2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列章末綜合提升學(xué)案北師大版5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第1章數(shù)列[牢固層·知識整合］[提升層·題型研究］等差、等比數(shù)列的判定【例1】已知數(shù)列{an｝的前n項和Sn＝1＋λan,其中λ≠0．(1）證明{an｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若S5＝錯誤!，求λ．［解］（1)由題意得aSλaλaa．錯誤!由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan,即an＋1（λ－1)＝λan．由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，因此錯誤!＝錯誤!．-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此｛an｝是首項為1，公比為錯誤!的等比數(shù)列，于是an＝錯誤!1－λ錯誤!錯誤!．2)由（1)得Sn＝1－錯誤!錯誤!．由S5＝錯誤!得1－錯誤!錯誤!＝錯誤!，即錯誤!錯誤!＝錯誤!．解得λ＝－1．判斷一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列的方法an＋1－an＝d(常數(shù)）?｛an}是等差數(shù)列定義法錯誤!＝q(非零常數(shù))?{an｝是等比數(shù)列2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?｛an｝是等差數(shù)列中項公式法a錯誤!＝anan＋2(an＋1anan＋2≠0）?{an}是等比數(shù)列an＝pn＋q(p，q為常數(shù)）?｛an}是等差數(shù)列通項公式法an＝cqn（c,q均為非零常數(shù))?｛an}是等比數(shù)列Sn＝An2＋Bn（A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列前n項和公Sn＝kqn－k(k為常數(shù)，且q≠0，k≠0,q≠1)?｛an}是等式比數(shù)列［提示］在解答題中證明一個數(shù)列是等比（或等差)數(shù)列平時-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精用定義法和中項公式法，通項公式法和前n項和公式法常在小題或解析題意時應(yīng)用．［跟進(jìn)訓(xùn)練]1．設(shè)Sn為數(shù)列{an｝的前n項和，對任意的n∈N＊，都有Sn＝2an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝錯誤!（n≥2，n∈N＊）．(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求｛an｝的通項公式;2）判斷數(shù)列錯誤!是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn｝的通項公式．［解］（1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即錯誤!＝錯誤!（n≥2，n∈N*)．因此數(shù)列｛an}是首項為1,公比為錯誤!的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝錯誤!錯誤!．2）由于a1＝1，因此b1＝2a1＝2．由于bn＝錯誤!,因此錯誤!＝錯誤!＋1，即錯誤!－錯誤!＝1(n≥2)．因此數(shù)列錯誤!是首項為錯誤!，公差為1的等差數(shù)列．因此錯誤!＝錯誤!＋（n－1)·1＝錯誤!，故數(shù)列｛bn｝的通項公式為bn＝錯誤!．-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)列通項公式的求法【例2】（1)若數(shù)列{an｝是正項數(shù)列,且錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＝n2＋3n（n∈N＊)，則an＝________．n(2）已知在數(shù)列｛an｝中，an＋1＝n＋2an（n∈N＋),且a1＝4，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．(1）4(n＋1)2（2)錯誤![（1)由于錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＝n2＋3n（n∈N＊)，①因此錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＝(n－1）2＋3（n－1）（n≥2)，②①－②,得錯誤!＝n2＋3n－[（n－1）2＋3(n－1）］＝2（n＋1),因此an＝4(n＋1)2(n≥2)．又a1＝12＋3×1＝4,故a1＝16，也滿足式子an＝4（n＋1）2，故an＝4(n＋1)2．(2）法一:由an＋1＝錯誤!an，得錯誤!＝錯誤!，故錯誤!＝錯誤!,錯誤!＝錯誤!，，錯誤!＝錯誤!（n≥2)，以上式子累乘得，錯誤!＝錯誤!·錯誤!··錯誤!·錯誤!·錯誤!＝錯誤!，由于a1＝4,因此an＝錯誤!(n≥2）,-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由于a1＝4滿足上式,因此an＝錯誤!．法二：由an＋1＝錯誤!an，得（n＋2）an＋1＝nan，∴（n＋2）(n＋1)an＋1＝（n＋1）nan，∴｛（n＋1)nan}是常數(shù)列，又（1＋1)×1×a1＝8，則(n＋1）nan＝8,∴an＝錯誤!．］已知遞推公式求通項公式的常有種類（1)種類一:an＋1＝an＋f(n）把原遞推公式轉(zhuǎn)變成an＋1－an＝f（n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．（2）種類二：an＋1＝f(n）an把原遞推公式轉(zhuǎn)變成錯誤!＝f（n），再利用疊乘法(逐商相乘法）求解．(3)種類三：an＋1＝pan＋q（其中p，q均為常數(shù)，pq（p－1)≠0)．先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)變成an＋1－t＝p（an－t），其中t＝錯誤!,再利用換元法轉(zhuǎn)變成等比數(shù)列求解．［跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2,an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋),則an-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精________．(2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝a錯誤!(an＞0，n∈N＋),則an＝________．（1）錯誤!（n2＋n＋2)（2）[（1)由題意可知，a2－a1＝2,a3－a2＝3，,an－an－1＝n(n≥2），以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋＋n．由于a1＝2，因此an＝2＋(2＋3＋＋n）2＋錯誤!錯誤!（n≥2）．由于a1＝2滿足上式,因此an＝錯誤!．2）由于數(shù)列｛an}滿足a1＝2，an＋1＝a2，n（an＞0，n∈N＋)，因此log2an＋1＝2log2an，即錯誤!＝2,又a1＝2，因此log2a1＝1，故數(shù)列{log2an｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，因此log2an＝2n－1，即an＝22n－1．］數(shù)列求和的常用方法-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【例3】Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28．記bn＝［lgan］，其中［x］表示不高出x的最大整數(shù),如[0．9]＝0，［lg99］1．(1）求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列｛bn}的前1000項和．[解］(1）設(shè)｛an｝的公差為d,據(jù)已知有7＋21d＝28,解得d＝1．因此｛an｝的通項公式為an＝n．b1＝［lg1]＝0，b11＝［lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2．（2）由于bn＝錯誤!因此數(shù)列｛bn}的前1000項和為1×90＋2×900＋3×11893＝．?dāng)?shù)列求和的常用方法錯位相減法：適用于各項由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積組成的數(shù)列。把Sn＝a1＋a2＋＋an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，獲取qSn＝a1q＋a2q＋＋anq，兩式錯位相減即可求出Sn。裂項相消法：立刻數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式，爾后經(jīng)過累加抵消中間若干項的方法,裂項相消法適用于形如-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精其中{an｝是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)的數(shù)列。3拆項分組法：把數(shù)列的每一項拆成兩項或多項，再重新組合成兩個或多個簡單的數(shù)列,最后分別求和.并項求和法：與拆項分組相反，并項求和是把數(shù)列的兩項或多項組合在一起，重新組成一個數(shù)列再求和,一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和，注意對數(shù)列項數(shù)奇偶性的談?wù)?錯誤!3．設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an}的前n項和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3．（1）求an；(2)設(shè)bn＝錯誤!,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．[解]（1）設(shè)數(shù)列{an｝的公差為d,由題意得錯誤!解得a1＝3，d＝2，∴an＝a1＋（n－1）d＝2n＋1．(2)由(1）得Sn＝na1＋錯誤!d＝n（n＋2)，bn＝錯誤!＝錯誤!錯誤!．-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精∴Tn＝b1＋b2＋＋bn－1＋bn1＝錯誤!＋錯誤!＋＋錯誤!＋錯誤!2＝錯誤!錯誤!＝錯誤!－錯誤!錯誤!．用函數(shù)思想解決數(shù)列問題［研究問題］1．若函數(shù)f（x)＝x2＋λx在［1,＋∞)上單調(diào)遞加，則λ的取值范圍是什么？［提示］由于f(x)＝x2＋λx是圖像張口向上的二次函數(shù),要使其在[1，＋∞)上單調(diào)遞加，則需－錯誤!λ≤1．即λ≥－2，故λ的取值范圍是［－2，＋∞)．2．當(dāng)x為何值時，函數(shù)f（x）＝錯誤!錯誤!錯誤!＋錯誤!有最小值？［提示]當(dāng)x＝錯誤!時,f(x）的最小值為f錯誤!＝錯誤!．3．?dāng)?shù)列與其對應(yīng)的函數(shù)有什么差異？［提示］與數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)是一種定義域為正整數(shù)集(或它的前幾個組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地失散-9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精取值的函數(shù)．【例4】（1)若數(shù)列｛an｝的通項公式為an＝n2＋λn,且{an｝是遞加數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________．2)設(shè)數(shù)列{an}，｛bn｝滿足a1＝b1＝6,a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，若{an＋1－an}是等差數(shù)列,{bn＋1－bn}是等比數(shù)列．①分別求出數(shù)列{an},{bn｝的通項公式；②求數(shù)列{an｝中最小項及最小項的值．思路研究：（1）利用an＋1＞an求解，或利用函數(shù)y＝x2＋λx的圖像求解；（2)依照等差、等比數(shù)列的通項公式求{an｝，｛bn｝的通項公式，爾后利用函數(shù)的思想求｛an}的最小項及最小項的值．(1）（－3，＋∞)［法一：an＋1－an＝（n＋1)2＋λ（n＋1）－(n2＋λn）＝2n＋1＋λ,由于｛an｝是遞加數(shù)列，故2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－2n－1,又n∈N＋,－2n－1≤－3，故λ＞－3．法二：由于函數(shù)y＝x2＋λx在錯誤!上單調(diào)遞加，結(jié)合其圖像可知，若數(shù)列{an}是遞加數(shù)列，則a2＞a1,即22＋2λ＞1＋λ，即λ＞－3．］(2)[解]①a2－a1＝－2，a3－a2＝－1,由{an＋1－an｝成等差數(shù)列知其公差為1，-10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精故an＋1－an＝－2＋(n－1)·1＝n－3；b2－b1＝－2,b3－b2＝－1，由｛bn＋1－bn｝成等比數(shù)列知，其公比為錯誤!,故bn＋1－bn＝－2·錯誤!錯誤!，an＝(an－an－1）＋（an－1－an－2）＋(an－2－an－3）＋＋（a2－a1)a1(n－1）·(－2）＋錯誤!·1＋6n2－3n＋2＝2－2n＋8＝錯誤!,bn＝（bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋（bn－2－bn－3）＋＋(b2－b1）b1錯誤!＋62＋23－n．②由于an＝錯誤!＝錯誤!錯誤!錯誤!＋錯誤!，因此n＝3或n＝4時，an取到最小值，a3＝a4＝3．1．（變條件)把例4（2)中的數(shù)列｛an｝換為an＝錯誤!，求其最小項和最大項．-11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[解]an＝錯誤!＝1＋錯誤!，當(dāng)n＜9時，an＝1＋錯誤!遞減且小于1；當(dāng)n≥9時，an＝1＋錯誤!遞減且大于1，因此a8最小，a9最大，且a8＝錯誤!，a9＝錯誤!．2．(變結(jié)論)例4(2）的條件不變，求數(shù)列｛bn}中最大項及最大項的值．