教輔同步課時(shí)檢測等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

課時(shí)跟蹤檢測（十）等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中項(xiàng)是()A．1 B．－1C．±1 D．2解析：選C設(shè)2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中項(xiàng)為G，則G2＝(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝1，∴G＝±1.2．在首項(xiàng)a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列{an}中，當(dāng)an＝64時(shí)，項(xiàng)數(shù)n等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：選D因?yàn)閍n＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B∵an＝(n＋8)d，又∵aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.4．等比數(shù)列{an}的公比為q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，則m等于()A．9 B．10C．11 D．12解析：選C∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq\o\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則anA．(－2)n－1 B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：選A設(shè)公比為q，則a1q4＝－8a1q又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，從而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.6．等比數(shù)列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，則an＝________.解析：∵eq\f(a3,a1)＝q2，∴q2＝eq\f(－8,－2)＝4，即q＝±2.當(dāng)q＝－2時(shí)，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；當(dāng)q＝2時(shí)，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則a4＝________.解析：設(shè)公比為q，則a1q2＝3，a1q9＝384，所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.答案：68．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2，則此時(shí)的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則原來的三個(gè)數(shù)的和等于________．解析：依題意設(shè)原來的三個(gè)數(shù)依次為eq\f(a,q)，a，aq.∵eq\f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2后的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq\f(1,2)，∴原來的三個(gè)數(shù)為4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原來的三個(gè)數(shù)的和等于28.答案：289．在四個(gè)正數(shù)中，前三個(gè)成等差數(shù)列，和為48，后三個(gè)成等比數(shù)列，積為8000，求這四個(gè)數(shù)．解：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.設(shè)后三個(gè)數(shù)分別為eq\f(b,q)，b，bq，則有eq\f(b,q)·b·bq＝b3＝8000，即b＝20，∴這四個(gè)數(shù)分別為m,16,20，n，∴m＝2×16－20＝12，n＝eq\f(202,16)＝25.即所求的四個(gè)數(shù)分別為12,16,20,25.10．已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中項(xiàng)，求an.解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.依題意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴a2＋a3＋a4＝3a3∴a3＝8，a2＋a4＝20，∴eq\f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)(舍去)．又a1＝eq\f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)的值為()\f(1,4) \f(1,2)\f(1,8) D．1解析：選A原式＝eq\f(2a1＋a2,q22a1＋a2)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,4).2．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a5＝3，則a3＝()A．1 B．3C．±1 D．±3解析：選A由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝eq\f(1,3)×3＝1.3．設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為3的等比數(shù)列，則a6等于()A． B．608C．607 D．159解析：選C∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝eq\f(5×243－1,2)＝607.4．如圖給出了一個(gè)“三角形數(shù)陣”．已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,4)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…記第i行第j列的數(shù)為aij(i，j∈N*)，則a53的值為()\f(1,16) \f(1,8)\f(5,16) \f(5,4)解析：選C第一列構(gòu)成首項(xiàng)為eq\f(1,4)，公差為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，所以a51＝eq\f(1,4)＋(5－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).又因?yàn)閺牡谌衅鹈恳恍袛?shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構(gòu)成首項(xiàng)為eq\f(5,4)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以a53＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,16).5．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4aeq\o\al(2,7)，則a3＝________.解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知條件得aeq\o\al(2,5)＝4·aeq\o\al(2,5)q4.∴q4＝eq\f(1,4)，q2＝eq\f(1,2)，∴a3＝a1q2＝2×eq\f(1,2)＝1.答案：16．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項(xiàng)公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，eq\f(an,an－1)＝－1(n≥2)．故{an}是公比為－1的等比數(shù)列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1答案：an＝3·(－1)n－17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2－an，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．證明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(7,3)，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)證明數(shù)列{an－2n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×eq\f(7,3)－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)證明：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝