平面圖形的面積課件

第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長小結(jié)、作業(yè)1/31第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積1/311直角坐標情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的計算公式：2/31直角坐標情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的2妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）3/31妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖3（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/31（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/314解先求兩曲線的交點。5/31解先求兩曲線的交點。5/315另解選為積分變量6/31另解選為積分變量6/316解設(shè)橢圓方程為由對稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．以x為積分變量，得7/31解設(shè)橢圓方程為由對稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．7設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計算公式可由直角坐標下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過定積分的換元法得到：2.參數(shù)方程情形8/31設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計算公式可由直角坐標下曲邊8橢圓的面積9/31橢圓的面積9/319曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標方程的情形10/31曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標方程的情形1010解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/31解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/3111解利用對稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/31解利用對稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/3112

旋轉(zhuǎn)體——由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積13/31旋轉(zhuǎn)體——由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而13xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/31xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/311415/3115/3115解16/31解16/3116另解17/31另解17/3117解18/31解18/3118另解19/31另解19/3119注解20/31注解20/312021/3121/31212.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道了一個立體垂直于某個定軸（記為x軸）的各個截面面積A(x)，那么，這個立體的體積元素為立體體積22/312.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道22解取坐標系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積23/31解取坐標系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積2323另解以垂直于y軸的平面切割立體，得截面面積為立體體積24/31另解以垂直于y軸的平面切割立體，24三、平面曲線的弧長弧長元素（弧微分）基本公式弧長25/31三、平面曲線的弧長弧長元素（弧微分）基本公式弧長25/3125弧長弧長26/31弧長弧長26/3126解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長27/31解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長227另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長28/31另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長28/3128解29/31解29/31291、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標為積分變量；四、小結(jié)2、參數(shù)方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標面積計算公式經(jīng)積分變量替換得到；3、極坐標方程給出的平面圖形的面積一般以由極坐標為積分變量；4、曲邊梯形的面積的計算一般以由直角坐標為積分變量；曲邊扇形的面積的計算一般以由極坐標為積分變量。30/311、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標為積分變量30作業(yè)習(xí)題6-22-(1)68-(1)91215-(4)1819212529作業(yè)習(xí)題6-2315、旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周；繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（繞非坐標軸直線旋轉(zhuǎn)一周）.6、平行截面面積為已知的立體的體積。參數(shù)方程；極坐標方程。8、求弧長的公式直角坐標方程；7、平面曲線弧長元素（弧微分）的基本公式；31/315、旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周；繞軸旋轉(zhuǎn)一周；（繞32第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積體積平面曲線的弧長小結(jié)、作業(yè)1/31第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用平面圖形的面積1/3133直角坐標情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的計算公式：2/31直角坐標情形一、平面圖形的面積A用元素法建立曲邊梯形面積A的34妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）3/31妨此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖35（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/31（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）4/3136解先求兩曲線的交點。5/31解先求兩曲線的交點。5/3137另解選為積分變量6/31另解選為積分變量6/3138解設(shè)橢圓方程為由對稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．以x為積分變量，得7/31解設(shè)橢圓方程為由對稱性知，總面積等于第一象限部分面積的4倍．39設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計算公式可由直角坐標下曲邊梯形的面積公式經(jīng)過定積分的換元法得到：2.參數(shù)方程情形8/31設(shè)曲邊梯形的曲邊參數(shù)方程為其面積的計算公式可由直角坐標下曲邊40橢圓的面積9/31橢圓的面積9/3141曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標方程的情形10/31曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標方程的情形1042解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/31解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。11/3143解利用對稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/31解利用對稱性知，所求面積為上半部的兩倍，12/3144

旋轉(zhuǎn)體——由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積13/31旋轉(zhuǎn)體——由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而45xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/31xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式14/314615/3115/3147解16/31解16/3148另解17/31另解17/3149解18/31解18/3150另解19/31另解19/3151注解20/31注解20/315221/3121/31532.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道了一個立體垂直于某個定軸（記為x軸）的各個截面面積A(x)，那么，這個立體的體積元素為立體體積22/312.平行截面面積為已知的立體的體積如果知道54解取坐標系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積23/31解取坐標系如圖所示。垂直于x軸的截面的面積為所求立體體積2355另解以垂直于y軸的平面切割立體，得截面面積為立體體積24/31另解以垂直于y軸的平面切割立體，56三、平面曲線的弧長弧長元素（弧微分）基本公式弧長25/31三、平面曲線的弧長弧長元素（弧微分）基本公式弧長25/3157弧長弧長26/31弧長弧長26/3158解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長27/31解星形線在第一象限部分的方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長259另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長28/31另解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長28/3160解29/31解29/31611、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標為積分變量；四、小結(jié)2、參數(shù)方程給出的平面圖形的面積可由直角坐標面積計算公式經(jīng)積分變量替換得到；3、極坐標方程給出的平面圖形的面積一般以由極坐標為積分變量；4、曲邊梯形的面積的計算一般以由直角坐標為積分變量；曲邊扇形的面積的計算一般以由極坐標為積分變量。30/311、直角坐標方程給出的平面圖形的面積一般以直角坐標為積分變量62作業(yè)習(xí)題6-22-(1)68-(1)91215-(4)18