等差數(shù)列前n項和教學(xué)案和說明

專業(yè)專業(yè).整理等差數(shù)列前n項和一、教材分析教學(xué)內(nèi)容《等差數(shù)列前n項和》現(xiàn)行職業(yè)高中教材第五章第三節(jié)"等差數(shù)列前n項和”的第一課時，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)過程和簡單應(yīng)用。地位與作用本節(jié)對“等差數(shù)列前n項和”的推導(dǎo)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列通項公式的基礎(chǔ)上進一步研究等差數(shù)列，其學(xué)習(xí)平臺是學(xué)生已掌握等差數(shù)列的性質(zhì)以及高斯求和法等相關(guān)知識。對本節(jié)的研究，為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和提供了一種重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用。二、目標分析1、教學(xué)目標依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標：知識技能(1)掌握等差數(shù)列前n項和公式；(2)掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程；(3)會簡單運用等差數(shù)列的前n項和公式。?數(shù)學(xué)思考(1)通過對等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程，滲透倒序相加求和的數(shù)學(xué)方法；(2)通過公式的運用體會方程的思想；(3)通過運用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力。?解決問題創(chuàng)設(shè)由探索1+2+3+……+100的和，推廣到探索一般的等差數(shù)列前n項和s=a+a+a+……+a的求和公式的情景，使學(xué)生進一步體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)n123n研究方法,并使學(xué)生在反饋練習(xí)的過程中，進一步提高問題解決的能力。情感態(tài)度結(jié)合具體模型,將教材知識和實際生活聯(lián)系起來,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過對等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。2、教學(xué)重點、難點重點等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。難點等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中滲透倒序相加的思想方法。重、難點解決的方法策略本課在設(shè)計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過范例后的變式訓(xùn)練和教師的點撥引導(dǎo)，師生互動、講練結(jié)合，從而突出重點、突破教學(xué)難點。三、教學(xué)模式與教法、學(xué)法本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式。教師的教法突出活動的組織設(shè)計與方法的引導(dǎo)。學(xué)生的學(xué)法突出探究、發(fā)現(xiàn)與交流。四、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動活動說明

新課引入創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算1+2+3+…..+100=？新課引入首先認識一位偉大的數(shù)學(xué)家——高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計算1+2+3+4+…..+100？設(shè)等差數(shù)列｛a設(shè)等差數(shù)列｛a｝前1項和為S，則S=a+aHFa+an12n-1n老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項和問題老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項和c(1)n為偶數(shù)時：S=aFFaTOC\o"1-5"\h\zn1n2+aF+aFFan?n—+12=aFFa+a+aFFa1nF1nF1nF1nF1222老師：cn-1/、S=(a+a)+an21nnF1,2aFan—1nI1nI1TOC\o"1-5"\h\z-(a+a)+22—21n2nz.、--(a+a)

21n現(xiàn)實模型：①圖片欣賞②生活實例學(xué)生：1+100=101，高斯求2+99=101,…..50+51=101，所以原式=50*現(xiàn)實模型：①圖片欣賞②生活實例學(xué)生：1+100=101，高斯求2+99=101,…..50+51=101，所以原式=50*(1+101)=5050和眾所學(xué)生：將首末兩項配對，第二周知，學(xué)項與倒數(shù)第二項配對，以此類生能快推，每一對的和都相等，并且速解答。都等型?+a。1n這里用到了學(xué)生：不一定，需要對n取值等差數(shù)的奇偶進行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時剛好配對成歹U腳#功。和性質(zhì)從高斯算法出當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的一項發(fā)，對na，落單了。nF1進行討2論尋找求和公式思路（可能部分學(xué)生在此會遇到困自然，學(xué)難，老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。）生容易學(xué)生：觀察a的腳標與想到。mi2a+a腳標的關(guān)系，即：1na+a32a+aO--2—1n1222倒序相但是對n討論麻煩了，能否有更好的方法WORD格式WORD格式.資料求前n項和公式呢？接下來給出實際問題：個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個V形架上共放著多少支鉛筆？？問題2:如何用倒置的思想求等差數(shù)列前n項和呢？方法一：S=a+aHba+an12n-1nn4▲」kS=a+abba+a學(xué)生觀察圖片演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。（由上一問題的解決，學(xué)生易想到倒序相加求和法。）學(xué)生：利用倒序相加求和法。探索公式nnn—121兩式相加得：2S=n(a+a)方法二n1nn/.S=_(a+a)n21n同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：S=a+(a+d)+...+[a+(n—1)d]n1111AAS=a+(a—d)+...+[a—(n—1)dnnnn兩式相加得：2S=n(a+a)n1n.n公式1：S=一(a+a)n21n公式2：S=na+n(n-1)dn12引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項公式，換掉整理得到公式2。問題3：能否給求和公式一個幾何解釋呢？

教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。公式1：Sn—一Uaan1n(n—1),公式2：S=na+d專業(yè).整理12將S中的每一項用等差n數(shù)列的通項公式進行巧妙的改寫，在倒序相加求和時，每一組中的d都被正負抵消了。學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生自己閱讀教材，體會教材的解法是如何運用求和公式。觀察多媒體課件演示。學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，而梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。力口求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題一一提出問題一——解決問題”的過程。利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對兩個WORD格式WORD格式.資料專業(yè)專業(yè).整理式A學(xué)生：同樣將公式2與梯形面積公式建立聯(lián)系。用“割”的思想將梯形分做一個平行四邊形和一個三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。公式有直觀的認識，體會數(shù)學(xué)的圖形語言。a1(n-1)d1aa—a+(n-1)dn1認識公式剖析公式：a—a+(n-1)d八Toc,n(n—1),公式2S—na+dn12*學(xué)生討論：公式中一共含有五個量，根據(jù)三個公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二?！觥觥觥觥鯽—a+(n-1)dn1教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例題講解例1:在等差數(shù)列a｝中，已知a=7,a=56,求S。。n188在等差數(shù)列a｝中，已知a—12,a—18，求S1八。n2310例2在等差數(shù)列aj中，已知a4+a17=20，求S。420解?由等差數(shù)列前n項和公式S—-二一廣c20(a+a)n2得S—12^202a+a—a+a—2041712020(a+a)()所以S—120-—10S+a)202417—10x20—200小組討論解答，請同學(xué)講解。例2在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，深化了對公式的理

課堂總結(jié)思考：如果將S2設(shè)為已知條件，如何求a+a?417.當(dāng)堂檢測：等差數(shù)列a｝中，若Sn=100，n10貝i]a+a=29解：0(a+a)x10(\S=—i10=5(a+a)=100102110所以a1+a10=20a+a=a+a=2029110例2、已知等差數(shù)列"｝中，a+a+a=40,a+a+a=602584710①求S[J②求a3+a6+a9。微課堂，通過微課形式向同學(xué)們講解典型例題。1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容?2、課后作業(yè)：學(xué)生進行了分組討論，然后每組派學(xué)生代表進行分析。不少小組首先對已知條件作轉(zhuǎn)化，希望能通過解方程求出首項和公差，但發(fā)現(xiàn)條件不夠，不能解出這些基本量，教師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。解，體現(xiàn)了方程的思想。緊扣教材，讓學(xué)生體會整體應(yīng)用公式，類比化歸的思想方法。通過對等差數(shù)列求和歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。

指導(dǎo)與練習(xí)95頁，A、B組習(xí)題。3、對求和史的了解我國數(shù)列求和的概念起源很早，在北朝時，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在《張丘建算經(jīng)》中給出等差數(shù)列求和問題：例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺