一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法

精心整理精心整理精心整理課題：一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目標(biāo)：1．鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握掌握簡(jiǎn)單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2．培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；3．激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)從不同側(cè)面觀察同一事物思想。重點(diǎn)：簡(jiǎn)單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。難點(diǎn)：正確串根。過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入1．一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系。2．一元二次不等式的解法步驟。引言：今天我們來(lái)研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。二、新課⒈一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個(gè)因式必須異號(hào)，∴原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組：與的解集的并集，即{x|}∪}=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.書寫時(shí)可按下列格式：解二：∵(x-1)(x+4)<0或x∈φ或-4<x<1-4<x<1，∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.小結(jié)：一元二次不等式的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式相應(yīng)的方程的兩根為，則；①若當(dāng)時(shí)，得或；當(dāng)時(shí)，得.②若當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得.分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來(lái)即可求出不等式的解集.解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；②分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號(hào)（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-++x-1--+(x-1)(x+4)+-+③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；③列表如下：-213x+2-+++x-1--++x-3---+各因式積-+-+④由上表可知，原不等式的解集為：{x|-2<x<1或x>3}.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各項(xiàng)x的符號(hào)化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分……；②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對(duì)應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào)，下面是乘積的符號(hào)；④看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集.練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.{x|-1<x<0或2<x<3}.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解例2圖練習(xí)圖直接寫出解集：{x|-2<x<1或x>3}.{x|-1<x<0或2<x<3}在沒(méi)有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖星求解，稱之為串根法①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)②求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；③由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；②求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個(gè)根穿一次（自右上方開始），如下圖：④∴原不等式的解集為：{x|-1<x<2或2<x<3}.說(shuō)明：∵3是三重根，∴在C處穿三次，2是二重根，∴在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒(méi)穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處穿過(guò)數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處不穿過(guò)數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習(xí)：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：①將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；②求得相應(yīng)方程的根為：-2（二重），-1，3；③在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.說(shuō)明：注意不等式若帶“=”號(hào)，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外，線雖不穿-2點(diǎn)，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉.2．分式不等式的解法例4解不等式：.錯(cuò)解：去分母得∴原不等式的解集是.解法1：化為兩個(gè)不等式組來(lái)解：∵x∈φ或，∴原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來(lái)解：∵，∴原不等式的解集是說(shuō)明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是{x|-7<x3}.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子，它的正負(fù)不知，不等號(hào)方向無(wú)法確定，無(wú)從解起，若討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.例5解不等式：.解法1：化為不等式組來(lái)解較繁.解法2：∵，∴原不等式的解集為{x|-1<x1或2x<3}.練習(xí)：1.課本P21練習(xí)：3⑴⑵；2.解不等式.答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.練習(xí)：解不等式：.（答：{x|x0或1<x<2}）三、小結(jié)1．特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：①左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”，若有因式為二次的（不能再分解了）二次項(xiàng)系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；②注意邊界點(diǎn)（數(shù)軸上表示時(shí)是“0”還是“.”）2．分式不等式，切忌去分母，一律移項(xiàng)通分化為>0(或<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式.3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.4．注意必要的討論.5．一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.四、布置作業(yè)五、思考題：1．解關(guān)于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：①將二次項(xiàng)系數(shù)化“+”為：(x2-x-12)(x+a)>0，②相應(yīng)方程的根為：-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應(yīng)如何解？③討論：ⅰ當(dāng)-a>4，即a<-4時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|-3<x<4或x>-a}.ⅱ當(dāng)-3<-a<4，即-4<a<3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|-3<x<-a或x>4}.ⅲ當(dāng)-a<-3，即a>3時(shí)，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：∴原不等式的解集為{x|-a<x<-3