導(dǎo)行電磁波完美課課件

第九章導(dǎo)行電磁波主要內(nèi)容幾種常用的導(dǎo)波系統(tǒng)，矩形波導(dǎo)中的電磁波，圓波導(dǎo)中的電磁波，同軸線，諧振腔。沿一定的途徑傳播的電磁波稱為導(dǎo)行電磁波，傳輸導(dǎo)行波的系統(tǒng)稱為導(dǎo)波系統(tǒng)。

常用的導(dǎo)波系統(tǒng)有雙導(dǎo)線、同軸線、帶狀線、微帶、金屬波導(dǎo)等。這些導(dǎo)波系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖示。本章僅介紹同軸線和金屬波導(dǎo)。尤其是矩形金屬波導(dǎo)的傳播特性。第九章導(dǎo)行電磁波主要內(nèi)容沿一定的途徑傳播的電1帶狀線雙導(dǎo)線矩形波導(dǎo)微帶介質(zhì)波導(dǎo)光纖同軸線圓波導(dǎo)帶狀線雙導(dǎo)線矩形波導(dǎo)微帶介質(zhì)波導(dǎo)同軸線圓波導(dǎo)21.TEM波、TE波及TM波

TEM波、TE波及TM波的電場方向及磁場方向與傳播方向的關(guān)系如下圖示。

TEM波EHesTE波EHesTM波EHes可以證明，能夠建立靜電場的導(dǎo)波系統(tǒng)必然能夠傳輸TEM波。

根據(jù)麥克斯韋方程也可說明金屬波導(dǎo)不能傳輸TEM波。1.TEM波、TE波及TM波TEM波3名稱波形電磁屏蔽使用波段雙導(dǎo)線

TEM波

差>3m同軸線TEM波好>10cm帶狀線TEM波差厘米波微帶準TEM波差厘米波矩形波導(dǎo)TE或TM波好厘米波、毫米波圓波導(dǎo)TE或TM波好厘米波、毫米波光纖TE或TM波差光波幾種常用導(dǎo)波系統(tǒng)的主要特性名稱波形電磁屏蔽使用波段4導(dǎo)波系統(tǒng)傳播特性的研究方法首先設(shè)導(dǎo)波系統(tǒng)是無限長的，根據(jù)導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面的形狀選取直角坐標系或者圓柱坐標系，令其沿z

軸放置，且傳播方向為正z

方向。以直角坐標為例，則該導(dǎo)波系統(tǒng)中的電場與磁場可以分別表示為而且應(yīng)該滿足下列矢量亥姆霍茲方程

導(dǎo)波系統(tǒng)傳播特性的研究方法首先設(shè)導(dǎo)波系統(tǒng)是無5

由前獲知，上式包含了6個直角坐標分量及，它們分別滿足齊次標量亥姆霍茲方程。根據(jù)導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件，利用分離變量法即可求解這些方程。但是實際上并不需要求解6個坐標分量，因為它們不是完全獨立的。根據(jù)麥克斯韋方程，可以求出x分量及y分量和z分量的關(guān)系為式中由前獲知，上式包含了6個直角坐標分量6這樣，只要求出z分量，其余分量即可根據(jù)上述關(guān)系求出。z分量為縱向分量，因此這種方法又稱為縱向場法。在圓柱坐標系中，同樣可用z分量表示r分量和

分量。其關(guān)系式為這樣，只要求出z分量，其余分量即可根據(jù)上述關(guān)系72.矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式

矩形波導(dǎo)形狀如下圖示，寬壁的內(nèi)尺寸為a

，窄壁的內(nèi)尺寸為b。

azyxb,已知金屬波導(dǎo)中只能傳輸TE波及TM波，現(xiàn)在分別討論他們在矩形波導(dǎo)中的傳播特性。

若僅傳輸TM波，則Hz=0。按照縱向場法，此時僅需求出Ez

分量，然后即可計算其余各個分量。

已知電場強度的z

分量可以表示為2.矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式矩形波導(dǎo)形狀如下圖示，8它應(yīng)滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即

其振輻也滿足同樣的齊次標量亥姆霍茲方程，即為了求解上述方程，采用分離變量法。令代入上式，得式中X"

表示X

對x

的二階導(dǎo)數(shù)，Y"

表示Y對y的二階導(dǎo)數(shù)。它應(yīng)滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即 其振輻也滿足同樣的齊次標量9由于上式中的第二項僅為y

函數(shù)，而右端為常數(shù)，因此，若將此式對x

求導(dǎo)，得知左端第一項應(yīng)為常數(shù)。若對y

求導(dǎo)，得知第二項應(yīng)為常數(shù)。現(xiàn)分別令這里，kx

和ky

稱為分離常數(shù)。利用邊界條件即可求解這些分離常數(shù)。顯然由上可見，原來的二階偏微分方程，經(jīng)過變量分離后變?yōu)閮蓚€常微分方程，因此求解簡便。兩個常微分方程的通解分別為式中常數(shù)C1，C2，

C3，

C4取決于導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件。由于上式中的第二項僅為y函數(shù)，而右端為常10已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b

的邊界上Ez=0。由此決定上述常數(shù)，再根據(jù)這些結(jié)果求出分離常數(shù)為代入前式即可求出矩形波導(dǎo)中TM波的各個分量為已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=11

1，電磁波的相位僅與變量z有關(guān)，而振幅與x,y有關(guān)。因此，在Z方向上為行波，在X及Y

方向上形成駐波。

2，z

等于常數(shù)的平面為波面。但振輻與x,y有關(guān)，因此上述TM波為非均勻的平面波；

3，當m

或n

為零時，上述各個分量均為零，因此m及n

應(yīng)為非零的整數(shù)。m及n具有明顯的物理意義，m為寬壁上的半個駐波的數(shù)目，n為窄壁上半個駐波的數(shù)目。

4，由于m及n為多值，因此場結(jié)構(gòu)均具有多種模式。m及n的每一種組合構(gòu)成一種模式，以TMmn表示。例如TM11表示m=1,n=1的場結(jié)構(gòu)，具有這種場結(jié)構(gòu)的波稱為TM11波。5，數(shù)值大的m及n模式稱為高次模，數(shù)值小的稱為低次模。由于m及n均不為零，故矩形波導(dǎo)中TM波的最低模式是TM11波。1，電磁波的相位僅與變量z有關(guān)，而振幅與12類似地可以導(dǎo)出矩形波導(dǎo)中TE波的各個分量為 式中，但兩者不能同時為零。由上式可見，與TM波一樣，TE波也具有前述多模特性，但此時m及n不能同時為零。因此，TE波的最低模式為TE01波或TE10波。類似地可以導(dǎo)出矩形波導(dǎo)中TE波的各個分量為 式中133.矩形波導(dǎo)中電磁波的傳播特性

已知，即?？梢?，當時，，這就意味著波的傳播被截止，因此，稱為截止傳播常數(shù)。截止傳播常數(shù)和截止頻率利用傳播常數(shù)與頻率的關(guān)系，可以求出對應(yīng)于截止傳播常數(shù)的截止頻率，即根據(jù)前面結(jié)果，獲知截止傳播常數(shù)為3.矩形波導(dǎo)中電磁波的傳播特性已知14那么，傳播常數(shù)kz

可以表示為

當時，為實數(shù)，因子代表向正z方向傳播的波。當時，為虛數(shù)，因子因此，對于一定的模式和波導(dǎo)尺寸來說，fc

是能夠傳輸該模式的最低頻率。可見，波導(dǎo)相當于一個高通濾波器。此式表明時變電磁場沒有傳播，而是沿正Z方向不斷衰減的凋落場。那么，傳播常數(shù)kz可以表示為當15利用關(guān)系式，即可求得對應(yīng)于截止傳播常數(shù)的截止波長為截止波長上述結(jié)果表明，無論截止頻率或截止波長均與與波導(dǎo)尺寸

a,b及模式m,n有關(guān)。對于一定的波導(dǎo)尺寸來說，每一種模式具有一定的截止頻率或截止波長。高次模式具有較高的截止頻率，或者說具有較短的截止波長。例如，TE10波的截止波長為2a，TE20波的截止波長為a。左圖給出了當波導(dǎo)尺寸時，各種模式截止波長的分布圖。TM11TE01TE20TE100a2ac利用關(guān)系式，即可求得對應(yīng)于截止傳播常數(shù)16解①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截止頻率。m及n具有明顯的物理意義，m為寬壁上的半個駐波的數(shù)目，n為窄壁上半個駐波的數(shù)目。②根據(jù)所設(shè)計的波導(dǎo)，計算工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗。②工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗分別為實際中，為了安全起見，通常取傳輸功率。幾種常用的導(dǎo)波系統(tǒng)及其主要特性，金屬波導(dǎo)的傳輸特性，矩形波導(dǎo)中的TE10波，波導(dǎo)和同軸線的尺寸設(shè)計，波導(dǎo)的傳輸功率及損耗，諧振腔的特性。兩個常微分方程的通解分別為當P點位移為d時，由于波包速度較慢，點僅位移。為了計算波導(dǎo)壁損耗，在寬壁上取一小塊導(dǎo)體，其長度及寬度均為單位長度，深度等于集膚厚度，如下圖示。對于窄帶信號，可僅取前兩項，即下圖給出了矩形諧振腔工作于TE101模式時的場結(jié)構(gòu)。同軸線的結(jié)構(gòu)如下圖示，其主要尺寸是內(nèi)導(dǎo)體的半徑a和外導(dǎo)體的內(nèi)半徑b。為波包等相位點，P為載波等相位點?？梢?，合成波的相速大于均勻平面波的相速，由圖求出根據(jù)波導(dǎo)中電場及磁場的橫向分量，計算復(fù)能流密度矢量，再將復(fù)能流密度的實部沿波導(dǎo)的橫截面進行積分，即可求得波導(dǎo)中的傳輸功率。窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導(dǎo)衰減以及重量等。解當內(nèi)部為真空時，工作波長為圓波導(dǎo)具有軸對稱性，的坐標平面可以任意確定。TE10波為矩形波導(dǎo)中的常用模式或稱為主模。反之，當磁場能量達到最大值時，電場能量為零。TE10波為矩形波導(dǎo)中的常用模式或稱為主模。截止區(qū)TM11TE01TE20TE100a2ac已知當時，相應(yīng)的模式波均被截止。那么由圖可見，當時，全部模式被截止。當時，只有TE10波存在，其它模式被截止。當時，才有其它模式出現(xiàn)。由此可見，如果工作波長滿足實現(xiàn)單模傳輸是實際應(yīng)用所需要的。即可實現(xiàn)單模傳輸，而且實現(xiàn)單模傳輸?shù)奈┮荒Ｊ骄褪荰E10波。解①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截17窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導(dǎo)衰減以及重量等。國際上對于各波段通常使用的波導(dǎo)尺寸已有統(tǒng)一規(guī)定。可見，當工作波長增加時，為保證單模傳輸，波導(dǎo)的尺寸必須相應(yīng)地加大。若頻率過低，因而工作波長過長，以致波導(dǎo)尺寸過大，無法采用。因此，實際中金屬波導(dǎo)適用于3000MHz以上的微波波段。實際中，通常取，以便在波段內(nèi)實現(xiàn)TE10波單模傳輸。工程上常取左右，或。為了保證僅傳輸TE10波，矩形波導(dǎo)的尺寸應(yīng)該滿足將可獲知，窄壁減小會使傳輸衰減增大。窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導(dǎo)衰減以及重量等。國18根據(jù)相速與相位常數(shù)的關(guān)系，求得矩形波導(dǎo)中的相速為 式中。當波導(dǎo)中為真空時，。不同波導(dǎo)尺寸及模式，其相速也不同。波導(dǎo)中的相速與頻率有關(guān)。因此，電磁波在波導(dǎo)中傳播時會出現(xiàn)色散現(xiàn)象。波導(dǎo)中的相速不代表能速。已知，，由上式可見，真空波導(dǎo)中。根據(jù)相速與相位常數(shù)的關(guān)系，求得矩形波導(dǎo)中的相速為 式19根據(jù)波長與相位常數(shù)的關(guān)系，求得波導(dǎo)中電磁波的波長為式中為工作波長。稱為波導(dǎo)波長。已知，，故。波導(dǎo)中的橫向電場與磁場之比稱為波導(dǎo)的波阻抗，那么對于TM波，其波阻抗為

將前面結(jié)果代入，求得根據(jù)波長與相位常數(shù)的關(guān)系，求得波導(dǎo)中電磁波的波長20同理可得TE波的波阻抗為由上兩式可見，當，時，及均為虛數(shù)，表明橫向電場與橫向磁場相位相差，因此，沿z

方向沒有能量單向流動，這就意味著電磁波的傳播被截止。例某一內(nèi)部為真空的矩形金屬波導(dǎo)，其截面尺寸為25mm10mm，當頻率的電磁波進入波導(dǎo)中以后，該波導(dǎo)能夠傳輸?shù)哪Ｊ绞鞘裁?？當波?dǎo)中填充介電常數(shù)的理想介質(zhì)后，能夠傳輸?shù)哪Ｊ接袩o改變？同理可得TE波的波阻抗為由上兩式可見，當21

解當內(nèi)部為真空時，工作波長為波導(dǎo)的截止波長為因為，TE10波的，TE20波的，更高次模的截止波長更短，可見，當該波導(dǎo)中為真空時，僅能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10波。

若填充的理想介質(zhì)，則工作波長為因此，可以傳輸TE10波及TE20波，而且還可能存在其它模式。詳細計算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可傳輸。解當內(nèi)部為真空時，工作波長為波導(dǎo)的截止波長為因為，TE122矩形波導(dǎo)僅可傳輸TM波和TE波。矩形波導(dǎo)中的電磁波具有多模特性：TMmn和TEmn。不同模式具有不同截止波長：為了實現(xiàn)TE10波的單一模式傳播，波導(dǎo)尺寸應(yīng)該滿足：TE10波的截止波長最長（），適當?shù)卦O(shè)計波導(dǎo)尺寸即可實現(xiàn)TE10波的單一模式傳播。TE10波為矩形波導(dǎo)中的常用模式或稱為主模。矩形波導(dǎo)僅可傳輸TM波和TE波。矩形波導(dǎo)中的電磁波具有多模特234.矩形波導(dǎo)中的TE10波

令，求得矩形波導(dǎo)中的常用模式TE10波方程為 其余分量為零。對應(yīng)的瞬時值為4.矩形波導(dǎo)中的TE10波令24gHzHxEyzyyHxEyHzxa

t=0時刻，TE10波沿z方向及x方向的場分布如左圖。

沿x方向為駐波，沿z方向為行波。Hz的振輻沿x

按余弦分布，Hx及Ez的振幅沿x

按正弦分布，但是其振幅均與y無關(guān)。上式簡化為式中A，B，C為正實數(shù)。？gHzHxEyzyyHxEyHzxat=0時25xzyxyzgba磁場線電場線zyx內(nèi)壁電流TE10波的電場線及磁場線。

xzyxyzgba磁場線電場線26根據(jù)截止波長，利用前式即可分別求得相速及波導(dǎo)波長為②根據(jù)所設(shè)計的波導(dǎo)，計算工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗。m及n的每一種組合構(gòu)成一種模式，以TMmn表示。對于窄帶信號，可僅取前兩項，即兩個常微分方程的通解分別為那么，TE101模式的Q值可表示為可見，當工作波長增加時，為保證單模傳輸，波導(dǎo)的尺寸必須相應(yīng)地加大。尤其是矩形金屬波導(dǎo)的傳播特性。由于上式中的第二項僅為y函數(shù)，而右端為常數(shù)，因此，若將此式對x求導(dǎo)，得知左端第一項應(yīng)為常數(shù)。類似地可以導(dǎo)出矩形波導(dǎo)中TE波的各個分量為將這些結(jié)果代入值公式，求得矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE101模式時的值為根據(jù)截止頻率和截止波長，即可求出相速、群速、波導(dǎo)波長及波阻抗，其公式與矩形波導(dǎo)的相應(yīng)公式完全相同。當時，，，代入上式，得此時，群速不再等于能速，上述關(guān)系也不再成立。波導(dǎo)中的橫向電場與磁場之比稱為波導(dǎo)的波阻抗，那么對于TM波，其波阻抗為解①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截止頻率。根據(jù)這個邊界條件，求得常數(shù)為將這些結(jié)果代入值公式，求得矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE101模式時的值為波導(dǎo)中的傳輸功率與傳輸損耗因此，同軸線的使用頻率一般低于3GHz。幾種高次模的場分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11電場線磁場線根據(jù)截止波長，利用前式即可分別求得相速及波導(dǎo)波長為幾種高次模27TE10波的截止波長、相速、波導(dǎo)波長及能速。令m=1,n=0，求得TE10波的截止波長為此式表明，TE10波的截止波長與窄壁尺寸無關(guān)。

根據(jù)截止波長，利用前式即可分別求得相速及波導(dǎo)波長為為了說明TE10波的相速、波導(dǎo)波長及能速的物理意義以及它們之間關(guān)系，將電場分量Ey改寫為

TE10波的截止波長、相速、波導(dǎo)波長及能速。令m=28再利用一些三角公式，可將上式改寫為上式可看成是傳播常數(shù)為k，但傳播方向不同的兩個均勻平面波。xza①②兩個平面波的傳播途徑如左圖示?？梢?，兩個平面波的傳播方向位于xz平面，而且兩個均勻平面波又可合并為在兩個窄壁之間來回反射的一個均勻平面波。

當時，。那么，該均勻平面波在兩個窄壁之間垂直來回反射。因此，無法傳播而被截止。再利用一些三角公式，可將上式改寫為上式可看成是傳播常數(shù)為k29兩個均勻平面波的波峰相遇處形成合成波的波峰，而兩個均勻平面波的波谷相遇處形成合成波的波谷。左圖中以實線表示均勻平面波①的波峰，以虛線表示均勻平面波②波峰。xzaABCD若波導(dǎo)為真空，則AC長度等于真空中波長。由圖可得顯然，線段AB長度等于波導(dǎo)波長，AC長度等于工作波長。②①同前兩個均勻平面波的波峰相遇處形成合成波的波峰，30另外，由圖可見，平面波①由A點至C點的相位變化為2

，而合成波的空間相位變化時經(jīng)過距離為AB?？梢?，合成波的相速大于均勻平面波的相速，由圖求出xzaABCD②①

再從能量傳播的觀點來看，當平面波①的能量由A

傳播到C時，就傳播方向Z

而言，此能量傳輸?shù)木嚯x僅為AD長度，可見波導(dǎo)中能速小于均勻平面波的能速，由圖求出TE10波的能速為另外，由圖可見，平面波①由A點至C點31例若內(nèi)充空氣的矩形波導(dǎo)尺寸為，工作頻率為3GHz。如果要求工作頻率至少高于主模TE10波的截止頻率的20%，且至少低于TE01波的截止頻率的20%。試求：①波導(dǎo)尺寸a及b；②根據(jù)所設(shè)計的波導(dǎo)，計算工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗。解

①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截止頻率。TE01波的截止波長，對應(yīng)的截止頻率，按題意要求，應(yīng)該滿足由此求得，，取，。

②工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗分別為

例若內(nèi)充空氣的矩形波導(dǎo)尺寸為325.電磁波的群速電磁波在色散媒質(zhì)中傳播時，各個頻率分量以不同的相速進行傳播，因此，相速無法描述含有多種頻率分量的電磁波在色散媒質(zhì)中的傳播速度。本節(jié)介紹的群速，可以用來描述窄帶信號在色散媒質(zhì)中的傳播特性。設(shè)z向傳播的電磁波信號僅具有兩個頻率非常接近的頻率分量如下：其合成信號為式中5.電磁波的群速電磁波在色散媒質(zhì)中傳播時，各個33由于，，因而在一個足夠小的時間間隔內(nèi)，上式中的第一個余弦項尚未發(fā)生明顯變化時，第二個余弦項已經(jīng)歷了幾個周期的變化，所以代表載頻，代表調(diào)制頻率。若媒質(zhì)是非色散的，振幅形成的波包隨載波一起運動，在運動過程中，載波及波包都保持正弦波形。因此可以根據(jù)波包上的等相位點求出波包的移動速度，該速度稱為群速，以表示。由，求得群速為這是一個幅度變化緩慢的調(diào)幅信號。由于，34對于非色散媒質(zhì)，k與的關(guān)系是線性的，因此，求得群速為

再由=常數(shù)，求得載波相速為已知非色散媒質(zhì)中，傳播常數(shù)，求得由此可見，非色散媒質(zhì)中群速等于相速。

對于非色散媒質(zhì)，k與的關(guān)系是線性的，35對于色散媒質(zhì)，由前式可見，k與的關(guān)系為非線性。此時，對于給定的工作頻率，可將k作為頻率的函數(shù)在附近展開為泰勒級數(shù)，即對于窄帶信號，可僅取前兩項，即同時由于頻帶很窄，可以認為，將上式代入，得由于色散媒質(zhì)的傳播常數(shù)k與頻率的關(guān)系是非線性的，不同的載波頻率，其群速不同。群速不再等于相速。對于色散媒質(zhì)，由前式可見，k與的關(guān)系為非線性。36由圖可見，TE11波具有最長的截止波長，其次是TM01波。當其傳輸主模TE10波時，求得的傳輸功率為矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式式中。那么，該均勻平面波在兩個窄壁之間垂直來回反射。均可滿足邊界條件，即發(fā)生諧振。m及n具有明顯的物理意義，m為寬壁上的半個駐波的數(shù)目，n為窄壁上半個駐波的數(shù)目。當電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，電磁波發(fā)生非正常色散。電容器的引線電感、線圈之間以及器件之間的分布電容必須考慮。4，由于m及n為多值，因此場結(jié)構(gòu)均具有多種模式。在圓柱坐標系中，同樣可用z分量表示r分量和分量。類似以前步驟，首先求出函數(shù)滿足的方程為這樣，只要求出z分量，其余分量即可根據(jù)上述關(guān)系求出。反之，若工作波長給定，為了實現(xiàn)TE11波單模傳輸，圓波導(dǎo)半徑a必須滿足顯然，線段AB長度等于波導(dǎo)波長，AC長度等于工作波長。在離短路端半個波導(dǎo)波長處，又形成第二個電場駐波的波節(jié)。1，電磁波的相位僅與變量z有關(guān)，而振幅與x,y有關(guān)。矩形波導(dǎo)中的TE10波若，則，這種情況稱為正常色散。已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b的邊界上Ez=0。上圖給出了當時，上述窄帶信號在三個不同時刻的波形。載波以相速傳播，波包以群速傳播。為波包等相位點，P為載波等相位點。當P

點位移為d時，由于波包速度較慢，點僅位移。因此，經(jīng)過一段時間傳播后，波包變形，導(dǎo)致信號失真。由圖可見，TE11波具有最長的截止波長，其次是TM01波。37對于色散媒質(zhì)中的窄帶信號，上式應(yīng)為若相速與頻率無關(guān)，，則，即無色散時相速等于群速。若，則，這種情況稱為正常色散。若，則，這種情況稱為非正常色散。根據(jù)上述關(guān)系，求得對于色散媒質(zhì)中的窄帶信號，上式應(yīng)為若相速與頻率無關(guān)，38矩形波導(dǎo)中的相速，可見電磁波發(fā)生正常色散。而且群速

即矩形波導(dǎo)中電磁波的群速等于能速，這也是正常色散媒質(zhì)的共性。根據(jù)上面結(jié)果，求得波導(dǎo)中的相速vp

與群速vg

滿足下列方程當電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，電磁波發(fā)生非正常色散。此時，群速不再等于能速，上述關(guān)系也不再成立。

矩形波導(dǎo)中的相速，可見電磁波發(fā)生正常色396.圓波導(dǎo)

圓波導(dǎo)的惟一尺寸是內(nèi)半徑a。選用圓柱坐標系，令圓波導(dǎo)的軸線為z軸，如左圖示。與矩形波導(dǎo)類似，采用縱向場法，即先求出縱向分量Ez或Hz，然后再導(dǎo)出其余分量：Er,

E

,

Hr,

H

。xyza,圓波導(dǎo)中電場和磁場可分別表示為對應(yīng)的縱向分量為6.圓波導(dǎo)圓波導(dǎo)的惟一尺寸是內(nèi)半徑40對于TM波，Hz=0，先求出Ez分量，然后再計算各個橫向分量。在無源區(qū)中，Ez分量滿足下列標量齊次亥姆霍茲方程將其在圓柱坐標系中展開，再將Ez分量的表示式代入，得采用分離變量法，令代入上式，得式中及分別為R

對r

的二階和一階導(dǎo)數(shù)，為對

的二階導(dǎo)數(shù)。

對于TM波，Hz=0，先求出Ez分量41類似以前步驟，首先求出函數(shù)滿足的方程為此方程的通解為由于波導(dǎo)中的場分布隨角度的變化應(yīng)以2為周期，因此上式中m一定為整數(shù)，即圓波導(dǎo)具有軸對稱性，的坐標平面可以任意確定。那么，總可以適當?shù)剡x擇坐標平面，使上式中的第一項或第二項消失，因此，的解可以表示為類似以前步驟，首先求出函數(shù)滿足的方程為此方程的通解為42那么求得令，則上式變?yōu)闃藴实闹惾麪柗匠?，即此式的通解為式中為第一類m

階柱貝塞爾函數(shù)，為第二類m階柱貝塞爾函數(shù)。當時，，。但是波導(dǎo)中的場總是有限的，因此，常數(shù)，上式的解應(yīng)為將上述結(jié)果代入，求得縱向分量Ez

的通解為那么求得令，則上式變?yōu)闃藴实闹惾麪?3各個橫向分量分別為式中為柱貝塞爾函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。常數(shù)決定于邊界條件。已知分量Ez及與圓波導(dǎo)內(nèi)壁平行，因此，當時，。根據(jù)這個邊界條件，求得常數(shù)為為第一類m

階貝塞爾函數(shù)的第n個根。各個橫向分量分別為式中為柱貝塞爾函數(shù)44值14.8011.628.4175.136213.3210.177.0163.832111.798.6545.5202.40504321mn每一組m，n值對應(yīng)于一個值，從而形成一種場分布或稱為一種模式?？梢?，電磁波在圓波導(dǎo)中也具有多模特性。

對于TE波，Ez=0。采用上述同樣方法，先求出Hz分量，然后再計算各個橫向分量，其結(jié)果為

值14.8011.628.4175.136213.3210.45再根據(jù)邊界條件，求得常數(shù)kc為式中為第一類柱貝塞爾函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)根，其數(shù)值如下表。再根據(jù)邊界條件，求得常數(shù)kc為式中為第一類柱貝塞46已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b的邊界上Ez=0。那么，該均勻平面波在兩個窄壁之間垂直來回反射。與矩形波導(dǎo)類似，采用縱向場法，即先求出縱向分量Ez或Hz，然后再導(dǎo)出其余分量：Er,E,Hr,H。當電流為z方向時，該小塊導(dǎo)體的電阻為Hz的振輻沿x按余弦分布，Hx及Ez的振幅沿x按正弦分布，但是其振幅均與y無關(guān)。當其傳輸主模TE10波時，求得的傳輸功率為這樣，只要求出z分量，其余分量即可根據(jù)上述關(guān)系求出。那么，TE101模式的Q值可表示為再根據(jù)邊界條件，求得常數(shù)kc為導(dǎo)波系統(tǒng)傳播特性的研究方法根據(jù)截止波長，利用前式即可分別求得相速及波導(dǎo)波長為波導(dǎo)中的傳輸功率與傳輸損耗下圖給出了矩形諧振腔工作于TE101模式時的場結(jié)構(gòu)。對于窄帶信號，可僅取前兩項，即顯然，此功率衰減就是單位長度內(nèi)的功率損耗，即式中0為諧振角頻率，W為腔中總儲能，也就是電場儲能的時間最大值或磁場儲能的時間最大值，Pl為腔中的損耗功率。若僅傳輸TM波，則Hz=0。矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式因此，傳輸功率可以表示為TE011模式的最大Q值發(fā)生在d2a附近。13.179.9656.7053.054211.718.5265.3321.841113.3210.177.0163.83204321mn值和矩形波導(dǎo)一樣，當時，傳播常數(shù)表示傳播被截止。那么，由，求得圓波導(dǎo)中TM波的截止頻率和截止波長為

TE波的截止頻率和截止波長為已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及47下圖給出了圓波導(dǎo)中各種模式的截止波長分布圖。由圖可見，TE11波具有最長的截止波長，其次是TM01波。

0a2aTE01TE21TM01TE113a4ac

截止區(qū)根據(jù)前面結(jié)果，求得TE11及TM01波的截止波長分分別為

由此可見，若工作波長

滿足，即可實現(xiàn)TE11波的單模傳輸。因此，TE11波是圓波導(dǎo)中的常用模式或稱為主模。反之，若工作波長給定，為了實現(xiàn)TE11波單模傳輸，圓波導(dǎo)半徑a必須滿足下圖給出了圓波導(dǎo)中各種模式的截止波長分布圖。48根據(jù)截止頻率和截止波長，即可求出相速、群速、波導(dǎo)波長及波阻抗，其公式與矩形波導(dǎo)的相應(yīng)公式完全相同。下圖給出了圓波導(dǎo)中TE11，TE01及TM01波的電場線及磁場線分布。TE01TM01電場線磁場線TE11根據(jù)截止頻率和截止波長，即可求出相速、群速、49解已知為了保證工作于TE11主模，其工作波長必須滿足例已知圓波導(dǎo)的半徑a=5mm，內(nèi)充理想介質(zhì)的相對介質(zhì)常數(shù)r=9。若要求工作于TE11主模，試求最大允許的頻率范圍。即對應(yīng)的頻率范圍為解已知為了保證工作于TE11主模，其工作波長必須滿足例507.波導(dǎo)中的傳輸功率與傳輸損耗

根據(jù)波導(dǎo)中電場及磁場的橫向分量，計算復(fù)能流密度矢量，再將復(fù)能流密度的實部沿波導(dǎo)的橫截面進行積分，即可求得波導(dǎo)中的傳輸功率。

以矩形波導(dǎo)為例。當其傳輸主模TE10波時，求得的傳輸功率為若波導(dǎo)中介質(zhì)的擊穿場強為，則矩形波導(dǎo)能夠傳輸?shù)淖畲蠊β蕿閷嶋H中，為了安全起見，通常取傳輸功率。波導(dǎo)中的損耗主要來自兩個方面，其一是波導(dǎo)中的填充介質(zhì)引起的損耗，其二是實際波導(dǎo)壁的有限電導(dǎo)率產(chǎn)生的損耗。7.波導(dǎo)中的傳輸功率與傳輸損耗根據(jù)波導(dǎo)中電場51對于填充介質(zhì)產(chǎn)生的損耗，僅以有耗介質(zhì)的等效介電常數(shù)代替原來的介電常數(shù)即可，

波導(dǎo)壁損耗的嚴格計算非常復(fù)雜，通常仍然利用理想導(dǎo)電壁情況下的場強公式計算波導(dǎo)壁的損耗。設(shè)衰減常數(shù)為，則向正z方向傳播的電場振幅可以表示因此，傳輸功率可以表示為將上式對

z

求導(dǎo)，得單位長度內(nèi)的功率衰減為顯然，此功率衰減就是單位長度內(nèi)的功率損耗，即即對于填充介質(zhì)產(chǎn)生的損耗，僅以有耗介質(zhì)的等效介電常數(shù)代52zy111x因此，衰減常數(shù)為為了計算波導(dǎo)壁損耗，在寬壁上取一小塊導(dǎo)體，其長度及寬度均為單位長度，深度等于集膚厚度，如下圖示。當電流為z

方向時，該小塊導(dǎo)體的電阻為式中為波導(dǎo)壁的電導(dǎo)率，RS稱為表面電阻率。鋁銅銀RS金屬左表給出了三種金屬的表面電阻率。zy111x因此，衰減常數(shù)為為了計算波導(dǎo)53已知表面電流密度為通過單位寬度的電流強度，因此單位寬度且單位長度波導(dǎo)壁內(nèi)的損耗功率為式中表面電流，這里為波導(dǎo)壁表面的磁場強度。由左圖可見，當矩形波導(dǎo)尺寸一定時，TE10波的損耗最小。當寬壁尺寸一定時，窄壁愈窄，衰減愈大。

TM11將沿單位長度波導(dǎo)內(nèi)壁進行積分，即可求得單位長度內(nèi)波導(dǎo)壁引起的損耗功率。

已知表面電流密度為通過單位寬度的電流強度，因54由左圖可見，在高頻端，圓波導(dǎo)中TE01波損耗最小。

橢圓波導(dǎo)既可避免場型偏轉(zhuǎn)，又可獲得較小的損耗。當橫截面的面積相等時，矩形的周長大于圓的周長，因此，圓波導(dǎo)損耗較小。但是圓波導(dǎo)傳輸TE11波時，其場分布會發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)。但是TE01波的截止波長并不是最長。若要實現(xiàn)TE01波單模傳輸，必須設(shè)法抑制TM01、TE21及TE11波。由左圖可見，在高頻端，圓波導(dǎo)中TE01波55例計算矩形波導(dǎo)中傳輸TE10波時，波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減。

解已知當矩形波導(dǎo)傳輸TE10波時，波導(dǎo)寬壁上的電流具有x

分量及z分量，而窄壁上只有y分量。因此，單位長度內(nèi)，寬壁上的損耗功率為式中，。單位長度內(nèi)窄壁上的損耗功率為式中，則單位長度內(nèi)總損耗功率為為了減少波導(dǎo)壁的損耗，應(yīng)提高表面的光潔度，可以鍍銀或金。還可在波導(dǎo)中充入干燥的惰性氣體以防止表面氧化。zyx例計算矩形波導(dǎo)中傳輸TE10波時，波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減。56因此，為了抑制同軸線中的非TEM波，工作波長必須滿足詳細計算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可傳輸。當電場能量達到最大值時，磁場能量為零；矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式載波以相速傳播，波包以群速傳播。上圖給出了當時，上述窄帶信號在三個不同時刻的波形。尤其是矩形金屬波導(dǎo)的傳播特性。5，數(shù)值大的m及n模式稱為高次模，數(shù)值小的稱為低次模。波形已知金屬波導(dǎo)中只能傳輸TE波及TM波，現(xiàn)在分別討論他們在矩形波導(dǎo)中的傳播特性。因此，經(jīng)過一段時間傳播后，波包變形，導(dǎo)致信號失真。將這些結(jié)果代入值公式，求得矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE101模式時的值為將這些結(jié)果代入值公式，求得矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE101模式時的值為可見，波導(dǎo)相當于一個高通濾波器。幾種常用導(dǎo)波系統(tǒng)的主要特性將這些結(jié)果代入值公式，求得矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE101模式時的值為選用圓柱坐標系，令圓波導(dǎo)的軸線為z軸，如左圖示。但是波導(dǎo)中的場總是有限的，因此，常數(shù)，上式的解應(yīng)為實際中，為了安全起見，通常取傳輸功率。同軸線是一種典型的TEM傳輸線。再算出傳輸功率P，然后考慮上述，即可求得TE10波衰減常數(shù)為因此，為了抑制同軸線中的非TEM波，工作波長必須滿足再578.諧振腔

在米波以上的微波波段，集中參數(shù)的LC

諧振電路無法使用，經(jīng)常使用相應(yīng)波段的傳輸線形成諧振器件，這種諧振器件稱為諧振腔。因為隨著頻率升高，必須減小電感量和電容量，但是當LC

很小時，分布參數(shù)的影響不可忽略。電容器的引線電感、線圈之間以及器件之間的分布電容必須考慮。這就意味著，在米波以上波段，很難制造單純的電容及電感元件。本節(jié)介紹由金屬波導(dǎo)形成的諧振腔的原理及特性。此外，隨著頻率升高，回路的電磁輻射效應(yīng)也較顯著，電容器中的介質(zhì)損耗也隨之增加，這些因素導(dǎo)致集中參數(shù)的諧振電路的品質(zhì)因素Q

值顯著下降。8.諧振腔在米波以上的微波波段，集中58

當矩形波導(dǎo)終端短路時，電磁波將被全部反射，在波導(dǎo)中形成駐波。若矩形波導(dǎo)工作于主模，TE10波的電場僅有橫向分量，短路端形成電場駐波的波節(jié)。在離短路端半個波導(dǎo)波長處，又形成第二個電場駐波的波節(jié)。若在此處放置一塊橫向短路片，仍然滿足電場邊界條件，如下圖示。

dg

/2baxyz這樣，電磁波在短路端及短路片之間來回反射形成駐波。根據(jù)TE10波的場強公式及邊界條件，求得該金屬腔中電磁場方程式為當矩形波導(dǎo)終端短路時，電磁波將被全部反射，在波導(dǎo)中形59利用三角公式，上式又可寫為此式表明，金屬腔中的電場及磁場在x

及z

方向上均形成駐波，但電場駐波及磁場駐波的時間相位差為。當電場能量達到最大值時，磁場能量為零；反之，當磁場能量達到最大值時，電場能量為零。電磁能量在電場與磁場之間不斷地交換，而且無須外界輸入能量一直存在，這種現(xiàn)象稱為諧振。因此這種金屬腔稱為諧振腔，它可作為微波電路中的諧振器件。

利用三角公式，上式又可寫為此式表明，金屬腔中60對于尺寸一定的諧振腔，僅對特定的頻率出現(xiàn)諧振現(xiàn)象。發(fā)生諧振的頻率稱為諧振頻率，對應(yīng)的波長稱為諧振波長。顯然，只要諧振腔的長度為均可滿足邊界條件，即發(fā)生諧振。因此，諧振腔的諧振頻率具有多值性。又因波導(dǎo)波長還與模式有關(guān)，因此，模式不同，諧振頻率也不同。已知矩形波導(dǎo)中z向傳播常數(shù)為當時，，，代入上式，得對于尺寸一定的諧振腔，僅對特定的頻率出現(xiàn)諧振61考慮到，求得諧振波長及諧振頻率分別為可見，諧振波長或諧振頻率不僅與諧振腔的尺寸有關(guān)，還與波導(dǎo)中的工作模式有關(guān)，每組（mnl）對應(yīng)于一種模式。例如TE101模式代表矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE10波，腔長為半個波導(dǎo)波長。為了有效地設(shè)計諧振腔的耦合及調(diào)諧裝置，必須了解諧振腔中的場分布。

考慮到，求得諧振波長及諧62下圖給出了矩形諧振腔工作于TE101模式時的場結(jié)構(gòu)。xzyxyzbad磁場線電場線和一切諧振器件一樣，實際的諧振腔總存在一定的損耗。為了衡量諧振器件的損耗大小，通常使用品質(zhì)因素Q

值，其定義為

式中0為諧振角頻率，W

為腔中總儲能，也就是電場儲能的時間最大值或磁場儲能的時間最大值，Pl

為腔中的損耗功率。根據(jù)前述TE10波的場強公式，求出電場儲能的時間最大值為下圖給出了矩形諧振腔工作于TE101模式時的場結(jié)構(gòu)。xzy63

與計算波導(dǎo)壁的損耗方法相同，可以求出矩形諧振腔中TE101模式的損耗功率為將這些結(jié)果代入值公式，求得矩形波導(dǎo)諧振腔工作于TE101模式時的值為TE101模式的諧振角頻率為那么，TE101模式的Q

值可表示為式中

與計算波導(dǎo)壁的損耗方法相同，可以求出矩形諧振腔中TE64波導(dǎo)諧振腔可以獲得很高的Q值。由于圓波導(dǎo)的腔壁損耗較小，圓柱諧振腔的Q

值更高，它比矩形腔獲得更加廣泛的應(yīng)用。圓柱諧振腔的諧振頻率及其Q

值計算，方法同前，其結(jié)果如下：對于TM波對于TE波波導(dǎo)諧振腔可以獲得很高的Q值。由于圓波導(dǎo)的65左圖給出了圓柱腔的Q值與尺寸的關(guān)系，由圖可見，TE01l模式具有較高的Q

值。TE011模式的最大Q值發(fā)生在d

2a附近。若=3cm，則Q

值可達104~4104。提高諧振腔Q

值的方法與減小波導(dǎo)壁損耗的方法相同。此外，體積應(yīng)盡可能大一些，以增加儲能。腔壁面積應(yīng)盡可能小一些，以減小損耗。左圖給出了圓柱腔的Q值與尺寸的關(guān)系，由圖可66

例試證波導(dǎo)諧振腔對于任何模式的諧振波長均可表示為式中為截止波長，d為諧振腔的長度。

解已知無論何種波導(dǎo)，其傳播常數(shù)均為已知當時，，，均可發(fā)生諧振，將其代入上式，且考慮到及，得將上式整理后，即求得上述一般公式。

例試證波導(dǎo)諧振腔對于任何模式的諧振波長均可表示為式679.同軸線

同軸線的結(jié)構(gòu)如下圖示，其主要尺寸是內(nèi)導(dǎo)體的半徑a和外導(dǎo)體的內(nèi)半徑

b。內(nèi)外導(dǎo)體之間可以填充介質(zhì)或為空氣，電磁波存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間。yzabx同軸線是一種性能良好的微波傳輸線，它具有與波導(dǎo)一樣完全電磁屏蔽的優(yōu)點，而且工作頻帶較寬。同軸線中電場線為沿半徑方向的徑向線，磁場線為沿角度方向的閉合圓，如左圖示。電場線磁場線同軸線是一種典型的TEM傳輸線。同軸線中的波長如何？9.同軸線同軸線的結(jié)構(gòu)如下圖示，其主68同軸線也可看作為一種圓波導(dǎo)，因此除了傳輸TEM波以外，還可存在TE波及TM波。但是，根據(jù)工作頻率適當?shù)卦O(shè)計同軸線的尺寸，即可抑制這些非TEM波成分。

同軸線中非TEM波的波型分析方法與圓波導(dǎo)類似。但是由于同軸線具有內(nèi)導(dǎo)體，變量r的范圍是，可見。所以，在r=0處為無限大的第二類柱貝塞耳函數(shù)也應(yīng)作為柱貝塞耳方程的解，即對于TM波及TE波，分別利用邊界條件即可求出傳播常數(shù)kc，然后再計算各個模式的截止波長。0TE10TM01TE11(a+b)c(b-a)同軸線也可看作為一種圓波導(dǎo)，因此除了傳輸TE69TEM波0TE10TM01TE11(a+b)c(b-a)由圖可見，TE11波具有最長的截止波長，其值為。因此，為了抑制同軸線中的非TEM波，工作波長

必須滿足或者說，同軸線的尺寸應(yīng)滿足由此可見，為了消除同軸線中的高次模，隨著頻率升高，同軸線的尺寸必須相應(yīng)地減小。但尺寸過小，損耗增加，且限制了傳輸功率。因此，同軸線的使用頻率一般低于3GHz。但是，同軸線的傳輸頻率并無下限，這也TEM波傳輸線的共性。和金屬波導(dǎo)一樣，同軸線也可構(gòu)成同軸諧振腔，其設(shè)計方法同前。

TEM波0TE10TM01TE11(a+b)c(b70與計算波導(dǎo)壁的損耗方法相同，可以求出矩形諧振腔中TE101模式的損耗功率為波形那么由圖可見，當時，全部模式被截止。因為，TE10波的，TE20波的，更高次模的截止波長更短，可見，當該波導(dǎo)中為真空時，僅能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10波。將其在圓柱坐標系中展開，再將Ez分量的表示式代入，得因為，TE10波的，TE20波的，更高次模的截止波長更短，可見，當該波導(dǎo)中為真空時，僅能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10波。已知，，由上式可見，真空波導(dǎo)中。利用三角公式，上式又可寫為當時，，。當P點位移為d時，由于波包速度較慢，點僅位移。可見，當時，，這就意味著波的傳播被截止，因此，稱為截止傳播常數(shù)。將上述結(jié)果代入，求得縱向分量Ez的通解為但是圓波導(dǎo)傳輸TE11波時，其場分布會發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)。若，則，這種情況稱為正常色散。TE10波的截止波長、相速、波導(dǎo)波長及能速。均可滿足邊界條件，即發(fā)生諧振。已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b的邊界上Ez=0。矩形波導(dǎo)中的TE10波式中0為諧振角頻率，W為腔中總儲能，也就是電場儲能的時間最大值或磁場儲能的時間最大值，Pl為腔中的損耗功率。幾種常用導(dǎo)波系統(tǒng)的主要特性主要內(nèi)容主要概念

幾種常用的導(dǎo)波系統(tǒng)及其主要特性，金屬波導(dǎo)的傳輸特性，矩形波導(dǎo)中的TE10波，波導(dǎo)和同軸線的尺寸設(shè)計，波導(dǎo)的傳輸功率及損耗，諧振腔的特性。TEM波、TE波和TM波，縱向場方法，多模特性，截止傳播常數(shù)，截止波長和頻率，工作波長和波導(dǎo)波長，波導(dǎo)中的相速、能速和群速，諧振腔的諧振頻率和波長與計算波導(dǎo)壁的損耗方法相同，可以求出矩形諧振腔中TE101模71第九章導(dǎo)行電磁波主要內(nèi)容幾種常用的導(dǎo)波系統(tǒng)，矩形波導(dǎo)中的電磁波，圓波導(dǎo)中的電磁波，同軸線，諧振腔。沿一定的途徑傳播的電磁波稱為導(dǎo)行電磁波，傳輸導(dǎo)行波的系統(tǒng)稱為導(dǎo)波系統(tǒng)。

常用的導(dǎo)波系統(tǒng)有雙導(dǎo)線、同軸線、帶狀線、微帶、金屬波導(dǎo)等。這些導(dǎo)波系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖示。本章僅介紹同軸線和金屬波導(dǎo)。尤其是矩形金屬波導(dǎo)的傳播特性。第九章導(dǎo)行電磁波主要內(nèi)容沿一定的途徑傳播的電72帶狀線雙導(dǎo)線矩形波導(dǎo)微帶介質(zhì)波導(dǎo)光纖同軸線圓波導(dǎo)帶狀線雙導(dǎo)線矩形波導(dǎo)微帶介質(zhì)波導(dǎo)同軸線圓波導(dǎo)731.TEM波、TE波及TM波

TEM波、TE波及TM波的電場方向及磁場方向與傳播方向的關(guān)系如下圖示。

TEM波EHesTE波EHesTM波EHes可以證明，能夠建立靜電場的導(dǎo)波系統(tǒng)必然能夠傳輸TEM波。

根據(jù)麥克斯韋方程也可說明金屬波導(dǎo)不能傳輸TEM波。1.TEM波、TE波及TM波TEM波74名稱波形電磁屏蔽使用波段雙導(dǎo)線

TEM波

差>3m同軸線TEM波好>10cm帶狀線TEM波差厘米波微帶準TEM波差厘米波矩形波導(dǎo)TE或TM波好厘米波、毫米波圓波導(dǎo)TE或TM波好厘米波、毫米波光纖TE或TM波差光波幾種常用導(dǎo)波系統(tǒng)的主要特性名稱波形電磁屏蔽使用波段75導(dǎo)波系統(tǒng)傳播特性的研究方法首先設(shè)導(dǎo)波系統(tǒng)是無限長的，根據(jù)導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面的形狀選取直角坐標系或者圓柱坐標系，令其沿z

軸放置，且傳播方向為正z

方向。以直角坐標為例，則該導(dǎo)波系統(tǒng)中的電場與磁場可以分別表示為而且應(yīng)該滿足下列矢量亥姆霍茲方程

導(dǎo)波系統(tǒng)傳播特性的研究方法首先設(shè)導(dǎo)波系統(tǒng)是無76

由前獲知，上式包含了6個直角坐標分量及，它們分別滿足齊次標量亥姆霍茲方程。根據(jù)導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件，利用分離變量法即可求解這些方程。但是實際上并不需要求解6個坐標分量，因為它們不是完全獨立的。根據(jù)麥克斯韋方程，可以求出x分量及y分量和z分量的關(guān)系為式中由前獲知，上式包含了6個直角坐標分量77這樣，只要求出z分量，其余分量即可根據(jù)上述關(guān)系求出。z分量為縱向分量，因此這種方法又稱為縱向場法。在圓柱坐標系中，同樣可用z分量表示r分量和

分量。其關(guān)系式為這樣，只要求出z分量，其余分量即可根據(jù)上述關(guān)系782.矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式

矩形波導(dǎo)形狀如下圖示，寬壁的內(nèi)尺寸為a

，窄壁的內(nèi)尺寸為b。

azyxb,已知金屬波導(dǎo)中只能傳輸TE波及TM波，現(xiàn)在分別討論他們在矩形波導(dǎo)中的傳播特性。

若僅傳輸TM波，則Hz=0。按照縱向場法，此時僅需求出Ez

分量，然后即可計算其余各個分量。

已知電場強度的z

分量可以表示為2.矩形波導(dǎo)中的電磁波方程式矩形波導(dǎo)形狀如下圖示，79它應(yīng)滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即

其振輻也滿足同樣的齊次標量亥姆霍茲方程，即為了求解上述方程，采用分離變量法。令代入上式，得式中X"

表示X

對x

的二階導(dǎo)數(shù)，Y"

表示Y對y的二階導(dǎo)數(shù)。它應(yīng)滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即 其振輻也滿足同樣的齊次標量80由于上式中的第二項僅為y

函數(shù)，而右端為常數(shù)，因此，若將此式對x

求導(dǎo)，得知左端第一項應(yīng)為常數(shù)。若對y

求導(dǎo)，得知第二項應(yīng)為常數(shù)?，F(xiàn)分別令這里，kx

和ky

稱為分離常數(shù)。利用邊界條件即可求解這些分離常數(shù)。顯然由上可見，原來的二階偏微分方程，經(jīng)過變量分離后變?yōu)閮蓚€常微分方程，因此求解簡便。兩個常微分方程的通解分別為式中常數(shù)C1，C2，

C3，

C4取決于導(dǎo)波系統(tǒng)的邊界條件。由于上式中的第二項僅為y函數(shù)，而右端為常81已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=0,a及y=0,b

的邊界上Ez=0。由此決定上述常數(shù)，再根據(jù)這些結(jié)果求出分離常數(shù)為代入前式即可求出矩形波導(dǎo)中TM波的各個分量為已知Ez分量與波導(dǎo)四壁平行，因此在x=82

1，電磁波的相位僅與變量z有關(guān)，而振幅與x,y有關(guān)。因此，在Z方向上為行波，在X及Y

方向上形成駐波。

2，z

等于常數(shù)的平面為波面。但振輻與x,y有關(guān)，因此上述TM波為非均勻的平面波；

3，當m

或n

為零時，上述各個分量均為零，因此m及n

應(yīng)為非零的整數(shù)。m及n具有明顯的物理意義，m為寬壁上的半個駐波的數(shù)目，n為窄壁上半個駐波的數(shù)目。

4，由于m及n為多值，因此場結(jié)構(gòu)均具有多種模式。m及n的每一種組合構(gòu)成一種模式，以TMmn表示。例如TM11表示m=1,n=1的場結(jié)構(gòu)，具有這種場結(jié)構(gòu)的波稱為TM11波。5，數(shù)值大的m及n模式稱為高次模，數(shù)值小的稱為低次模。由于m及n均不為零，故矩形波導(dǎo)中TM波的最低模式是TM11波。1，電磁波的相位僅與變量z有關(guān)，而振幅與83類似地可以導(dǎo)出矩形波導(dǎo)中TE波的各個分量為 式中，但兩者不能同時為零。由上式可見，與TM波一樣，TE波也具有前述多模特性，但此時m及n不能同時為零。因此，TE波的最低模式為TE01波或TE10波。類似地可以導(dǎo)出矩形波導(dǎo)中TE波的各個分量為 式中843.矩形波導(dǎo)中電磁波的傳播特性

已知，即?？梢?，當時，，這就意味著波的傳播被截止，因此，稱為截止傳播常數(shù)。截止傳播常數(shù)和截止頻率利用傳播常數(shù)與頻率的關(guān)系，可以求出對應(yīng)于截止傳播常數(shù)的截止頻率，即根據(jù)前面結(jié)果，獲知截止傳播常數(shù)為3.矩形波導(dǎo)中電磁波的傳播特性已知85那么，傳播常數(shù)kz

可以表示為

當時，為實數(shù)，因子代表向正z方向傳播的波。當時，為虛數(shù)，因子因此，對于一定的模式和波導(dǎo)尺寸來說，fc

是能夠傳輸該模式的最低頻率?？梢姡▽?dǎo)相當于一個高通濾波器。此式表明時變電磁場沒有傳播，而是沿正Z方向不斷衰減的凋落場。那么，傳播常數(shù)kz可以表示為當86利用關(guān)系式，即可求得對應(yīng)于截止傳播常數(shù)的截止波長為截止波長上述結(jié)果表明，無論截止頻率或截止波長均與與波導(dǎo)尺寸

a,b及模式m,n有關(guān)。對于一定的波導(dǎo)尺寸來說，每一種模式具有一定的截止頻率或截止波長。高次模式具有較高的截止頻率，或者說具有較短的截止波長。例如，TE10波的截止波長為2a，TE20波的截止波長為a。左圖給出了當波導(dǎo)尺寸時，各種模式截止波長的分布圖。TM11TE01TE20TE100a2ac利用關(guān)系式，即可求得對應(yīng)于截止傳播常數(shù)87解①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截止頻率。m及n具有明顯的物理意義，m為寬壁上的半個駐波的數(shù)目，n為窄壁上半個駐波的數(shù)目。②根據(jù)所設(shè)計的波導(dǎo)，計算工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗。②工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗分別為實際中，為了安全起見，通常取傳輸功率。幾種常用的導(dǎo)波系統(tǒng)及其主要特性，金屬波導(dǎo)的傳輸特性，矩形波導(dǎo)中的TE10波，波導(dǎo)和同軸線的尺寸設(shè)計，波導(dǎo)的傳輸功率及損耗，諧振腔的特性。兩個常微分方程的通解分別為當P點位移為d時，由于波包速度較慢，點僅位移。為了計算波導(dǎo)壁損耗，在寬壁上取一小塊導(dǎo)體，其長度及寬度均為單位長度，深度等于集膚厚度，如下圖示。對于窄帶信號，可僅取前兩項，即下圖給出了矩形諧振腔工作于TE101模式時的場結(jié)構(gòu)。同軸線的結(jié)構(gòu)如下圖示，其主要尺寸是內(nèi)導(dǎo)體的半徑a和外導(dǎo)體的內(nèi)半徑b。為波包等相位點，P為載波等相位點。可見，合成波的相速大于均勻平面波的相速，由圖求出根據(jù)波導(dǎo)中電場及磁場的橫向分量，計算復(fù)能流密度矢量，再將復(fù)能流密度的實部沿波導(dǎo)的橫截面進行積分，即可求得波導(dǎo)中的傳輸功率。窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導(dǎo)衰減以及重量等。解當內(nèi)部為真空時，工作波長為圓波導(dǎo)具有軸對稱性，的坐標平面可以任意確定。TE10波為矩形波導(dǎo)中的常用模式或稱為主模。反之，當磁場能量達到最大值時，電場能量為零。TE10波為矩形波導(dǎo)中的常用模式或稱為主模。截止區(qū)TM11TE01TE20TE100a2ac已知當時，相應(yīng)的模式波均被截止。那么由圖可見，當時，全部模式被截止。當時，只有TE10波存在，其它模式被截止。當時，才有其它模式出現(xiàn)。由此可見，如果工作波長滿足實現(xiàn)單模傳輸是實際應(yīng)用所需要的。即可實現(xiàn)單模傳輸，而且實現(xiàn)單模傳輸?shù)奈┮荒Ｊ骄褪荰E10波。解①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截88窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導(dǎo)衰減以及重量等。國際上對于各波段通常使用的波導(dǎo)尺寸已有統(tǒng)一規(guī)定?？梢?，當工作波長增加時，為保證單模傳輸，波導(dǎo)的尺寸必須相應(yīng)地加大。若頻率過低，因而工作波長過長，以致波導(dǎo)尺寸過大，無法采用。因此，實際中金屬波導(dǎo)適用于3000MHz以上的微波波段。實際中，通常取，以便在波段內(nèi)實現(xiàn)TE10波單模傳輸。工程上常取左右，或。為了保證僅傳輸TE10波，矩形波導(dǎo)的尺寸應(yīng)該滿足將可獲知，窄壁減小會使傳輸衰減增大。窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導(dǎo)衰減以及重量等。國89根據(jù)相速與相位常數(shù)的關(guān)系，求得矩形波導(dǎo)中的相速為 式中。當波導(dǎo)中為真空時，。不同波導(dǎo)尺寸及模式，其相速也不同。波導(dǎo)中的相速與頻率有關(guān)。因此，電磁波在波導(dǎo)中傳播時會出現(xiàn)色散現(xiàn)象。波導(dǎo)中的相速不代表能速。已知，，由上式可見，真空波導(dǎo)中。根據(jù)相速與相位常數(shù)的關(guān)系，求得矩形波導(dǎo)中的相速為 式90根據(jù)波長與相位常數(shù)的關(guān)系，求得波導(dǎo)中電磁波的波長為式中為工作波長。稱為波導(dǎo)波長。已知，，故。波導(dǎo)中的橫向電場與磁場之比稱為波導(dǎo)的波阻抗，那么對于TM波，其波阻抗為

將前面結(jié)果代入，求得根據(jù)波長與相位常數(shù)的關(guān)系，求得波導(dǎo)中電磁波的波長91同理可得TE波的波阻抗為由上兩式可見，當，時，及均為虛數(shù)，表明橫向電場與橫向磁場相位相差，因此，沿z

方向沒有能量單向流動，這就意味著電磁波的傳播被截止。例某一內(nèi)部為真空的矩形金屬波導(dǎo)，其截面尺寸為25mm10mm，當頻率的電磁波進入波導(dǎo)中以后，該波導(dǎo)能夠傳輸?shù)哪Ｊ绞鞘裁?？當波?dǎo)中填充介電常數(shù)的理想介質(zhì)后，能夠傳輸?shù)哪Ｊ接袩o改變？同理可得TE波的波阻抗為由上兩式可見，當92

解當內(nèi)部為真空時，工作波長為波導(dǎo)的截止波長為因為，TE10波的，TE20波的，更高次模的截止波長更短，可見，當該波導(dǎo)中為真空時，僅能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10波。

若填充的理想介質(zhì)，則工作波長為因此，可以傳輸TE10波及TE20波，而且還可能存在其它模式。詳細計算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可傳輸。解當內(nèi)部為真空時，工作波長為波導(dǎo)的截止波長為因為，TE193矩形波導(dǎo)僅可傳輸TM波和TE波。矩形波導(dǎo)中的電磁波具有多模特性：TMmn和TEmn。不同模式具有不同截止波長：為