復(fù)變函數(shù)與積分變換第五章留數(shù)z課件

我并無(wú)過(guò)人的智能，有的只是堅(jiān)持不屑的思索精力而已。今天盡你最大的努力去做好，明天也許能做的更好.-----牛頓

我反復(fù)思索好幾個(gè)月，好幾年；有九十九次都是錯(cuò)的，而第一百次我對(duì)了.-----愛(ài)因斯坦我并無(wú)過(guò)人的智能，有的只是堅(jiān)持不屑的思索精力而已。今第五章留數(shù)§5.2留數(shù)§5.1孤立奇點(diǎn)§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用第五章留數(shù)§5.2留數(shù)§5.1孤立奇點(diǎn)§5.3主要內(nèi)容

本章介紹孤立奇點(diǎn)的概念、分類及其判別；留數(shù)的概念；孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算；并將其應(yīng)用于實(shí)函數(shù)積分的計(jì)算.主要內(nèi)容本章介紹孤立奇點(diǎn)的概念、分類及其判別；§5.1孤立奇點(diǎn)一、引言二、零點(diǎn)三、孤立奇點(diǎn)四、孤立奇點(diǎn)的分類五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類§5.1孤立奇點(diǎn)一、引言二、零點(diǎn)三、孤立回顧復(fù)積分的計(jì)算方法：（4）柯西-古薩基本定理：（5）Cauchy積分公式（6）Cauchy高階導(dǎo)數(shù)公式一、引言回顧復(fù)積分的計(jì)算方法：（4）柯西-古薩基本定理：（5）Cau問(wèn)題：如何轉(zhuǎn)化成含有的形式？一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。

如圖，考慮積分

DrCG(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)此時(shí)問(wèn)題：如何轉(zhuǎn)化成含有的形式？一、引言本章一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)則此時(shí)，將函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開(kāi)，由則積分“不難?

”得到。G一、引言本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。D則稱為的零點(diǎn)；(1)若

所謂函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根。定義設(shè)函數(shù)在處解析，(2)若在

處解析且則稱為的

m

階零點(diǎn)。二、零點(diǎn)P81定義

5.3

則稱為的零點(diǎn)；二、零點(diǎn)

定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價(jià)的：(1)為的m

階零點(diǎn)。(2)其中，(3)在內(nèi)的泰勒展開(kāi)式為

充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?

)(進(jìn)入證明?)二、零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)在處其中，二、零點(diǎn)

充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?

)定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價(jià)的：(1)為的m

階零點(diǎn)。(2)(3)在內(nèi)的泰勒展開(kāi)式為收斂且解析其中，二、零點(diǎn)充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?是的三階零點(diǎn)。是的三階零點(diǎn)。方法一

方法二

是的三階零點(diǎn)。是三、孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點(diǎn)。使得在去心且存在定義設(shè)為的奇點(diǎn)，例為孤立奇點(diǎn)。例原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)均為奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)。P79定義

5.1

三、孤立奇點(diǎn)鄰域例(1)令為孤立奇點(diǎn)；(2)也是奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)。鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點(diǎn)。使得在去心定義設(shè)為的奇點(diǎn)，且存在三、孤立奇點(diǎn)例(1)令為孤立奇點(diǎn)；(2)也是xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的.函數(shù)的實(shí)部

注:若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的.函注:若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

將在內(nèi)定義設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：(1)若有則稱為的可去奇點(diǎn)。(

即不含負(fù)冪次項(xiàng)

)P79

四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：則稱為的

N

階極點(diǎn)；(

即含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)

)(2)若有且有特別地，當(dāng)時(shí)，稱為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)。四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：(

即含無(wú)限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)

)(3)若有則稱為的本性奇點(diǎn)。四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：小結(jié)(1)可去奇點(diǎn)

不含負(fù)冪次項(xiàng)；(2)N階極點(diǎn)

含有限多的負(fù)冪次項(xiàng),且最高負(fù)冪次為

N；

(3)本性奇點(diǎn)

含有無(wú)窮多的負(fù)冪次項(xiàng)?？扇テ纥c(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域可去奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類定理

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：可去奇點(diǎn)的判定方法可去奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的(不含負(fù)冪次項(xiàng))解是的奇點(diǎn)，由是的可去奇點(diǎn)?？芍?，將在的去心鄰域展成洛朗級(jí)數(shù)，有或

如果約定在點(diǎn)的值為

1，則在點(diǎn)就解析了，因此稱為的可去奇點(diǎn)。(不含負(fù)冪次項(xiàng))解是的奇點(diǎn)，定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)（都是N階極點(diǎn)的特征）：(iii)z0是的N階零點(diǎn).(可去奇點(diǎn)作為解析點(diǎn)看)N階極點(diǎn)的判定方法定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)（定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是與不存在極限的區(qū)別定理

若零點(diǎn)，則(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，即為的可去奇點(diǎn)。為的

(n-m)

階極點(diǎn)。且為的

n

階零點(diǎn)，為

的

m

階定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極(含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，且最高負(fù)冪次為

2

)解是的奇點(diǎn)，由是的極點(diǎn)。可知，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有注

可見(jiàn)，為的二階極點(diǎn)。(含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，且最高負(fù)冪次為2)解是本性奇點(diǎn)的判定方法定理

z0為f(z)的本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)的判定方法定理z0為f(z)的本性奇點(diǎn)解是的奇點(diǎn)，考察極限是的本性奇點(diǎn)。因此，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有注(含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng))由不存在且不為可知，解是的奇點(diǎn)，考察極限是是的一階極點(diǎn)。判斷函數(shù)的奇點(diǎn)的類型。例是的二階極點(diǎn)。解由于是的可去奇點(diǎn)，故解由于是的一階極點(diǎn)，故是的一階極點(diǎn)。判斷函數(shù)由于是的四階零點(diǎn)，解故是的二階極點(diǎn)。將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有

因此，為的二階極點(diǎn)。注直接利用洛朗級(jí)數(shù)來(lái)判斷奇點(diǎn)類型的方法最好也能夠掌握

且是的二階零點(diǎn)，由于是的四階零點(diǎn)，解總結(jié):孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)N階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)Laurent級(jí)數(shù)的特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為總結(jié):孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)N階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)Laurent級(jí)數(shù)的特

小結(jié)小結(jié)一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)則此時(shí)，將函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開(kāi)，由則積分“不難?

”得到。G一、引言本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。D§5.2

留數(shù)一留數(shù)的概念二留數(shù)的計(jì)算方法§5.2留數(shù)一留數(shù)的概念二留數(shù)的計(jì)算方法0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)5.2留數(shù)0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)5.2留數(shù)一、留數(shù)的概念將在的去心鄰域設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，定義稱為在處的留數(shù)，記作：內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)：(兩邊積分)其中，C

是的去心鄰域內(nèi)繞的一條簡(jiǎn)單閉曲線。P83定義

5.6

(留數(shù)的產(chǎn)生)一、留數(shù)的概念將在的去心鄰域而且在使用該方法時(shí)，并不需要知道奇點(diǎn)的類型。

二、留數(shù)的計(jì)算方法若為的可去奇點(diǎn)，方法1.可去奇點(diǎn)若為的本性奇點(diǎn)，方法2.本性奇點(diǎn)則“只好”

將在的去心鄰域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。(1)在具體展開(kāi)的時(shí)候，并不需要寫出

“完整”

的洛朗級(jí)數(shù)，

注只需將其中負(fù)一次冪的系數(shù)求出來(lái)就可以了。

(2)對(duì)于不是本性奇點(diǎn)的情況，該方法有時(shí)也是很有效的，

則而且在使用該方法時(shí)，并不需要知道奇點(diǎn)的類型。二、留數(shù)(1)若為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，特別則(2)若且

在

點(diǎn)解析，則

P84法則3二、留數(shù)的計(jì)算方法3.極點(diǎn)方法(法則)若為的

m

階極點(diǎn)，P84法則2

(1)若為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，特別是的可去奇點(diǎn)，解(1)和均為的一階極點(diǎn)，(2)是的可去奇點(diǎn)，解(1)(羅比達(dá)法則)

是的三階極點(diǎn)，解(1)為的二階極點(diǎn)，(2)(羅比達(dá)法則)是的三階極點(diǎn)，解是的本性奇點(diǎn)，解將在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開(kāi)，有是的本性奇點(diǎn)，解將方法一

利用洛朗展式求留數(shù)

解將在的去心鄰域展開(kāi)，得方法一利用洛朗展式求留數(shù)解將由于是三階極點(diǎn)，解方法二

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

(羅比達(dá)法則)

因此有(好麻煩!)

由于是三階極點(diǎn)，解方法二

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

若

“不幸”

將判斷成了的六階極點(diǎn)，

巧合?

(非也!)解方法二利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解如果為的階極點(diǎn),取正整數(shù)法則4那么注

(1)此類函數(shù)求留數(shù)，可考慮利用洛朗展式。

(2)若此類函數(shù)求閉路積分，則可考慮利用高階導(dǎo)公式，而不一定非得使用后面即將介紹的留數(shù)定理。

如果為的階極點(diǎn),取正整數(shù)§5.3

留數(shù)定理及其應(yīng)用一留數(shù)定理二留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用一留數(shù)定理二留數(shù)在定積分DC…一、留數(shù)定理處處解析，且連續(xù)到邊界

C

，定理設(shè)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外注意只需計(jì)算積分曲線

C

所圍成的有限區(qū)域內(nèi)奇點(diǎn)的留數(shù)。如圖，將孤立奇點(diǎn)用含于

D

內(nèi)且證明互不重疊的圓圈包圍起來(lái)，根據(jù)復(fù)合閉路定理有則P86定理

5.7

DC…一、留數(shù)定理處處解析，且連續(xù)到邊界C，利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)圍線積分的步驟：1明確積分曲線及內(nèi)部奇點(diǎn)2確定奇點(diǎn)類型,計(jì)算留數(shù)3應(yīng)用留數(shù)定理,求積分利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)圍線積分的步驟：1明確積分曲線及內(nèi)部奇點(diǎn)解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：可去奇點(diǎn)一階極點(diǎn)解被積函數(shù)在解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：一階極點(diǎn)二階極點(diǎn)解被積函數(shù)在解方法一

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

(羅比達(dá)法則)為被積函數(shù)的二階極點(diǎn)，方法二利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解

解方法一利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解方法三

利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)在的去心鄰域展開(kāi)，方法三利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)極點(diǎn)z=3在的外部.分別是f(z)的3級(jí)和1級(jí)極點(diǎn),都在的內(nèi)部.而練習(xí)計(jì)算積分其中C是的正向.

記顯然z=0和z=1極點(diǎn)z=3在的外部.分別是f(z于是，根據(jù)留數(shù)基本定理于是，根據(jù)留數(shù)基本定理

在高等數(shù)學(xué)中，以及許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來(lái)；例如或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如

二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中，以及許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算出一些根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來(lái)計(jì)算定積分是計(jì)算定積分顯得有用。即使尋常的方法可用，如果用留數(shù)，也往往首先，被積函數(shù)必須要與某個(gè)解析函數(shù)密切相關(guān)。這一的一個(gè)有效措施，特別是當(dāng)被積的原函數(shù)不易求得時(shí)更感到很方便。當(dāng)然這個(gè)方法的使用還受到很大的限制。點(diǎn)，一般講來(lái)，關(guān)系不大，因?yàn)楸环e函數(shù)常常是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是可以推廣到復(fù)數(shù)域中去的。其次，定積分的積分域是區(qū)間，而用留數(shù)來(lái)計(jì)算要牽涉到把問(wèn)題化為沿閉曲線的積分。這是比較困難的一點(diǎn)。下面來(lái)闡述怎樣利用復(fù)數(shù)求某幾種特殊形式的定積分的值。根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來(lái)計(jì)算定積分是計(jì)算定積分顯得有用。即使尋二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用1、形如的積分2、形如的積分3、形如的積分二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用1、形如思想方法

:封閉路線的積分

.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條思想方法:封閉路線的積分.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的1、形如的積分方法(1)令則要求是

u,

v

的有理函數(shù)，即是以

u,

v

為變量的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。1、形如方法即是以

u,

v

為變量要求是

u,

v

的有理函數(shù)，1、形如的積分的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。其中，是在內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。(2)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化方法即是以u(píng),v為變例

計(jì)算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn):在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬(wàn)能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.例計(jì)算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)由于因此從而被積函數(shù)1級(jí)極點(diǎn)z1.所以在單位圓周內(nèi)只有一個(gè)由于因此其中，P(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高二次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。推導(dǎo)(略)

其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。要求(1)方法2、形如的積分(進(jìn)入推導(dǎo)?)其中，P(x),Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母Q2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:在上半平面取一條分段光滑的曲線,使其與實(shí)軸的一部分構(gòu)成一條簡(jiǎn)單閉曲線,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇點(diǎn)，并使f(z)在其內(nèi)部除去這種方法稱為圍道積分法.1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當(dāng)z在實(shí)軸上時(shí),f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:在上半平面取一條分段光滑的曲線,使

(1)令解(2)(3)在上半平面內(nèi)，i與3i為一階極點(diǎn)。(1)令解(2)(3)在上半平3、形如的積分(2)分母Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高一次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。其中，P(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；要求(1)方法3、形如即：即：

在上半平面內(nèi)，1+3

i為一階極點(diǎn)。(1)令解(2)在上半平面內(nèi)，1+3i為一階極點(diǎn)。(1)令(3)(2)(3)(2)留數(shù)計(jì)算方法留數(shù)定理留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章內(nèi)容總結(jié)留數(shù)計(jì)算方法留數(shù)定理留數(shù)在定積分本章內(nèi)容總結(jié)1.留數(shù)的計(jì)算3.留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章的重點(diǎn)2.留數(shù)定理及在復(fù)變函數(shù)積分中的應(yīng)用1.留數(shù)的計(jì)算3.留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章的重點(diǎn)第四章完第四章完KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德國(guó)數(shù)學(xué)家.曾在波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律,1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué).后來(lái)成為中學(xué)教師,不僅教數(shù)學(xué)、物理,還教寫作和體育,在這期間刻苦進(jìn)行數(shù)學(xué)研究.1856年到柏林大學(xué)任教,1864年成為教授.Weierstrass是將嚴(yán)格的論證引入分析學(xué)的一位大師,他發(fā)現(xiàn)了處處不可微的連續(xù)函數(shù),與其他一些數(shù)學(xué)家一起共同結(jié)束了分析學(xué)的混亂局面.KarlWeierstrass(1815.10.31-1EugeneRouche(1832.8.18-1910.8.19)法國(guó)數(shù)學(xué)家.在分析學(xué)和代數(shù)學(xué)方面均有貢獻(xiàn).1862年發(fā)表了Rouche定理.1875年曾發(fā)表文章證明了線性方程組存在解的系數(shù)矩陣秩準(zhǔn)則.EugeneRouche(1832.8.18-1910.附：留數(shù)(Residu)的產(chǎn)生

柯西在“求沿著兩條有相同起點(diǎn)與終點(diǎn)且包圍著

函數(shù)極點(diǎn)的路徑積分之差”時(shí)得到了這個(gè)概念。這也是使用該名稱的緣故。1829年柯西創(chuàng)建了留數(shù)理論。1814年柯西第一個(gè)注意到了留數(shù)的概念。(即留數(shù)、殘數(shù)、剩余)這個(gè)術(shù)語(yǔ)。1826年柯西在他的研究報(bào)告中首次使用了“residu”(返回)附：留數(shù)(Residu)的產(chǎn)生柯西在“求沿著兩條有相同起若為的

m

階極點(diǎn)，附：關(guān)于極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則的說(shuō)明(其中)(其中)則(返回)若為的m階極點(diǎn)，附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義回顧則對(duì)應(yīng)于相應(yīng)地，記為因此，函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)可由函數(shù)在原點(diǎn)的性態(tài)來(lái)刻畫。令即對(duì)應(yīng)于附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義回顧附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義

函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?由在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式：得在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式：其中，附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義函數(shù)

函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義(1)可去奇點(diǎn)：

(2)N階極點(diǎn)：

(3)本性奇點(diǎn)：

無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型的劃分不含正冪項(xiàng)；含有限多的正冪項(xiàng),且最高冪次為

N

，含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)。此時(shí)，函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?

函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義(1)可去奇點(diǎn)：

(2)N階極點(diǎn)：

(3)本性奇點(diǎn)：

無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型的判別不含正冪項(xiàng)；含有限多的正冪項(xiàng),且最高冪次為

N

，含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)。不存在且不為

(常數(shù))；

此時(shí)，函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?

函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?附：關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的奇點(diǎn)類型判別以及留數(shù)的定義

函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)(

兩邊沿

C

積分)-稱為函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的

定義留數(shù)。由有(返回)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式?11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語(yǔ)感。

2．結(jié)合注釋疏通文義，了解文本內(nèi)容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術(shù)特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會(huì)作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導(dǎo)入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽(yáng)樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂(lè)而樂(lè)”的政治理想。實(shí)際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學(xué)家、史學(xué)家歐陽(yáng)修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽(yáng)修在滁州留下了不遜于《岳陽(yáng)樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來(lái)就讓我們一起來(lái)學(xué)習(xí)這篇課文吧！【教學(xué)提示】結(jié)合前文教學(xué)，有利于學(xué)生把握本文寫作背景，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)作品含義的理解。二、教學(xué)新課目標(biāo)導(dǎo)學(xué)一：認(rèn)識(shí)作者，了解作品背景作者簡(jiǎn)介：歐陽(yáng)修(1007—1072)，字永叔，自號(hào)醉翁，晚年又號(hào)“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬?gòu)]陵郡，因此他又以“廬陵歐陽(yáng)修”自居。謚號(hào)文忠，世稱歐陽(yáng)文忠公。北宋政治家、文學(xué)家、史學(xué)家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關(guān)于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號(hào)醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號(hào)六一居士。客有問(wèn)曰：“六一何謂也？”居士曰：“吾家藏書一萬(wàn)卷，集錄三代以來(lái)金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺?！笨驮唬骸笆菫槲逡粻?，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽(yáng)修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內(nèi)心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡(jiǎn)而不擾”的作風(fēng)，取得了某些政績(jī)?！蹲砦掏び洝肪褪窃谶@個(gè)時(shí)期寫就的。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結(jié)合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標(biāo)出節(jié)奏劃分有疑難的語(yǔ)句。節(jié)奏劃分示例

環(huán)滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉(zhuǎn)，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰(shuí)？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰(shuí)？太守/自謂也。太守與客來(lái)飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號(hào)曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂(lè)，得之心/而寓之酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個(gè)狀中短語(yǔ)，不能將其割裂。“望之/蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個(gè)并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語(yǔ)，故應(yīng)從其后斷句?！窘虒W(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)朗讀的過(guò)程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過(guò)程中感知文意。對(duì)于部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，教師可做適當(dāng)?shù)闹v解引導(dǎo)。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)三：結(jié)合注釋，翻譯訓(xùn)練1．學(xué)生結(jié)合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處?！窘虒W(xué)提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生明確文意最好；若學(xué)生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2．以四人小組為單位，組內(nèi)互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請(qǐng)學(xué)生用兩種翻譯方法進(jìn)行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開(kāi)，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風(fēng)霜高潔，水落而石出者，山間之四時(shí)也。直譯法：那太陽(yáng)一出來(lái)，樹(shù)林里的霧氣散開(kāi)，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開(kāi)放，有一股清幽的香味，好的樹(shù)木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽(yáng)升起，山林里霧氣開(kāi)始消散，煙云聚攏，山谷又開(kāi)始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開(kāi)并散發(fā)出陣陣幽香，夏日佳樹(shù)繁茂并形成一片濃蔭，秋天風(fēng)高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季?！窘虒W(xué)提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學(xué)生用語(yǔ)的準(zhǔn)確性，但可能會(huì)降低譯文的美感；意譯可加強(qiáng)譯文的美感，培養(yǎng)學(xué)生的翻譯興趣，但可能會(huì)降低譯文的準(zhǔn)確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導(dǎo)。全文直譯內(nèi)容見(jiàn)《我的積累本》。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)四：解讀文段，把握文本內(nèi)容1．賞析第一段，說(shuō)說(shuō)本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運(yùn)用了怎樣的藝術(shù)手法。

明確：首先以“環(huán)滁皆山也”五字領(lǐng)起，將滁州的地理環(huán)境一筆勾出，點(diǎn)出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥(niǎo)瞰群山環(huán)抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點(diǎn)山“秀”，照應(yīng)上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的關(guān)系，好泉釀好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”來(lái)。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠(yuǎn)及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2．第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯(lián)系？明確：第二段利用時(shí)間推移，抓住朝暮及四季特點(diǎn)，描繪了對(duì)比鮮明的晦明變化圖及四季風(fēng)光圖，寫出了其中的“樂(lè)亦無(wú)窮”。第二段是第一段“山水之樂(lè)”的具體化。3．第三段同樣是寫“樂(lè)”，但卻是寫的游人之樂(lè)，作者是如何寫游人之樂(lè)的？明確：“滁人游”，前呼后應(yīng)，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚(yú)肥，泉香酒洌，美味佳肴，應(yīng)有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯(cuò)，說(shuō)說(shuō)笑笑，無(wú)拘無(wú)束。如此勾畫了游人之樂(lè)。4．作者為什么要在第三段寫游人之樂(lè)？明確：寫滁人之游，描繪出一幅太平祥和的百姓游樂(lè)圖。游樂(lè)場(chǎng)景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂(lè)中酒酣而醉，此醉是為山水之樂(lè)而醉，更是為能與百姓同樂(lè)而醉。體現(xiàn)太守與百姓關(guān)系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂(lè)。5．第四段主要寫了什么？明確：寫宴會(huì)散、眾人歸的情景。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個(gè)“樂(lè)”字貫穿全篇，卻有兩個(gè)句子別出深意，不單單是在寫樂(lè)，而是另有所指，表達(dá)出另外一種情緒，請(qǐng)你找出這兩個(gè)句子，說(shuō)說(shuō)這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂(lè)，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說(shuō)：“醉能同其樂(lè)，醒能述以文者，太守也?！贝司渑c醉翁亭的名稱、“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應(yīng)，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達(dá)了作者內(nèi)心復(fù)雜的思想感情。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)六：賞析文本，感受文本藝術(shù)特色1．在把握作者復(fù)雜感情的基礎(chǔ)上朗讀文本。2．反復(fù)朗讀，請(qǐng)同學(xué)說(shuō)說(shuō)本文讀來(lái)有哪些特點(diǎn)，為什么會(huì)有這些特點(diǎn)。(1)句法上大量運(yùn)用駢偶句，并夾有散句，既整齊又富有變化，使文章越發(fā)顯得音調(diào)鏗鏘，形成一種駢散結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)格。如“野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰”“朝而往，暮而歸，四時(shí)之景不同，而樂(lè)亦無(wú)窮也”。(2)文章多用判斷句，層次極其分明，抒情淋漓盡致，“也”“而”的反復(fù)運(yùn)用，形成回環(huán)往復(fù)的韻律，使讀者在誦讀中獲得美的享受。(3)文章寫景優(yōu)美，又多韻律，使人讀來(lái)不僅能感受到繪畫美，也能感受到韻律美。目標(biāo)導(dǎo)學(xué)七：探索文本虛詞，把握文言現(xiàn)象虛詞“而”的用法用法

文本舉例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而魚(yú)肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧嘩者表遞進(jìn) 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1.漸聞水聲潺潺，而瀉出于兩峰之間者；2.若夫日出而林霏開(kāi)，云歸而巖穴暝；3.野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰；4.水落而石出者；5.臨溪而漁；6.太守歸而賓客從也；7.人知從太守游而樂(lè)表修飾 1.朝而往，暮而歸；2.雜然而前陳者表轉(zhuǎn)折 1.而不知人之樂(lè)；2.而不知太守之樂(lè)其樂(lè)也虛詞“之”的用法用法

文本舉例表助詞“的” 1.瀉出于兩峰之間者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之樂(lè)；4.山間之朝暮也；5.宴酣之樂(lè)位于主謂之間，取消句子獨(dú)立性

而不知太守之樂(lè)其樂(lè)也表代詞 1.望之蔚然而深秀者；2.名之者誰(shuí)(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之樂(lè))【教學(xué)提示】

更多文言現(xiàn)象請(qǐng)參見(jiàn)《我的積累本》。三、板書設(shè)計(jì)路線：環(huán)滁——瑯琊山——釀泉——醉翁亭風(fēng)景：朝暮之景——四時(shí)之景山水之樂(lè)(醉景)風(fēng)俗：滁人游——太守宴——眾賓歡——太守醉宴游之樂(lè)(醉人)

心情：禽鳥(niǎo)樂(lè)——人之樂(lè)——樂(lè)其樂(lè)與民同樂(lè)(醉情)

可取之處

重視朗讀，有利于培養(yǎng)學(xué)生的文言語(yǔ)感，并通過(guò)節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生理解文意，突破了僅按注釋疏通文義的桎梏，有利于引導(dǎo)學(xué)生自主思考；不單純關(guān)注“直譯”原則，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的“意譯”能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注文言文的美感，在一定程度上有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

不足之處

文章難度相對(duì)較高，基礎(chǔ)能力低的學(xué)生難以適應(yīng)該教學(xué)。

會(huì)員免費(fèi)下載11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語(yǔ)感。

我并無(wú)過(guò)人的智能，有的只是堅(jiān)持不屑的思索精力而已。今天盡你最大的努力去做好，明天也許能做的更好.-----牛頓

我反復(fù)思索好幾個(gè)月，好幾年；有九十九次都是錯(cuò)的，而第一百次我對(duì)了.-----愛(ài)因斯坦我并無(wú)過(guò)人的智能，有的只是堅(jiān)持不屑的思索精力而已。今第五章留數(shù)§5.2留數(shù)§5.1孤立奇點(diǎn)§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用第五章留數(shù)§5.2留數(shù)§5.1孤立奇點(diǎn)§5.3主要內(nèi)容

本章介紹孤立奇點(diǎn)的概念、分類及其判別；留數(shù)的概念；孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算；并將其應(yīng)用于實(shí)函數(shù)積分的計(jì)算.主要內(nèi)容本章介紹孤立奇點(diǎn)的概念、分類及其判別；§5.1孤立奇點(diǎn)一、引言二、零點(diǎn)三、孤立奇點(diǎn)四、孤立奇點(diǎn)的分類五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類§5.1孤立奇點(diǎn)一、引言二、零點(diǎn)三、孤立回顧復(fù)積分的計(jì)算方法：（4）柯西-古薩基本定理：（5）Cauchy積分公式（6）Cauchy高階導(dǎo)數(shù)公式一、引言回顧復(fù)積分的計(jì)算方法：（4）柯西-古薩基本定理：（5）Cau問(wèn)題：如何轉(zhuǎn)化成含有的形式？一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。

如圖，考慮積分

DrCG(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)此時(shí)問(wèn)題：如何轉(zhuǎn)化成含有的形式？一、引言本章一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)則此時(shí)，將函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開(kāi)，由則積分“不難?

”得到。G一、引言本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。D則稱為的零點(diǎn)；(1)若

所謂函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根。定義設(shè)函數(shù)在處解析，(2)若在

處解析且則稱為的

m

階零點(diǎn)。二、零點(diǎn)P81定義

5.3

則稱為的零點(diǎn)；二、零點(diǎn)

定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價(jià)的：(1)為的m

階零點(diǎn)。(2)其中，(3)在內(nèi)的泰勒展開(kāi)式為

充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?

)(進(jìn)入證明?)二、零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)在處其中，二、零點(diǎn)

充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?

)定理設(shè)函數(shù)在處解析，則下列條件是等價(jià)的：(1)為的m

階零點(diǎn)。(2)(3)在內(nèi)的泰勒展開(kāi)式為收斂且解析其中，二、零點(diǎn)充要條件(如何判斷零點(diǎn)的階數(shù)?是的三階零點(diǎn)。是的三階零點(diǎn)。方法一

方法二

是的三階零點(diǎn)。是三、孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點(diǎn)。使得在去心且存在定義設(shè)為的奇點(diǎn)，例為孤立奇點(diǎn)。例原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)均為奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)。P79定義

5.1

三、孤立奇點(diǎn)鄰域例(1)令為孤立奇點(diǎn)；(2)也是奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)。鄰域內(nèi)解析，則稱

為

孤立奇點(diǎn)。使得在去心定義設(shè)為的奇點(diǎn)，且存在三、孤立奇點(diǎn)例(1)令為孤立奇點(diǎn)；(2)也是xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的.函數(shù)的實(shí)部

注:若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的.函注:若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

將在內(nèi)定義設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：(1)若有則稱為的可去奇點(diǎn)。(

即不含負(fù)冪次項(xiàng)

)P79

四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：則稱為的

N

階極點(diǎn)；(

即含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)

)(2)若有且有特別地，當(dāng)時(shí)，稱為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)。四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：(

即含無(wú)限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)

)(3)若有則稱為的本性奇點(diǎn)。四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰四、孤立奇點(diǎn)的分類

根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)對(duì)奇點(diǎn)分類

定義將在內(nèi)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：小結(jié)(1)可去奇點(diǎn)

不含負(fù)冪次項(xiàng)；(2)N階極點(diǎn)

含有限多的負(fù)冪次項(xiàng),且最高負(fù)冪次為

N；

(3)本性奇點(diǎn)

含有無(wú)窮多的負(fù)冪次項(xiàng)?？扇テ纥c(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)四、孤立奇點(diǎn)的分類根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域可去奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類定理

若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：可去奇點(diǎn)的判定方法可去奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)N階極點(diǎn)五、如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的(不含負(fù)冪次項(xiàng))解是的奇點(diǎn)，由是的可去奇點(diǎn)?？芍瑢⒃诘娜バ泥徲蛘钩陕謇始?jí)數(shù)，有或

如果約定在點(diǎn)的值為

1，則在點(diǎn)就解析了，因此稱為的可去奇點(diǎn)。(不含負(fù)冪次項(xiàng))解是的奇點(diǎn)，定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)（都是N階極點(diǎn)的特征）：(iii)z0是的N階零點(diǎn).(可去奇點(diǎn)作為解析點(diǎn)看)N階極點(diǎn)的判定方法定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)（定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是與不存在極限的區(qū)別定理

若零點(diǎn)，則(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，即為的可去奇點(diǎn)。為的

(n-m)

階極點(diǎn)。且為的

n

階零點(diǎn)，為

的

m

階定理若z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則z0為f(z)的極(含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，且最高負(fù)冪次為

2

)解是的奇點(diǎn)，由是的極點(diǎn)。可知，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有注

可見(jiàn)，為的二階極點(diǎn)。(含有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，且最高負(fù)冪次為2)解是本性奇點(diǎn)的判定方法定理

z0為f(z)的本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)的判定方法定理z0為f(z)的本性奇點(diǎn)解是的奇點(diǎn)，考察極限是的本性奇點(diǎn)。因此，將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有注(含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng))由不存在且不為可知，解是的奇點(diǎn)，考察極限是是的一階極點(diǎn)。判斷函數(shù)的奇點(diǎn)的類型。例是的二階極點(diǎn)。解由于是的可去奇點(diǎn)，故解由于是的一階極點(diǎn)，故是的一階極點(diǎn)。判斷函數(shù)由于是的四階零點(diǎn)，解故是的二階極點(diǎn)。將在的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，有

因此，為的二階極點(diǎn)。注直接利用洛朗級(jí)數(shù)來(lái)判斷奇點(diǎn)類型的方法最好也能夠掌握

且是的二階零點(diǎn)，由于是的四階零點(diǎn)，解總結(jié):孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)N階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)Laurent級(jí)數(shù)的特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為總結(jié):孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)N階極點(diǎn)本性奇點(diǎn)Laurent級(jí)數(shù)的特

小結(jié)小結(jié)一、引言

本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。

DrC如圖，考慮積分

(1)若在

G

上連續(xù)，在

D

上解析，則(2)若在

D

上有唯一的奇點(diǎn)則此時(shí)，將函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)進(jìn)行洛朗展開(kāi)，由則積分“不難?

”得到。G一、引言本章重點(diǎn)解決閉路積分問(wèn)題。D§5.2

留數(shù)一留數(shù)的概念二留數(shù)的計(jì)算方法§5.2留數(shù)一留數(shù)的概念二留數(shù)的計(jì)算方法0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)5.2留數(shù)0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)5.2留數(shù)一、留數(shù)的概念將在的去心鄰域設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，定義稱為在處的留數(shù)，記作：內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)：(兩邊積分)其中，C

是的去心鄰域內(nèi)繞的一條簡(jiǎn)單閉曲線。P83定義

5.6

(留數(shù)的產(chǎn)生)一、留數(shù)的概念將在的去心鄰域而且在使用該方法時(shí)，并不需要知道奇點(diǎn)的類型。

二、留數(shù)的計(jì)算方法若為的可去奇點(diǎn)，方法1.可去奇點(diǎn)若為的本性奇點(diǎn)，方法2.本性奇點(diǎn)則“只好”

將在的去心鄰域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。(1)在具體展開(kāi)的時(shí)候，并不需要寫出

“完整”

的洛朗級(jí)數(shù)，

注只需將其中負(fù)一次冪的系數(shù)求出來(lái)就可以了。

(2)對(duì)于不是本性奇點(diǎn)的情況，該方法有時(shí)也是很有效的，

則而且在使用該方法時(shí)，并不需要知道奇點(diǎn)的類型。二、留數(shù)(1)若為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，特別則(2)若且

在

點(diǎn)解析，則

P84法則3二、留數(shù)的計(jì)算方法3.極點(diǎn)方法(法則)若為的

m

階極點(diǎn)，P84法則2

(1)若為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，特別是的可去奇點(diǎn)，解(1)和均為的一階極點(diǎn)，(2)是的可去奇點(diǎn)，解(1)(羅比達(dá)法則)

是的三階極點(diǎn)，解(1)為的二階極點(diǎn)，(2)(羅比達(dá)法則)是的三階極點(diǎn)，解是的本性奇點(diǎn)，解將在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開(kāi)，有是的本性奇點(diǎn)，解將方法一

利用洛朗展式求留數(shù)

解將在的去心鄰域展開(kāi)，得方法一利用洛朗展式求留數(shù)解將由于是三階極點(diǎn)，解方法二

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

(羅比達(dá)法則)

因此有(好麻煩!)

由于是三階極點(diǎn)，解方法二

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

若

“不幸”

將判斷成了的六階極點(diǎn)，

巧合?

(非也!)解方法二利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解如果為的階極點(diǎn),取正整數(shù)法則4那么注

(1)此類函數(shù)求留數(shù)，可考慮利用洛朗展式。

(2)若此類函數(shù)求閉路積分，則可考慮利用高階導(dǎo)公式，而不一定非得使用后面即將介紹的留數(shù)定理。

如果為的階極點(diǎn),取正整數(shù)§5.3

留數(shù)定理及其應(yīng)用一留數(shù)定理二留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用§5.3留數(shù)定理及其應(yīng)用一留數(shù)定理二留數(shù)在定積分DC…一、留數(shù)定理處處解析，且連續(xù)到邊界

C

，定理設(shè)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外注意只需計(jì)算積分曲線

C

所圍成的有限區(qū)域內(nèi)奇點(diǎn)的留數(shù)。如圖，將孤立奇點(diǎn)用含于

D

內(nèi)且證明互不重疊的圓圈包圍起來(lái)，根據(jù)復(fù)合閉路定理有則P86定理

5.7

DC…一、留數(shù)定理處處解析，且連續(xù)到邊界C，利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)圍線積分的步驟：1明確積分曲線及內(nèi)部奇點(diǎn)2確定奇點(diǎn)類型,計(jì)算留數(shù)3應(yīng)用留數(shù)定理,求積分利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)圍線積分的步驟：1明確積分曲線及內(nèi)部奇點(diǎn)解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：可去奇點(diǎn)一階極點(diǎn)解被積函數(shù)在解被積函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)：一階極點(diǎn)二階極點(diǎn)解被積函數(shù)在解方法一

利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解

(羅比達(dá)法則)為被積函數(shù)的二階極點(diǎn)，方法二利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解

解方法一利用極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算法則求解方法三

利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)在的去心鄰域展開(kāi)，方法三利用洛朗展式求解解將被積函數(shù)極點(diǎn)z=3在的外部.分別是f(z)的3級(jí)和1級(jí)極點(diǎn),都在的內(nèi)部.而練習(xí)計(jì)算積分其中C是的正向.

記顯然z=0和z=1極點(diǎn)z=3在的外部.分別是f(z于是，根據(jù)留數(shù)基本定理于是，根據(jù)留數(shù)基本定理

在高等數(shù)學(xué)中，以及許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來(lái)；例如或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如

二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中，以及許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算出一些根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來(lái)計(jì)算定積分是計(jì)算定積分顯得有用。即使尋常的方法可用，如果用留數(shù)，也往往首先，被積函數(shù)必須要與某個(gè)解析函數(shù)密切相關(guān)。這一的一個(gè)有效措施，特別是當(dāng)被積的原函數(shù)不易求得時(shí)更感到很方便。當(dāng)然這個(gè)方法的使用還受到很大的限制。點(diǎn)，一般講來(lái)，關(guān)系不大，因?yàn)楸环e函數(shù)常常是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是可以推廣到復(fù)數(shù)域中去的。其次，定積分的積分域是區(qū)間，而用留數(shù)來(lái)計(jì)算要牽涉到把問(wèn)題化為沿閉曲線的積分。這是比較困難的一點(diǎn)。下面來(lái)闡述怎樣利用復(fù)數(shù)求某幾種特殊形式的定積分的值。根據(jù)留數(shù)定理，用留數(shù)來(lái)計(jì)算定積分是計(jì)算定積分顯得有用。即使尋二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用1、形如的積分2、形如的積分3、形如的積分二、留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用1、形如思想方法

:封閉路線的積分

.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條思想方法:封閉路線的積分.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的1、形如的積分方法(1)令則要求是

u,

v

的有理函數(shù)，即是以

u,

v

為變量的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。1、形如方法即是以

u,

v

為變量要求是

u,

v

的有理函數(shù)，1、形如的積分的二元多項(xiàng)式函數(shù)或者分式函數(shù)。其中，是在內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。(2)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化方法即是以u(píng),v為變例

計(jì)算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn):在高等數(shù)學(xué)中此積分一般是采用萬(wàn)能代換求解.下面用復(fù)變函數(shù)的方法求解該題.例計(jì)算積分解積分可以轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)由于因此從而被積函數(shù)1級(jí)極點(diǎn)z1.所以在單位圓周內(nèi)只有一個(gè)由于因此其中，P(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高二次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。推導(dǎo)(略)

其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。要求(1)方法2、形如的積分(進(jìn)入推導(dǎo)?)其中，P(x),Q(x)為多項(xiàng)式；(2)分母Q2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:在上半平面取一條分段光滑的曲線,使其與實(shí)軸的一部分構(gòu)成一條簡(jiǎn)單閉曲線,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇點(diǎn)，并使f(z)在其內(nèi)部除去這種方法稱為圍道積分法.1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:當(dāng)z在實(shí)軸上時(shí),f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:在上半平面取一條分段光滑的曲線,使

(1)令解(2)(3)在上半平面內(nèi)，i與3i為一階極點(diǎn)。(1)令解(2)(3)在上半平3、形如的積分(2)分母Q(x)的次數(shù)比分子P

(x)的次數(shù)至少高一次；(3)分母Q(x)無(wú)實(shí)零點(diǎn)。其中，是在上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。其中，P(x)

,Q(x)為多項(xiàng)式；要求(1)方法3、形如即：即：

在上半平面內(nèi)，1+3