第3章-分析力學(xué)基礎(chǔ)-機(jī)械動(dòng)力學(xué)課件

第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)§3－1自由度和廣義坐標(biāo)

在完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。質(zhì)點(diǎn)M被限定只能在球面（3－1）的上半部分運(yùn)動(dòng)，由此解出：（3－2）這樣該質(zhì)點(diǎn)在空間中的位置就由x,y這兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)所確定，它的自由度數(shù)為2。一般來(lái)講，一個(gè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，若受到s個(gè)完整約束作用，則其在空間中的3n個(gè)坐標(biāo)不是彼此獨(dú)立的。例如:§3－1自由度和廣義坐標(biāo)在完整約束的條件由這些約束方程，可將其中s個(gè)坐標(biāo)表示成其余3n-s個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這樣該質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置，就可以用N=3n-s個(gè)獨(dú)立參數(shù)完全確定下來(lái)。

描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)考慮由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)受s個(gè)完整雙側(cè)約束，（3－3）設(shè)為系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)可以將各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為：（3－4）由虛位移的定義，對(duì)上式進(jìn)行變分運(yùn)算，得到（3－5）其中為廣義坐標(biāo)的變分，稱為廣義虛位移。由這些約束方程，可將其中s個(gè)坐標(biāo)表示成其余3n-§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

設(shè)作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力，在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為，將式（3-5）代入虛功方程，得到（3-6）如令（3-7）§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件設(shè)作用在第i個(gè)質(zhì)則式（3－6）可以寫(xiě)成（3-8）上式中具有功的量綱，所以稱為與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的廣義力。由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，可以任一取值，因此若式（3－8）成立，必須有（3-9）上式說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零。這就是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件則式（3－6）可以寫(xiě)成（3-8）上式中求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。另一種是利用廣義虛位移的任意性，令某一個(gè)不等于零，而其他N-1個(gè)廣義虛位移都等于零，代入從而（3－10）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往采用第二種方法比較方便求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進(jìn)例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，如圖所示，桿長(zhǎng)OA=aAB=b，桿重和鉸鏈的摩擦都忽略不計(jì)，今在點(diǎn)A和B分別作用向下的鉛錘力和，又在點(diǎn)B作用一水平力。試求：平衡時(shí)與，，之間的關(guān)系例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的廣義力和，用第一種方法計(jì)算：（a）由于（b）解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩故代入式（a），系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有（c）解出（d）故代入式（a），系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有（c）解出（d）用第二種方法計(jì)算：保持不變，只有時(shí)，如圖所示，由式（b）的變分（e）則對(duì)應(yīng)于的廣義力為，可得一組虛位移用第二種方法計(jì)算：保持不變，只有時(shí)，如圖將式（e）代入上式，得保持不變，只有時(shí)，如圖所示，由式（b）的變分，可得另一組虛位移代入對(duì)應(yīng)于的廣義力表達(dá)式，得將式（e）代入上式，得保持不變，只有時(shí)試求：平衡時(shí)重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)。例3-2：如圖所示，重物A和B分別連接在細(xì)繩兩端，重物A放置在粗糙的水平面上，重物B繞過(guò)定滑輪E鉛直懸掛，在動(dòng)滑輪H的軸心上掛一重物C，設(shè)重物A重量為，重物

B重量為，不計(jì)動(dòng)滑輪H的重量。試求：平衡時(shí)重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選取重物A向右的水平坐標(biāo)和重物B向下的鉛直坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的虛位移為和。此時(shí)除重力外，重物A與臺(tái)面間的摩擦力也應(yīng)視為主動(dòng)力首先令向右，此時(shí)重物C的虛位移，方向向下。主動(dòng)力所做虛功的和為：對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力為：（a）解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選取重物A向右的水平坐再令向下，同理可解得：（b）因?yàn)橄到y(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有，解得：因此平衡時(shí)，要求物塊與臺(tái)面間靜摩擦因數(shù)如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，記為（3－11）再令向下，同理可解此時(shí)虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫(xiě)成用勢(shì)能V表達(dá)的形式，即：于是有這樣，虛位移原理的表達(dá)式成為（3－12）上式說(shuō)明：

在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能在平衡位置處一階變分為零。此時(shí)虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫(xiě)成用勢(shì)能V表達(dá)的如果用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系的位置，則質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能可以寫(xiě)成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即根據(jù)廣義力的表達(dá)式（3－7）在勢(shì)力場(chǎng)中可將廣義力寫(xiě)成用勢(shì)能表達(dá)的形式（3－13）如果用廣義坐標(biāo)這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫(xiě)成如下形式（3－14）即：在勢(shì)力場(chǎng)中具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值在不平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)能具有極大值對(duì)于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其勢(shì)能是不變的，所以其附近任何可能位置都是平衡位置。穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫(xiě)成如下形式（3－14）即：對(duì)于一個(gè)自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個(gè)廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢(shì)能可以表示為q的一元函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，根據(jù)式（3－14），在平衡位置處有

如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處。系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值，即系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。上式是一個(gè)自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。對(duì)于多自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書(shū)籍。對(duì)于一個(gè)自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個(gè)廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢(shì)能可以表例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長(zhǎng)度為l，在擺桿上的點(diǎn)A連有一剛度為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時(shí)彈簧未變形，設(shè)OA=a，擺桿重量不計(jì)。試確定：擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時(shí)所應(yīng)滿足的條件。例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長(zhǎng)度解：該系統(tǒng)是一個(gè)自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的鉛直位置為擺錘重力勢(shì)能和彈簧彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。則對(duì)任一擺角系統(tǒng)的總勢(shì)能等于擺錘的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和。當(dāng)時(shí)有由上述勢(shì)能表達(dá)式可以寫(xiě)成將勢(shì)能V對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)有解：該系統(tǒng)是一個(gè)自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢(shì)能對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)，得對(duì)于穩(wěn)定平衡，要求即或由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢(shì)能對(duì)

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.

如果假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力FIi=-miai，由達(dá)朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構(gòu)成平衡力系。整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束.

應(yīng)用虛位移原理，得到：§3-3動(dòng)力學(xué)普遍方程×

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)

在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)所受的主動(dòng)力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為的重物，繩子繞過(guò)定滑輪后懸掛著質(zhì)量為的重物，設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都忽略不計(jì)。求:質(zhì)量為的物體下降的加速度例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為解：取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主動(dòng)力為和，慣性力為給系統(tǒng)以虛位移和，由動(dòng)力學(xué)普遍方程得這是一個(gè)單自由度系統(tǒng)，所以和中只有一個(gè)是獨(dú)立的由定滑輪和動(dòng)滑輪的傳動(dòng)關(guān)系，有代入前式，有消去得解：取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪I可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪II繞有細(xì)繩并跨于輪I上，當(dāng)細(xì)繩直線部分為鉛垂時(shí)，求輪II中心C的加速度。例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，解：研究整個(gè)系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為，輪II質(zhì)心C的加速度為a，則系統(tǒng)的慣性力系為此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取輪I、II的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)令，則點(diǎn)C下降。根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程或o解：研究整個(gè)系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為再令，則，代入動(dòng)力學(xué)普遍方程（a）或（b）考慮到運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出再令§3-4第一類(lèi)拉格朗日方程引入符號(hào)（3-16）對(duì)式（3-3）兩邊取變分（3-17）引用拉格朗日乘子將（3-17）式兩端乘以并對(duì)k求和（3-18）§3-4第一類(lèi)拉格朗日方程引入符號(hào)（3-16）對(duì)式（3-將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個(gè)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)中，獨(dú)立坐標(biāo)有3n-s個(gè)，對(duì)于s個(gè)不獨(dú)立的坐標(biāo)變分,可以選取適當(dāng)?shù)?，使得變分前的系?shù)為零而此時(shí)獨(dú)立坐標(biāo)變分前的系數(shù)也應(yīng)等于零，從而有（3-19）這就是帶拉格朗日乘子的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)方程。又稱為第一類(lèi)拉格朗日方程（3－15）將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個(gè)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)中，若將（3-19）式與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的達(dá)朗貝爾原理相對(duì)比，可以看出:對(duì)應(yīng)于s個(gè)約束作用于含拉格朗日乘子項(xiàng)系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)上的約束力。方程中共有3n+s個(gè)未知量，故須與方程（3-3）聯(lián)立求解。若將（3-19）式與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的達(dá)朗貝爾原理相對(duì)比，可以對(duì)應(yīng)于例3-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無(wú)重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2

、y2。2）運(yùn)動(dòng)分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個(gè)約束方程?！晾?-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1××約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程而與矢量力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程相對(duì)照，可知是光滑接觸面的約束力，是二力桿的內(nèi)力。得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程而與矢量力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程相對(duì)照，可知當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類(lèi)拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)具有s個(gè)完整理想約束，具有N=3n-s個(gè)自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：§3-5第二類(lèi)拉格朗日方程×當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：

上式第一項(xiàng)又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問(wèn)題，所以Qk不一定為零?！劣少|(zhì)點(diǎn)系普遍方程：上式第一項(xiàng)又可以表示為：注意：這里不是

代入上式第二項(xiàng)得:×代入上式第二項(xiàng)得:×對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個(gè)方程的方程組，其中第二項(xiàng)與廣義力對(duì)應(yīng)，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達(dá)朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對(duì)廣義力做如下變換×對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。1.證明：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)

其中

是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)其中是對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)

將

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證

×對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證××其中

為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，每一個(gè)方程都是二階常微分方程。得

上式稱為拉格朗日方程×其中為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度于是拉格朗日方程可寫(xiě)成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，則廣義力Qk可寫(xiě)成×于是拉格朗日方程可寫(xiě)成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。如果作拉格朗日方程用動(dòng)勢(shì)L=T-V表示

拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。

拉格朗日方程的表達(dá)式非常簡(jiǎn)潔，應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力；對(duì)于保守系統(tǒng)，只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。因?yàn)閯?shì)能是坐標(biāo)的函數(shù)×拉格朗日方程用動(dòng)勢(shì)L=T-V表示拉格朗日例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為的物塊C以細(xì)繩跨過(guò)定滑輪B聯(lián)于點(diǎn)A，A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為R，質(zhì)量為，彈簧剛度為k質(zhì)量不計(jì)，當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平解：此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，以物塊平衡位置為原點(diǎn)取x為廣義坐標(biāo)如圖，以平衡位置為重力零勢(shì)能點(diǎn)，取彈簧原長(zhǎng)處為彈性力零勢(shì)能點(diǎn)，系統(tǒng)在任意位置x處的勢(shì)能為其中為平衡位置處彈簧的伸長(zhǎng)量。由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式，當(dāng)物塊速度為時(shí)，輪B角速度為，輪A質(zhì)心速度為，角速度亦為，此系統(tǒng)的動(dòng)能為解：此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，以物塊平衡位置為原點(diǎn)取x為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)兩個(gè)物體用無(wú)重桿連接，桿長(zhǎng)為l。試建立此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程重物的質(zhì)量為，擺錘的質(zhì)量為，該問(wèn)題也可以用第二類(lèi)拉格朗日方程來(lái)求解例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得（b）系統(tǒng)的動(dòng)能選質(zhì)點(diǎn)在最低處時(shí)的位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能為解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）由此得由此得把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中，得如果質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)很小，可以近似地認(rèn)為。且可以忽略含和的高階小量，上式可改寫(xiě)為（c）（d）從以上兩式中消去，得到（e）這是自由振動(dòng)的微分方程，其解為（f）把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中，得如果質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)很小固有角頻率為擺動(dòng)周期（g）如果則質(zhì)點(diǎn)的位移將很小，質(zhì)點(diǎn)的擺動(dòng)周期將趨于普通單擺的周期若將式（e）代入（d）得到（h）固有角頻率為擺動(dòng)周期（g）如果則質(zhì)點(diǎn)的位移將式（f）代入，可見(jiàn)質(zhì)點(diǎn)沿x方向也作自由振動(dòng)可以將例3－6的結(jié)果與例3－8進(jìn)行對(duì)比，將（a）（b）兩式代入例3－6中式（g）的第4式，當(dāng)擺動(dòng)很小時(shí)，且可以忽略含和的高階小量得到代入例3－6中式（g）的第3式并注意得到（k）由本例中的式（a）代入式（k）得到與式（h）同樣的結(jié)果將式（f）代入，可見(jiàn)質(zhì)點(diǎn)沿x方向也作自由振動(dòng)可以將§3-6拉格朗日方程的初積分對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。1.能量積分若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，則式（3－4）中不顯含時(shí)間t，從而（3－27）§3-6拉格朗日方程的初積分對(duì)于保守系統(tǒng)，在一定條件下，為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義質(zhì)量，容易證明（3－28）上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，注意勢(shì)能V不含項(xiàng)，從而為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義將式（3－26b）對(duì)k求和（3－29）積分上式，有2T-L=T+V=常數(shù)（3－30）這就是保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律。也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。將式（3－26b）對(duì)k求和（3－29）積分上式，有2T-L=2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)，則稱該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo).此時(shí)從而有常數(shù)（3－31）上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。如果引入廣義動(dòng)量則有常數(shù)（3－31a）式（3－31a）也稱為廣義動(dòng)量守恒2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)例3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱表面上刻有一傾角為θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自靜止開(kāi)始沿槽下滑，同時(shí)使圓柱體繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)小球質(zhì)量為，圓柱體的質(zhì)量為，半徑為R，不計(jì)摩擦。求：當(dāng)小球下降的高度為h時(shí)，小球相對(duì)于圓柱體的速度以及圓柱體的角速度。例3-9：圖表示一個(gè)均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，因?yàn)橄到y(tǒng)所受的主動(dòng)力是重力，所以是保守系統(tǒng)。取圓柱體的轉(zhuǎn)角，和沿螺旋槽方向的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)。取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，圓柱體為動(dòng)系，利用點(diǎn)的速度合成公式，則小球的動(dòng)能為圓柱體的動(dòng)能為解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定系統(tǒng)的動(dòng)能為可見(jiàn)此時(shí)動(dòng)能T是廣義速度和的二次齊次函數(shù)。若選擇小球起點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)。則系統(tǒng)勢(shì)能V可表示為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：由于L中不顯含時(shí)間t和廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)有能量積分和循環(huán)積分，于是我們有兩個(gè)一次積分式系統(tǒng)的動(dòng)能為可見(jiàn)此時(shí)動(dòng)能T是廣義速度和的二次齊將動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時(shí)，代入上式得，由此，從式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得將動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時(shí)，由此得小球相對(duì)于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為由此得小球相對(duì)于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)§3－1自由度和廣義坐標(biāo)

在完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。質(zhì)點(diǎn)M被限定只能在球面（3－1）的上半部分運(yùn)動(dòng)，由此解出：（3－2）這樣該質(zhì)點(diǎn)在空間中的位置就由x,y這兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)所確定，它的自由度數(shù)為2。一般來(lái)講，一個(gè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，若受到s個(gè)完整約束作用，則其在空間中的3n個(gè)坐標(biāo)不是彼此獨(dú)立的。例如:§3－1自由度和廣義坐標(biāo)在完整約束的條件由這些約束方程，可將其中s個(gè)坐標(biāo)表示成其余3n-s個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這樣該質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置，就可以用N=3n-s個(gè)獨(dú)立參數(shù)完全確定下來(lái)。

描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置的獨(dú)立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)考慮由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)受s個(gè)完整雙側(cè)約束，（3－3）設(shè)為系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)可以將各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為：（3－4）由虛位移的定義，對(duì)上式進(jìn)行變分運(yùn)算，得到（3－5）其中為廣義坐標(biāo)的變分，稱為廣義虛位移。由這些約束方程，可將其中s個(gè)坐標(biāo)表示成其余3n-§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

設(shè)作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力，在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為，將式（3-5）代入虛功方程，得到（3-6）如令（3-7）§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件設(shè)作用在第i個(gè)質(zhì)則式（3－6）可以寫(xiě)成（3-8）上式中具有功的量綱，所以稱為與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的廣義力。由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，可以任一取值，因此若式（3－8）成立，必須有（3-9）上式說(shuō)明：質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零。這就是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件則式（3－6）可以寫(xiě)成（3-8）上式中求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。另一種是利用廣義虛位移的任意性，令某一個(gè)不等于零，而其他N-1個(gè)廣義虛位移都等于零，代入從而（3－10）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往采用第二種方法比較方便求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進(jìn)例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，如圖所示，桿長(zhǎng)OA=aAB=b，桿重和鉸鏈的摩擦都忽略不計(jì)，今在點(diǎn)A和B分別作用向下的鉛錘力和，又在點(diǎn)B作用一水平力。試求：平衡時(shí)與，，之間的關(guān)系例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的廣義力和，用第一種方法計(jì)算：（a）由于（b）解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩故代入式（a），系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有（c）解出（d）故代入式（a），系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有（c）解出（d）用第二種方法計(jì)算：保持不變，只有時(shí)，如圖所示，由式（b）的變分（e）則對(duì)應(yīng)于的廣義力為，可得一組虛位移用第二種方法計(jì)算：保持不變，只有時(shí)，如圖將式（e）代入上式，得保持不變，只有時(shí)，如圖所示，由式（b）的變分，可得另一組虛位移代入對(duì)應(yīng)于的廣義力表達(dá)式，得將式（e）代入上式，得保持不變，只有時(shí)試求：平衡時(shí)重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)。例3-2：如圖所示，重物A和B分別連接在細(xì)繩兩端，重物A放置在粗糙的水平面上，重物B繞過(guò)定滑輪E鉛直懸掛，在動(dòng)滑輪H的軸心上掛一重物C，設(shè)重物A重量為，重物

B重量為，不計(jì)動(dòng)滑輪H的重量。試求：平衡時(shí)重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選取重物A向右的水平坐標(biāo)和重物B向下的鉛直坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的虛位移為和。此時(shí)除重力外，重物A與臺(tái)面間的摩擦力也應(yīng)視為主動(dòng)力首先令向右，此時(shí)重物C的虛位移，方向向下。主動(dòng)力所做虛功的和為：對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力為：（a）解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選取重物A向右的水平坐再令向下，同理可解得：（b）因?yàn)橄到y(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有，解得：因此平衡時(shí)，要求物塊與臺(tái)面間靜摩擦因數(shù)如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，則勢(shì)能應(yīng)為各點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，記為（3－11）再令向下，同理可解此時(shí)虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫(xiě)成用勢(shì)能V表達(dá)的形式，即：于是有這樣，虛位移原理的表達(dá)式成為（3－12）上式說(shuō)明：

在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能在平衡位置處一階變分為零。此時(shí)虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫(xiě)成用勢(shì)能V表達(dá)的如果用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系的位置，則質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能可以寫(xiě)成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即根據(jù)廣義力的表達(dá)式（3－7）在勢(shì)力場(chǎng)中可將廣義力寫(xiě)成用勢(shì)能表達(dá)的形式（3－13）如果用廣義坐標(biāo)這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫(xiě)成如下形式（3－14）即：在勢(shì)力場(chǎng)中具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢(shì)能對(duì)于每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值在不平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)能具有極大值對(duì)于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其勢(shì)能是不變的，所以其附近任何可能位置都是平衡位置。穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫(xiě)成如下形式（3－14）即：對(duì)于一個(gè)自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個(gè)廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢(shì)能可以表示為q的一元函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，根據(jù)式（3－14），在平衡位置處有

如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處。系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值，即系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。上式是一個(gè)自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。對(duì)于多自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書(shū)籍。對(duì)于一個(gè)自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個(gè)廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢(shì)能可以表例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長(zhǎng)度為l，在擺桿上的點(diǎn)A連有一剛度為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時(shí)彈簧未變形，設(shè)OA=a，擺桿重量不計(jì)。試確定：擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時(shí)所應(yīng)滿足的條件。例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長(zhǎng)度解：該系統(tǒng)是一個(gè)自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的鉛直位置為擺錘重力勢(shì)能和彈簧彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。則對(duì)任一擺角系統(tǒng)的總勢(shì)能等于擺錘的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能之和。當(dāng)時(shí)有由上述勢(shì)能表達(dá)式可以寫(xiě)成將勢(shì)能V對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)有解：該系統(tǒng)是一個(gè)自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢(shì)能對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)，得對(duì)于穩(wěn)定平衡，要求即或由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢(shì)能對(duì)

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.

如果假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力FIi=-miai，由達(dá)朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構(gòu)成平衡力系。整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束.

應(yīng)用虛位移原理，得到：§3-3動(dòng)力學(xué)普遍方程×

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)

在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)所受的主動(dòng)力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為的重物，繩子繞過(guò)定滑輪后懸掛著質(zhì)量為的重物，設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都忽略不計(jì)。求:質(zhì)量為的物體下降的加速度例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為解：取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主動(dòng)力為和，慣性力為給系統(tǒng)以虛位移和，由動(dòng)力學(xué)普遍方程得這是一個(gè)單自由度系統(tǒng)，所以和中只有一個(gè)是獨(dú)立的由定滑輪和動(dòng)滑輪的傳動(dòng)關(guān)系，有代入前式，有消去得解：取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪I可繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪II繞有細(xì)繩并跨于輪I上，當(dāng)細(xì)繩直線部分為鉛垂時(shí)，求輪II中心C的加速度。例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，解：研究整個(gè)系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為，輪II質(zhì)心C的加速度為a，則系統(tǒng)的慣性力系為此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，取輪I、II的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)令，則點(diǎn)C下降。根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程或o解：研究整個(gè)系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為再令，則，代入動(dòng)力學(xué)普遍方程（a）或（b）考慮到運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出再令§3-4第一類(lèi)拉格朗日方程引入符號(hào)（3-16）對(duì)式（3-3）兩邊取變分（3-17）引用拉格朗日乘子將（3-17）式兩端乘以并對(duì)k求和（3-18）§3-4第一類(lèi)拉格朗日方程引入符號(hào)（3-16）對(duì)式（3-將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個(gè)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)中，獨(dú)立坐標(biāo)有3n-s個(gè)，對(duì)于s個(gè)不獨(dú)立的坐標(biāo)變分,可以選取適當(dāng)?shù)?，使得變分前的系?shù)為零而此時(shí)獨(dú)立坐標(biāo)變分前的系數(shù)也應(yīng)等于零，從而有（3-19）這就是帶拉格朗日乘子的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)方程。又稱為第一類(lèi)拉格朗日方程（3－15）將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個(gè)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)中，若將（3-19）式與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的達(dá)朗貝爾原理相對(duì)比，可以看出:對(duì)應(yīng)于s個(gè)約束作用于含拉格朗日乘子項(xiàng)系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)上的約束力。方程中共有3n+s個(gè)未知量，故須與方程（3-3）聯(lián)立求解。若將（3-19）式與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的達(dá)朗貝爾原理相對(duì)比，可以對(duì)應(yīng)于例3-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無(wú)重桿連接，桿長(zhǎng)為l。求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：1）取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2

、y2。2）運(yùn)動(dòng)分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個(gè)約束方程?！晾?-6如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)的重物M1××約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程而與矢量力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程相對(duì)照，可知是光滑接觸面的約束力，是二力桿的內(nèi)力。得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程而與矢量力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程相對(duì)照，可知當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類(lèi)拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)具有s個(gè)完整理想約束，具有N=3n-s個(gè)自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)：§3-5第二類(lèi)拉格朗日方程×當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：

上式第一項(xiàng)又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問(wèn)題，所以Qk不一定為零。×由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程：上式第一項(xiàng)又可以表示為：注意：這里不是

代入上式第二項(xiàng)得:×代入上式第二項(xiàng)得:×對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個(gè)方程的方程組，其中第二項(xiàng)與廣義力對(duì)應(yīng)，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達(dá)朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對(duì)廣義力做如下變換×對(duì)于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。1.證明：

進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)

其中

是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進(jìn)一步簡(jiǎn)化，先證明兩個(gè)等式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)其中是對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)

將

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證

×對(duì)某qj求偏導(dǎo)數(shù)將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證××其中

為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，每一個(gè)方程都是二階常微分方程。得

上式稱為拉格朗日方程×其中為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度于是拉格朗日方程可寫(xiě)成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力都是有勢(shì)力，則廣義力Qk可寫(xiě)成×于是拉格朗日方程可寫(xiě)成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。如果作拉格朗日方程用動(dòng)勢(shì)L=T-V表示

拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。

拉格朗日方程的表達(dá)式非常簡(jiǎn)潔，應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力；對(duì)于保守系統(tǒng)，只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。因?yàn)閯?shì)能是坐標(biāo)的函數(shù)×拉格朗日方程用動(dòng)勢(shì)L=T-V表示拉格朗日例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為的物塊C以細(xì)繩跨過(guò)定滑輪B聯(lián)于點(diǎn)A，A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為R，質(zhì)量為，彈簧剛度為k質(zhì)量不計(jì)，當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平解：此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，以物塊平衡位置為原點(diǎn)取x為廣義坐標(biāo)如圖，以平衡位置為重力零勢(shì)能點(diǎn)，取彈簧原長(zhǎng)處為彈性力零勢(shì)能點(diǎn)，系統(tǒng)在任意位置x處的勢(shì)能為其中為平衡位置處彈簧的伸長(zhǎng)量。由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式，當(dāng)物塊速度為時(shí)，輪B角速度為，輪A質(zhì)心速度為，角速度亦為，此系統(tǒng)的動(dòng)能為解：此系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，以物塊平衡位置為原點(diǎn)取x為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動(dòng)兩個(gè)物體用無(wú)重桿連接，桿長(zhǎng)為l。試建立此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程重物的質(zhì)量為，擺錘的質(zhì)量為，該問(wèn)題也可以用第二類(lèi)拉格朗日方程來(lái)求解例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑水解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得（b）系統(tǒng)的動(dòng)能選質(zhì)點(diǎn)在最低處時(shí)的位置為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)的勢(shì)能為解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）由此得由此得把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中，得如果質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)很小，可以近