確定性時間序列分析方法

第二節(jié)確定性時間序列分析方法

確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第1頁!時間序列預測技術是通過對預測目標自身時間序列的處理來研究其變化趨勢。當剛接觸到某一個觀測序列時，會覺得它是雜亂無章，無規(guī)律可循的。其實不然，大量事實表明，一個時間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合：(1)長期趨勢變動。是指時間序列朝著一定的方向持續(xù)上升或下降，或停留在某一水平上的傾向，它反映了客觀事物的主要變化趨勢。(2)季節(jié)變動。指一年或更短的時間之內，由于受某種固定周期性因素(如自然、生產、消費等季節(jié)性因素)的影響而呈現出有規(guī)律的周期性波動。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第2頁!(3)循環(huán)變動。通常是指周期為一年以上，由非季節(jié)因素引起的漲落起伏波形相似的波動。(4)不規(guī)則變動。通常分為突然變動和隨機變動。所謂突然變動是指戰(zhàn)爭、自然災害或是其它社會因素等意外事件引起的變動。隨機變動是指由于大量的隨機因素產生的宏觀影響。根據中心極限定理，通常認為隨機變動近似服從正態(tài)分布。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第3頁!其中yt是觀測目標的觀測記錄，如果在預測時間范圍以內，無突然變動且隨機變動的方差較小，并且有理由認為過去和現在的歷史演變趨勢將繼續(xù)發(fā)展到未來時，可用一些經驗方法進行預測，具體方法如下：確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第4頁!它表明以最近N期序列值的平均值作為未來各期的預測結果。一般N取值范圍：5N200。當歷史序列的基本趨勢變化不大且序列中隨機變動成分較多時，N的取值應較大一些，否則N的取值應小一些。在存在確定季節(jié)變動周期的資料中，移動平均的項數應取周期長度。選擇最佳N值的一個有效方法是，比較若干模型的預測誤差。預測誤差最小者為好。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第5頁!2、時間回歸法確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第6頁!3、指數平滑指數平滑只能用于純粹時間序列的情況，而不能用于含有獨立變量時間序列中考察變量之間關系的研究。指數平滑的原理為：當利用過去觀測值的加權平均來預測未來觀測值時（這個過程稱為平滑），離得越近的觀測值要給以更多的權。而“指數”意味著：按照已有觀測值“陳舊”程度增加的方向，在其上所加的權數按指數速度遞減。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第7頁!自然，這種在簡單情況下導出的公式（如上面的公式）計算繁瑣，無法應對具有各種成分的復雜情況?？梢赃\用EViews軟件或SPSS統(tǒng)計分析軟件輕松實現指數平滑預測，從而達到快速便捷預測的目的。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第8頁!確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第9頁!時間序列的分解一、成分的分離從圖11.1可以看出，該銷售數據序列由三部分組成：指數向上的趨勢(trend)、周期性變化的季節(jié)成分(seasonalponent)和無法用趨勢和季節(jié)模式解釋的隨機干擾(disturbance)。一般的時間序列還可能有循環(huán)或波動成分(Cyclic,orfluctuations)。循環(huán)模式和有規(guī)律的季節(jié)模式不同，其周期長短不一定固定。比如經濟危機周期，金融危機周期等等。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第10頁!上述SPSS對時間序列做分解的結果自動儲存在原有數據文件中新增的幾個變量中，它們分別是：err_1：誤差(error)項，也即原序列的隨機擾動成分，記為{ERt}；sas_1：季節(jié)調整后的序列(seasonaladjustedseries)，記為{SAt}；saf_1：季節(jié)因素(seasonalfactor)，記為{SFt}；stc_1：去掉季節(jié)及隨機擾動后的趨勢及循環(huán)因素(trend-cycleseries)，記為{TCt}。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第11頁!圖11.3銷售數據的季節(jié)因素分離可以看出，這一銷售數據序列大致上是以一年(12個月)為周期的。↙確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第12頁!圖11.5分離季節(jié)和趨勢后的擾動序列可以看到，擾動項不再帶有明顯的周期或趨勢。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第13頁!我們不介紹上述指數平滑背后的數學，而直接來看它的

SPSS操作，該操作要分步來完成。選擇菜單中的“Analyze=>TimeSeries=>ExponentialSmoothing”選項，在彈出的窗口中把變量“sales”選入“Variables”空格。在該窗口的“Model”下選擇“Custom”，并點擊其下的“Custom”按鈕進入二級窗口(進行模型選擇)。在“TrendComponent”下選擇“Exponential”(因為本例中的趨勢近似一條指數曲線)，在“SeasonalComponent”下選擇“Additive”，點擊“Continue”返回一級窗口。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第14頁!圖11.6銷售數據的帶季節(jié)和趨勢的指數平滑我們看到，此時的估計效果比上一節(jié)的簡單指數平滑要好得多，當然其預測也更可信。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第15頁!4、博克斯—詹金斯法（Box-Jenkins）博克斯—詹金斯法，簡稱B-J法或ARMA模型法，是以美國統(tǒng)計學家GeogreE．P．Box和英國統(tǒng)計學家GwilymM．Jenkins的名字命名的一種時間序列預測方法。主要試圖解決以下兩個問題：一是分析時間序列的隨機性、平穩(wěn)性和季節(jié)性；二是在對時間序列分析的基礎上，選擇適當的模型進行預測。其模型可分為：(1)自回歸模型(簡稱AR模型)；(2)滑動平均模型(簡稱MA模型)；(3)自回歸滑動平均混合模型(簡稱ARMA模型)。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第16頁!②ARIMA模型介紹比指數平滑要更精細的模型是Box-Jenkins引入的ARIMA模型，或稱為整合自回歸移動平均模型(ARIMA為AutoregressiveIntegratedMovingAverage一些關鍵字母的縮寫)。該模型的基礎是自回歸和移動平均模型或ARMA模型(AutoregressiveandMovingAverage)。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第17頁!MA(q)移動平均模型ARMA模型的另一個特例為移動平均模型或MA(MovingAverage)模型。一個純粹的MA(q)模型意味著變量的一個觀測值是目前的和先前的q個隨機誤差的線性組合：由于右邊系數的和不為1（q甚至不一定是正數），因此叫做“移動平均”不如叫做“移動線性組合”更確切；雖然行家已經習慣于叫“平均”了，但初學者還是因此可能和初等平滑方法中的什么“三點平均”之類的術語混淆。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第18頁!但是要想ARMA(p,q)模型有意義則要求時間序列滿足：平穩(wěn)性(stationarity)和可逆性(invertibility)的條件，這意味著序列均值不隨著時間增加或減少，序列的方差不隨時間變化，另外序列本身相關的模式不改變等條件。一個實際的時間序列是否滿足這些條件是無法在數學上驗證的，這沒有關系，可以從下面要介紹的時間序列的自相關函數和偏相關函數圖中大體識別出來。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第19頁!ARIMA模型一般人們所關注的有趨勢、季節(jié)性或循環(huán)成分的時間序列都不是平穩(wěn)的。這時就需要對時間序列進行差分(difference)來消除使序列不平穩(wěn)的成分，使其變成平穩(wěn)的時間序列，并估計ARMA模型；估計之后再轉變該模型，使之適應于差分之前的序列（這個過程和差分相反），稱之為整合的(integrated)ARMA模型，即ARIMA模型。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第20頁!確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第21頁!確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第22頁!④預測流程博克斯和詹金斯運用預測流程圖把預測問題劃分為三個階段：見圖8(1)模型的識別(2)模型中參數的估計和模型的檢驗(3)預測應用在圖8中先假設預測模型的一般分類Box-Jenkins法使用的模型是ARMA模型體系。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第23頁!⑤ARMA模型的識別和估計要想擬合ARIMA模型，必須先把它利用差分變成ARMA(p,q)模型，并確定是否平穩(wěn)；然后確定參數p,q?，F在利用一個例子來說明如何識別一個AR(p)模型和參數p。由此MA(q)及ARMA(p,q)模型可用類似的方法來識別。根據ARMA(p,q)模型的定義，它的參數p,q與自相關函數（acf）及偏自相關函數（pacf）有關。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第24頁!例1：一個時間序列數據的AR模型識別。原始時間序列由圖9描述。圖9數據的時間序列圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第25頁!圖10左邊的acf條形圖是衰減的正弦型的波動，該種圖形稱為拖尾；而右邊的pacf條形圖是在個條(p=1)之后就很小，而且沒有什么模式，這種圖形稱為在p=1后截尾。這說明該數據滿足平穩(wěn)的AR(1)模型。注意，所謂拖尾圖形模式也可能不是正負相間的正弦形式，而是以指數率衰減。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第26頁!如果acf和pacf圖中均沒有截尾，而且至少有一個圖沒有顯示以指數形式或正弦形式衰減，那么說明該序列不是平穩(wěn)序列，必須進行差分變換來得到一個可以估計參數的滿足ARMA(p,q)模型的序列。如果一個時間序列的acf和pacf圖沒有任何模式，而且數值很小，那么這個序列可能就是一些互相獨立的無關的隨機變量。一個擬合良好的時間序列模型的殘差就應該有這樣的acf和pacf圖。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第27頁!圖11原始序列和由模型AR(1)得到的擬合值及對未來10個觀測值的預測圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第28頁!圖13序列擬合AR(1)后的殘差序列對擬合值的散點圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第29頁!該序列的動態(tài)折線圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第30頁!由以上圖可以看出，該時間序列無明顯的上升或下降趨勢，自相關分析圖也說明該時間序列具有穩(wěn)定性。其偏自相關系數序列呈現衰減正弦曲線狀，自相關系數只有兩個顯著不等于零，因此，可初步判定該時間序列適用于二階滑動平均模型MA(2)。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第31頁!例2中含有季節(jié)和趨勢成分。下面試圖對其進行ARIMA模型擬合。先對該序列做acf和pacf條形圖。其中acf圖（見圖14）顯然不是拖尾（不是以指數速率遞減），說明需要進行差分。關于參數的選擇，不要選得過大，每次擬合后要檢查殘差的acf和pacf圖，看是否為無關隨機序列。經過幾次對比之后，對于例2數據最后選中ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型來擬合。擬合結果和對2003年12個月的預測在圖15中。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第32頁!圖15例2的原始序列和由模型得到的擬合值及對未來12個月的預測圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第33頁!要注意，還有更為復雜的情況，即模型中含有某些獨立變量，這些獨立變量可能會和季節(jié)、趨勢等效應混雜起來不易分辯。這時，模型選擇會比較困難，也可能不同模型會有類似的效果。一個時間序列在各種相關因素影響下的模型選擇并不是一件簡單明了的事情。實際上沒有任何統(tǒng)計模型是絕對正確的，它們的區(qū)別在于，在某種意義上，一些模型的某些性質可能要優(yōu)于另外一些。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第34頁!第三，應用博克斯一詹金斯法進行預測時所依據的基本假設是：一個時間序列的未來發(fā)展模式與其過去的模式是基本一致的。對未來的短期預測，這一假設往往是可以滿足的，但對未來的長期預測，這一假設顯然難以符合實際。第四，由于現有的許多統(tǒng)計軟件包已克服了應用博克斯一詹金斯法的計算的復雜性，這樣在應用博克斯一詹金斯法進行預測時，應將注意力放在對所用時間序列資料的模型識別及對所建立的預測模型的實際意義的檢驗上。模型識別是整個建模階段最為重要的一步，而對所建立預測模型實際意義的檢驗則是預測應用階段中極為重要的一步。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第35頁!通常用Tt表示長期趨勢項，St表示季節(jié)變動趨勢項，Ct表示循環(huán)變動趨勢項，Rt表示隨機干擾項。常見的確定性時間序列模型有以下幾種類型：

確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第36頁!1、移動平均法確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第37頁!當預測目標的基本趨勢與某一線性模型相吻合時，常用二次移動平均法，但序列同時存在線性趨勢與周期波動時，可用趨勢移動平均法建立預測模型：確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第38頁!確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第39頁!以簡單的沒有趨勢和沒有季節(jié)成分的純粹時間序列為例，指數平滑在數學上實際是一個幾何級數。這時，如果用Yt表示在t時間的平滑后數據（或預測值），而用X1,X2,…,Xt表示原始的時間序列。那么指數平滑模型為 或者，等價地，這里的系數為幾何級數。因此稱之為“幾何平滑”比使人不解的“指數平滑”似乎更有道理。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第40頁!指數平滑的SPSS操作——選擇菜單中的“Analyze=>TimeSeries=>ExponentialSmoothing”選項，在彈出的窗口中把變量“sales”選入“Variables”空格?！c擊右下方“Parameter”按鈕，在新彈出窗口改變權重指數a

的取值；點擊“Continue”返回?！c擊“Save”按鈕，在新窗口選擇“Predictthrough”，并在下方“Year”后輸入“2003”，表示將預測2003年的銷售額；點擊“Continue”返回一級窗口，點“OK”即可。指數平滑的結果儲存在原數據文件后新增的兩個變量中，它們分別是指數平滑數據Yt以及Yt與Xt之間的誤差。圖1即為Xt與Yt疊合在一起的共同的時間序列圖。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第41頁!從圖1可以看出以下幾點：

指數平滑曲線比原有觀測值曲線來得平整光滑些，其波動沒有原來那么強了，這也是平滑一詞的來意。不考慮最初幾個指數平滑值，當t<N時，指數平滑數據Yt與原有觀測值Xt之間的誤差較小；可見用指數平滑作為原有觀測值的一種估計效果還是較好的。但是當t>N時，指數平滑曲線很快得呈一條直線狀，沒有體現出原有觀測值的上升趨勢和周期性規(guī)律?？梢娪眠@一指數平滑作為原銷售數據的預測效果不理想。上述第三點的原因是我們在做指數平滑時沒有考慮原數據的任何趨勢或周期規(guī)律，我們在下一部分對此做彌補。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第42頁!一般地來講，一個時間序列可能有趨勢、季節(jié)、循環(huán)這三個成分中的某些或全部再加上隨機成分組成。時間序列的分解就是要把一個時間序列中可能包含的各種成分分解開來，以便于有針對性的進一步分析討論。就例1中的時間序列的分解，通過SPSS軟件，可以很輕而易舉地得到該序列的趨勢、季節(jié)和誤差成分。SPSS操作——選擇菜單中的“Analyze=>TimeSeries=>SeasonalDeposition”選項，把變量“sales”選入“Variables”空格，再在“Model”下選擇“Additive”，點擊“OK”即可得到分解結果。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第43頁!這些分解出來的序列或成分與原有時間序列之間有如下的簡單和差關系：Xt=

SFt+SAt,(11.3)Xt=SFt+

TCt+

ERt.(11.4)確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第44頁!圖11.4銷售數據的趨勢與擾動分離可以看出，逐月的銷售額大致沿一個指數曲線呈增長趨勢。↘確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第45頁!二、帶季節(jié)與趨勢的指數平滑如果我們不僅僅滿足于分解現有的時間序列，而且想利用該分解對未來進行更好的預測，就可以建立帶季節(jié)成分和趨勢的指數平滑模型。作這樣的指數平滑，必須事先估計出季節(jié)成分和趨勢，其估計結果就是這兩條曲線的函數關系式(參數)，也即時間指標t的兩個確定的(非隨機的)函數。分別記季節(jié)因素和趨勢(及循環(huán))的估計為和，而剩余的擾動(自然也是估計)記為。帶季節(jié)和趨勢的指數平滑就是先計算擾動序列的指數平滑，然后再加上估計(預測)的季節(jié)和趨勢成分，作為最終的指數平滑數據。︿SFt︿TCt︿ERt確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第46頁!4.點擊“Parameters”來進行參數選擇和估計。在彈出的二級窗口中的“General”、“Trend”和“Seasonal”下方都選擇“GridSearch”，表示留給程序自己去搜索(估計)，其下的搜索范圍(“Start”和“Stop”)和搜索步長(“By”)可不作修改。這三個參數中的項，也即權重指數a，一般可作人為選擇。選好參數后，點擊“Continue”返回一級窗口。點擊“Save”按鈕作預測選擇后，此操作同上一節(jié)的簡單指數平滑。再在一級窗口點擊“OK”，即可得到所需要的結果了。我們來看看此時的指數平滑結果，見圖11.6。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第47頁!如果要對比較復雜的純粹時間序列進行細致的分析，指數平滑往往無法滿足要求。而若想對有獨立變量的時間序列進行預測，指數平滑更是無能為力。于是需要更加強有力的模型。這就是下面要介紹的Box-JenkinsARIMA模型。數學上，指數平滑僅僅是ARIMA模型的特例。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第48頁!①博克斯一詹金斯法依據的基本思想是：將預測對象隨時間推移而形成的數據序列視為一個隨機序列，即除去個別的因偶然原因引起的觀測值外，時間序列是一組依賴于時間t的隨機變量。這組隨機變量所具有的依存關系或自相關性表征了預測對象發(fā)展的延續(xù)性，而這種自相關性一旦被相應的數學模型描述出來，就可以通過時間序列的過去值及現在值預測其未來的值。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第49頁!AR(p)自回歸模型ARMA由兩個特殊模型發(fā)展而成，一個特例是自回歸模型或AR(Autoregressive)模型。假定時間序列用X1,X2,…,Xt表示；則一個純粹的AR(p)模型意味著變量的一個觀測值由其以前的p個觀測值的線性組合加上隨機誤差項at（該誤差為獨立無關的）而得：看上去象自己對自己回歸一樣，所以稱為自回歸模型，它牽涉到過去p個觀測值。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第50頁!ARMA(p,q)模型ARMA(p,q)模型是AR(p)模型和MA(q)模型的組合：顯然，ARMA(p,0)模型就是AR(p)模型，而ARMA(0,q)模型就是MA(q)模型。這個一般模型有p+q個參數要估計，看起來很繁瑣，但利用計算機軟件則是常規(guī)運算，并不復雜。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第51頁!③運用博克斯一詹金斯法的前提條件是：作為預測對象的時間序列是零均值的平穩(wěn)隨機序列。平穩(wěn)隨機序列的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。直觀地說，平穩(wěn)隨機序列的折線圖無明顯的上升或下降趨勢。但是，大量的社會經濟現象隨著時間的推移，總表現出某種上升或下降趨勢，構成非零均值的非平穩(wěn)時間序列。對此的解決方法是在應用ARMA模型前，對時間序列進行零均值化和差分平穩(wěn)化處理。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第52頁!差分可以是每一個觀測值減去其前面的一個觀測值，即如果時間序列有一個斜率不變的趨勢，經過這樣的差分之后，該趨勢就會被消除了。當然差分也可以是每一個觀測值減去其前面任意間隔的一個觀測值。比如時間序列存在周期為s的季節(jié)成分，那么相隔s的差分：就可以把這種以s為周期的季節(jié)成分消除。對于復雜情況，可能要進行多次差分，才能夠使得變換后的時間序列平穩(wěn)。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第53頁!例如：對某地1984年2月1日一8月18日每天中午的溫度值序列Xt，做一次差分確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第54頁!確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第55頁!確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第56頁!自相關函數描述觀測值與前面觀測值的相關系數；而偏自相關函數為在給定中間觀測值的條件下觀測值與前面某間隔的觀測值的相關系數。這里當然不打算討論這兩個概念的細節(jié)，引進這兩個概念主要是為了學習如何通過研究這兩個函數的acf和pacf圖來識別模型。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第57頁!該時間序列的acf和pacf圖如圖10所示：圖10例1數據的acf（左）圖（“拖尾”）和pacf圖（在p=1后“截尾”）。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第58頁!類似地，如果acf圖形是在第q=k個條后截尾，而pacf圖形為拖尾，則數據滿足MA(q)模型。如果兩個圖形都拖尾則可能滿足ARMA(p,q)模型。具體判別法總結在下面表中：確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第59頁!對于例1中的數據，根據圖10圖的形態(tài)，不用進行任何差分就可以直接用AR(1)模型擬合。利用SPSS軟件，選擇AR(1)模型，得到參數估計為；也就是說該AR(1)模型為圖11為原始序列和由模型得到的擬合值以及未來10個觀測值的預測圖，看來擬合得還不錯。再觀察剩下的殘差序列是否還有什么模式，可由殘差的acf和pacf條形圖來判斷。這兩個圖分別在圖12的左邊和右邊?？梢钥闯?，它們沒有什么模式，說明擬合比較成功。圖13為殘差對擬合值的散點圖，從中看不出任何模式。說明殘差序列是（滿足要求的）獨立和隨機的。確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第60頁!圖12數據擬合AR(1)的殘差序列的pacf和acf條形圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第61頁!MA模型的例子確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第62頁!EViews軟件給出的自相關分析圖確定性時間序列分析方法共68頁，您現在瀏覽的是第63頁!在對含有季節(jié)性、