初中二年級(jí)軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)

..初二軸對(duì)稱圖形難題總結(jié)如圖〔a,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè),要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小,我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求．〔1實(shí)踐運(yùn)用：如圖〔b,已知,⊙O的直徑CD為4,點(diǎn)A在⊙O上,∠ACD=30°,B為弧AD的中點(diǎn),P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn),則BP+AP的最小值為_________．〔2知識(shí)拓展：如圖〔c,在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),求BE+EF的最小值,并寫出解答過程．2．〔1觀察發(fā)現(xiàn)如圖〔1：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè),在直線m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小,做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．如圖〔2：在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小,做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接CE交AD于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為_________．〔2實(shí)踐運(yùn)用如圖〔3：已知⊙O的直徑CD為2,的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),在直徑CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP的值最小,則BP+AP的值最小,則BP+AP的最小值為_________．〔3拓展延伸如圖〔4：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN+MN的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法．如圖〔1,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考,很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線〔圖〔2,問題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最?。淖龇ㄊ沁@樣的：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′．②連接AB′交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求．請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問題．如圖在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使△PDE得周長最?。?在圖中作出點(diǎn)P〔保留作圖痕跡,不寫作法．〔2請(qǐng)直接寫出△PDE周長的最小值：_________．4．〔1觀察發(fā)現(xiàn)：如〔a圖,若點(diǎn)A,B在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．再如〔b圖,在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接CE交AD于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為_________．〔2實(shí)踐運(yùn)用：如〔c圖,已知⊙O的直徑CD為4,∠AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),在直徑CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值．〔3拓展延伸：如〔d圖,在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P,使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡,不必寫出作法．5．幾何模型：條件：如下圖,A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小．方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A′B的值最小〔不必證明．模型應(yīng)用：〔1如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是_________；〔2如圖2,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PC的最小值；〔3如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長的最小值．6．如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔2,﹣3,B〔4,﹣1．〔1若P〔p,0是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)p=_________時(shí),△PAB的周長最短；〔2若C〔a,0,D〔a+3,0是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)a=_________時(shí),四邊形ABDC的周長最短；〔3設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)M〔m,0、N〔0,n,使四邊形ABMN的周長最短？若存在,請(qǐng)求出m=_________,n=_________〔不必寫解答過程；若不存在,請(qǐng)說明理由．7．需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場,使飛機(jī)場到A,B兩個(gè)城市的距離之和最小,請(qǐng)作出機(jī)場的位置．8．如圖所示,在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米,直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米．〔1新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為_________；〔2現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短．此時(shí)PA+PB=_________〔千米．9.如圖：〔1若把圖中小人平移,使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B,請(qǐng)你在圖中畫出平移后的小人；〔2若圖中小人是一名游泳者的位置,他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后,再游到B,但要使游泳的路程最短,試在圖中畫出點(diǎn)P的位置．10．如圖,在直角坐標(biāo)系中,等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱軸為y軸．〔1請(qǐng)畫出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A2、B2〔應(yīng)保留畫圖痕跡,不必寫畫法,也不必證明；〔2連接A1A2、B1B2〔其中A2、B2為〔1中所畫的點(diǎn),試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；〔3設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔﹣2,4、B〔﹣4,2,連接〔1中A2B2,試問在x軸上是否存在點(diǎn)C,使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最??？若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)〔不必說明周長之和最小的理由；若不存在,請(qǐng)說明理由．11．某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠,將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工,以提高經(jīng)濟(jì)效益．請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短．〔要求：用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明12．閱讀理解如圖1,△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重復(fù)部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊,點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合,無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．探究發(fā)現(xiàn)〔1△ABC中,∠B=2∠C,經(jīng)過兩次折疊,∠BAC是不是△ABC的好角？_________〔填"是"或"不是"．〔2小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角,請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C〔不妨設(shè)∠B＞∠C之間的等量關(guān)系．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C〔不妨設(shè)∠B＞∠C之間的等量關(guān)系為_________．應(yīng)用提升〔3小麗找到一個(gè)三角形,三個(gè)角分別為15°、60°、105°,發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角．請(qǐng)你完成,如果一個(gè)三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù),使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．13．如圖,△ABC中AB=AC,BC=6,,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng),已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同,PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．〔1如圖①,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí),求CD的長；〔2如圖②,過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中,線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請(qǐng)說明理由；14．〔2012?東城區(qū)二模已知：等邊△ABC中,點(diǎn)O是邊AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn),M,N分別在直線AC,BC上,且∠MON=60°．〔1如圖1,當(dāng)CM=CN時(shí),M、N分別在邊AC、BC上時(shí),請(qǐng)寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；〔2如圖2,當(dāng)CM≠CN時(shí),M、N分別在邊AC、BC上時(shí),〔1中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請(qǐng)你加以證明；若不成立,請(qǐng)說明理由；〔3如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上,點(diǎn)N在BC的延長線上時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系．15．如圖,線段CD垂直平分線段AB,CA的延長線交BD的延長線于E,CB的延長線交AD的延長線于F,求證：DE=DF．16．如圖,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點(diǎn)M．求證：〔1△ABC≌△DCB；〔2點(diǎn)M在BC的垂直平分線上．17．如圖,△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△BAC的外角平分線AD于D,E為垂足,DF⊥AB于F,且AB＞AC,求證：BF=AC+AF．18．已知△ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM相交于點(diǎn)P,作PK⊥AB,PL⊥AC,垂足分別是K、L,求證：BK=CL．19．某私營企業(yè)要修建一個(gè)加油站,如圖,其設(shè)計(jì)要求是,加油站到兩村A、B的距離必須相等,且到兩條公路m、n的距離也必須相等,那么加油站應(yīng)修在什么位置,在圖上標(biāo)出它的位置．〔要有作圖痕跡20．如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=9cm,AB的垂直平分線MN交BC于M,交AB于N,求BM的長．21．如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作PN⊥AB于N,PM⊥AC于點(diǎn)M,求證：BN=CM．22．如圖己知在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,E為垂足交BC于D,BD=16cm,求AC長．參考答案與試題解析一．解答題〔共22小題1．〔2013?日照問題背景：如圖〔a,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè),要在直線l上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小,我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′與直線l交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求．〔1實(shí)踐運(yùn)用：如圖〔b,已知,⊙O的直徑CD為4,點(diǎn)A在⊙O上,∠ACD=30°,B為弧AD的中點(diǎn),P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn),則BP+AP的最小值為2．〔2知識(shí)拓展：如圖〔c,在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),求BE+EF的最小值,并寫出解答過程．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559分析：〔1找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn),再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn),和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠C′AE,再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；〔2首先在斜邊AC上截取AB′=AB,連結(jié)BB′,再過點(diǎn)B′作B′F⊥AB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B′F的長即為所求．解答：解：〔1作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P此時(shí)PA+PB最小,且等于AE．作直徑AC′,連接C′E．根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE=30°,∴∠AOE=90°,∴∠C′AE=45°,又AC′為圓的直徑,∴∠AEC′=90°,∴∠C′=∠C′AE=45°,∴C′E=AE=AC′=2,即AP+BP的最小值是2．故答案為：2；〔2如圖,在斜邊AC上截取AB′=AB,連結(jié)BB′．∵AD平分∠BAC,∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對(duì)稱．過點(diǎn)B′作B′F⊥AB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B′F的長即為所求．〔點(diǎn)到直線的距離最短在Rt△AFB′中,∵∠BAC=45°,AB′=AB=10,∴B′F=AB′?sin45°=AB?sin45°=10×=5,∴BE+EF的最小值為．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí),根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．2．〔2013?六盤水〔1觀察發(fā)現(xiàn)如圖〔1：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè),在直線m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小,做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．如圖〔2：在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小,做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接CE交AD于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為．〔2實(shí)踐運(yùn)用如圖〔3：已知⊙O的直徑CD為2,的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),在直徑CD上作出點(diǎn)P,使BP+AP的值最小,則BP+AP的值最小,則BP+AP的最小值為．〔3拓展延伸如圖〔4：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN+MN的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法．考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：壓軸題．分析：〔1觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值；由AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；〔2實(shí)踐運(yùn)用：過B點(diǎn)作弦BE⊥CD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn),連結(jié)OB、OE、OA、PB,根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱,則AE的長就是BP+AP的最小值；由于的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到∠BOC=30°,∠AOC=60°,所以∠AOE=60°+30°=90°,于是可判斷△OAE為等腰直角三角形,則AE=OA=；〔3拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱點(diǎn)E和F,然后連結(jié)EF,EF交AB于M、交BC于N．解答：解：〔1觀察發(fā)現(xiàn)如圖〔2,CE的長為BP+PE的最小值,∵在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,∴CE=BE=；故答案為；〔2實(shí)踐運(yùn)用如圖〔3,過B點(diǎn)作弦BE⊥CD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn),連結(jié)OB、OE、OA、PB,∵BE⊥CD,∴CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱,∵的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),∴∠BOC=30°,∠AOC=60°,∴∠EOC=30°,∴∠AOE=60°+30°=90°,∵OA=OE=1,∴AE=OA=,∵AE的長就是BP+AP的最小值．故答案為；〔3拓展延伸如圖〔4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到,同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}．3．〔2012?涼山州在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候,老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題．如圖〔1,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站,分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨(dú)立思考,很快得出了解決這個(gè)問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線〔圖〔2,問題就轉(zhuǎn)化為,要在直線l上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最?。淖龇ㄊ沁@樣的：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′．②連接AB′交直線l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求．請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問題．如圖在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),BC=6,BC邊上的高為4,請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)P,使△PDE得周長最?。?在圖中作出點(diǎn)P〔保留作圖痕跡,不寫作法．〔2請(qǐng)直接寫出△PDE周長的最小值：8．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：壓軸題．分析：〔1根據(jù)提供材料DE不變,只要求出DP+PE的最小值即可,作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接D′E,與BC交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求；〔2利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出D′E的值,即可得出答案．解答：解：〔1作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接D′E,與BC交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求；〔2∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),∴DE為△ABC中位線,∵BC=6,BC邊上的高為4,∴DE=3,DD′=4,∴D′E===5,∴△PDE周長的最小值為：DE+D′E=3+5=8,故答案為：8．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑以及三角形中位線的知識(shí),根據(jù)已知得出要求△PDE周長的最小值,求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵．4．〔2010?XX〔1觀察發(fā)現(xiàn)：如〔a圖,若點(diǎn)A,B在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．再如〔b圖,在等邊三角形ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最?。龇ㄈ缦拢鹤鼽c(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接CE交AD于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為．〔2實(shí)踐運(yùn)用：如〔c圖,已知⊙O的直徑CD為4,∠AOD的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是的中點(diǎn),在直徑CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值．〔3拓展延伸：如〔d圖,在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P,使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡,不必寫出作法．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559分析：〔1首先由等邊三角形的性質(zhì)知,CE⊥AB,在直角△BCE中,∠BEC=90°BC=2,BE=1,由勾股定理可求出CE的長度,從而得出結(jié)果；〔2要在直徑CD上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,設(shè)A′是A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn),連接A′B,與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時(shí)PA+PB=A′B是最小值,可證△OA′B是等腰直角三角形,從而得出結(jié)果．〔3畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,延長DB′交AC于點(diǎn)P．則點(diǎn)P即為所求．解答：解：〔1BP+PE的最小值===．〔2作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B,交CD于點(diǎn)P,連接OA′,AA′,OB．∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對(duì)稱,∠AOD的度數(shù)為60°,∴∠A′OD=∠AOD=60°,PA=PA′,∵點(diǎn)B是的中點(diǎn),∴∠BOD=30°,∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°,∵⊙O的直徑CD為4,∴OA=OA′=2,∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．〔3如圖d：首先過點(diǎn)B作BB′⊥AC于O,且OB=OB′,連接DB′并延長交AC于P．〔由AC是BB′的垂直平分線,可得∠APB=∠APD．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問題,解決此類問題,一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì),將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題,其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．5．〔2009?XX幾何模型：條件：如下圖,A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交l于點(diǎn)P,則PA+PB=A′B的值最小〔不必證明．模型應(yīng)用：〔1如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點(diǎn),P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD,由正方形對(duì)稱性可知,B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P,則PB+PE的最小值是；〔2如圖2,⊙O的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一動(dòng)點(diǎn),求PA+PC的最小值；〔3如圖3,∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),求△PQR周長的最小值．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．分析：〔1由題意易得PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根據(jù)勾股定理求得即可；〔2作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′C,交OB于P,求A′C的長,即是PA+PC的最小值；〔3作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)M,關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,它分別與OA,OB的交點(diǎn)Q、R,這時(shí)三角形PEF的周長=MN,只要求MN的長就行了．解答：解：〔1∵四邊形ABCD是正方形,∴AC垂直平分BD,∴PB=PD,由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根據(jù)勾股定理得,DE=；〔2作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′C,交OB于P,PA+PC的最小值即為A′C的長,∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D,則∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；〔3分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R,連接PR、PQ,此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN．由軸對(duì)稱性質(zhì)可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°,在Rt△MON中,MN===10．即△PQR周長的最小值等于10．點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng),主要考查有關(guān)軸對(duì)稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€的問題,綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)．6．〔2006?XX如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔2,﹣3,B〔4,﹣1．〔1若P〔p,0是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)p=時(shí),△PAB的周長最短；〔2若C〔a,0,D〔a+3,0是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)a=時(shí),四邊形ABDC的周長最短；〔3設(shè)M,N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)M〔m,0、N〔0,n,使四邊形ABMN的周長最短？若存在,請(qǐng)求出m=,n=﹣〔不必寫解答過程；若不存在,請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．3113559專題：壓軸題．分析：〔1根據(jù)題意,設(shè)出并找到B〔4,﹣1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B',其坐標(biāo)為〔4,1,進(jìn)而可得直線AB'的解析式,進(jìn)而可得答案；〔2過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E,且延長AE,取A'E=AE．做點(diǎn)F〔1,﹣1,連接A'F．利用兩點(diǎn)間的線段最短,可知四邊形ABDC的周長最短等于A'F+CD+AB,從而確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值．〔3根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì),可得存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N,當(dāng)且僅當(dāng)m=,n=﹣；時(shí)成立．解答：解：〔1設(shè)點(diǎn)B〔4,﹣1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是B',其坐標(biāo)為〔4,1,設(shè)直線AB'的解析式為y=kx+b,把A〔2,﹣3,B'〔4,1代入得：,解得,∴y=2x﹣7,令y=0得x=,即p=．〔2過A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E,且延長AE,取A'E=AE．做點(diǎn)F〔1,﹣1,連接A'F．那么A'〔2,3．直線A'F的解析式為,即y=4x﹣5,∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為〔a,0,且在直線A'F上,∴a=．〔3存在使四邊形ABMN周長最短的點(diǎn)M、N,作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′,作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A′B′,與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N,∴A′〔﹣2,﹣3,B′〔4,1,∴直線A′B′的解析式為：y=x﹣,∴M〔,0,N〔0,﹣．m=,n=﹣．點(diǎn)評(píng)：考查圖形的軸對(duì)稱在實(shí)際中的運(yùn)用,同時(shí)考查了根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式,運(yùn)用解析式求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí)．7．〔2007?慶陽需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場,使飛機(jī)場到A,B兩個(gè)城市的距離之和最小,請(qǐng)作出機(jī)場的位置．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：作圖題．分析：利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)A關(guān)于公路的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B,與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置．解答：解：點(diǎn)P就是飛機(jī)場所在的位置．〔5分點(diǎn)評(píng)：本題主要是利用軸對(duì)稱圖形來求最短的距離．用到的知識(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短．8．〔2006?貴港如圖所示,在一筆直的公路MN的同一旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米,直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米．〔1新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為8；〔2現(xiàn)要在MN上某點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短．此時(shí)PA+PB=14〔千米．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：〔1先求出OB的長,從而得出OA的長,再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離．〔2根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3,AF=AE+EF=AE+BC=11,再根據(jù)余弦概念求解．解答：解：〔1∵BC=3,∠AOC=30°,∴OB=6．過點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E,AO=AB+OB=16,∴AE=8．即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；〔2過D作DF⊥AE的延長線〔點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn),垂足為F．則EF=CD=BC=3,AF=AE+EF=AE+BC=11,過B作BG⊥AE于G,∴BG=DF,∵BG=AB?cos30°=5,∴,連接PB,則PB=PD,∴PA+PB=PA+PD=AD=14〔千米．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力．9．〔2006?XX如圖：〔1若把圖中小人平移,使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B,請(qǐng)你在圖中畫出平移后的小人；〔2若圖中小人是一名游泳者的位置,他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后,再游到B,但要使游泳的路程最短,試在圖中畫出點(diǎn)P的位置．考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；作圖-軸對(duì)稱變換；作圖-平移變換．3113559專題：作圖題．分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)B,再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì),找到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),連接A1B與l相交于點(diǎn)P,即為所求．解答：解：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平移變換與最短線路問題．最短線路問題一般是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解題,通過作軸對(duì)稱圖形,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可求出所求的點(diǎn)．作平移圖形時(shí),找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步．平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離,先確定一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)；②確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；③利用第一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④按原圖形順序依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn),所得到的圖形即為平移后的圖形．10．〔2003?XX如圖,在直角坐標(biāo)系中,等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱軸為y軸．〔1請(qǐng)畫出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A2、B2〔應(yīng)保留畫圖痕跡,不必寫畫法,也不必證明；〔2連接A1A2、B1B2〔其中A2、B2為〔1中所畫的點(diǎn),試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；〔3設(shè)線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A〔﹣2,4、B〔﹣4,2,連接〔1中A2B2,試問在x軸上是否存在點(diǎn)C,使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最?。咳舸嬖?求出點(diǎn)C的坐標(biāo)〔不必說明周長之和最小的理由；若不存在,請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：作圖-軸對(duì)稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型．分析：〔1根據(jù)中心對(duì)稱的方法,找點(diǎn)A2,B2,連接即可．〔2設(shè)A〔x1,y1、B〔x2,y2依題意與〔1可得A1〔﹣x1,y1,B1〔﹣x2,y2,A2〔﹣x1,﹣y1,B2〔﹣x2,﹣y2,得到A1、B1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A2、B2,所以x軸垂直平分線段A1A2、B1B2．〔3根據(jù)A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱,連接A2B1交x軸于C,點(diǎn)C為所求的點(diǎn)．根據(jù)題意得B1〔4,2,A2〔2,﹣4設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法．解得,所以可求直線A2B1的解析式為y=3x﹣10．令y=0,得x=,所以C的坐標(biāo)為〔,0．即點(diǎn)C〔,0能使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最小．解答：解：〔1如圖,A2、B2為所求的點(diǎn)．〔2設(shè)A〔x1,y1、B〔x2,y2依題意與〔1可得A1〔﹣x1,y1,B1〔﹣x2,y2,A2〔﹣x1,﹣y1,B2〔﹣x2,﹣y2∴A1、B1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A2、B2,∴x軸垂直平分線段A1A2、B1B2．〔3存在符合題意的C點(diǎn)．由〔2知A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱,∴連接A2B1交x軸于C,點(diǎn)C為所求的點(diǎn)．∵A〔﹣2,4,B〔﹣4,2依題意及〔1得：B1〔4,2,A2〔2,﹣4．設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則有解得∴直線A2B1的解析式為y=3x﹣10,令y=0,得x=,∴C的坐標(biāo)為〔,0綜上所述,點(diǎn)C〔,0能使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最?。c(diǎn)評(píng)：主要考查了軸對(duì)稱的作圖和性質(zhì),以及垂直平分線的性質(zhì)．要知道對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線．會(huì)根據(jù)此性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．11．〔2001?XX某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠,將該農(nóng)場兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工,以提高經(jīng)濟(jì)效益．請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠C的運(yùn)輸路程之和最短．〔要求：用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題．3113559專題：作圖題．分析：作A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)E,連接BE交直線L于C,則C為所求．解答：答：如圖：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€的問題的理解和掌握,根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,12．〔2012?XX閱讀理解如圖1,△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重復(fù)部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊,點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合,無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．探究發(fā)現(xiàn)〔1△ABC中,∠B=2∠C,經(jīng)過兩次折疊,∠BAC是不是△ABC的好角？是〔填"是"或"不是"．〔2小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角,請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C〔不妨設(shè)∠B＞∠C之間的等量關(guān)系．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C〔不妨設(shè)∠B＞∠C之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C．應(yīng)用提升〔3小麗找到一個(gè)三角形,三個(gè)角分別為15°、60°、105°,發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角．請(qǐng)你完成,如果一個(gè)三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù),使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．考點(diǎn)：翻折變換〔折疊問題．3113559專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：〔1在小麗展示的情形二中,如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知∠B=2∠C；〔2根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①,根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②,由①②可以求得∠B=3∠C；利用數(shù)學(xué)歸納法,根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C；〔3利用〔2的結(jié)論知∠B=n∠C,∠BAC是△ABC的好角,∠C=n∠A,∠ABC是△ABC的好角,∠A=n∠B,∠BCA是△ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：〔1△ABC中,∠B=2∠C,經(jīng)過兩次折疊,∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中,如圖3,∵沿∠BAC的平分線AB1折疊,∴∠B=∠AA1B1；又∵將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合,∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C〔外角定理,∴∠B=2∠C,∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；〔2∠B=3∠C；如圖所示,在△ABC中,沿∠BAC的平分線AB1折疊,剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊,剪掉重復(fù)部分,將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊,點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合,則∠BAC是△ABC的好角．證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1B1C=∠A1A2B2,∴根據(jù)三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根據(jù)四邊形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°,根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠B=3∠C；由小麗展示的情形一知,當(dāng)∠B=∠C時(shí),∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形二知,當(dāng)∠B=2∠C時(shí),∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形三知,當(dāng)∠B=3∠C時(shí),∠BAC是△ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角,則∠B與∠C〔不妨設(shè)∠B＞∠C之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；〔3由〔2知設(shè)∠A=4°,∵∠C是好角,∴∠B=4n°；∵∠A是好角,∴∠C=m∠B=4mn°,其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180∴如果一個(gè)三角形的最小角是4°,三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換〔折疊問題．解答此題時(shí),充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．13．〔2013?青羊區(qū)一模如圖,△ABC中AB=AC,BC=6,,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng),已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同,PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．〔1如圖①,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí),求CD的長；〔2如圖②,過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中,線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請(qǐng)說明理由；考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．3113559專題：幾何綜合題；壓軸題；分類討論．分析：〔1過點(diǎn)P做PF平行與AQ,由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等,再由AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角得角B和角ACB的相等,根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等,根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=PF,又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā),且速度相同即BP=CQ,等量代換得PF=CQ,在加上對(duì)等角的相等,證得三角形PFD和三角形QCD的全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF,而又因P是AB的中點(diǎn),PF∥AQ得出F是BC的中點(diǎn),進(jìn)而根據(jù)已知的BC的長,求出CF,即可得出CD的長．〔2分兩種情況討論,第一種情況點(diǎn)P在線段AB上,根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF,再又第一問的全等可知DF=CD,所以ED=,得出線段DE的長為定值；第二種情況,P在BA的延長線上,作PM平行于AC交BC的延長線于M,根據(jù)兩直線平行,同位角相等推出角PMB等于角ACB,而角ACB等于角ABC,根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB,根據(jù)等角對(duì)等邊得到PM等于PB,根據(jù)三線合一,得到BE等于EM,同理可得△PMD全等于△QCD,得到CD等于DM,根據(jù)DE等于EM減DM,把EM換為BC加CM的一半,化簡后得到值為定值．解答：解：〔1如圖,過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F,∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā),且速度相同,∴BP=CQ,∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ,又∠PDF=∠QDC,∴證得△PFD≌△QCD,∴DF=CD=CF,又因P是AB的中點(diǎn),PF∥AQ,∴F是BC的中點(diǎn),即FC=BC=3,∴CD=CF=；〔2分兩種情況討論,得ED為定值,是不變的線段如圖,如果點(diǎn)P在線段AB上,過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F,∵△PBF為等腰三角形,∴PB=PF,BE=EF,∴PF=CQ,∴FD=DC,∴ED=,∴ED為定值,同理,如圖,若P在BA的延長線上,作PM∥AC的延長線于M,∴∠PMC=∠ACB,又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PMC,∴PM=PB,根據(jù)三線合一得BE=EM,同理可得△PMD≌△QCD,所以CD=DM,,綜上所述,線段ED的長度保持不變．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判斷與性質(zhì),考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,是一道綜合題．14．〔2012?東城區(qū)二模已知：等邊△ABC中,點(diǎn)O是邊AC,BC的垂直平分線的交點(diǎn),M,N分別在直線AC,BC上,且∠MON=60°．〔1如圖1,當(dāng)CM=CN時(shí),M、N分別在邊AC、BC上時(shí),請(qǐng)寫出AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系；〔2如圖2,當(dāng)CM≠CN時(shí),M、N分別在邊AC、BC上時(shí),〔1中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請(qǐng)你加以證明；若不成立,請(qǐng)說明理由；〔3如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上,點(diǎn)N在BC的延長線上時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．3113559分析：〔1在AM上截取AN′=CN,連接ON′,OC,OA,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出∠OCN=∠OAN′=30°,OC=OA,證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′,∠CON=∠AON′,求出∠NOM=∠MON′,根據(jù)SAS證△MON≌△MON′,推出MN=MN′,即可求出答案；〔2結(jié)論還成立,證明過程與〔1類似；〔3結(jié)論是MN=CN+AM,延長CA到N′,使AN′=CN,連接OC,OA,ON′,證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′,∠CON=∠AON′,求出∠NOM=∠MON′,根據(jù)SAS證△MON≌△MON′,推出MN=MN′,即可求出答案；解答：′解：〔1MN=AM﹣CN,理由是：在AM上截取AN′=CN,連接ON′,OC,OA,∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn),△ABC是等邊三角形,∴OC=OA,O也是等邊三角形三個(gè)角的平分線交點(diǎn),∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=×60°=30°,∴∠AOC=180°﹣30°﹣30°=120°,∴∠NCO=∠OAN′,∵在△OCN和△OAN′中,∴△OCN≌△OAN′〔SAS,∴ON′=ON,∠CON=∠AON′,∵∠COA=120°,∠NOM=60°,∴∠CON+∠COM=60°,∴∠AON′+∠COM=60°,即∠NOM=∠N′OM,∵在△NOM和△N′OM中,∴△NOM≌△N′OM,∴MN=MN′,∵M(jìn)N′=AM﹣AN′=AM﹣CN,∴MN=AM﹣CN．〔2MN=AM﹣CN,證明：理由是：在AM上截取AN′=CN,連接ON′,OC,OA,∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn),△ABC是等邊三角形,∴OC=OA,由三線合一定理得：∠OCB=OCA=∠OAC=30°,∠AOC=180°﹣30°﹣30°=120°,∴∠OCN=∠OAN′=30°,∵在△OCN和△OAN′中,∴△OCN≌△OAN′〔SAS,∴ON=ON′,∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120°,又∵∠MON=60°,∴∠MON=∠MON′=60°∵在△NOM和△N′OM中,∴△NOM≌△N′OM,∴MN=MN′,∵M(jìn)N′=AM﹣AN′=AM﹣CN,∴MN=AM﹣CN．〔3解：MN=CN+AM,理由是：延長CA到N′,使AN′=CN,連接OC,OA,ON′,∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點(diǎn),△ABC是等邊三角形,∴OC=OA,由三線合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°,∠AOC=180°﹣30°﹣30°=120°,∴∠OCN=∠OAN′,∵在△OCN和△OAN′中,∴△OCN≌△OAN′〔SAS,∴ON′=ON,∠CON=∠AON′,∵∠COA=120°,∠NOM=60°,∴∠CON+∠AOM=60°,∴∠AON′+∠AOM=60°,即∠NOM=∠N′OM,∵在△NOM和△N′OM中,∴△NOM≌△N′OM,∴MN=MN′,∵M(jìn)N′=AM+AN′=AM+CN,∴MN=AM+CN．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定,主要考查學(xué)生的推理能力和猜想能力,題目具有一定的代表性,證明過程類似．15．〔2012?XX區(qū)模擬如圖,線段CD垂直平分線段AB,CA的延長線交BD的延長線于E,CB的延長線交AD的延長線于F,求證：DE=DF．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：根據(jù)線段垂直平分線得出AC=BC,BD=AD,推出∠CBE=∠CAF,證△BCE≌△ACF,推出BE=AF,即可得出答案．解答：證明：∵線段CD垂直平分AB,∴AC=BC,AD=BD,∴∠CAB=∠CBA,∠BAD=∠ABD,∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD,即∠CBE=∠CAF,在△BCE和△ACF中∵,∴△BCE≌△ACF〔ASA,∴BE=AF,∵BD=AD,∴BE﹣BD=AF﹣AD,即DE=DF．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定,線段垂直平分線性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．16．如圖,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點(diǎn)M．求證：〔1△ABC≌△DCB；〔2點(diǎn)M在BC的垂直平分線上．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：〔1由已知和BC=BC,根據(jù)SSS即可推出兩三角形全等；〔2由全等得出∠DBC=∠ACB,推出MB=MC,根據(jù)線段垂直平分線定理得出即可．解答：〔1證明：∵在△ABC和△DCB中,∴△ABC≌△DCB〔SSS．〔2證明：∵由〔1知：△ABC≌△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∴MB=MC,∴點(diǎn)M在BC的垂直平分線上．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是推出△ABC≌△DCB,題目比較好,難度適中．17．如圖,△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△BAC的外角平分線AD于D,E為垂足,DF⊥AB于F,且AB＞AC,求證：BF=AC+AF．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：過D作DN⊥AC,垂足為N,連接DB、DC,推出DN=DF,DB=DC,根據(jù)HL證Rt△DBF≌Rt△DCN,推出BF=CN,根據(jù)HL證Rt△DFA≌Rt△DNA,推出AN=AF即可．解答：證明：過D作DN⊥AC,垂足為N