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文檔簡介

第六章求總量的問題——定積分第一節(jié)特殊和式的極限—定積分的概念

主要內(nèi)容：一、定積分概念的兩個現(xiàn)實原型二、定積分的概念三、可積條件四、定積分的性質(zhì)定積分的起源

積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問題中，在古中國、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻中都有涉及這類問題的思想和方法.

如：古希臘的阿基米德（公元前287―前212）用邊數(shù)越來越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱為“窮竭法”.

中國魏晉時代的劉徽在其《九章算術(shù)注》（公元263年）中，對于計算圓面積提出了著名的“割圓術(shù)”，他解釋說：“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣.”這些都是原始的積分思想.

abxyo原型Ⅰ

（求曲邊梯形的面積）一、抽象定積分概念的兩個現(xiàn)實原型面積怎么求？元素法ππ

利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時，可概括“分割-取近似-求和-取極限”的步驟.將曲邊梯形的底，即[a,b]進行分割(用垂直于x軸的直線).第一步分割；曲邊梯形的面積的解決思路：abxyo取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積.第二步取近似；abxyo用矩形面積近似小曲邊梯形面積底典型小區(qū)域面積abxyo第三步求和；矩形面積和與曲邊梯形面積不相等有誤差將每個小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來.第四步取極限.當(dāng)對曲邊梯形底的分割越來越細(xì)時，矩形面積之和越近似于曲邊梯形面積.abxyo原型Ⅱ

（求變力所做的功）公式失效解決思路：元素法分割以恒力代變力求和取極限似曾相識定積分二、定積分的定義定義以直代曲求和被積函數(shù)被積表達式積分上限積分下限積分變量積分和取極限注意：總結(jié)原型Ⅰ和Ⅱ定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值定積分的幾何意義幾何意義例1解π定理（可積的充分條件）定理（可積的必要條件）三、可積條件可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)必可積,可積必有界.定理四、定積分的性質(zhì)用定積分的定義證明證定理用定積分定義證明對定積分的補充規(guī)定:補充：不論的相對位置如何,上式總成立.定理（積分區(qū)間的可加性）abcSacScbS定理πππ定理（保序性）推論（保號性）解于是定理（有界性）例2解ππππππππ.π定理（絕對值不等式）用保序性證

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