談?wù)勌岣咂矫鎺缀蔚慕忸}方法

談?wù)勅绾翁岣咂矫鎺缀蔚慕忸}方法1110511026

梁曉麗2014年6月17日摘要：平面幾何難學(xué)，是很多初中生在學(xué)習(xí)中的共識(shí)，這里面有很多主觀和客觀因素，而學(xué)習(xí)不得法、沒有適當(dāng)?shù)慕忸}思路則是其中的一個(gè)很重要原因。本文要從幾何證題的推理方法、證明幾何量垂直問(wèn)題的常用方法和構(gòu)造全等三角形的方法這三個(gè)方面論述如何提高平面幾何的解題方法，希望能給同學(xué)們帶來(lái)一些這方面的幫助。關(guān)鍵詞：同一法垂直方法構(gòu)造全等三角形平面幾何解題方法提高平面幾何的解題方法，我在幾何證題的推理方法、證明幾何量垂直問(wèn)題的常用方法和構(gòu)造全等三角形的方法這三個(gè)方面有較深的體會(huì)。下面分別對(duì)其一一進(jìn)行詳細(xì)介紹。幾何證題的推理方法幾何命題的推理證明方法類型較多，按思考的順序及命題的類型不同，我把它歸納為以下4種方法：（1）綜合法；（2）分析法；（3）直接證法；（4）間接證法。而間接證法又包括反證法和同一法兩種。這兩種方法中同一法的局限性較大，僅適用于同一性命題，往往有些同學(xué)因沒把握好這點(diǎn)而誤用同一法，不是同一性命題的題也用同一法去做，就出錯(cuò)了。如下通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明怎樣用同一法，從而提高解題能力。例1.1設(shè)PB、PC分別是△ABC的兩角ZB、ZC的外角平分線，且它們相交于點(diǎn)P.求證：P在ZA的平分線上.基本思想方法：此題是與直線的位置結(jié)合關(guān)系的題，“某點(diǎn)在直線上”與“直線經(jīng)過(guò)某點(diǎn)”意思相同，也就是說(shuō)點(diǎn)與直線的這種關(guān)系具有“唯一性”所以它是同一性命題，則可用同一法去證。即要證P在ZA的平分線上，只要證AP為ZA的平分線即可。

證明：如圖，過(guò)P點(diǎn)分別作AB、BC、證明：如圖，過(guò)P點(diǎn)分別作AB、BC、AC的垂線PE、PD、PF交于E、D、F垂直問(wèn)題也是幾何中常見的問(wèn)題，雖然表述的是直線與直線的位置關(guān)系但可以看作是角的問(wèn)題或納入幾何形的關(guān)系或性質(zhì)之中。為了能提高與垂直問(wèn)題有關(guān)的平面幾何題的解題能力，我總結(jié)出如下幾個(gè)證垂直的常用方法：利用等腰三角形的三線合一利用四點(diǎn)共圓(或利用圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角)利用勾股定理的逆定理利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等關(guān)系利用直角三角形中兩銳角互余證利用菱形的對(duì)角線互相垂直通過(guò)證明與直角三角形相似構(gòu)造矩形(利用矩形性質(zhì))進(jìn)行直接計(jì)算(轉(zhuǎn)化為角的問(wèn)題)例2.1如圖：已知OA=OBAC=BD且ZA=ZB=90°M為CD的中點(diǎn)，求證：0M丄CD.證明：如2-1圖所示，連接OC、OD在厶AOC和ABOD中，OA=OBZA=ZB=90°AC=BD???AAOC^ABOD(SAS)

???OC=OD在等腰AOCD中，M為中點(diǎn)?OM是底邊的中線，也是高（三線合一）???OM丄OC.例2.2如圖，AD是厶ASC的高，E是AD上一點(diǎn)，，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F,BE二ACDE二DC.求證：BF丄AC.分析：欲證BF丄AC,可以驗(yàn)證ZFBC+ZC=90。是否正確。由已知ZFBC+ZC=90°,只要能夠證明ZC=ZBED就行了，故需要證明AADC^△BDE.證明：AD是厶ABC的高證明：ZADB=ZADC=90°?AADC與厶BDE都市直角三角形?在RtAADC與RtABDE中，AC=BEDC=DERtAADC空RtABDE(HL)?ZC=ZBED （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?在RtABDE中，由于ZEBD+ZBED=90°（直角三角形兩銳角互余）?ZEBD+ZC=90°?ZBFC=90°?BF丄AC(垂直的定義)例2.1說(shuō)明了通過(guò)方法（1）來(lái)證垂直，從而體現(xiàn)提高解平面幾何的題的能力，而例2.2則涵蓋了方法（4）、（5），通過(guò)巧用這兩種方法來(lái)提高解題的速度和能力。其它方法在此就不一一舉例說(shuō)明了。構(gòu)造全等三角形的方法通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)提高平面幾何中的解題能力是一種很常見，也非常經(jīng)典的做法。所以通過(guò)構(gòu)造來(lái)進(jìn)行解題的思想甚好。那么下面就向大家介紹5種通過(guò)合同變換構(gòu)造全等三角形的具體方法。（1） 利用三角形的中線來(lái)構(gòu)造全等三角形

例3.1如圖，在△ABC中，AD是中線，BE交AD于F,且AE=EF,試說(shuō)明線段AC與BF相等的理由。分析：要說(shuō)明線段或角相等，通常的思路就是說(shuō)明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而遇到中線時(shí)又通常通過(guò)延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形，從而化簡(jiǎn)題目。解：如圖3-1，理由如下：延長(zhǎng)AD到G,使DG二AD,連結(jié)BG，則在△ACD和^GBD中，AD=GDZADC=ZGDB CD=BD???△ACD空△GBD(SAS)???AC=BG ZCAD=ZG又AE=EF???ZCAD=ZAFE又ZAFE=ZBFGBF=BGAC=BF???BF=BGAC=BF利用三角形的角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形例3.2已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ZABC的角平分線，AD=CD求證：ZA+ZC=180°.分析：在BC上截取BE,使BE=AB，連結(jié)DE,只要證△ABC空ABED得ZA=ZBED,AD=ED,又AD=CD,所以ED=DC,接著問(wèn)題就迎刃而解了。證明：如圖3-2所示，在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE???BD是ZABC的角平分線.\ZABD=ZEBD又AB=BEBD=BD ::-???△ABC^^BED(SAS).\ZA=ZBEDAD=ED又AD=CD???ED二DC???ZDEC二ZDCE又ZBED+ZDEC=180°???ZBED+ZDCE=ZA+ZC=180°即ZA+ZC=180°（3）利用三角形的高為對(duì)稱軸構(gòu)造全等三角形（4）利用特殊圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形（5）利用平行線構(gòu)造全等三角形從另外的角度來(lái)看，第（2）、（3）這兩種方法也可歸納為是利用翻折法來(lái)構(gòu)造全等三角形的，它們的對(duì)稱軸分別是角平分線和高；第（4）、第（5）兩種方法則可視為分別是通過(guò)旋轉(zhuǎn)法和平移法來(lái)構(gòu)造全等三角形的，通過(guò)這5種方法來(lái)構(gòu)造全等三角形，從而提高我們?cè)诮馄矫鎺缀晤}是的能力。小結(jié)通過(guò)舉同一法的例子說(shuō)明如何選用幾何證題的推理方法，從而提高解題的準(zhǔn)確性；2．介紹了證明幾何量垂直問(wèn)題的9種常用方法，從而提高解有關(guān)垂直問(wèn)題的題的速度；3．介紹了5種構(gòu)造全等三角形的方法，通過(guò)巧妙的運(yùn)用這些方法可以快速而準(zhǔn)確的解決平面幾何的大部分問(wèn)題，可為考生節(jié)省時(shí)間，做更多的題，拿更多的分?？傊獙W(xué)好平面幾何，關(guān)鍵在于平時(shí)要養(yǎng)成多思考、多歸納，多總結(jié)幾何問(wèn)題的習(xí)慣，在每個(gè)章節(jié)里自己學(xué)會(huì)去歸納，收集各種常見的解題方法，這樣