塑性力學屈服條件學習培訓課件

彈塑性力學

教師:王曉紅

辦公室：工北-316

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教師:王曉紅

辦公室：工

彈塑性力學

第二篇:

塑性理論2特選材料%彈塑性力學

第二篇:塑性理論2特選材料%第二章屈服條件物體受力以后產(chǎn)生變形。隨著力的增加，到一定程度時，變形由彈性的變成非彈性的，即開始產(chǎn)生永久變形。

由彈性過度到非彈性的條件是什么?也就是說將物體從自然狀態(tài)開始加載，當應力達到什么程度時開始產(chǎn)生塑性變形，以及，應力如何變化才能使塑性變形繼續(xù)發(fā)展。前者是初始屈服問題，后者是后繼屈服問題。這就是本章要討論的主要內容。本章著重介紹常用的作為判斷延性金屬開始塑性屈服的兩個條件，即Tresca條件和Mises條件。然后，再討論一下變形硬化的問題，即后續(xù)屈服的問題。3特選材料%第二章屈服條件物體受力以后產(chǎn)生變形。隨著力的增加，到一定程在分析復雜應力狀態(tài)的塑性變形規(guī)律之前，我們先來觀察一下大家所熟知的簡單拉伸實驗。1.簡單拉伸時的塑性現(xiàn)象

1.1簡單拉伸實驗-假定所用的材料具有彈塑性現(xiàn)象，是各向同性的，對拉伸和壓縮具有相同的力學性質，即對于初始材料，先拉或先壓，其力學性能是相同的。從實驗結果可以繪出其σ-ε曲線4特選材料%在分析復雜應力狀態(tài)的塑性變形規(guī)律之前，我們先來觀察一下大家從實驗結果可以繪出其σ-ε曲線-如圖所示：它是忽略了一些次耍的因素而稍加理想化了的應力-應變曲線圖，但反映了常溫、靜載下，材料在受力過程中應力-應變關系的基本面貌，顯示了材料固有力學性能，從這里我們可以看到：（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點以前，應力σ和應變成直線關系：彈性模量5特選材料%從實驗結果可以繪出其σ-ε曲線-如圖所示：它是忽略了一（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點以前，應力σ和應變成直線關系：彈性模量由于超過A點以后，就不再保持上述的比例關系，所以與A點相應的應力叫材料的比例極限。如果在A點以前將荷載逐漸消除，變形即跟著完全消失，所以在OA段內僅有彈性變形。6特選材料%（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點以前，應力σ（2）當荷載繼續(xù)增加，此時變形的增長比在A點之前稍大，但在未超過B點以前，變形仍是可以恢復的。所以將與B點相應的應力叫做材料的彈性極限。它表示材料不致產(chǎn)生殘余變形的最大應力值。(3)繼續(xù)加載達到C點時，變形增長得較快。過C點后，在幾乎不增加荷載的情況下，變形會繼續(xù)迅速增加。這時，發(fā)生了顯著的殘余變形，材料達到屈服階段。與C點相應的應力就稱為材料的屈服極限。7特選材料%（2）當荷載繼續(xù)增加，此時變形的增長比在A點之前稍大，但在未像軟鋼一類材料具有明顯的屈服階段，σ-e曲線在這時有一個明顯的平緩的部分(下左圖所示)。

但有些材料(如鋁合金）沒有明顯的屈服階段(下右圖)。在工程上往往以殘余變形達0.2%時作為塑性變形的開始，其相應的應力作為材料的屈服應力.由于-般材料的比例極限、彈性極限和屈服極限相差不大，為了方便，通常不加區(qū)分。我們以后都用，并稱為屈服應力。σ%8特選材料%像軟鋼一類材料具有明顯的屈服階段，σ-e曲線在這時有一-

由于材料是各向同性的，如果開始不做拉伸實驗，而做壓縮實驗，則壓縮應力-應變曲線將和拉伸時的曲線一樣。--初始彈性階段：這樣，我們可以認為材料在應力到達屈服極限，以前（）是彈性的，應力與應變成正比，即服從Hooke定律，這個階段稱為初始彈性階段。--初始屈服點：曲線上和

相應的點是初始彈性階段的界限，超過此界限以后材料就進入塑性階段了，所以把它稱為初始屈服點。--

材料由初始彈性階段進入塑性的過程就稱為初始屈服。9特選材料%-由于材料是各向同性的，如果開始不做拉伸實驗，而做壓縮實驗（4）當材料屈服到一定程度時，它的內部結構因為晶體排列的位置在改變后又重新得到調整，使它又重新或得了繼續(xù)抵抗外載的能力。--應變硬化：在繼續(xù)加載后，曲線在屈服后繼續(xù)上升，這就說明材料在屈服以后，必須繼續(xù)增大應力才能使它產(chǎn)生新的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為應變硬化或加工硬化，簡稱為硬化。這個變形階段稱為硬化階段。--應變軟化：當曲線到達最高點E時，荷載達到最大值，此時，由于頸縮現(xiàn)象的出現(xiàn)，在E點以后荷載開始下降，直至斷裂。這種應力降低、應變增加的現(xiàn)象稱為應變軟化，簡稱為軟化。和E點相應的應力就稱為強度極限。10特選材料%（4）當材料屈服到一定程度時，它的內部結構因為晶體排列的位置（5）如果將試件拉伸到塑性階段的某點，例如D點，以后逐漸減小應力，即卸載，則σ-e曲線將沿著大致與OA平行的直線下降。在全部卸除荷載之后，留下殘余變形。表示全應變e，

是可以恢復的應變即彈性應變是不能恢復的應變，即塑性應變，則：即全應變等于彈性應變加上塑性應變。--若在卸載后重新加載，曲線基本上仍沿上升至D時又開始產(chǎn)生新的塑性變形，好像又進入了新的屈服，然后順著原來的DE線上升，就像未曾卸載一樣。（2-1）11特選材料%（5）如果將試件拉伸到塑性階段的某點，例如D點，以后逐漸減小--后繼屈服：為了與初始屈服相區(qū)別，繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時材料的再度屈服稱為繼續(xù)屈服或后繼屈服，相應的屈服點D稱為后繼屈服點。相應的屈服應力：稱為后繼屈服應力。--由于硬化作用，使材料的后繼屈服極限比初始屈服極限提高了，即而且和

不同，不是材料常數(shù)，它的大小是和塑性變形的大小和歷史有關的。12特選材料%--后繼屈服：為了與初始屈服相區(qū)別，繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時材--這個效應說明對先給出某方向的塑性變形的材料，如再加上反方向的荷載，和先前相比，抵抗變形的能力減小，

即一個方向的硬化引起相反方向的軟化。這樣，即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形以后，就帶各向異性。雖然多數(shù)情況下為了筒化而不考慮Bauschinger效應，但對有反復加載的情況必須予以考慮。（6）Bauschinger效應：如果在完全卸載后施加相反方向的應力，譬如由拉改為壓力，則曲線沿

的延長線下降，即開始是成直線關系（彈性變形)，但至一定程度(點)又開始進入屈服，并有反方向應力的屈服極限降低的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為：Bauschinger(包辛格）效應。

13特選材料%--這個效應說明對先給出某方向的塑性變形的材料，如再加上反--后繼彈性階段：卸載的過程中，從D到，雖然也是線性關系，應服從Hooke定律，但不能寫成全量形式，而應寫成增量關系，這是因為全應變中有一部分是塑性應變，并不服從彈性定律。這個變形階段稱為后繼彈性階段，后繼屈服點就是它的界限點，且這種界限點的位置是隨塑性變形的大小和歷史而改變的。14特選材料%--后繼彈性階段：卸載的過程中，從D到，雖然也是線性關--從這個簡單拉伸實驗所觀察到的現(xiàn)象可以知道，和彈性階段不同，塑性的變形規(guī)律即本構關系應具有以下幾個重要的特點：(1)首先要有一個判斷材料是處于彈性階段還是已進入塑性階段的判斷式，即屈服條件，對簡單拉伸或壓縮應為狀態(tài)。這個判別式為：初始屈服條件：

后繼屈服條件：

是常數(shù)，而

的大小由塑性變形的大小和歷史所決定，它們都是取絕對值。

(2)應力和應變之間是非線性關系。15特選材料%--從這個簡單拉伸實驗所觀察到的現(xiàn)象可以知道，和彈性階段不同(2)應力和應變之間是非線性關系。(3)應力和應變之間不存在彈性階段那樣的單值關系，因為加載和卸載是分別服從不同的規(guī)律。這一點又決定了它和非線性彈性問題不同。--在單向拉伸或壓縮應力狀態(tài)下，這些關系可表示為：彈性階段：（當時）

彈塑性階段：（當時）加載（），（非線性關系）卸載（），（線性關系）

16特選材料%(2)應力和應變之間是非線性關系。(3)應力和應變之間不因為加載和卸載時服從不同的規(guī)律，因此，如不指明變形路徑（歷史）是不能由應力確定應變（右圖）或由應變確定應力（左圖）

加載（），（非線性關系）卸載（），（線性關系）

同一應力對應不同的應變同一應變對應不同的應力17特選材料%因為加載和卸載時服從不同的規(guī)律，因此，如不指明變形路徑（歷史--由此可知，塑性變形的規(guī)律遠比彈性變形的規(guī)律復雜得多，它是一個非線性的、加載與卸載不同的復雜關系，這就決定了塑性力學遠比彈性力學復雜。--所以，在塑性為學中，為了能使復雜的問題得到解決，常常不得不引進一些恰當?shù)募僭O，使問題得到合理的解決。---在確定力學模型時，要特別注意使所選取的力學模型必須符合材料的實際情況，只有這樣才能使計算結果反映結構或構件中的真實應力及應力狀況。---另一方面，要注意所選取的力學模型的數(shù)學表達式應該足夠簡單，以便在求解具體問題時，不出現(xiàn)過大的數(shù)學上的困難。18特選材料%--由此可知，塑性變形的規(guī)律遠比彈性變形的規(guī)律復雜得多，它(1)理想彈性力學模型符合材料的實際情況。數(shù)學表達式足夠簡單。2.力學模型的要求：[徐;p80]σe彈性變形：應力與應變之間是一種線性關系,應力和應變關系的數(shù)學表達式:在此階段中，外載荷引起的應力，應變和位移，與加載次序和歷史無關。在除去外載后，物體完全恢復到初始狀態(tài)，而且在物體中沒有任何殘余應力和殘余變形。19特選材料%(1)理想彈性力學模型符合材料的實際情況。2.力學模型的要(2)理想彈塑性力學模型σeσsεs彈性變形階段(OA):

應力與應變(線性關系)塑性變形階段(AB)：材料進入塑性狀態(tài)后，如不考慮材料的強化性質，則可得到如圖所示的理想彈塑性模型。(徐3-9)AB20特選材料%(2)理想彈塑性力學模型σeσsεs彈性變形階段(OA):(3)線性強化彈塑性力學模型σεσsEE1當考慮材料的強化性質時，可采用線性強化彈塑性力學模型圖中有兩條直線，OA和AB，其解析表達式為：oAB式中，E及E1分別為線段OA及AB的斜率(徐3-10)由于OA和AB是兩條直線，也稱雙線性強化模型。εs21特選材料%(3)線性強化彈塑性力學模型σεσsEE1當考慮材料的強化sεε=1（4）

冪強化力學模型n：強化指數(shù)：0n1An=1n=0為了避免解析式在處的變化，有時可以采用幕強化力學模型上式所代表的曲線在ε=0處與σ軸相切，而且有下列公式：σ=Aε當n

=

1，（a）σ=A當n=0，（b）(a)式代表理想彈性模型，若將式中的A用彈性模量E代替，則為胡克定律的表達式。而式(b)的A用σs代替。則為理想塑性(或稱剛塑性)力學模型。通過求解式(a)和(b)則可得ε=

1，即這兩條線在ε=1處相交22特選材料%sεε=1（4）冪強化力學模型n：強化指數(shù)：0n（6）

線性強化剛塑性力學模型σsσε（剛塑性力學模型）（5）

理想塑性力學模型σεE1σs在許多實際工程問題中，彈性應變比塑性應變小得多，因而可以忽略彈性應變，若不考慮強化效應，則稱這種模型為剛塑性力學模型。這一模型假設:在應力到達屈服極限之前應變?yōu)榱?。線段AB平行于ε軸，卸載線平行于σ軸。卸載線平行于σ軸。ABAB23特選材料%（6）線性強化剛塑性力學模型σsσε（剛塑性力學模型）（5在塑性力學中，剛塑性力學模型具有重要意義。在塑性成形理論中的許多情況下，塑性應變一般都比彈性應變大得多，所以忽略彈性應變而只考慮塑性應變是合理的，對總體的計算結果影響不大。采用剛塑性力學模型給數(shù)學計算帶來較大的簡化。使許多復雜問題能獲得完整的解析表達式。在以上所提及的幾種力學模型中，理想彈塑性、冪強化及理想剛塑性力學模型應用最為廣泛。24特選材料%在塑性力學中，剛塑性力學模型具有重要意義。在塑性成形理論中的3.初始屈服條件和初始屈服

問題：當應力（或變形)發(fā)展到什么程度開始屈服呢?也就是要找出在物體內一點開始出現(xiàn)塑性變形時其應力狀態(tài)所應滿足的條件，稱為初始屈服條件，有時簡稱為屈服條件，又稱為塑性條件有了這個條件就不難回答上面的問題。物體受到荷載作用以后，最初是產(chǎn)生彈性變形，隨著荷載的逐漸增加至一定程度，有可能使物體內應力較大的部位開始出現(xiàn)塑性變形，這種由彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)是初始屈服。（1）初始屈服條件

25特選材料%3.初始屈服條件和初始屈服

問題：當應力（或變形)發(fā)展到什對簡單的應為狀態(tài)，這個問題容易回答。-

簡單拉伸：當拉應力σ達到材料屈服極限時開始屈服，所以這個條件可寫成或-

純剪狀態(tài)：當剪應力τ達到材料剪切屈服極限τ時開始屈服，即純剪的屈服條件為：或復雜應力狀態(tài)：（確定材料的屈服界限就不那么簡單）例如：薄壁圓管受內壓P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半徑r，壁厚為t，t?r。26特選材料%對簡單的應為狀態(tài)，這個問題容易回答。-簡單拉伸：當拉應力復雜應力狀態(tài)：（確定材料的屈服界限就不那么簡單）例如：薄壁圓管受內壓P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半徑r，壁厚為t，t?r。TFFT顯然，對于不同的外力組合，所產(chǎn)生的應力狀態(tài)不同。如何確定屈服極限？組合應力27特選材料%復雜應力狀態(tài)：（確定材料的屈服界限就不那么簡單）TFFT顯因此，在一般情況下，應力狀態(tài)是由六個獨立的應力分量確定的，顯然不能簡單地取某一個應力分量作為判斷是否開始屈服的標準，何況這六個分量還和坐標軸的選擇有關。

對應于不同應力狀態(tài)的屈服條件：

<ⅰ>在一定的內力組合下，所產(chǎn)生的應力隨著內力的增加而進入塑性狀態(tài)，于是就可得到這種應力狀態(tài)的屈服條件。

<ⅱ>確定這種屈服條件，也要通過實驗確定。由于這種內力組合是多種多樣的，實驗的次數(shù)也將很多，不可能一一做到。所以要以實驗為基礎，從理論上尋求其規(guī)律，找出屈服條件的解析式，建立屈服條件的理論。28特選材料%因此，在一般情況下，應力狀態(tài)是由六個獨立的應力分量確定的，顯（2-2）有一點可以肯定的是屈服條件應該和這六個應力分量有關，還和材料的性質有關，即屈服條件可以寫成下面的函數(shù)關系（2）初始屈服函數(shù)

或該函數(shù)就稱為初始屈服函數(shù)屈服條件是與該點的應力狀態(tài)即6個應力分量有關的，反映了這6個應力分量對屈服的影響：

它是初始彈性階段的界限，應力點落在此曲面內的應力狀態(tài)為初始彈性狀態(tài)，若應力點落在此曲面上，則為塑性狀態(tài)。29特選材料%（2-2）有一點可以肯定的是屈服條件應該和這六個應力分量有<i>表示在一個六維應力空間內的超曲面，屈服條件成立。<ii>六維應力空間是指6個應力分量x,y,的全體所構成的抽象空間，空間中任一點代表一個確定的應力狀態(tài)。代表這一空間內的曲面，不同于普通空間內的曲面，稱之為超曲面。進一步講：

-這個曲面就是由達到初始屈服的各種應力狀態(tài)點集合而成的，它相當于簡單拉伸曲線上的初始屈服點。30特選材料%<i>表示在-這個曲面就是由達到初始屈服的各種應力狀態(tài)點集合而成的，它相當于簡單拉伸曲線上的初始屈服點。例：簡單拉伸時，屈服應力0，用6維空間來描述，坐標(0,0,0,0,0,0)的點就在屈服面上。受扭轉薄壁管的純剪切屈服應力為0

，坐標(0,0,0,0,0,0)的點也是屈服面上的一個點。

(以上均為屈服面上的特殊點)31特選材料%-這個曲面就是由達到初始屈服的各種應力狀態(tài)點集合而成的，它顯然，用六個應力分量描繪屈服曲面不容易-若材料不僅是均勻的，而且是各向同性的(即對任一點的任何方向其力學性質都相同)，

f

應該和應力的方向無關。因此，

f

應該用和坐標軸的選擇無關的應為不變量來表示如用三個主應力來表示為：或用應力張量的三個不變量來表示為：（2-3）（2-4）（3）如何描繪屈服曲面32特選材料%顯然，用六個應力分量描繪屈服曲面不容易-若材料不僅是均勻的實驗結果證明，各向均勻應力狀態(tài)，即球形應力狀態(tài)（靜水壓力）只產(chǎn)生彈性的體積變化，而對材料的屈服幾乎沒有影響，因此，可以認為這個屈服條件和平均應力，亦即和

無關，所以f

又可以用應力偏張量的不變量來表示。注意：（2-5）或用應力偏張量的三個不變量來表示為：33特選材料%實驗結果證明，各向均勻應力狀態(tài)，即球形應力狀態(tài)（靜水壓力）（2-5）討論：1°屈服條件可化為應力偏量的函數(shù)。

2°屈服函數(shù)可在主應力構成的坐標空間（主應力空間）內來討論。

3°主應力空間是一個三維空間，在這一空間內，屈服函數(shù)的幾何圖像可以直觀的繪出，有利于對屈服面的認識。

4°由因應力偏量第二不變量恒為正值，第三不變量I3當應力變號時I3也變號，故屈服函數(shù)f必為I3的偶函數(shù)。34特選材料%（2-5）討論：1°屈服條件可化為應力偏量的函數(shù)。34特選材-屈服面：在應力空間中，將實驗所得各種應力狀態(tài)下初始屈服時的應力點連起來構成一個空間曲面，即屈服面。屈服面的定義--它將應力空間分成兩部分：應力點在屈服面內屬彈性狀態(tài)，在屈服面上屬彈性狀態(tài)的極限和塑性狀態(tài)的開始；在屈服面外則屬于塑性狀態(tài)的繼續(xù)。--回顧π平面和靜力應力線35特選材料%-屈服面：在應力空間中，將實驗所得各種應力狀態(tài)下初始屈服時的DENABS1P1P1'P1"S2P2Oπ平面法線上應力點矢量特征討論：(a)

若應力空間中一點P1已達到屈服狀態(tài)：其應力矢量OP1在π平面上分矢量OS1.過P1點且平行于π平面法線ON的直線AB上的任一點P(P1’,P1’’,…)，其應力矢量在π平面上的分矢量皆為OS1，即應力偏量相同。即當P1點達到屈服狀態(tài)（屈服面上的一點）時，AB線上各應力點亦同時達到屈服。AB是屈服面上的一條直線。(b)同樣過P2點平行于ON的DE線上的各點也隨著P2點同時達到屈服。36特選材料%DENABS1P1P1'P1"S2P2Oπ平面法線上討論：π平面法線上應力點矢量特征討論：(c)由此判定，屈服面的幾何圖形是柱形體，其軸線為ON，其母線垂直于π平面。屈服面是柱形體屈服曲線在π面上(d)既然是柱面，它在任意垂直于ON的平面上的情況是一樣的。所以，要研究這個柱面上各點的情況，只要研究柱面在與其垂直的π平面上的投影即可。該投影是一個曲線C。--初始屈服曲線:

因此屈服面的形狀可用與平面的截線C來表示。截線C稱之為“屈服軌跡”，也叫初始屈服曲線。DENABS1P1P1'P1"S2P2OS2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面--初始屈服曲面：這個柱面就是初始屈服曲面.37特選材料%π平面法線上討論：屈服面是柱形體(d)既然是柱面，它在任意以上討論由三方面含義：①應力空間中任一條平行于平面法線ON的直線AB上各點的應力偏量分量均相等，只是靜水壓力分量不同。②一點的塑性屈服只取決于應力偏量狀態(tài)，與靜水應力無關。③屈服函數(shù)在平面上是一條封閉曲線，稱之為屈服曲線。π平面法線上應力點矢量特征屈服面是柱形體屈服曲線在π面上DENABS1P1P1'P1"S2P2OS2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面38特選材料%以上討論由三方面含義：π平面法線上屈服面是柱形體DENAB屈服曲線C具有如下性質：（1）屈服曲線是一條封閉曲線，坐標原點一定被包圍在曲線之內。從物理概念上理解：坐標原點是一個無應力狀態(tài)，材料當然不能在無應力下屈服，所以屈服曲線不可能通過原點。又由于在初始屈服面內是彈性狀態(tài)所以屈服曲線一定是封閉的，否則將出現(xiàn)不屈服的狀態(tài)，這是不可能的。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M39特選材料%屈服曲線C具有如下性質：（1）屈服曲線是一條封閉曲線，BA-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直線與C只能相交一次，即曲線C是外凸的.如圖所示的那種情況是不可能的。(2)屈服曲線與任一坐標原點出發(fā)的向徑必相交一次，且僅有一次。材料在一種應力狀態(tài)下達到屈服，就不可能又在與此應力狀態(tài)形態(tài)一致的另一應力狀態(tài)達到屈服，即初始屈服只有一次。40特選材料%-材料的初始屈服只有一次，所以由O向外作的直線與C只能相交（3）如以紙面為平面，三個主應力軸1,2,3在平面上投影為1,2,3

，考慮材料是初始各向同性的，因此坐標變換對屈服沒有影響。所以曲線C對稱于直線LL（1），MM（2）

，NN（3）。例如應力點(1,2,3)是屈服面上一點，則(1,3,2)也必是屈服面上一點。因此，1保持不變，軌跡C必然和直線LL（1）對稱。同理屈服軌跡必和MM（2）

及NN（3）對稱。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M屈服軌跡的特性41特選材料%（3）如以紙面為平面，三個主應力軸1,2,3在(4)考慮到材料的拉伸與壓縮屈服極限相等，如果應力點(1,2,3)在屈服面上，則應力點(-1,-2,-3)亦必在屈服面上。因此通過O點作一直線，其兩端與曲線C的交點一定與點O對稱。聯(lián)系性質3則屈服軌跡必和LL，MM，NN的垂直線AB，CD，EF對稱。這樣，屈服軌跡就有6個對稱軸，曲線C由12個相同的弧段組成。因此進行屈服條件的實驗研究中，只要確定一個弧段，即30o范圍的圖形即可。然后利用對稱性，就可確定整個屈服曲線，進而得到三維主應力空間中的屈服面。BAEFCDσ3′σ2′σ1′OLL'NN'M'M屈服軌跡的特性42特選材料%(4)考慮到材料的拉伸與壓縮屈服極限相等，如果應力點(1棍據(jù)上面的分析可知屈服曲線C可分成形狀相同的12個部分(如圖所示)。為此，只要考慮C的1/12即可，而這C的1/12的具體形狀應根據(jù)材料實驗決定。這時只要采用代表應力狀態(tài)的矢量OP位于某一選定幅角中的應力組和就足夠了。譬如，決定應力矢量OP的位置的應力Lode角取為，則根據(jù)公式，此時應力Lode參數(shù)為，實驗時，采用這樣一個取值范圍內的應力組合就能夠完全確定屈服曲線的具體形狀。43特選材料%譬如，決定應力矢量OP的位置的應力Lode角取為4.Tresca(特雷斯卡）和Mises（米澤斯）屈服條件對屈服條件的研究已有兩個世紀。所謂屈服條件，就是材料進入塑性狀態(tài)時應力分量之間所必須滿足的條件。伽俐略(Galilieo)曾認如材料進人塑性狀態(tài)是最大主力所引起的。此后圣維南(Saint-Venant)又認為最大主應變能判斷材料是否進人塑性狀態(tài)。這兩個假說都被后來的實驗所否定，因為在各向等壓時，壓應力可以遠遠超過材料的屈服極限σs，而材料并未進入塑性狀態(tài)。這個實驗結果與他們所提出的假說是矛盾的。44特選材料%4.Tresca(特雷斯卡）和Mises（米澤斯）屈服條在此之后的貝爾特拉密（Beltrami)提出，當物體的彈性能達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態(tài)。但這個假說由于將形狀改變能和體積變形能混在一起考慮，因而和實驗結果也是不符合的。

1864年法國工程師特雷斯卡（Tresca)在作了一系列金屬擠壓實驗的基礎上，發(fā)現(xiàn)了在變形的金屬表面有很細的痕紋，而這些痕紋的方向很接近最大剪應力的方向，因此他認為金屬的塑性變形是由于剪切應力引起金屬中晶體滑移而形成的。這就是我們要學的特雷斯卡（Tresca)屈服條件45特選材料%在此之后的貝爾特拉密（Beltrami)提出，當物體的彈性（1）特雷斯卡（Tresca)屈服條件(i)Tresca屈服條件定義：當最大剪應力達到材料所固有的某一極限值τ0時，材料開始進入塑性狀態(tài)，即開始屈服。所以這個條件就稱為最大剪應力條件，又稱為Tresca屈服條件。因此，Tresca屈服條件可用數(shù)學式表示為：τmax=KK為材料的剪切屈服應力，對不同材料的K值，要由實驗確定。如果主應力次序已知時：

則Tresca屈服條件也可寫成：或或（2-6）（2-7）46特選材料%（1）特雷斯卡（Tresca)屈服條件(i)Tresca屈單向拉伸時：σσ純剪切應力狀態(tài)時：τ47特選材料%單向拉伸時：σσ純剪切應力狀態(tài)時：τ47特選材料%例：1o.對簡單拉伸，1=0，2=3=0

屈服條件：0=2K

即

2o.對純剪切，1=-3=τ0

，2=0

屈服條件：τ0=K

即K=τ0于是：純剪切屈服極限是簡單拉伸屈服極限的一半，即在一般情況下，往往無法事先判明物體內各點的三個主應力大小的順序，所以通常將該條件寫成如下形式：48特選材料%例：1o.對簡單拉伸，1=0，2=3=0上式中至少有一個等式成立時，材料才開始塑性變形，否則仍處于彈性階段?；蛘呷绻麑⒃摋l件表示成完整的式子,則上式可改寫成一般形式

寫成應力偏量不變量的表達式：這個式子太復雜了，在一般情況下都不采用。顯然，在不知道主應力大小次序時，該條件使用起來很不方便。（2-8a）（2-8b）（2-8c）49特選材料%上式中至少有一個等式成立時，材料才開始塑性變形，否則仍處于彈-表示：和平均應力σm

和σ1無關。所以在應力空間中，它表示一對平行于σ1和L

直線（π平面法線）的平面。-表示：和平均應力σm

和σ2無關。所以在應力空間中，它表示一對平行于σ2和L

直線（π平面法線）的平面。-表示：和平均應力σm

和σ3無關。所以在應力空間中，它表示一對平行于σ3和L

直線（π平面法線）的平面。(ii)Tresca屈服條件在主應力空間中的表示：S2S1P2σ3σ2σ1EDABP1Cπ面50特選材料%-表示：和平均應力σm和σ1無--由這六個平面組成的屈服曲面是一個以L為軸線的正六棱柱體，其在π平面上的投影即屈服曲線為一個正六邊形。--故Tresca屈服條件建立了與坐標軸成等傾斜的各邊相等的正六棱柱體，稱為Treasca六邊形.σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線51特選材料%--由這六個平面組成的屈服曲面是一個以L為軸線的正六棱柱體σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線正六棱柱體在π平面上的投影即屈服曲線為一個正六邊形，即：屈服軌跡是一個正六邊形，外接圓半徑為 （即2K

在π面上投影）。52特選材料%σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Misσ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises橢圓Tresca斜六邊形例：在平面應力狀態(tài)下，令3=0則1-2=2K 1=2K 2=2K屈服軌跡是斜六邊形。σ1σ2053特選材料%σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線①應力點處于六邊形內部時，材料處于彈性狀態(tài)。②當應力點達到屈服六邊形上任一點時,材料開始進入塑性狀態(tài)。③Tresca條件的局限性：

<ⅰ>屈服軌跡不是光滑曲線，數(shù)學上應用困難。

<ⅱ>沒有考慮中間應力影響。(iii)Tresca屈服條件中的特點及局限性：54特選材料%σ3σ2σ12KOσ3σ2σ1Tresca六角形Mis（2）米澤斯（Mises)屈服條件特雷斯卡屈服條件在π平面上的投影是一個正六邊形，它的六個頂點是由實驗得到的，但連接這六個點的直線卻是假設的，而且屈服曲線上有角點，給數(shù)學處理上帶來了困難。因此，在1913年，米澤斯(Mises)提出采用一個圓來連接特雷斯卡正六邊形的六個頂點可能更加合理，因為它可以避免由于屈服曲線不光滑而造成的數(shù)學上的困難。(i)米澤斯（Mises)屈服曲線的定義：根據(jù)上面的設想，米澤斯（Mises)屈服曲線就是特雷斯卡六邊形的外接圓

Mises圓的方程為：55特選材料%（2）米澤斯（Mises)屈服條件特雷斯卡屈服條件在π平面上

矢量OQ作端點Q的坐標為討論：應力狀態(tài)矢OP作π平面上的投影OQ在π平面上的位置和大小：取x,y坐標如圖所示，已知應力偏量矢在軸上的分量：所以,應力偏斜張量的模為56特選材料%矢量OQ作端討論：應力狀態(tài)矢OP作π平面上的投影OQ在π代入并加以整理，得屈服函數(shù)為：

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2（2-9）57特選材料%代入并加以整理，得屈服函數(shù)為：（2-9）57特選材料%(ii)米澤斯(Mises)屈服函數(shù)：

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2(2K)2如果上式的左側小于右側，則認為材料仍處于彈性階段。如果上式為等式，則認為材料已進入塑性狀態(tài)。由上式看出：米澤斯條件和特雷斯卡條件一樣都不受靜水壓力的影響，而且也滿足應力互換原則。雖然米澤斯在提出這一條件時，并未認為它是準確的條件，但實驗結果證明，對于韌性金屬材料，這個條件更接近實際情況。58特選材料%(ii)米澤斯(Mises)屈服函數(shù)：如果上式的左側小于右

1924年德國力學家亨奇(H.Hencky)經(jīng)過反復研究對米澤斯條件進行了物理解釋，亨奇認為米澤斯條件相當于彈性形變比能（歪形能）達到一定值時，材料進入塑性狀態(tài)。若用W、Ws和Wv分別表示彈性總比能、彈性變形能和體積變化比能，則有：

彈性總比能體積變化比能彈性形變比能=彈性總比能-體積變化比能(iii)米澤斯(Mises)屈服函數(shù)的討論：

59特選材料%1924年德國力學家亨奇(H.Hencky)經(jīng)過反復研

彈性形變比能=彈性總比能-體積變化比能亨奇認為米澤斯條件相當于彈性形變比能（歪形能）達到一定值時，材料進入塑性狀態(tài)，事實上波蘭力學家胡貝爾(M.Huber)早在1904年便曾提出過這一條件，因此這一條件有時稱為胡貝如-米澤斯-亨奇屈服條件，簡稱米澤斯屈服條件。此后納戴(A.L.Nadai)對米澤斯屈服提件進行了另一種解釋，他認為當正八面體上的剪應力達到某一定值時，材料便進入塑性狀態(tài)。60特選材料%彈性形變比能=彈性總比能-體積變化比能亨奇認為米

原蘇聯(lián)力學家伊柳辛提出了應力強度σi

(或稱等效應力）的概念。應力強度是表征物體受力程度的一個參數(shù)。-伊柳辛認為，當應力強度σi

等于材料單向拉伸的屈服極限σs時，材料便進入塑性狀態(tài)。伊柳辛的這個提法不僅概念明確，而且將復雜應力狀態(tài)的σi和單向拉伸的屈服極限σs聯(lián)系起來，因此在使用時是十分方便。根據(jù)伊柳辛的提法：

i=s但是亨奇和納戴(A.L.Nadai)都沒能指出這一定值是多大。由簡單拉伸實驗s=2K有

(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2vonMises屈服條件61特選材料%原蘇聯(lián)力學家伊柳辛提出了應力強度σi(或稱等效應

--八面體剪應力：應力強度乘上--若用第二應力偏量不變量J2來表示，62特選材料%--八面體剪應力：應力強度乘上--若用第二應力偏量不變

--可以看出：因為應力強度i和應力偏量第二不變量J2及八面體剪應力τ8

只差一個倍數(shù)關系。所以，Mises條件也可以認為是當應力偏張量第二不變量達到某-定數(shù)值或八面體剪應力達到一定數(shù)值時開始屈服則，(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2

可表示為：--由于由于應力強度可由應力分量表示（2-10）63特選材料%--可以看出：因為應力強度i和應力偏量第二不變(iv)Mises條件的常用形式：應力強度形式：應力張量第二不變量形式：64特選材料%(iv)Mises條件的常用形式：應力強度形式：應力應力張量分量形式：等傾面上的剪應力形式：（A.L.Nadai）彈性形變比能形式：（Hencky）65特選材料%應力張量分量形式：等傾面上的剪應力形式：（A.L.Na--平面應力狀態(tài)下，令3=0，有:12-12+22=s2

是為橢圓方程。(為Tresca斜六邊形的外接圓）σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises橢圓Tresca斜六邊形66特選材料%--平面應力狀態(tài)下，令3=0，有:σ2σ12=s1（3）Tresca屈服條件與Mises屈服條件的討論：<ⅰ>幾何上：--按Tresca屈服條件，屈服面是π平面正六邊形為母線的正六角柱體，屈服曲線為一正六邊形。6個角點由實驗得到，6邊形連接成直線是假設的結果。--按Mises屈服條件，在π平面內的屈服曲線就是Tresca六邊形的外接圓，屈服面便是Tresca屈服面的外接圓柱。σ3σ2σ1Tresca六角形Mises圓純剪切線σ2σ12=s1=s1-2=s2=-s1=-s1-2=-sMises橢圓Tresca斜六邊形67特選材料%（3）Tresca屈服條件與Mises屈服條件的討論：<ⅰ<iii>Tresca條件忽略了中間主應力對材料屈服的影響，有欠缺，而Mises條件克服了這一點不足。<ⅳ>實驗證明，Mises條件比Tresca條件更接近于實驗結果。＜ii＞Tresca最大剪應力條件是主應力分量的線性函數(shù)，對已知主應力方向及主應力間的相對值的一類問題，是比較簡便的，而Mises畸變能條件則顯然復雜的多。68特選材料%<iii>Tresca條件忽略了中間主應力對材料屈服的影響，(4)兩種屈服條件的比較：Tresca屈服條件：Mises屈服條件：兩個屈服條件中的常數(shù)K是和材料有關的量.它可以通過簡單拉伸或純剪切等簡單試驗來加以確定。因為這些屈服條件對各種應力狀態(tài)都是適用的，當然也適用于簡單的應力狀態(tài)。69特選材料%(4)兩種屈服條件的比較：Tresca屈服條件：Mise（a）單向拉伸時：s1s2s30xy此時除σ1以外其余的主應力分量為零，且時屈服，將它們代入上述的屈服條件表達式：Tresca屈服條件：Mises屈服條件：Tresca六邊形內接于Mises圓70特選材料%（a）單向拉伸時：s1s2s30xy此時除σ1以外其余s1s2s30xy如作純剪試驗，此時除，其它應力分量都為零。從試驗知道，當達到材料剪切屈服極限時，即時開始屈服。Tresca屈服條件：Mises屈服條件：（b）純剪切時：由

1=-3=τs

，2=0

Tresca六邊形外切于Mises圓71特選材料%s1s2s30xy如作純剪試驗，此時除，試驗表明，對一般的工程材料，=(0.56--0.6）。因此Mises條件比Tresca條件更符合實際些。但是，在事先可判明主方向并能確定其三個主應力數(shù)值大小次序的情況下，應用Tresca條件更方便些。從這里可以看出，根據(jù)Tresca條件，材料的剪切屈服極限，應該是拉伸屈服極限的0.5倍，而根據(jù)Mises條件，應是0.577倍72特選材料%試驗表明，對一般的工程材料，=(0.56--0.6）(5)兩種屈服條件的差別：Tresca屈服條件：可表示為：由Lode參數(shù)表示，然后代入Mises屈服條件（徐，95）現(xiàn)在，簡單地說明一下兩個條件的差別。設取，則由Lode參數(shù)公式：

（2-11)（2-12a)73特選材料%(5)兩種屈服條件的差別：Tresca屈服條件：Tresca屈服條件：Mises屈服條件:令

（2-11)（2-12a)因為，所以（2-12b)純剪狀態(tài)：，比較式（2-11)和(2-12b)可知，此時兩個條件相差為15%。單向拉伸或壓縮狀態(tài)：，此時兩個條件是一致的事實上Tresca條件和Mises條件的差別并不大，如果取處于外接圓和內切圓中間的圓作為屈服曲線，則差別將更減小。74特選材料%Tresca屈服條件：Mises屈服條件:令

Trresca條件和Mises條件主要是適用于延性金屬材料。-雖然在工程上也有將Tresca條件用于一些只具有粘聚強度的土壤和巖石，以及將Mises條件用于某些巖石和水飽和粘土的情況。-但一般來說，這兩個條件用于土壤、混凝土和某些巖石這類非金屬材料是不理想的。因為這兩個條件都是忽略了平均應力即靜水應力對屈服的影響，而實驗證實，平均應力對這類非金屬時料的屈服起著重要的作用。-為了考慮這種影響，可以修改Trresca條件和Mises條件，在本書第12章討論。75特選材料%Trresca條件和Mises條件主要是適用于延性金例1寫出平面應力狀態(tài)的兩種屈服條件[解]因為對平面應力狀態(tài)，σ3=0（1）Tresca屈服條件：此時屈服條件公式則1-2=2K 1=2K 2=2K屈服軌跡是斜六邊形。σ1σ2076特選材料%例1寫出平面應力狀態(tài)的兩種屈服條件[解]因為對平面應力狀[解]因為對平面應力狀態(tài)，

3=0（2）Mises屈服條件：此時屈服條件公式(1-2)2+(2-3)2+(3-1)2=2s2令3=0，有:12-12+22=s2

是為橢圓方程。(為Tresca斜六邊形的外接圓）σ1σ2077特選材料%[解]因為對平面應力狀態(tài)，3=0(1-2)2+(例2：試寫出圓桿在拉伸和扭轉聯(lián)合作用下的屈服條件[解]桿內各點的應力為(圖b)（1）Mises屈服條件：將上述各應力分量值代入由應力分量表達的Mises屈服條件：得Mises屈服條件：78特選材料%例2：試寫出圓桿在拉伸和扭轉聯(lián)合作用下[解]桿內各點的應[解]桿內各點的應力為(圖b)（2）Tresca

屈服條件：將上述各應力分量值代入求解主應力的三次方程：得三個主應力為：79特選材料%[解]桿內各點的應力為(圖b)（2）Tresca屈服條（2）Tresca

屈服條件：將上述各應力分量值代入求解主應力的三次方程：得三個主應力為這里已按σ1>σ2>σ3的次序排列，則最大剪應力為：Tresca

屈服條件：s=2K得Tresca

屈服條件：80特選材料%（2）Tresca屈服條件：將上述各應力分量值代入求解主在假設的基礎上提出的屈服條件是否正確，需要用實驗來驗證。為了研究屈服條件，已經(jīng)做了各種各樣的實驗。（5）Tresca屈服條件與Mises屈服條件的實驗驗證：由于三向應力狀態(tài)在實驗中較難實現(xiàn)，所以一般以二向應力狀態(tài)進行實驗。-通常采用薄壁圓簡試件，所受荷載為軸向拉伸和內壓或扭轉相組合。下面就介紹早期的兩個有名的實驗。81特選材料%在假設的基礎上提出的屈服條件是否正確，需要用實驗來驗證。為了（i）Lode實驗pPPσ2σ11926年W.Lode做了使薄壁圓管在不同的軸向拉力和內壓力的聯(lián)合作用下獲得不同的應力狀態(tài)的實驗，檢驗了中間主應力對屈服的影響。Tresca條件和Misas條件可表示為：Tresca條件Misas條件如以μσ為水平坐標軸，為垂直坐標軸，則這些式子所表示的屈服條件的理論曲線分別為一水平直線和一拋物線。（2-11)（2-12a)82特選材料%（i）Lode實驗pPPσ2σ11926年W.LodTresca條件Misas條件如以μσ為水平坐標軸，為垂直坐標軸，則這些式于所表示的屈服條件的理論曲線分別為一水平直線和一拋物線。1.101.0511.15M10-1T83特選材料%Tresca條件Misas條件如以μσ為水平坐標軸，pPPσ2σ1薄壁管受軸向拉力P和內壓力p聯(lián)合作用時，設管的平均半徑r,壁厚為t，因為t/r<<1，則管內近似地處于均勻應力狀態(tài)，且忽略次耍的應力分量σr，則管內應力：則84特選材料%pPPσ2σ1薄壁管受軸向拉力P和內壓力p聯(lián)合作用時，設對這樣的應力狀態(tài)，實驗過程中應力主方向是保持不變的。實驗時，采用不同的軸向拉力P和內壓力p的組合，可得到不同應力狀態(tài)的μσ和屈服應力值并將它們在圖上標出，如圖所示1.101.0511.15M10-1TpPPσ2σ1實驗結果表明，Mises條件比較符合實驗結果，由于Tresca條件不計中間主應力的影響，而Mises條件考慮了中間主應力對屈服的影響，實驗表明中間主應力對屈服是有影響的。Tresca條件Mises條件85特選材料%對這樣的應力狀態(tài)，實驗過程中應力主方向是保持不變的。實驗1.G.I.Tylor和H.Quinney在1931年也用薄壁管，但在軸向拉伸和扭轉的聯(lián)合作用下進行實驗。在這個情況下，沿管壁產(chǎn)生平面的應力狀態(tài)。PPTTτσ（ii）Taylor和Quinney實驗若取x軸與管軸平行，而y軸沿管的切線方向，則在xy平面內的應力分量為:σx

--由軸向拉力產(chǎn)生的正應力：σy=0

τxy

--由扭轉產(chǎn)生的剪應力：86特選材料%G.I.Tylor和H.Quinney在1931年也由例2的結果：PPTTτσ得Tresca

屈服條件：得Mises屈服條件：（2-13)（2-14)87特選材料%由例2的結果：PPTTτσ得Tresca屈服條件：得Mis1010.60.4MTMises屈服條件：Tresca

屈服條件：如圖所示，

給出由上式方程所確定的兩個橢圓（理論曲線)，以及用不同的軸向拉力P和扭矩T的組合而獲得的實驗結果的點。可以看出，實驗結果也是和Mises條件更為接近。雖然多數(shù)金屬材料符合Mises條件，但由于Tresca條件可表示成主應力的線性函數(shù)，在主應力大小次序可以事先判別的情況下，使用是很方便的，何況兩者的差別并不很大。所以，究竟采用哪一個條件，應視情況而定。88特選材料%1010.60.4MTMises屈服條件：Tresca屈前面已經(jīng)指出，在單向拉伸的情況下，當材料進入塑性狀態(tài)后卸載，此后再重新加載時，拉伸應力和應變的變化仍服從彈性關系，直至應力到達卸載前曾經(jīng)達到的最高應力點時，材料才再次進入塑性狀態(tài)，產(chǎn)生新的塑性變形。5.后繼屈服條件及加、卸載準則（i)后繼屈服點或硬化點：這個應力點就是材料在經(jīng)歷了塑性變形后的新的屈服點。由于材料的硬化特性，它比初始屈服點為高。為了和初始屈服點相區(qū)別，將它稱為后繼屈服點或硬化點。（1）后繼屈服條件89特選材料%前面已經(jīng)指出，在單向拉伸的情況下，當材料進入塑性狀態(tài)后卸載，和初始屈服點不同，它在應力-應變曲線上的位置不是固定的，而是依賴于塑性變形的過程即塑性變形的大小和歷史的。這后繼屈服點是材料在經(jīng)歷一定塑性變形后再次加載時，變形規(guī)律是按彈性還是按塑性規(guī)律變化的區(qū)分點，亦即后繼彈性狀態(tài)的界限點(如圖所示)和單向應力狀態(tài)相似，材料在復雜應力狀態(tài)也有初始屈服和后繼屈服的問題。關于初始屈服的問題前面已經(jīng)討論過了，這里進一步討論后繼屈服的問題。90特選材料%和初始屈服點不同，它在應力-應變曲線上的位置不是固定的，而(ii)初始屈服面和后繼屈服面：在復雜應力狀態(tài)下，由于會有各種應力狀態(tài)的組合能達到初始屈服或后繼屈服，在應力空間中這些應力點的集合而成的面就稱為初始屈服面和后繼屈服面，--它們分別相當于單向應力狀態(tài)應力-應變曲線上的初始屈服點和后繼屈服點。--當代表應力狀態(tài)的應力點由原點O移至初始屈服面Σ0

上一點A

時，材料開始屈服，當荷載的變化使應力點突破初始屈服面而到達鄰近的后繼屈服面Σ1，的B點，由于加載，材料產(chǎn)生新的塑性變形。91特選材料%(ii)初始屈服面和后繼屈服面：在復雜應力狀態(tài)下，由于會有各--如果由B點卸載，應力點退回到后繼屈服面內而進入后繼彈性狀態(tài)。--如果再重新加載，當應力點重新達到卸載開始時曾經(jīng)達到過的后繼屈服面Σ1

上的某點C(C不一定和B重合)時，重新進入塑性狀態(tài)。--繼續(xù)加載，應力點又會突破原來的后繼屈服面Σ1

而到達另一個相鄰近的后繼屈服面Σ2（如圖所示）。92特選材料%--如果由B點卸載，應力點退回到后繼屈服面內而進入后繼彈性狀--如果是理想塑性材料，后繼屈服面是和初始屈服面重合的，但對于硬化材料，由于硬化效應，兩者是不重合的。σsσε(iii)硬化面或加載面：隨著塑性變形的不斷發(fā)展，后繼屈服面是不斷變化的，所以又將后繼屈服面稱為硬化面或加載面，它是后繼彈性階段的界限面。93特選材料%--如果是理想塑性材料，后繼屈服面是和初始屈服面重合的，但后繼屈服條件或稱為硬化條件：確定材料是處于后繼彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)的準則就是后繼屈服條件或稱為硬化條件。表示這個條件的函數(shù)關系亦即后繼屈服面的方程就稱為后繼屈服函數(shù)或硬化函數(shù)，或加載函數(shù)。94特選材料%后繼屈服條件或稱為硬化條件：確定材料是處于后繼彈性狀態(tài)還是--由于后繼屈服不僅和該瞬時的應力狀態(tài)有關，而且和塑性變形的大小及其歷史(即加載路徑)有關，因此后繼屈服條件即硬化條件，表示為：其中K就是反映塑性變形大小及其歷史的參數(shù)，稱為硬化參數(shù)。因此，后繼屈服面就是以K為參數(shù)的一族曲面我們的任務就是要確定后繼屈服面的形狀以及它隨塑性變形的發(fā)展的變化規(guī)律（2-15)95特選材料%--由于后繼屈服不僅和該瞬時的應力狀態(tài)有關，而且和塑性變形在單向應力狀態(tài)，雖然屈服以后，加載和卸載時變形規(guī)律是不同的，但由于只有一個應力分量不等于零，由這個分量的大小的增減就可以判斷是加載還是卸載。對于復雜應力狀態(tài)，六個獨立的應力分量都可增可減，如何判斷是加載還是卸載，有必要提出一個準則。（2）加、卸載準則96特選材料%在單向應力狀態(tài)，雖然屈服以后，加載和卸載時變形規(guī)律是不同的σsσε由于理想塑性材料是無硬化的，它的后繼屈服條件和初始屈服條件是一致的，后繼屈服畫和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，則它與加載歷史無關，以下列屈服函數(shù)表示：①

理想塑性材料的加卸載準則在荷載改變的過程中，應力點如保持在屈服面上，則此時塑性變形可以任意增長，就稱為加載。當應力點從屈服面移動到屈服面內,則:表示狀態(tài)從塑性退回到彈性，此時不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載.（2-16)97特選材料%σsσε由于理想塑性材料是無硬化的，它的后繼屈服條件和初始理想塑性材料加載和卸載準則，用數(shù)學形式表示為：彈性狀態(tài)：加載：卸載：為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關系來說明-在應力空間以矢量

表示即的各個分量是：以為分量的矢量就是函數(shù)的梯度。（2-17)（2-18)98特選材料%理想塑性材料加載和卸載準則，用數(shù)學形式表示為：彈性狀態(tài)：加為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關系來說明-在應力空間以矢量

表示即的各個分量是：以為分量的矢量就是函數(shù)的梯度，且的方向和屈服面的外法線方向一致的。設n為屈服而外法向單位矢量，則上述加、卸載準則可用矢量乘積表示為：99特選材料%為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關系來說明-在加載：卸載：表示兩矢量正交，亦即沿屈服面切向變化表示兩矢量的夾角大于900，亦即分處于屈服面的兩側，即指向屈服面內。由于屈服面不能擴大，所以不可能指向屈服面外。以上討論是假定屈服曲面是正則的，即處處是光滑的。如果屈服面是非正則的，但是由分段光滑面構成的，如像Tresca條件的屈服面，也只要應力點保持在屈服面上就是加載，返回到屈服面內即為卸載。（2-19a)（2-19b)100特選材料%加載：卸載：表示兩矢量正交，亦即沿屈服面切向變化表示兩對于硬化材料，后繼屈服面和初始屈服面不同，它是隨塑性變形的大小和歷史的發(fā)展而不斷變化的。②硬化材料的加卸載準則-后繼屈服函數(shù)：-如果后繼屈服面是正則的，則：如圖所示：--如果應力變化使應力點從此瞬時狀態(tài)所處的后繼屈服面向內移，則變化的結果使材料從一個塑性狀態(tài)退回到一個彈性狀態(tài)，即為卸載過程，不會產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K不變，即dK=0，由此得卸載準則為：101特選材料%對于硬化材料，后繼屈服面和初始屈服面不同，它是隨塑性變形的如圖所示：--如果應力變化使應力點從此瞬時狀態(tài)所處的后繼屈服面向內移，則變化的結果使材料從一個塑性狀態(tài)退回到一個彈性狀態(tài)，即為卸載過程，不會產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K不變，即dK=0，由此得卸載準則為：且即：這里矢量關系說明：dσ和n

分處屈服面兩側，即dσ指向屈服面內。（2-20a)102特選材料%如圖所示：且即：這里矢量關系說明：dσ和n分處屈服面兩側如圖所示：--如果應力變化使應力點沿后繼屈服面變化，實驗證明此過程也不產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K也不變，dK=0.比過程稱為中性變載，則且即：這里矢量關系說明：矢量dσ和n正交，表示中性變載時應力點沿屈服面切向變化。（2-20b)103特選材料%如圖所示：且即：這里矢量關系說明：矢量dσ和n正交，表示如圖所示：--如果應力和參數(shù)K都變化，使材料從一個塑性狀態(tài)過渡到另一個塑性狀態(tài)，應力點從原來的后繼屈服面外移到相鄰的另一個后繼屈服面時即為加載，此時加載準則表示為：且即：兩矢量的點積大于零，表示兩者的夾角小于900，即dσ也是指向屈服面外側的。如果屈服面不是正則的，而是由幾個正則面構成的，則上述加載和卸載準則的幾何意義也同樣成立。（2-20c)104特選材料%如圖所示：且即：兩矢量的點積大于零，表示兩者的夾角小于900由于后繼屈服的問題是一個很復雜的問題，不易用實驗的方法來完全確定后繼屈服函數(shù)的具體形式，特別是隨著塑性變形的增長，材料的各向異性效應愈益顯著，問題變得更加復雜了。所以，這是一個有待于進一步研究的問提。為了便于應用，通常從一些實驗資料出發(fā)作一些假定來建立一些簡化的硬化模型，并由此給出硬化條件，即后繼屈服條件，下面介紹幾種常用的模型及其相應的硬化條件。6.幾種硬化模型105特選材料%由于后繼屈服的問題是一個很復雜的問題，不易用實驗的方法來完全單一曲線假設認為，對于塑性變形中保持各向同性的材料，在各應力分量成比例增加的所謂簡單加載的情況下，其硬化特性可用應力強度和應變強度的確定的函數(shù)關系來表示，即（1）單一曲線假設并且認為這個函數(shù)的形式和應力狀態(tài)的形式無關，而只和材料特性有關，所以可以根據(jù)在簡單應力狀態(tài)下的材料實驗，如簡單拉伸實驗來確定。在簡單拉伸的狀態(tài)下，正好就是拉伸應力σ，就是拉伸正應變ε，所以上式所代表的曲線就是和拉伸應力-應變曲線一致的。（2-21)106特選材料%單一曲線假設認為，對于塑性變形中保持各向同性的材料，在（1）此時，材料的硬化條件為-曲線的切線模量為正，即另外，要求：式中：E

為彈性模量，為割線模量，為切線模量對體積不可壓縮材料，泊松比υ=0.5，則彈性模量E和剪切彈性模量G滿足下列關系：（2-22)（2-23)（2-24)107特選材料%此時，材料的硬化條件為-曲線的切線模量為正，即另公式所示的條件稱為單一曲線假設，它可以用于全量理論。（2）等向硬化模型對于復雜加載(非簡單加載)，尋找一個合適的描述硬化特性的數(shù)學式即硬化條件的問題就相當復雜?？梢哉f，到目前為止，這個問題并沒有得到很好的解決。但是已經(jīng)提出了幾種硬化模型，并在實際中得到了應用。這些硬化模型中最簡單的一種稱為等向硬化模型或各向同性硬化模型。108特選材料%公式所示的條件稱為單一曲線假設，它可以用等向硬化模型假定既不考慮靜水應力的影響，也不考慮Bauschinger效應即由于塑性變形而引起的各向異性。這樣，該模型假定后繼屈服面在應力空間中的形狀和中心位置O保持不變，但隨著塑性變形的增加，而逐漸等向地擴大（只脹不縮）。如采用Mises條件，在π平面上就是一系列的同心圓。如采用Tresca條件，在π平面上就是一連串的同心正六邊形。如圖所示。109特選材料%等向硬化模型假定既不考慮靜水應力的影響，也不考慮這樣，該如果初始屈服條件為：，則等向硬化的后繼屈服條件即硬化條件可表示為：這里函數(shù)是決定屈服面形狀的，在π平面，它們是以K(k）為參數(shù)的一組同心圓，而圓的半徑是由函數(shù)K(k）決定的。對初始屈服，，則上式就成為Mises條件的表達式：其中參數(shù)K是標量內變量k的函數(shù)，如果初始屈服條件取Mises條件，則相應的等向硬化條件表示為：隨著塑性變形的發(fā)展和硬化程度的增加，K(k)從初始值按一定的函數(shù)關系遞增。（2-25)（2-26)110特選材料%如果初始屈服條件為：，則等向硬化的后繼屈服條該模型忽略了由于塑性變形引起的各向異性的影響，因此，只有在變形不太大，以及應力偏量之間的相互比例改變不大時，利用它求得的結果才比較符合實際。111特選材料%111特選材料%當塑性變形較大，特別是應力有反復變化時，等向硬化模型與實驗結果相差較大。（3）隨動硬化模型隨動硬化模型:是考慮Bauschinger效應的簡化模型。該模型假定材料將在塑性變形的方向OP+(如圖所示)上被硬化(即屈服值增大)，而在其相反方向OP-上被同等地軟化了(即屈服值減小)。這樣，在加載過程中，隨著塑性變形的發(fā)展，屈服面的大小和形狀都不變，只是整體地在應力空間中作平移，如圖所示。所以，這個模型可在一定程度上反映Bauschinger效應。112特選材料%當塑性變形較大，特別是應力有反復變化時，等向硬化模型與實驗結如初始屈服條件為：則對隨動硬化模型，后繼屈服條件即硬化條件可表示為：式中:C為常數(shù)，為初始屈服面在應力空間內的位移。如選用中心點O為參考點，則它就是中心點的位移，它的大小反映了硬化程度，就是表示硬化程度的參數(shù)，是的函數(shù)。若令這里α為材料常數(shù)，由實驗確定。這就是線性隨動硬化模型。（2-27)（2-28)113特選材料%如初始屈服條件為：則對隨動硬化模型，后繼屈服條件即硬化條件可為了更好地反映材料的Bauschinger效應，可以將隨動硬化模型和等向硬化模型結合起來，即認為后繼屈服面的形狀、大小和位置一起隨塑性變形的發(fā)展而變化，如圖所示（4）組合硬化模型這種模型稱為組合硬化模型。雖然這種模型可以更好地去符合實驗結果，由于十分復雜，不便于應用。114特選材料%為了更好地反映材料的Bauschinger效應，可以將隨動介紹了材料在塑性變形過程中的硬化條件，以及加載、卸載和中性變載的準則。這里將