列一元一次方程課程解讀

課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、進(jìn)一步熟練掌握解一元一次方程的方法，提高解方程的能力；2、提高分析實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的能力，能熟練地利用相等關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型——列方程．二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：尋找等量關(guān)系列方程．難點(diǎn)：把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型．三、考點(diǎn)分析：本節(jié)內(nèi)容是中考熱點(diǎn)，在歷年考試中均有出現(xiàn)有時(shí)是作為解其他題型的基礎(chǔ)而出現(xiàn)．如果在選擇題中出現(xiàn)，一般要求根據(jù)題意列出方程；如果在填空題中出現(xiàn)，一般要求寫出最后結(jié)果，列方程和解方程的過程不要求寫出；在解答題中單純的一元一次方程應(yīng)用題很少出現(xiàn)，但往往在一些綜合題中出現(xiàn)．知識梳理1、常見應(yīng)用題類型及其各種關(guān)系類型題中涉及的數(shù)量及公式等量關(guān)系注意事項(xiàng)和、差、倍、分由題意可知弄清“倍數(shù)、多、少”等關(guān)系等積變形各種幾何圖形的面積公式；各種幾何體的體積公式變形前后面積或體積之間的關(guān)系分清邊長、半徑、直徑等行程問題相遇問題路程＝速度×?xí)r間快者＋慢者＝初始距離相向而行注意始發(fā)時(shí)間和地點(diǎn)追及問題快者－慢者＝初始距離同向而行注意始發(fā)時(shí)間和地點(diǎn)調(diào)配問題從調(diào)配后數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量比例分配全部數(shù)量＝各種成分的數(shù)量之和把一份設(shè)為x工程問題工作量＝工作效率×工作時(shí)間兩個(gè)或多個(gè)工作效率不同的對象所完成工作量的和等于總工作量一般情況下把總工作量設(shè)為1利潤率問題利潤率＝×100%；利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)找出利潤或利潤率之間的關(guān)系打幾折就是按原售價(jià)的百分之幾十出售數(shù)字問題設(shè)a、b為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位與十位上的數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為10b＋a一般情況下設(shè)間接未知數(shù)行船問題順流速度＝靜水中的速度＋水流速度；逆流速度＝靜水中的速度－水流速度2、銷售中的盈虧問題（1）進(jìn)價(jià)：購進(jìn)商品時(shí)的價(jià)格，有時(shí)也叫成本價(jià)．（2）售價(jià)：在銷售商品時(shí)的售出價(jià)（有時(shí)稱成交價(jià)、賣價(jià)）．（3）標(biāo)價(jià)：在銷售商品時(shí)標(biāo)出的價(jià)（原價(jià)、定價(jià)）．（4）利潤：在銷售商品過程中的純收入，利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)．若利潤為正，則為盈；若利潤為負(fù)，則為虧．典型例題知識點(diǎn)一：常見應(yīng)用題類型例1：小明中考時(shí)的準(zhǔn)考證號碼是由四個(gè)數(shù)字組成的，這四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)有如下特征：（1）它的千位數(shù)字為1；（2）把千位上的數(shù)字1向右移動，使其成為個(gè)位數(shù)字，那么所得的新數(shù)比原數(shù)的5倍少49．請你根據(jù)以上特征推出小明的準(zhǔn)考證號碼．思路分析：1）題意分析：這是一道數(shù)字問題的應(yīng)用題，除1以外的三位可看作一個(gè)整體．2）解題思路：此題若直接設(shè)未知數(shù)，很難解決，可間接設(shè)原數(shù)的后三位數(shù)為x，則原數(shù)為1000＋x，把1移到個(gè)位后的新數(shù)為10x＋1．解答過程：設(shè)原數(shù)的后三位數(shù)為x，根據(jù)題意得：5（1000＋x）－49＝10x＋1，解之得x＝990所以小明的準(zhǔn)考證號碼是1990．解題后的思考：數(shù)字問題設(shè)未知數(shù)都是間接設(shè)．本題和一般的數(shù)字問題稍有不同，這個(gè)四位數(shù)每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不必一一表示出來，把除1以外的三位看成一個(gè)整體即可．例2：一商店將某種鞋子按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠價(jià)賣出，結(jié)果每雙仍獲利15元，求這種鞋子每雙的成本是多少元？思路分析：1）題意分析：我們知道每雙鞋子的利潤是鞋子售價(jià)與鞋子成本價(jià)的差．2）解題思路：如果設(shè)每雙鞋子的成本價(jià)為x元，那么每雙鞋子的標(biāo)價(jià)是（1＋40%）x元，它的實(shí)際售價(jià)為[（1＋40%）x×80%]元．那么每雙鞋子的利潤為[（1＋40%）x·80%－x]元．解答過程：設(shè)每雙鞋子的成本價(jià)是x元，根據(jù)題意列方程，得：（1＋40%）x×80%－x＝15，解這個(gè)方程得x＝125．答：每雙鞋子的成本價(jià)為125元．解題后的思考：解決銷售問題時(shí)，關(guān)鍵是理清商品從購進(jìn)到賣出的過程中價(jià)格的變化．在本題中，成本價(jià)→提高40%→標(biāo)價(jià)→打8折→實(shí)際售價(jià)．例3：李阿姨買了20000元某公司1年期的債券，1年后扣除20%的利息稅之后得到本利和為20800元，請問這種債券的年利率是多少？思路分析：1）題意分析：本題中債券的計(jì)息方法與銀行存款的計(jì)息方法相同．2）解題思路：可按照本利和＝本金×年利率×（1－20%）×存期的計(jì)算公式找相等關(guān)系列方程．解答過程：設(shè)這種債券的年利率是x，根據(jù)題意列方程得：20000＋20000×x×（1－20%）＝20800解這個(gè)方程得x＝0.05＝5%．答：這種債券的年利率是5%．解題后的思考：本題還可以列方程：20000[1＋（1－20%）x]＝20800．另外解方程時(shí)，可先利用等式的基本性質(zhì)化簡．例4：某班學(xué)生步行從學(xué)校到一農(nóng)場去參加勞動，以每小時(shí)4千米的速度行進(jìn)，走了1千米時(shí)，一名學(xué)生奉命回學(xué)校取東西，他以每小時(shí)5千米的速度回到學(xué)校，取了東西后又以同樣的速度追趕隊(duì)伍，結(jié)果他和隊(duì)伍同時(shí)到達(dá)農(nóng)場．求學(xué)校到農(nóng)場的路程．思路分析：1）題意分析：這一道行程問題是追及問題，學(xué)生隊(duì)伍速度慢，走的路程短；取東西的學(xué)生速度快，走的路程長一些．2）解題思路：兩者的速度已知．時(shí)間關(guān)系：從出發(fā)1千米后到結(jié)束，兩者所用的時(shí)間相同；路程關(guān)系：在整個(gè)過程中取東西的學(xué)生比隊(duì)伍多走1千米．解答過程：方法一：線段圖分析如圖，設(shè)學(xué)校到農(nóng)場的路程為x千米．

依題意得4x＋1＝5x－1解得x＝24x＋1＝4×2＋1＝9（千米）答：學(xué)校到農(nóng)場的路程為9千米．解題后的思考：速度已知，若設(shè)路程為未知數(shù)，則找時(shí)間的等量關(guān)系；若設(shè)時(shí)間為未知數(shù)，則找路程的等量關(guān)系．例5：一艘輪船航行于兩個(gè)碼頭之間，逆水需10小時(shí)，順?biāo)?小時(shí)．已知該船在靜水中每小時(shí)航行12千米，求水流速度和兩碼頭間的距離．思路分析：1）題意分析：這是一道行船問題，已知時(shí)間和在靜水中的速度，求水流速度和距離．2）解題思路：本題中的相等關(guān)系是兩碼頭間距離不變或船在靜水中的速度不變．解答過程：設(shè)水流速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意列方程，得：6（12＋x）＝10（12－x）．解這個(gè)方程，得x＝3．所以6（12＋x）＝90．答：水流速度是3千米/時(shí)，兩碼頭之間的距離為90千米．解題后的思考：航行問題中，順?biāo)俣龋届o水中航行速度＋水流速度；逆水速度＝靜水中航行速度－水流速度；順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水流速度；順?biāo)俣龋嫠俣龋?×靜水中航行速度，如果是在空中航行，這些公式仍適用．例6：某足球比賽的計(jì)分規(guī)則為勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．一個(gè)隊(duì)踢14場球負(fù)5場共得19分，問這個(gè)隊(duì)勝了幾場？思路分析：1）題意分析：根據(jù)題意，所得的19分是踢勝的場數(shù)和踢平的場數(shù)所得的積分．2）解題思路：踢勝的場數(shù)和踢平的場數(shù)共14－5＝9場，如果設(shè)勝了x場，那么踢平的場數(shù)就是9－x場．分別乘它們的分值，和為19．解答過程：設(shè)勝了x場，根據(jù)題意得：3x＋1×（14－x－5）＝19即3x＋9－x＝19解得x＝5答：這個(gè)隊(duì)勝了5場．解題后的思考：積分多少與勝、平、負(fù)的場數(shù)有關(guān)，同時(shí)也與比賽積分規(guī)定有關(guān)，如果對體育比賽有一定了解，會有助于理解題意．小結(jié)：應(yīng)用題類型很多，不同的題型有不同的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系列方程．認(rèn)真總結(jié)，還是有規(guī)律可循的．知識點(diǎn)二：復(fù)雜應(yīng)用題和優(yōu)化設(shè)計(jì)問題例7：A、B兩站相距300千米，一列快車從A站開出，行駛速度是每小時(shí)60千米，一列慢車從B站開出，行駛速度是每小時(shí)40千米．（1）兩車同時(shí)開出，相向而行，幾小時(shí)后相遇？（2）快車先開15分鐘，兩車相向而行，快車開出幾小時(shí)后兩車相遇？（3）兩車同時(shí)同向開出，慢車在前，出發(fā)多長時(shí)間后快車追上慢車？（4）慢車先開30分鐘，兩車同向而行，慢車在前，快車出發(fā)多長時(shí)間后追上慢車？此時(shí)慢車行駛了多少千米？思路分析：1）題意分析：這是一道比較復(fù)雜的行程問題，包括相遇問題和追及問題．2）解題思路：（1）和（2）兩問屬于相遇問題；（3）和（4）兩問屬于追及問題．可借助線段圖分析，找出相等關(guān)系列方程，如圖所示：

快車出發(fā)16小時(shí)后追上慢車，此時(shí)慢車行駛了660千米．解題后的思考：借助線段圖分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立方程解決實(shí)際問題，這是一種解決實(shí)際問題的比較好的工具．例8：有一個(gè)牛奶廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2000元．該牛奶廠的生產(chǎn)能力是：如果制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片，每天可加工1噸．受人員限制，兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行；受氣溫限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)加工完畢并全部銷售．為此，該廠設(shè)計(jì)了兩種方案．方案一：盡可能多地制成奶片，其余的直接銷售鮮奶；方案二：將一部分制成奶片，其余的制成酸奶銷售，并恰好4天完成．你認(rèn)為選擇哪一種方案獲利多呢？思路分析：1）題意分析：本題題干較長，條件復(fù)雜，但仔細(xì)讀題后，不難找出關(guān)系．兩種方案已經(jīng)給出，只要選擇最優(yōu)方案即可．2）解題思路：方案一中，時(shí)間為4天，這4天都制奶片，可加工4噸奶片，每噸獲利2000元，其余的作為鮮奶直接銷售，可獲利（5×500）元，則方案一的總獲利可求．方案二中的相等關(guān)系是：（1）加工酸奶的天數(shù)＋加工奶片的天數(shù)＝4天，（2）加工酸奶的牛奶噸數(shù)＋加工奶片的牛奶噸數(shù)＝9噸，根據(jù)（1）設(shè)未知數(shù)，（2）列方程即可求出方案二的總獲利．解答過程：方案一：4天都制奶片，其余的作為鮮奶直接銷售．總獲利為4×1×2000＋（9－4）×500＝10500（元）．方案二：設(shè)加工奶片x天，則加工酸奶（4－x）天．根據(jù)題意，得x＋3（4－x）＝9．解得，x＝1.5．所以4－x＝4－1.5＝2.5（天）．所以方案二的總獲利為1.5×1×2000＋2.5×3×1200＝12000（元）．因?yàn)?2000＞10500，所以方案二獲利多．解題后的思考：分別計(jì)算兩種方案的利潤，采用“比較法”合理地選擇，確定最佳方案．小結(jié)：對于較復(fù)雜的應(yīng)用題一般采取化難為簡、分步或分段處理的方式；對于優(yōu)化設(shè)計(jì)問題一般列出所有方案選擇符合題意的最優(yōu)方案．提分技巧1、方程思想：（1）方程思想就是把未知數(shù)看成已知數(shù)，讓代替未知數(shù)的字母和已知數(shù)一樣參加運(yùn)算．（2）求未知數(shù)的值（例如在填空題和簡單應(yīng)用類題目中），一般都通過構(gòu)建方程來求解．2、數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)形結(jié)合思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形，由形思數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來，分析問題的思想方法．本章在列方程解應(yīng)用題時(shí)常用畫線段圖和畫框圖的方法來分析問題．預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)多姿多彩的圖形（4.1）一、預(yù)習(xí)新知1、認(rèn)識幾何圖形；2、點(diǎn)、線、面、體．二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥探究與反思探究任務(wù)一：認(rèn)識幾何圖形【反思】（1）常見立體圖形從不同方向觀察能得到什么樣的平面圖形？（2）常見立體圖形的展開圖是怎樣的？探究任務(wù)二：點(diǎn)、線、面、體【反思】（1）幾何中的點(diǎn)、線、面、體是指什么？（2）點(diǎn)、線、面、體之間有什么關(guān)系？同步練習(xí)（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題．1、A種飲料比B種飲料單價(jià)少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料，一共花了13元，如果設(shè)B種飲料單價(jià)為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是（）A.2（x－1）＋3x＝13 B.2（x＋1）＋3x＝13C.2x＋3（x＋1）＝13 D.2x＋3（x－1）＝132、一列長a米的隊(duì)伍以每分鐘60米的速度向前行進(jìn)，隊(duì)尾一名同學(xué)用1分鐘從隊(duì)尾走到隊(duì)頭，這位同學(xué)走的路程是（）A.a米 B.（a＋60）米 C.60a米 D.60米3、小商販從批發(fā)市場進(jìn)了一批筆，他出售給顧客的價(jià)格要么是5元/支，要么是每3支10元，而商販用這兩種方法出售所獲利潤都是相等的，則每支筆的批發(fā)價(jià)是（）A.1.5元 B.2元 C.2.5元 D.3元4、兩個(gè)蓄水池共蓄水40t，若甲池再注水4t，乙池再注水8t，兩池水的噸數(shù)相等，則兩水池原來各有水（）t．A.甲池21，乙池19 B.甲池22，乙池18C.甲池23，乙池17 D.甲池24，乙池165、要將40kg濃度為16%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，則需蒸發(fā)掉水（）A.8kg B.7kg C.6kg D.5kg*6、某商品降價(jià)20%以后，欲恢復(fù)原價(jià)，則提高的百分?jǐn)?shù)是（）A.18% B.20% C.25% D.30%*7、8個(gè)人用35天完成了某項(xiàng)工程的1/3．此時(shí)，又增加6個(gè)人，那么要完成剩余的工程，還需要的天數(shù)是（）A.18 B.35 C.40 D.60**8、某原料供應(yīng)商對購買其原料的顧客實(shí)行了如下優(yōu)惠辦法：①一次購買金額不超過1.0×104元，不予優(yōu)惠；②一次購買金額超過1.0×104元，但不超過3.0×104元，給9折優(yōu)惠；③一次購買超過3.0×104元的，其中3.0×104元9折優(yōu)惠，超過3.0×104元的部分8折優(yōu)惠．某廠因庫容原因，第一次在該供應(yīng)商處購買原料付款7800元，第二次購買原料付款26100元，如果他是一次購買同樣數(shù)量的原料，可少付金額為（）A.1460元 B.1540元 C.1560元 D.2000元二、填空題．9、x的30%減去4所得差的一半，等于x的20%加上6，列出方程是________．10、雞兔同籠，共有頭12個(gè)，腳36只.問：籠中有雞兔各幾只？答：有雞_____只，兔_____只．

11、某商品的價(jià)格標(biāo)簽已丟失，售貨員只知道“它的進(jìn)價(jià)為80元，打七折售出后，仍可獲利5%”．你認(rèn)為售貨員應(yīng)標(biāo)在標(biāo)簽上的價(jià)格為__________元．

*13、用一根繩子圍成一個(gè)正方形，又用這根繩子圍成一個(gè)圓，已知圓的半徑比正方形的邊長少2（π－2）米，請問這根繩子的長度是__________米．**14、甲、乙兩車從A向B行駛，甲比乙晚出發(fā)6小時(shí)，甲、乙的速度比是4∶3．甲出發(fā)6小時(shí)后，速度提高1倍，甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B．則甲從A到B共走了__________小時(shí)．三、解答題．15、某市中學(xué)生排球比賽中，按勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得