2023屆安徽省六安第一中學高三上學期第三次月考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆安徽省六安第一中學高三上學期第三次月考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得集合，結(jié)合集合并集的概念與運算，即可求解.【詳解】由不等式，解得，所以，又由集合，所以.故選：C.2．設(shè)，則的虛部為（

）A．i B．2i C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則化簡，結(jié)合復數(shù)的相關(guān)概念判斷.【詳解】∵，故的虛部為2.故選：D.3．設(shè)數(shù)列滿足且，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由題意首先確定數(shù)列為周期數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列的周期即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，，，據(jù)此可得數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，則.故選：D4．已知向量，，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量平行公式結(jié)合三角函數(shù)知識得到或，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】，，且，，則，即，或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解，【詳解】設(shè)為公比為的等比數(shù)列，則，解得，則，故選：A6．已知為等差數(shù)列，為的前項和.若，，則當取最大值時，的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的，且，由此可以得到，結(jié)合條件結(jié)論即可得到.【詳解】在等差數(shù)列中，因為，所以，又，所以，所以，所以有該等差數(shù)列首項，公差，所以.故選:D.7．如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由題意設(shè)，則可得，再結(jié)合可求出，再表示出，再結(jié)合已知條件可求得的值.【詳解】由題意設(shè)，因為，所以，所以，因為，所以，解得，所以，因為，，，，所以,故選：C.8．在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，，，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.【詳解】延長交于，如下圖所示：為的重心，為中點且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，為銳角；設(shè)為鈍角，則，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠由兩角互補得到余弦值互為相反數(shù)，由余弦定理得到，確定為銳角，從而得到三邊之間的不等關(guān)系，求得的范圍.二、多選題9．若復數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若是純虛數(shù)，那么D．若，在復平面內(nèi)對應的向量分別為，（為坐標原點），則【答案】BC【分析】由虛數(shù)不能比較大小可判斷A，由復數(shù)模的計算可判斷B，由純虛數(shù)的定義可判斷C，由向量的運算可判斷D.【詳解】對于A，虛數(shù)不能比較大小，故A錯誤；對于B，，，，，故有，B正確；對于C，，若是純虛數(shù)，則有，即，C正確；對于D，，，則，，所以，所以，D錯誤.故選：BC10．在中，角，，的對邊分別是，，.下面四個結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．，，則的外接圓半徑是4C．若，則 D．若，，，則有兩解【答案】AC【分析】由正弦定理可判斷ABC；余弦定理可判斷D.【詳解】對于A，若，則，由正弦定理得，即，故正確；對于B，，，由正弦定理可得，則的外接圓半徑是2，故錯誤；對于C，若，由正弦定理得，，因為，所以，故正確；

對于D，若，，，則由余弦定理可得，即，，解得，因為，所以有一解，即有一解，故錯誤.故選：AC.11．正方形ABCD的邊長為4，E是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，，則（

）A．最大值為1 B．最大值為2C．最大值是8 D．最大值是【答案】ACD【分析】如圖，以線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)，,又，利用向量的坐標運算，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可.【詳解】如圖，以線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)，又，則，，即，解得，因為，則，，其中，為銳角，當，即時，取最大值，故A正確，B錯誤；，C正確；，其中，為銳角當，即時，取最大值，D正確故選：ACD.12．已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)遞推公式，求得，再對每個選項進行逐一分析，即可選擇.【詳解】因為，故可得，，對A：當時，，故可得，故A正確；對B：因為，則對也成立，又當，時，，則，故B正確；對C：令，則，故在單調(diào)遞減，則，則當時，，；則當，時，，即；則，即，又，，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的綜合知識，涉及逐差法的應用，以及導數(shù)的應用，解決問題的關(guān)鍵是熟練使用逐差法，以及能夠結(jié)合導數(shù)證明不等式，屬綜合中檔題.三、填空題13．已知向量，滿足，，與的夾角為，，則_______.【答案】4【分析】利用向量垂直以及數(shù)量積的運算法則，可得，在結(jié)合題目所給的模，代入即可求得.【詳解】，即，又故答案為：414．如圖，某中學校園中央有一座鐘樓，某學生為了測量鐘樓高AB，該學生先在鐘樓的正西方點C處測得鐘樓頂部的仰角為45°，然后從點C處沿南偏東30°方向前進20m到達點D處，在D處測得鐘樓頂部的仰角為30°，則鐘樓AB的高度是___________m.【答案】【分析】利用余弦定理即可求得.【詳解】由已知設(shè)如圖在中：，所以在中：，所以在中，易得由余弦定理可得故解得或（舍）故答案為：15．記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知，則___________.【答案】【分析】由題意可得，從而得到是等差數(shù)列，進一步得，再求出，利用求得＝即可求出答案.【詳解】解：因為，所以，，所以，又因為，當時，得，所以，當時，，即，所以是等差數(shù)列，首項為，公差，所以，所以，滿足，故，即，所以，兩式相除得，當時也成立，所以，所以，所以.故答案為：.16．中，，，是外接圓的圓心，則的最大值為___________.【答案】6【分析】首先根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)求出外接圓半徑長度與，然后將向量，，用向量，，線性表示.再根據(jù)數(shù)量積運算得，最后根據(jù)的取值范圍求得的最大值即可【詳解】中，，是外接圓圓心，如圖所示：則，又因為，所以，即外接圓的半徑.，，即.故得，因為、不重合，所以向量與的夾角范圍為，所以，所以，即為的中點時，取得最大值為.故答案為：四、解答題17．已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值以及對應的的值.【答案】(1)(2)時，，時，.【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標運算以及三角函數(shù)輔助角公式，可得，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性，即可求得單調(diào)增區(qū)間.（2）利用換元法，再結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）令，∴函數(shù)的單增區(qū)間為.（2）由（1）可知，，令，當即時，當即時，.18．已知數(shù)列的首項，，.(1)證明：為等比數(shù)列；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題知，再根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）得，，進而根據(jù)裂項求和方法求解即可證明.【詳解】（1）解：∵，∴∴（且）又∵∴是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，∴∴∵，∴，∴.19．設(shè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，且___________，求的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫線中，并完成作答.①；②；③的面積為.注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正弦定理、三角恒等變換等知識求得.（2）選①則根據(jù)正弦定理求得，選②則根據(jù)向量運算求得，選③則根據(jù)三角形的面積公式求得；結(jié)合余弦定理求得，進而求得三角形的周長.【詳解】（1），，，∵，∴,又，∴.（2）若選①且，，∴.若選②，，則.若選③，則.由余弦定理得，，∴，∴，∴的周長為.20．已知銳角內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若.(1)求角的大小；(2)若，求邊上高的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)條件，運用誘導公式以及倍角公式即可求出角C；(2)運用等面積法將AB邊上的高h轉(zhuǎn)化為ab的乘積，在根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，運用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出h的范圍.【詳解】（1）由條件可知：，，∵，∴，，又，∴，∴，∴；（2）設(shè)邊上的高為，則且，∴，∴由正弦定理得，∴，，又∴，∵為銳角三角形，∴，解得：，∴，∴，∴邊上高的取值范圍是；綜上，，邊上高的取值范圍是.21．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，為的前項和，，且為與的等比中項.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和；(3)若，判斷數(shù)列是否存在最大項，若存在，求的最大項，若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，最大項為.【分析】（1）由等差數(shù)列及前n項和定義、等比中項性質(zhì)列式可解出，，即可寫出等差數(shù)列的通項；（2）由錯位相減法求和；（3），取對數(shù)得，由導數(shù)法討論的最大值，結(jié)合為正整數(shù)，即可求得的最大項【詳解】（1）設(shè)的首項為，公差為，則，∵為和的等比中項，∴，即，可解得，，∴；（2），①，②，由①-②得，∴.（3），令，當時，，當時，，∴在上單增，在上單減，故最大值為，∵為正整數(shù)，故，又，，且，∴，∴的最大項為.22．已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)為的導函數(shù).(1)當時（ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ⅱ）證明：.(2)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，，證明：.【答案】(1)（?。┰谏蠁卧觯谏蠁?/p>