專升本高等數(shù)學(xué)(一)真題2009年

2009年成人高等學(xué)校專升本招生全國(guó)統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)(一)試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)．1． ( )．[答] A[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無(wú)窮小量的性質(zhì)有界變量與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)小量．當(dāng)x→∞時(shí)，→0，即為無(wú)窮小量，又sin2x為有界變量：-1≤sin2x≤1．由有界變量與無(wú)窮小量之積仍為無(wú)窮小量可知故選A．2．設(shè) ，在x=1連續(xù)，則a=( )C．1 D．2[答] B[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)的性質(zhì)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)的充分必要條件0是f(x)在點(diǎn)x左連續(xù)且右連續(xù)．0f(x)為分段函數(shù)，x=1x=1f(x)f(1)=-1．f(x)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，必有3．設(shè)y=x2-e2，則y'=( 2x-2e C．2x-e D．2x[答] D[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．y=x2-e2，則y'=(x2)'-(e2)'=2x-0=2x．

，因此a=1，故選B．[錯(cuò)誤防] 有些考生沒(méi)能將e認(rèn)定為常量，忘記常量的導(dǎo)數(shù)為零，錯(cuò)誤地選4．設(shè)則dy=( )．C．-3e-3xdx [答] C[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)合函數(shù)的微分運(yùn)算．由于y=e-3x，可得故選C．5．設(shè)y=1+sin ，則y'(0)=( )．[答] B

D．-[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算，在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．故選B．設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)， ( C．-f(2x) [答] A[解題指導(dǎo)] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為可變上限積分求導(dǎo)：若f(x)為連續(xù)函數(shù)，則F'(x)=，即可變上的導(dǎo)數(shù)為被積函數(shù)在上限處值．因此故選A．[錯(cuò)誤防] 有些考生誤選如果令f1)．

(2t)=f(x)．則上述錯(cuò)誤可以避免．1C．cosx+C [答] D．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分基本公式．∫sinxdx=-cosx+C．故選D．8．設(shè)z=X2y+x-3，則=( )．C．x2+1 [答] [解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算．求時(shí)，只需將y認(rèn)定為常量，依一元函數(shù)求導(dǎo)法則運(yùn)算．由于z=x2y+x-3，因此故選B．都為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且u＜v，則下列結(jié)論正確的是( )．n n[答] C[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法．由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知若 與 都為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且u＜v(n=1…)，n n則當(dāng) 收斂時(shí)，

必定收斂．故選C．微分方程y'-y=0的通解為( )．[答] C

D．y=Ce-x[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求解可分離變量方程．可得二、填空題．[答] e-1．

= ．

，故選C．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為重要極限公式．12． ．[答] 0．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限運(yùn)算．所求極限的表達(dá)式為分式，其分母的極限不為零．因此設(shè)則y"= ．[答] [解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算．設(shè)[答案]

，則y'= ．．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)運(yùn)算由于所給函數(shù)為分式，由商的求導(dǎo)法則可得15．∫(1-2x)dx= []x-x2+C．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分計(jì)算．∫(1-2x)dx=∫dx-∫2xdx=x-x2+C．16．[答] 2．

= ．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的換元積分法．解法1 設(shè) ，則x=2t，dx=2dt．當(dāng)x=0時(shí)當(dāng)x=π時(shí)， ．因此解法2 ．17．設(shè)z=sin(y-x2)，則= [答] COS(y-x2)．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算．時(shí)，只需將x認(rèn)定為常量．z=sin(y-x2)，因此．18．過(guò)點(diǎn)M(1，-1，0)且與平面x-y+3z=1平行的平面方程為 ．0[答] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為平面方程．已知平面π的法線向量n=(π與ππ1 1 1的法線向量n∥n1

，可取n=(1，-1，3)，由于所給平面過(guò)點(diǎn)M0

(1，-1，0)．由平面的點(diǎn)法式方程可知所求平面方程為(x-1)-[y-(-1)]+3(z-0)=0，即 (x-1)-(y+1)+3z=0，或?qū)憺?x-y+3z=2．19．設(shè)區(qū)域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，則 ．[答] 4．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的性質(zhì)： ，其中σ為區(qū)域D的面積．由于積分區(qū)域D是邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，可知 ．y=f(x)x=2f(x)f(2)=3y=f(x)(2，3)處0的切線方程為 ．[答] y=3．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：極值的必要條件、切線方程．可導(dǎo)，點(diǎn)x=2為f(x)的極值點(diǎn)，由極值的必要條件知f'(2)=0，又f(2)=3．可0知曲線y=f(x)在點(diǎn)[2，f(2)]處的切線方程為y-f(2)=f'(2)(x-2)，即 y-3=0·(x-2)=0．可知y=3為所求．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出推理、演算步驟．求 ．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為洛必達(dá)法則的應(yīng)用．y'．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)運(yùn)算．由乘積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可知：y=xsinx，y'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx．計(jì)．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分運(yùn)算．求

的通解．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求解一階線性微分方程．由方程通解公式可知方程的通解為：．z=x2y+2y2dz．[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為計(jì)算二元函數(shù)全微分．．設(shè)曲線x= ，y=2及x=0所圍成的平面圖形為0．求平面圖形DS；0[解題指] 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的幾何應(yīng)用：求平面封閉圖形的面積；平面形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積．平面圖形0如圖X-4所示，解法1 由 ，解得x= ，于是解法2 (2)27．求 ，其中D={(x，y)|