八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 第二章 實(shí)數(shù)單元綜合測試卷(含解析)(新版)北師大版-(新版)北師大版初中八年級(jí)上冊

《第2章實(shí)數(shù)》單元測試一、選擇題1．下面四個(gè)實(shí)數(shù)，你認(rèn)為是無理數(shù)的是（）A．B．2．下列四個(gè)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）A．|﹣2|B．（﹣2）2C．﹣D．3．設(shè)邊長為3的正方形的對角線長為a．下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；③3＜a＜4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號(hào)是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④4．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡的結(jié)果為（）A．2a+bB．﹣2a+bC．bD．2a﹣b5．k、m、n為三整數(shù)，若=k，=15，=6，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確？（）A．k＜m=nB．m=n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n6．下列說法：①5是25的算術(shù)平方根；②是的一個(gè)平方根；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④立方根和算術(shù)平方根都等于自身的數(shù)是0和1．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)7．下列計(jì)算正確的是（）A．C．=×B．=﹣=D．=8．如圖，下列各數(shù)中，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的可能是（）A．4的算術(shù)平方根B．4的立方根C．8的算術(shù)平方根D．8的立方根9．下列各式正確的是（）A．C．B．D．10．規(guī)定用符號(hào)[m]表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]=0，[]=3．按此規(guī)定[]的值為（）A．3B．4C．5D．6二、填空題11．﹣的相反數(shù)是．12．16的算術(shù)平方根是．13．寫出一個(gè)比﹣3大的無理數(shù)是．14．化簡﹣=．15．比較大?。?π（填“＞”、“＜”或“=”）．16．已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3x﹣2和5x+6，則這個(gè)數(shù)是．17．若x，y為實(shí)數(shù)，且|x+2|+=0，則（x+y）2014的值為．18．已知m=，則m2﹣2m﹣2013=．三、解答題（共66分）19．（2012﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+；（2）1+（﹣）﹣1﹣÷（）0．20．先化簡，再求值：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中a=，b=（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣21．有這樣一個(gè)問題：A、；B、；C、；．與下列哪些數(shù)相乘，結(jié)果是有理數(shù)？；D、；E、0，問題的答案是（只需填字母）：；（2）如果一個(gè)數(shù)與22．計(jì)算：相乘的結(jié)果是有理數(shù)，則這個(gè)數(shù)的一般形式是什么（用代數(shù)式表示）．（1）+÷+﹣；（2）2×；（3）（﹣4+3）÷2．23．甲同學(xué)用如圖方法作出C點(diǎn)，表示數(shù)在同一數(shù)軸上，OB=OC，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且點(diǎn)O，A，C（1）請說明甲同學(xué)這樣做的理由；（2）仿照甲同學(xué)的做法，在如圖所給數(shù)軸上描出表示﹣的點(diǎn)A．24．如果正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長都是1，則每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．（1）如圖①，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC中，請判斷AB，BC，AC三邊的長度是有理數(shù)還是無理數(shù)？（2）在圖②中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形，使三角形的三邊長分別為3，，2．25．閱讀下列材料，然后解答下列問題：在進(jìn)行代數(shù)式化簡時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：（一）（二）（三）==；====﹣1；===﹣1．以上這種化簡的方法叫分母有理化．（1）請用不同的方法化簡①參照（二）式化簡②參照（三）式化簡：=．=．（2）化簡：+++…+．參考答案與試題解析一、選擇題1．下面四個(gè)實(shí)數(shù)，你認(rèn)為是無理數(shù)的是（）A．B．【考點(diǎn)】無理數(shù)．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解答】解：、3、0.3是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中X圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．下列四個(gè)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）A．|﹣2|B．（﹣2）2C．﹣D．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；正數(shù)和負(fù)數(shù)．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方的定義，算術(shù)平方根對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、|﹣2|=2，是正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（﹣2）2=4，是正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、﹣＜0，是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D、==2，是正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)用，主要利用了絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方，以及算術(shù)平方根的定義，先化簡是判斷正、負(fù)數(shù)的關(guān)鍵．3．設(shè)邊長為3的正方形的對角線長為a．下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；③3＜a＜4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號(hào)是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小；算術(shù)平方根；無理數(shù)；實(shí)數(shù)與數(shù)軸；正方形的性質(zhì)．【分析】先利用勾股定理求出a=3，再根據(jù)無理數(shù)的定義判斷①；根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系判斷②；利用估算無理數(shù)大小的方法判斷③；利用算術(shù)平方根的定義判斷④．【解答】解：∵邊長為3的正方形的對角線長為a，∴a===3．①a=3是無理數(shù)，說法正確；②a可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，說法正確；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，說法錯(cuò)誤；④a是18的算術(shù)平方根，說法正確．所以說法正確的有①②④．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，實(shí)數(shù)中無理數(shù)的概念，算術(shù)平方根的概念，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，估算無理數(shù)大小，有一定的綜合性．4．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡的結(jié)果為（）A．2a+bB．﹣2a+bC．bD．2a﹣b【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【分析】現(xiàn)根據(jù)數(shù)軸可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)、絕對值的計(jì)算進(jìn)行化簡計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知，a＜0，b＞0，原式=﹣a﹣[﹣（a+b）]=﹣a+a+b=b．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡和性質(zhì)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是注意開方結(jié)果是非負(fù)數(shù)、以及絕對值結(jié)果的非負(fù)性．5．k、m、n為三整數(shù)，若=k，=15，=6，則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系，何者正確？（）A．k＜m=nB．m=n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡．【分析】根據(jù)二次根式的化簡公式得到k，m及n的值，即可作出判斷．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，則m＜k＜n．故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的化簡公式是解本題的關(guān)鍵．6．下列說法：①5是25的算術(shù)平方根；②是的一個(gè)平方根；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④立方根和算術(shù)平方根都等于自身的數(shù)是0和1．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【考點(diǎn)】立方根；平方根；算術(shù)平方根．【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根以及立方根逐一分析4條結(jié)論的正誤，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：①∵52=25，∴5是25的算術(shù)平方根，①正確；②∵=，∴是的一個(gè)平方根，②正確；③∵（±4）2=（﹣4）2，∴（﹣4）2的平方根是±4，③錯(cuò)誤；④∵02=03=0，12=13=1，∴立方根和算術(shù)平方根都等于自身的數(shù)是0和1，正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方根、算術(shù)平方根以及立方根，解題的關(guān)鍵是根據(jù)算術(shù)平方根與平方根的定義找出它們的區(qū)別．7．下列計(jì)算正確的是（）A．C．=×B．=﹣=D．=【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，判斷即可．【解答】解：=×，A錯(cuò)誤；=，B錯(cuò)誤；是最簡二次根式，C錯(cuò)誤；=，D正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，下列各數(shù)中，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的可能是（）A．4的算術(shù)平方根B．4的立方根C．8的算術(shù)平方根D．8的立方根【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小．【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷A的X圍，再根據(jù)下列選項(xiàng)分別求得其具體值，選取最符合題意的值即可．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知點(diǎn)A的位置在2和3之間，且靠近3，而=2，＜2，2＜=2＜3，=2，只有8的算術(shù)平方根符合題意．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用數(shù)軸確定無理數(shù)的大小，解題需掌握二次根式的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用．“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．9．下列各式正確的是（）A．C．B．D．【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡．【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡．【解答】解：A、原式=，錯(cuò)誤；B、被開方數(shù)不同，不能合并，錯(cuò)誤；C、運(yùn)用了平方差公式，正確；D、原式=故選C．=，錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡，注意要化簡成最簡二次根式．10．規(guī)定用符號(hào)[m]表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]=0，[]=3．按此規(guī)定[]的值為（）A．3B．4C．5D．6【考點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小．【分析】先求出+1的X圍，再根據(jù)X圍求出即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴4＜∴[+1＜5，+1]=4，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出+1的X圍．二、填空題11．﹣的相反數(shù)是．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣的相反數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)就是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．12．16的算術(shù)平方根是4．【考點(diǎn)】算術(shù)平方根．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．【解答】解：∵42=16，∴=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義．一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根就是其正的平方根．13．寫出一個(gè)比﹣3大的無理數(shù)是如等（答案不唯一）．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較．【分析】根據(jù)這個(gè)數(shù)即要比﹣3大又是無理數(shù)，解答出即可．【解答】解：由題意可得，﹣＞﹣3，并且﹣是無理數(shù)．故答案為：如等（答案不唯一）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較及無理數(shù)的定義，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小．14．化簡﹣=﹣．【考點(diǎn)】二次根式的加減法．【分析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，應(yīng)先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．【解答】解：原式=2﹣3=﹣．【點(diǎn)評(píng)】二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．合并同類二次根式的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變．15．比較大小：2＜π（填“＞”、“＜”或“=”）．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較．【分析】首先利用計(jì)算器分別求2和π的近似值，然后利用近似值即可比較求解．【解答】解：因?yàn)?≈2.828，π≈3.414，所以＜π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，主要采用了求近似值來比較兩個(gè)無理數(shù)的大?。?6．已知一個(gè)正數(shù)的平方根是3x﹣2和5x+6，則這個(gè)數(shù)是．【考點(diǎn)】平方根．【分析】由于一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根有2個(gè)，它們互為相反數(shù)．依此列出方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知：3x﹣2+5x+6=0，解得x=﹣，所以3x﹣2=﹣，5x+6=，∴（）2=故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根的逆運(yùn)算，平時(shí)注意訓(xùn)練逆向思維．17．若x，y為實(shí)數(shù)，且|x+2|+=0，則（x+y）2014的值為1．【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值．【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于x、y方程組，然后解方程組求出x、y的值，再代入原式求解即可．【解答】解：由題意，得：，解得；∴（x+y）2014=（﹣2+3）2014=1；故答案為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．18．已知m=，則m2﹣2m﹣2013=0．【考點(diǎn)】二次根式的化簡求值．【分析】先分母有理化，再將m2﹣2m﹣2013變形為（m﹣1）2﹣2014，再代入計(jì)算即可求解．【解答】解：m==+1，則m2﹣2m﹣20130=（m﹣1）2﹣2014=（+1﹣1）2﹣2014=2014﹣2014=0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡求值，分母有理化，完全平方公式，二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．三、解答題（共66分）19．（2012﹣π）0﹣（）﹣1+|﹣2|+；（2）1+（﹣）﹣1﹣÷（）0．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算；（2）根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和二次根式的意義計(jì)算．【解答】解：（1）原式=1﹣3+2﹣=0；+（2）原式=1﹣2﹣（2﹣）÷1=1﹣2﹣2+=﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．20．先化簡，再求值：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab），其中a=，b=；（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值．．【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可；（2）先算乘法和除法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可．【解答】解：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab3÷（﹣ab）=a2﹣4b2﹣b2=a2﹣5b2，當(dāng)a=，b=時(shí)，原式=（）2﹣5×（）2=﹣13；（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4=x2﹣5，當(dāng)x=時(shí)，原式=﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵．21．有這樣一個(gè)問題：與下列哪些數(shù)相乘，結(jié)果是有理數(shù)？A、；B、；C、；D、；E、0，問題的答案是（只需填字母）：A、D、E；（2）如果一個(gè)數(shù)與相乘的結(jié)果是有理數(shù)，則這個(gè)數(shù)的一般形式是什么（用代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的乘法法則和有理數(shù)、無理數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可以得到規(guī)律．【解答】解：（1）A、D、E；注：每填對一個(gè)得，每填錯(cuò)一個(gè)扣，但本小題總分最少0分．（2）設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則x=a（a為有理數(shù)），所以x=（a為有理數(shù)）．（注：無“a為有理數(shù)”扣；寫x=a視同x=）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，也考查了有理數(shù)、無理數(shù)的定義，文字閱讀比較多，解題時(shí)要注意審題，正確理解題意．22．計(jì)算：（1）+÷+﹣；（2）2×；（3）（﹣4+3）÷2．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【分析】（1）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可；（2）根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算；（3）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后把括號(hào)內(nèi)合并后進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算．【解答】解：（1）原式=4+5+﹣3=6+；（2原式=2×××=；（3）原式=（﹣2+6）÷2=（+4）÷2=+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．23．甲同學(xué)用如圖方法作出C點(diǎn)，表示數(shù)在同一數(shù)軸上，OB=OC，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且點(diǎn)O，A，C（1）請說明甲同學(xué)這樣做的理由；（2）仿照甲同學(xué)的做法，在如圖所給數(shù)軸上描出表示﹣的點(diǎn)A．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸；勾股定理．【分析】（1）依據(jù)勾股定理求得OB的長，從而得到OC的長，故此可得到點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）由29=25+4，依據(jù)勾股定理即可做出