八年級因式分解難題(附答案及解析)

八年級因式分解難題(附答案及解析)八年級因式分解難題(附答案及解析)八年級因式分解難題(附答案及解析)資料僅供參考文件編號：2022年4月八年級因式分解難題(附答案及解析)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：2017年05月21日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2一．填空題（共10小題）1．已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為．2．兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項分解成2（x﹣2）（x﹣4），請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來：．3．若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解計算：2022+202×196+982=．6．△ABC三邊a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是．7．計算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定義運算a★b=（1﹣a）b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，則a=1或b=0．其中正確結(jié)論的序號是（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）．9．如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多項式x2﹣6x﹣b可化為（x+a）2﹣1，則b的值是．二．解答題（共20小題）11．已知n為整數(shù)，試說明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3問題：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形？

15．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù)．（1）36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎為什么

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎為什么

（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為．16．如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片．（1）如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形（在圖2虛線框中畫出圖形），并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積．（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形．17．（1）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2．①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；②由此，你可以得出的一個等式為：．（2）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示．①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；②請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖．18．已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）計算s2；（2）請閱讀下面計算s3的過程：因為a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你讀懂了嗎？請你先填空完成（2）中s3的計算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計算s4．（3）試寫出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計算s6．19．（1）利用因式分解簡算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，則a﹣b+c=．21．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：（1）若二次三項式x2﹣5x+6可分解為（x﹣2）（x+a），則a=；（2）若二次三項式2x2+bx﹣5可分解為（2x﹣1）（x+5），則b=；（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+5x﹣k有一個因式是（2x﹣3），求另一個因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），試確定三角形的形狀．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．（1）圖②中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系是．（3）若x+y=7，xy=10，則（x﹣y）2=．（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．如圖③，它表示了．（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c滿足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個長方體的體積．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）．30．對于多項式x3﹣5x2+x+10，如果我們把x=2代入此多項式，發(fā)現(xiàn)多項式x3﹣5x2+x+10=0，這時可以斷定多項式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多項式能使多項式的值為0，則多項式含有因式（x﹣a）），于是我們可以把多項式寫成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．

2017年05月21日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2016秋?望謨縣期末）已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為160．【分析】首先提取公因式xy，進(jìn)而將已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案為：160．【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．2．（2016秋?新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式，一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項分解成2（x﹣2）（x﹣4），請你將原多項式因式分解正確的結(jié)果寫出來：2（x﹣3）2．【分析】根據(jù)多項式的乘法將2（x﹣1）（x﹣9）展開得到二次項、常數(shù)項；將2（x﹣2）（x﹣4）展開得到二次項、一次項．從而得到原多項式，再對該多項式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多項式為2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【點評】根據(jù)錯誤解法得到原多項式是解答本題的關(guān)鍵．二次三項式分解因式，看錯了一次項系數(shù)，但二次項、常數(shù)項正確；看錯了常數(shù)項，但二次項、一次項正確．3．（2015春?昌邑市期末）若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab計算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案為：±4．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個變形公式是解題關(guān)鍵．4．（2015秋?利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），進(jìn)而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案為：（2x﹣3）（2x+1）．【點評】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項系數(shù)是解題關(guān)鍵．5．（2015春?東陽市期末）利用因式分解計算：2022+202×196+982=90000．【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【點評】運用公式法可以簡便計算一些式子的值．6．（2015秋?浮梁縣校級期末）△ABC三邊a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則△ABC的形狀是等邊三角形．【分析】分析題目所給的式子，將等號兩邊均乘以2，再化簡得（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即選出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號兩邊均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡式子得a=b=c，由三邊相等判定△ABC是等邊三角形．7．（2015秋?鄂托克旗校級期末）計算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=5151．【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），進(jìn)一步運用高斯求和公式即可解決．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案為：5151．【點評】此題考查因式分解的實際運用，分組分解，利用平方差公式解決問題．8．（2015秋?樂至縣期末）定義運算a★b=（1﹣a）b，下面給出了關(guān)于這種運算的四個結(jié)論：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，則a=1或b=0．其中正確結(jié)論的序號是③④（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）．【分析】根據(jù)題中的新定義計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本選項錯誤；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本選項錯誤；③若a+b=0，則（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本選項正確；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，則a=1或b=0，本選項正確，其中正確的有③④．故答案為③④．【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．9．（2015春?張掖校級期末）如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0．【分析】4項為一組，分成2組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【點評】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題．10．（2015春?昆山市期末）若多項式x2﹣6x﹣b可化為（x+a）2﹣1，則b的值是﹣8．【分析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案為：﹣8．【點評】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵．二．解答題（共20小題）11．已知n為整數(shù)，試說明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展開（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有沒有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【點評】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋?農(nóng)安縣校級期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y(tǒng)，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．13．（2015秋?成都校級期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．14．（2015春?甘肅校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3問題：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，請問△ABC是怎樣形狀的三角形？

【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=﹣2，代入求得數(shù)值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3，得出三角形的形狀即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等邊三角形．【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題．15．（2015秋?太和縣期末）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20這三個數(shù)都是和諧數(shù)．（1）36和2016這兩個數(shù)是和諧數(shù)嗎為什么

（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎為什么

（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為2500．【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032說明36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”；（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2（n為自然數(shù)），則“和諧數(shù)”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展開得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為：22﹣02=4，最大的為：502﹣482=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們的和．【解答】解：（1）36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”．理由如下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；（2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（n為自然數(shù)），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計算簡化．16．（2015春?興化市校級期末）如圖1，有若干張邊長為a的小正方形①、長為b寬為a的長方形②以及邊長為b的大正方形③的紙片．（1）如果現(xiàn)有小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，請你將它們拼成一個大長方形（在圖2虛線框中畫出圖形），并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①與大正方形③的面積之和為169，長方形②的周長為34，求長方形②的面積．（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長不同的正方形．【分析】（1）根據(jù)小正方形①1張，大正方形③2張，長方形②3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長方形②的周長為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形①與大正方形③的面積之和為a2+b2=169，將a+b=17兩邊同時平方，可求得ab的值，從而可求得長方形②的面積；（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因為現(xiàn)有三種紙片各8張，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）從而可知n≤2，m≤2，從而可得出答案．【解答】解：（1）如圖：拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵長方形②的周長為34，∴a+b=17．∵小正方形①與大正方形③的面積之和為169，∴a2+b2=169．將a+b=17兩邊同時平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴長方形②的面積為60．（3）設(shè)正方形的邊長為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）∴正方形的面積=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵現(xiàn)有三種紙片各8張，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m為正整數(shù)）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四種情況；①n=1，m=1，正方形的邊長為a+b；②n=1，m=2，正方形的邊長為a+2b；③n=2，m=1，正方形的邊長為2a+b；④n=2，m=2，正方形的邊長為2a+2b．【點評】此題考查因式分解的運用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用完全平方公式．17．（2014秋?萊城區(qū)校級期中）（1）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個新的長方形，如圖2．①用兩種不同的方法，計算圖2中長方形的面積；②由此，你可以得出的一個等式為：a2+2a+1=（a+1）2．（2）有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖3所示．①請你用拼圖等方法推出一個完全平方公式，畫出你的拼圖；②請你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖．【分析】（1）要能根據(jù)所給拼圖運用不同的計算面積的方法，來推導(dǎo)公式；（2）要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖．【解答】解：（1）①長方形的面積=a2+2a+1；長方形的面積=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如圖，可推導(dǎo)出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【點評】本題考查運用正方形或長方形的面積計算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運用圖形的面積計算的不同方法得到多項式的因式分解．18．（2013秋?海淀區(qū)校級期末）已知a+b=1，ab=﹣1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn（1）計算s2；（2）請閱讀下面計算s3的過程：因為a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=4你讀懂了嗎？請你先填空完成（2）中s3的計算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計算s4．（3）試寫出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡，然后代入a+b，ab的值，即可推出結(jié)論；（3）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；（3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【點評】本題主要考查整式的混合運算、完全平方公式的運用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析歸納出規(guī)律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．19．（2013春?重慶校級期末）（1）利用因式分解簡算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解計算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【點評】此題考查因式分解的實際運用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．20．（2013春?惠山區(qū)校級期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大邊c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，則a﹣b+c=7．【分析】（1）將多項式第三項分項后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x﹣y的值；（2）將已知等式25分為9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形兩邊之和＞第三邊∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整數(shù)，∴c最大為6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，則a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案為：7．【點評】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．21．（2012秋?溫嶺市校級期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），則x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一個因式為（x﹣7），m的值為﹣21．問題：（1）若二次三項式x2﹣5x+6可分解為（x﹣2）（x+a），則a=﹣3；（2）若二次三項式2x2+bx﹣5可分解為（2x﹣1）（x+5），則b=9；（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+5x﹣k有一個因式是（2x﹣3），求另一個因式以及k的值．【分析】（1）將（x﹣2）（x+a）展開，根據(jù)所給出的二次三項式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展開，可得出一次項的系數(shù)，繼而即可求出b的值；（3）設(shè)另一個因式為（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，繼而求出n和k的值及另一個因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）設(shè)另一個因式為（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，則2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一個因式為（x+4），k的值為12．故答案為：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個因式是x+4，k=12（6分）．【點評】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．22．（2012春?郯城縣期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解；（4）把（x﹣y）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點在（3），提取公因式﹣y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解．23．（2012春?碑林區(qū)校級期末）已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），試確定三角形的形狀．【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC為等邊三角形．【點評】本題考查了配方法的運用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷．關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．24．（2011秋?北辰區(qū)校級期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，提取公因式后利用公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．25．（2011秋?蘇州期末）圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．（1）圖②中的陰影部分的面積為（m﹣n）2；（2）觀察圖②請你寫出三個代數(shù)式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之間的等量關(guān)系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．（3）若x+y=7，xy=10，則（x﹣y）2=9．（4）實際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示．如圖③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面積公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別．（3）此題可參照第（2）題．（4）可利用各部分面積和=長方形面積列出恒等式．（5）可參照第（4）題畫圖．【解答】解：（1）陰影部分的邊長為（m﹣n），陰影部分的面積為（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進(jìn)行變形．26．（2009秋?海淀區(qū)期末）已知a、b、c滿足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；將其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此時可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值運算即可．【解答】解：因為a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，則b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法．27．（2010春?北京期末）已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個長方體的體積．【分析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222．就可求出長方體體積abc了．【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解為3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（