基本不等式第一課時

基本不等式第一課時基本不等式第一課時基本不等式第一課時基本不等式第一課時編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:基本不等式（第一課時）授課教師：浙江省溫州市第十四高級中學(xué)陳芝飛教材：人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章一、教學(xué)目標(biāo)1．通過兩個探究實例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的素養(yǎng)------數(shù)學(xué)抽象與直觀想象。2．進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對基本不等式的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界的素養(yǎng)----邏輯推理論與數(shù)學(xué)運算。3．通過“趙爽弦圖”的引入傳播數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)魅力；從直觀猜想到嚴(yán)格論證體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性精神；通過不同角度理解基本不等式，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美、對稱美、簡潔美。4．借助例題嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．二、教學(xué)重點和難點重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程．難點：在探究基本不等式的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并能應(yīng)用基本不等式求最大值與最小值．三、教學(xué)過程：1．由形及數(shù)，發(fā)現(xiàn)新知師：先給大家展示一幅圖。（展示北京國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)）問題1：同學(xué)們見過這個圖形嗎？它告訴我們什么信息？師：這個是什么圖形？你感覺它像什么呀？這是由四個全等的直角三角形所圍成的一個正方形，顏色的明暗使它看上去像一個“風(fēng)車”，代表中國人民熱情好客。這種像“風(fēng)車”一樣的圖標(biāo)是2002年8月20—28在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計的。該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的．問題2：你知道如何用這張圖證明勾股定理嗎？在正方形中有4個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長為，于是，4個直角三角形的面積之和，小正方形的面積所以大正方形的面積．進(jìn)一步得到正方形的邊長為．問題3：剛剛從等量關(guān)系得到了勾股定理，同學(xué)們能否仍然從面積的視角，得到不等關(guān)系呢？生：正方形的面積大于4個直角三角形的面積之和.師：用數(shù)學(xué)式子加以表示？生：師：大家認(rèn)為如何？生：師：什么時候取到等號呢？（教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件）生：的時候取到等號。師：除了這個時候還有別的情況使得等號成立嗎？生：沒有了。師：數(shù)學(xué)上把這種情況稱做“當(dāng)且僅當(dāng)”。（板書：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立））2．代數(shù)證明，得出結(jié)論根據(jù)上述幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．師：你能給出它的證明嗎？證法（作差法）：，當(dāng)時取等號．師：通過證明我們發(fā)現(xiàn)，這個重要不等式的實質(zhì)就是“實數(shù)平方的非負(fù)性”。在該過程中，可發(fā)現(xiàn)的取值可以是全體實數(shù)。完善結(jié)論，得到重要不等式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）3.數(shù)學(xué)變換，探索新知練習(xí)：（1）比較與的大??？（2）_______生：師：數(shù)學(xué)變換是數(shù)學(xué)研究的一把利器。那么第二個練習(xí)誰來試試？生：師：很好，這個不等式我們習(xí)慣上把它寫成：（），并稱這個不等式為“基本不等式”．（板書基本不等式）師：以上我們從幾何圖形的面積關(guān)系獲得，并結(jié)合數(shù)學(xué)變換得到基本不等式。能否利用不等式的性質(zhì)，直接推導(dǎo)出這個不等式呢？讓我們一起來分析一下。4.運算推理，分析證明證明：（分析法）要證，只要證______，只要證______，即證，該式顯然成立，所以，師：什么時候取到等號？生：當(dāng)時取等號．師：而且只有當(dāng)時取等號，所以：當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）師：“邏輯推理，數(shù)學(xué)運算”是我們用數(shù)學(xué)思維分析世界的重要素養(yǎng)，前面采用的是分析法證明基本不等式。分析法的證明思路是“執(zhí)果索因”，從結(jié)果出發(fā)，不斷尋找、轉(zhuǎn)換使得前面結(jié)論成立的新條件，直到這個新條件是顯然的、或已經(jīng)被證明過的正確結(jié)論。分析法是證明不等式的常用方法，也是我們解決數(shù)學(xué)問題，形成解題思路的一種重要的數(shù)學(xué)方法。其基本步驟是：從結(jié)果出發(fā)，要證……,只要證……,即證……….5.深化認(rèn)識，文字?jǐn)⑹觯簬煟夯静坏仁窖芯康膶ο笫鞘裁茨?？生：兩個正數(shù)的和與積．師：現(xiàn)在大家再想一想，基本不等式的本質(zhì)到底是什么呢？生：基本不等式是關(guān)于兩個正數(shù)和與積的一個不等關(guān)系式．師：對！用基本不等式解題，關(guān)鍵就是“積化和”或者“和化積”的轉(zhuǎn)化過程．師：數(shù)學(xué)上，我們稱為的幾何平均數(shù)；稱為的算術(shù)平均數(shù)．基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)．師：前面我們剛剛學(xué)過等差、等比數(shù)列，看到“，”同學(xué)們會想到什么？生：表示正數(shù)的等差中項、表示正數(shù)的等比中項。師：對，這里的等比中項指正的等比中項，基本不等式又可敘述為：兩個正數(shù)的等比中項不大于它們的等差中項．6．還數(shù)于形，深度感知師：代數(shù)和幾何是刻畫數(shù)學(xué)問題的兩種基本途徑，那么的幾何意義又是什么呢？下面我們再從圖形的角度研究這個基本不等式。DCABEO探究：如圖，是圓的直徑，點是上一點，，．過點作垂直于的弦，連接．DCABEO根據(jù)射影定理可得：由于Rt中直角邊斜邊，于是有當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合時，即時等號成立．故而再次證明：當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性）幾何解釋1：直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高。幾何解釋2：同圓中，半徑不小于半弦。7．應(yīng)用舉例，鞏固提高例題.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？師：遇到實際問題，我們的解題步驟是怎樣的？生：通過設(shè)元、列式，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題？師：好的，請上黑板書寫。（見板書）師：基本不等式的本質(zhì)是關(guān)于兩個正數(shù)的“和”與“差”的不等關(guān)系。用基本不等式解題，關(guān)鍵就是“積化和”或者“和化積”的轉(zhuǎn)化過程。（通過例題的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．）定理：對于，（1）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值；（2）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值．（鼓勵學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）總結(jié)：和定積最大，積定和最小。練一練（自主練習(xí)）：1.已知，且，求的最小值．2.設(shè)，且，求的最小值．8．歸納小結(jié)，反思提高本節(jié)課的主要內(nèi)容：重要不等式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）基本不等式：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法．本節(jié)課的研究過程：從幾何圖形中獲得基本不等式，用“數(shù)學(xué)抽象與直觀想象”的數(shù)學(xué)眼光觀察世界。并從不同角度給出不等式的證明，通過“邏輯推理論與數(shù)學(xué)運算”學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析世界。數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合師：為什么稱這個不等式為基本不等式呢？強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、重視認(rèn)知過程、結(jié)果簡潔、證明方法的多元化，還強(qiáng)調(diào)可推廣、可遷移性。（背景人教社章建躍老師撰文指出：為什么把（）稱作基本不等式，是一個需要認(rèn)真思考的數(shù)學(xué)問題。并從數(shù)及其運算性質(zhì)、等價形式的多樣性、證明方法多樣性、可推廣性等四個角度對這個問題進(jìn)行了分析。從中我們可以體會到稱之為基本不等式比稱之為重要不等式，更能體現(xiàn)其內(nèi)在含義。稱之為基本不等式，反映了其與其他基礎(chǔ)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，更能夠引起學(xué)生的注意，提高用之解決后續(xù)數(shù)學(xué)問題和實際問題的意識。同時還能很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，優(yōu)化其認(rèn)知結(jié)構(gòu)。）9．布置作業(yè)，課后延拓（1）基本作業(yè)：課本P100習(xí)題組1、2題（2）拓展作業(yè)：已知，求證：．（3）探究作業(yè)：a.現(xiàn)有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？并說明你的結(jié)論．b.請同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流.四、教學(xué)反思張奠宙先生認(rèn)為：教師的主要任務(wù)是把知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)。實現(xiàn)這兩個形態(tài)的自然轉(zhuǎn)化，教師必須深刻理解數(shù)學(xué)知識？準(zhǔn)確了解學(xué)生的學(xué)情，并且具有高超的教學(xué)藝術(shù)?；谶@樣的思考，在本節(jié)課的備課前，我思考了以下三個問題：1、為什么稱為“基本”不等式？基本不等式的實質(zhì)是什么？2、通過課堂教學(xué)指向哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？如何落實（尋找培養(yǎng)的途徑）？3、有哪些育人價值？如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)地育人？并將教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：1．通過兩個探究實例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的素養(yǎng)------數(shù)學(xué)抽象與直觀想象。2．進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對基本不等式的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界的素養(yǎng)----邏輯推理論與數(shù)學(xué)運算。3．通過“趙爽弦圖”的引入傳播數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)魅力；從直觀猜想到嚴(yán)格論證體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性精神；通過不同角度理解基本不等式，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美、對稱美、簡潔美。4．借助例題嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．章建躍博士指出，教師要把教研作為自己的生活方式，在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)上不斷取得進(jìn)步。所以，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解，提高學(xué)現(xiàn)了基本不等式。在對基本不等式的證明過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展、演變的探究興趣，應(yīng)該是我們新授課不懈的追求。我認(rèn)為，一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，要有‘小巧簡單的知識源頭、準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)陌l(fā)展方向、歡快流暢的思維流淌”。本節(jié)課試圖以此為基本