聯(lián)立方程單方程估計(jì)

§6.5-6聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法

Single-EquationEstimationMethods一、狹義的工具變量法（IV）二、間接最小二乘法(ILS)三、二階段最小二乘法(2SLS)四、三種方法的等價(jià)性證明五、簡(jiǎn)單宏觀經(jīng)濟(jì)模型實(shí)例演示六、主分量法的應(yīng)用七、其它有限信息估計(jì)方法簡(jiǎn)介八、k級(jí)估計(jì)式聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的估計(jì)方法分為兩大類：?jiǎn)畏匠坦烙?jì)方法與系統(tǒng)估計(jì)方法。所謂單方程估計(jì)方法，指每次只估計(jì)模型系統(tǒng)中的一個(gè)方程，依次逐個(gè)估計(jì)。所謂系統(tǒng)估計(jì)方法，指同時(shí)對(duì)全部方程進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)得到所有方程的參數(shù)估計(jì)量。聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法不同于單方程模型的估計(jì)方法。

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!一、狹義的工具變量法

（IV，InstrumentalVariables）聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!⒈方法思路“狹義的工具變量法”與“廣義的工具變量法”解決結(jié)構(gòu)方程中與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的內(nèi)生解釋變量問題。方法原理與單方程模型的IV方法相同。模型系統(tǒng)中提供了可供選擇的工具變量，使得IV方法的應(yīng)用成為可能。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!⒊IV參數(shù)估計(jì)量

方程的矩陣表示為選擇方程中沒有包含的先決變量X0*作為包含的內(nèi)生解釋變量Y0的工具變量，得到參數(shù)估計(jì)量為：聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!二、間接最小二乘法

(ILS,IndirectLeastSquares)聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!⒉一般間接最小二乘法的估計(jì)過程

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!用OLS估計(jì)簡(jiǎn)化式模型，得到簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)量，代入該參數(shù)關(guān)系體系，先由第2組方程計(jì)算得到內(nèi)生解釋變量的參數(shù)，然后再代入第1組方程計(jì)算得到先決解釋變量的參數(shù)。于是得到了結(jié)構(gòu)方程的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量。

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!三、二階段最小二乘法

(2SLS,TwoStageLeastSquares)聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!⒉2SLS的方法步驟階段：對(duì)內(nèi)生解釋變量的簡(jiǎn)化式方程使用OLS。得到：用估計(jì)量代替結(jié)構(gòu)方程中的內(nèi)生解釋變量，得到新的模型：聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!⒊二階段最小二乘法也是一種工具變量方法

如果用Y0的估計(jì)量作為工具變量，按照工具變量方法的估計(jì)過程，應(yīng)該得到如下的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量：

可以嚴(yán)格證明兩組參數(shù)估計(jì)量是完全等價(jià)的，所以可以把2SLS也看成為一種工具變量方法。

證明過程見《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)—方法與應(yīng)用》（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第130—131頁。

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!⒈三種單方程估計(jì)方法得到的參數(shù)估計(jì)量

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!⒉2SLS與ILS估計(jì)量的等價(jià)性在恰好識(shí)別情況下ILS的工具變量是全體先決變量。2SLS的每個(gè)工具變量都是全體先決變量的線性組合。2SLS的正規(guī)方程組相當(dāng)于ILS的正規(guī)方程組經(jīng)過一系列的初等變換的結(jié)果。線性代數(shù)方程組經(jīng)過初等變換不影響方程組的解。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!⒈模型消費(fèi)方程是恰好識(shí)別的；投資方程是過度識(shí)別的；模型是可以識(shí)別的。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!⒊用狹義的工具變量法估計(jì)消費(fèi)方程

用Gt作為Yt的工具變量聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!⒋用間接最小二乘法估計(jì)消費(fèi)方程聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!Y簡(jiǎn)化式模型估計(jì)結(jié)果聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!第2階段估計(jì)結(jié)果聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!2SLS第2階段估計(jì)結(jié)果聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!GMM估計(jì)結(jié)果聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!⒈方法的提出主分量方法本身并不是聯(lián)立方程模型的估計(jì)方法，而是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估計(jì)過程之中。數(shù)學(xué)上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于1960年提出將它用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的估計(jì)。2SLS是一種普遍適用的聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法，但是當(dāng)它在實(shí)際模型估計(jì)中被應(yīng)用時(shí)，立刻就會(huì)遇到不可逾越的困難。其階段—用OLS估計(jì)簡(jiǎn)化式方程，是難以實(shí)現(xiàn)的。為什么？聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!⒊主分量的選取用兩個(gè)主分量表示兩個(gè)原變量

可以證明，a1、a2分別是X’X的2個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!用f個(gè)主分量表示k個(gè)原變量

選擇a1、a2、…、af分別是X’X的f個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!⒋主分量法在ILS中的應(yīng)用對(duì)于2SLS，直接利用主分量完成階段的估計(jì)，得到內(nèi)生解釋變量的估計(jì)量。對(duì)于ILS，必須求得到簡(jiǎn)化式參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算結(jié)構(gòu)式參數(shù)。首先估計(jì)Y=ZΔ+Ε，然后將Z=XA代入，得到Y(jié)=XΠ中Π的估計(jì)量。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!⒈有限信息最大或然法(LIML，LimitedInformationMaximumLikelihood

)

以最大或然為準(zhǔn)則、通過對(duì)簡(jiǎn)化式模型進(jìn)行最大或然估計(jì)，以得到結(jié)構(gòu)方程參數(shù)估計(jì)量的聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法。由Anderson和Rubin于1949年提出，早于兩階段最小二乘法。適用于恰好識(shí)別和過度識(shí)別結(jié)構(gòu)方程的估計(jì)。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!⒉有限信息最小方差比方法(LVR，LeastVariableRatio

)

估計(jì)某一個(gè)結(jié)構(gòu)方程參數(shù)時(shí)，仍然只利用關(guān)于該方程的信息，沒有利用方程系統(tǒng)的信息，所以是一種有限信息估計(jì)方法。參見教科書。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!⒈k級(jí)估計(jì)式

本身不是一種估計(jì)方法，而是對(duì)上述幾種方法得到的估計(jì)式的概括。對(duì)于聯(lián)立方程模型中的第1個(gè)結(jié)構(gòu)方程：k級(jí)估計(jì)式為：聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!⒉k級(jí)估計(jì)式的性質(zhì)

假設(shè)工具變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)，即且先決變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)，即那么，容易證明k級(jí)估計(jì)式是一致性估計(jì)式。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!⒉工具變量的選取

對(duì)于聯(lián)立方程模型的每一個(gè)結(jié)構(gòu)方程，例如第1個(gè)方程，可以寫成如下形式：

內(nèi)生解釋變量（g1-1）個(gè)，先決解釋變量k1個(gè)。如果方程是恰好識(shí)別的，有（g1-1）=（k-k1）?？梢赃x擇（k-k1）個(gè)方程沒有包含的先決變量作為（g1-1）個(gè)內(nèi)生解釋變量的工具變量。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!⒋討論該估計(jì)量與OLS估計(jì)量的區(qū)別是什么？該估計(jì)量具有什么統(tǒng)計(jì)特性？（k-k1）工具變量與（g1-1）個(gè)內(nèi)生解釋變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否影響參數(shù)估計(jì)結(jié)果？為什么？IV是否利用了模型系統(tǒng)中方程之間相關(guān)性信息？對(duì)于過度識(shí)別的方程，可否應(yīng)用IV？為什么？對(duì)于過度識(shí)別的方程，可否應(yīng)用GMM？為什么？聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!⒈方法思路聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程中包含有內(nèi)生解釋變量，不能直接采用OLS估計(jì)其參數(shù)。但是對(duì)于簡(jiǎn)化式方程，可以采用OLS直接估計(jì)其參數(shù)。間接最小二乘法：先對(duì)關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡(jiǎn)化式方程采用OLS估計(jì)簡(jiǎn)化式參數(shù)，得到簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計(jì)量。間接最小二乘法只適用于恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計(jì)，因?yàn)橹挥星『米R(shí)別的結(jié)構(gòu)方程，才能從參數(shù)關(guān)系體系中得到唯一一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)量。

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!⒊間接最小二乘法也是一種工具變量方法

ILS等價(jià)于一種工具變量方法：依次選擇X作為（Y0,X0）的工具變量。數(shù)學(xué)證明見《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)—方法與應(yīng)用》（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第126—128頁。估計(jì)結(jié)果為：聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!⒈2SLS是應(yīng)用最多的單方程估計(jì)方法IV和ILS一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程的估計(jì)。在實(shí)際的聯(lián)立方程模型中，恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程很少出現(xiàn)，一般情況下結(jié)構(gòu)方程都是過度識(shí)別的。為什么？2SLS是一種既適用于恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程的單方程估計(jì)方法。

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!第二階段：對(duì)該模型應(yīng)用OLS估計(jì)，得到的參數(shù)估計(jì)量即為原結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的二階段最小二乘估計(jì)量。

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!四、三種方法的等價(jià)性證明聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!⒉IV與ILS估計(jì)量的等價(jià)性在恰好識(shí)別情況下工具變量集合相同，只是次序不同。次序不同不影響正規(guī)方程組的解。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!五、簡(jiǎn)單宏觀經(jīng)濟(jì)模型實(shí)例演示聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!⒉數(shù)據(jù)聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!估計(jì)結(jié)果顯示聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!C簡(jiǎn)化式模型估計(jì)結(jié)果聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!⒌用兩階段最小二乘法估計(jì)消費(fèi)方程

比較上述消費(fèi)方程的3種估計(jì)結(jié)果，證明這3種方法對(duì)于恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程是等價(jià)的。估計(jì)量的差別只是很小的計(jì)算誤差。代替原消費(fèi)方程中的Yt，應(yīng)用OLS估計(jì)聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!⒍用兩階段最小二乘法估計(jì)投資方程

投資方程是過度識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程，只能用2SLS估計(jì)。估計(jì)過程與上述2SLS估計(jì)消費(fèi)方程的過程相同。得到投資方程的參數(shù)估計(jì)量為：至此，完成了該模型系統(tǒng)的估計(jì)。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!⒎用GMM估計(jì)投資方程投資方程是過度識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程，也可以用GMM估計(jì)。選擇的工具變量為c、G、CC1,得到投資方程的參數(shù)估計(jì)量為：與2SLS結(jié)果比較，結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量變化不大。殘差平方和由24223582變?yōu)?832486，顯著減少。為什么？利用了更多的信息。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!六、主分量法的應(yīng)用聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!⒉方法的原理所謂主分量方法，就是用較少數(shù)目的新變量重新表示原模型中較多數(shù)目的先決變量的方法。例如，如果能夠找到5個(gè)左右的新變量表示宏觀經(jīng)濟(jì)模型中的30個(gè)先決變量，那么只需要15組以上的樣本，就可以進(jìn)行2SLS階段的估計(jì)。對(duì)充當(dāng)主分量的變量是有嚴(yán)格要求：一是它必須是先決變量的線性組合，二是它們之間必須是正交的。前一條是保證主分量對(duì)先決變量的代表性；后一條是保證主分量之間不出現(xiàn)共線性。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!用k個(gè)主分量表示k個(gè)原變量

同樣可以證明，a1、a2、…、ak分別是X’X的k個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!在2SLS中主分量的選取對(duì)于簡(jiǎn)化式方程

聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!七、其它有限信息估計(jì)方法簡(jiǎn)介

(LimitedInformationEstimationMethods)聯(lián)立方程單方程估計(jì)共53頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!在該方法中，以下兩個(gè)概念是重要的：一是這里的“有限信息”指的是每次估計(jì)只考慮一個(gè)結(jié)構(gòu)方程的信息，而沒有考慮模型系統(tǒng)中其它結(jié)構(gòu)方程的信息；二是這里的“最大或然法”是針對(duì)結(jié)構(gòu)方程中包含的內(nèi)生變量的簡(jiǎn)化式模型的，即應(yīng)用最大或然法求得的是簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)量，而不是結(jié)構(gòu)式參數(shù)估計(jì)量。具體參見教科書。聯(lián)立方程單方程