(shè)xS=1x+3x2+5x3+7x4h f(2n-1)xn .②(設(shè)制錯(cuò)位)①一②得(1-x)S=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn(錯(cuò)位相減再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1-再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1-x)S1-xn-1=1+2x, 一(2n—1)xn...S=

n(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1...S=

n(1-x)2TOC\o"1-5"\h\z…r、 246 2n［例4］求數(shù)列不丁，丁，…，丁，…前n項(xiàng)的和.22223 2n“，口一，2n、，，^ --，，，，，、，一 ，-…，，.、，一 、,解：由題可知，｛?。耐?xiàng)是等差數(shù)列｛2n｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛丁｝的通項(xiàng)之積2n 2n2+22 1 +???+ 2+22 1 +???+ ..22 23 2n4 6 2n 1 +22 23①一②得(1- 1 1 24 2n+12 2 2=+' + +2 22 23②(設(shè)制錯(cuò)位)242n 2n+1(錯(cuò)位相減)練習(xí)題1已知.2練習(xí)題1已知.2n-1，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.…2所1二小2”一2也+12?-l2H的前n2H的前n項(xiàng)和為.答案：三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)("Jan).［例5］求證：C0+3C1+5C2+…+(2n+1)Cn=(n+1)2nn n n nTOC\o"1-5"\h\z證明：設(shè)s=C0+3C1+5C2+…+(2n+1)C" ..①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得S=(2n+1)Cn+(2n—1)Ci+…+3Ci+C0(反序)又由Cm=Cn-m可得n nS=(2n+1)C0+(2--1)C1+…+3Cn-1+Cn ……..②n n n n n①+②得2S =(2n +2)(C0 +C1 +…+Cn-1+Cn)=2(n +1).2n(反序相加)n nn n n：.S=(n+1).2nn［例6］求sin21。+sin22。+sin23。4 卜sin288。+sin289。的值解：設(shè)S=sin21。+sin22。+sin23。4 4sin288。+sin289 .①將①式右邊反序得S=sin289。+sin288。4 4sin23。+sin22。+sin21。 ..②(反序)又因?yàn)閟inx=cos(90。-x),sin2x+cos2x=1①+②得(反序相加)2S=(sin21。+cos21。)+(sin22。+cos22。)4 4(sin289。+cos289。)=89AS=44.52r題1已知函數(shù) "72(1)證明：制+〃1一幻=1;(2)求V0/ V0/ v0/W的值.解：(i)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊(2)利用第(1)小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得:((1> /Q>>2s=9//—+/—IuoJ110〃仔22 132 102練習(xí)、求值：=百方+西/+尹評+……+訴F四、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.［例7］求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1,—+4,—+7,…, +3n—2，…a a2 an—1解：設(shè)S=(1+1)+(-+4)+(―+7)+???+(―+3n—2)n a a2 an—1將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得S=(1+-+—+---+—)+(1+4+7+--?+3n—2)(分組)n aa2 an—1(3n—1)n (3n+1)n,當(dāng)a=1時(shí)，S=n+ = (分組求和)n 2 21——當(dāng)a豐1時(shí)，S=T+(3n—1)n=0—01—1+(3n-1)nn1—1 2a—1 2a［例8］求數(shù)列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n項(xiàng)和.解：設(shè)ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k：.S=Ek(k+1)(2k+1)=Z(2k3+3k2+k)TOC\o"1-5"\h\zk=1 k=1將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得S=2Zk3+3Zk2+Zk(分組)nk=1 k=1 k=1=2(13+23h fn3)+3(12+22h fn2)+(1+2H Fn)n2(n+1)2 n(n+1)(2n+1),n(n+1)= + +—--(分組求和)乙 乙 乙n(n+1)2(n+2)一2五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:a=f(n+a=f(n+1)—f(n)nsin1。cosn。cos(n+1)。=tan(n+1)?！猼ann。1 1 1a= =—— n n(n+1)nn+1an(2n)2 =1+1(，—，)(2n—1)(2n+1) 22n—12n+1(5)n(n-1)(n+2)=2［n(n+1)(n+1)(n+2)(5)(6)ann+(6)ann+2 1 . n(n+1)2n2(n+1)—n1

. n(n+1) 2n1(n+1)2n(n+1)2n(7)a= = ( — )n(An+B)(An+C)C-BAn+BAn+C(8)—=]1 =Vn+1-后(8)nn+7n+111［11［例9］求數(shù)列K，K，1,^ . ，?…的前n項(xiàng)和.vn+%，n+11 : 7 1.一，一、解：設(shè)a=^ =\n+1--、：n(裂項(xiàng))n、n+vn+1則s=+—1—+???+—1一(裂項(xiàng)求和)n1+v2v2+v3 \：n+“3n+1=(v2—v1)+(%：3—、；2)+,,,+(xn+1—\n)=vn+1—1TOC\o"1-5"\h\z1 2 n一1 2[例10]在數(shù)列｛a｝中，a= + -+--?+，又b= ，求數(shù)列｛b｝的刖n項(xiàng)的和.nnn+1n+1n+1na-a n,, nn+1, 1 2 nn解：:a= + +…+ =-nn+1n+1 n+12b=- =8(1--1-)(裂項(xiàng))nnn+1 nn+1一. 22，數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和

ns=8[(1-g+&-g+J-1)+???+d-工)](裂項(xiàng)求和)

n2 23 34nn+1=8(1--—)=里n+1 n+11 1 1 cos1。［例11］求證: + +???+ =—cos0。cos1。cos1。cos2。 cos88。cos89。 sin2［例11］求證:1+ 1+ cos1。cos2。+???+ cos88。cos89。...S=sin1。cosn。cos(n+...S=sin1。cosn。cos(n+1)。=tan(n+1)。-tann。（裂項(xiàng)） + +,,,+ cos0。cos1。cos1。cos2。 cos88。cos89。（裂項(xiàng)求和）sin1。｛(tan1。-tan0。)+(tan2。-tan1。)+(tan3。-tan2。)+[tan89。-tan88。]｝1 - cosl。= （tan89。一tan0。） cot1。= sin10 sin10 sin21。...原等式成立練習(xí)題1.答案：3胃+1. + + +…+ 練習(xí)題2。4-6 5+1）伽+3）二1門1 1 11——+—— - 答案：3胃+2用+3）六、分段求和法（合并法求和）可將這些項(xiàng)放針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，在一起先求和，然后再求Sn.可將這些項(xiàng)放［例12］求cosl°+cos2°+cos3°+,??+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)S=cos1°+cos2°+cos3°+,??+cos178°+cos179°?cosn。=-cos（180。一n。）（找特殊性質(zhì)項(xiàng)），S=（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+???+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）=0［例13］數(shù)列｛aj：%=1,a2=3,a3=2,a^2=a-a，求S2002.解：設(shè)S2002=a1+a2+a3H FaM之由a=1,a=3,a=2,a=a—a可得:a6k1+a6k2+a6k3+a6k4+a6k5+a6k6=0（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）,二S2002=aaaaa+—fa（合并求和）=（aaaaaa?…a）a（aaaa?…a）a???+（a aaa,?,aa）=01999aa2000aa2001aa2002=06ka1aa6ka2aa6ka3^6ka4=5［例14］在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6=9,求log3a1a10g3a2a…alog3a10的值.解：設(shè)s=log3a1+10g3a2+???+10g3a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+qnaa=aa(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaM+logaN=logaM?N得S=(loga+loga)+(loga+loga)H b(loga+loga)(合并求和)=(loga-a)+(loga?a)H H(loga'a)=log9+log9H blog9=10,± x應(yīng)=（值—1）+ —2）+（q*—3）h 卜（白龍-融）練習(xí)、求和：*練習(xí)題1設(shè)4=-1+*5+7-…+S）-"T），則"=答案：2（一以用^:: ?練習(xí)題2.若S『1-2+3-4+.*-1）n-in，則S17+S33+S50等于（）A.1B.-1C.0D.2號（甩為奇）-i-々甩為偶）解：對前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：Sn=L2答案：A練習(xí)題31002-992+982-972+…+22-12的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并項(xiàng)求和，每兩項(xiàng)合并，原式=（100+99）+（98+97）+...+（2+1）=5050答案：B七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.［例15］求1+11+111+…+旦上J之和.n個(gè)1… -1 …八1 ，一解：由于111??-1=-x999…9=-(10%―1)(找通項(xiàng)及特征)K—v—‘9K—v—' 9k個(gè)1 k個(gè)1???1+11+111+???+111???1——v—‘

n個(gè)1=1(101-1)+1(102-1)+9(103-1)+-??+9(10n-1)(分組求和)=