動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)處理的基本方法PPT資料

第章動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)處理的基本(jīběn)方法第一頁，共73頁。一、動(dòng)態(tài)(dòngtài)測試按照被測物理量是否隨時(shí)間而變化，測試技術(shù)可分為靜態(tài)測試和動(dòng)態(tài)測試兩大類。靜態(tài)測試的被測量是靜止不變的，儀器的輸入量為常量。動(dòng)態(tài)測試的被測量是隨時(shí)間或空間(kōngjiān)而變化的，儀器的輸入量及測試結(jié)果(數(shù)據(jù)或信號)也是隨時(shí)間而變化的。第二頁，共73頁。二、動(dòng)態(tài)(dòngtài)測試數(shù)據(jù)的分類表示物理現(xiàn)象或過程(guòchéng)的任何數(shù)據(jù)，都可以分為確定性的和隨機(jī)性的兩大類。能夠用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的數(shù)據(jù)稱為確定性數(shù)據(jù)。不能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來表達(dá)的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)的或非確定性的數(shù)據(jù)。第三頁，共73頁。動(dòng)態(tài)(dòngtài)測試數(shù)據(jù)的特征動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)的特征可以用數(shù)據(jù)的幅值隨時(shí)間變化的表達(dá)式、圖形或數(shù)據(jù)表來表示，這就是數(shù)據(jù)的時(shí)域描述。時(shí)域描述比較簡單直觀(例如示波器上的波形圖)，但它不能反映數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)。為此，常對數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，研究其頻率成分及各頻率成分的強(qiáng)度，這就是數(shù)據(jù)的頻域描述。所謂“域”的不同，是指描述數(shù)據(jù)的坐標(biāo)(zuòbiāo)圖橫坐標(biāo)(zuòbiāo)的物理量不同。如時(shí)域的橫坐標(biāo)(zuòbiāo)為時(shí)間t，頻域的橫坐標(biāo)(zuòbiāo)為頻率f或ω。隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。第四頁，共73頁。(一)確定性數(shù)據(jù)(shùjù)確定性數(shù)據(jù)可以根據(jù)它的時(shí)間歷程記錄是否有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)，或根據(jù)它是否能展開為博里葉級數(shù)，而劃分為周期數(shù)據(jù)和非周期數(shù)據(jù)兩類。周期數(shù)據(jù)又可分為正弦(zhèngxián)周期數(shù)據(jù)和復(fù)雜周期數(shù)據(jù)。非周期數(shù)據(jù)又可分為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。第五頁，共73頁。確定性數(shù)據(jù)(shùjù)的分類第六頁，共73頁。1．周期(zhōuqī)數(shù)據(jù)周期數(shù)據(jù)是經(jīng)過一定時(shí)間間隔重復(fù)(chóngfù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)。最常見的是正弦周期數(shù)據(jù)，其幅度隨時(shí)間作正弦周期波動(dòng)，其函數(shù)形式如下：（7-2）

時(shí)域頻域第七頁，共73頁。復(fù)雜周期(zhōuqī)數(shù)據(jù)復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由不同頻率(pínlǜ)的正弦周期數(shù)據(jù)疊加而成的，其頻率(pínlǜ)比為有理數(shù)，其圖形是由基波的整數(shù)倍波形疊加而成的。若基波頻率(pínlǜ)為f1，各組成項(xiàng)的頻率(pínlǜ)為nfl，n＝l，2，…，則復(fù)雜周期數(shù)據(jù)可以展開為博里葉級數(shù):（7-3）

式中，第八頁，共73頁。式(7—3)還可以寫成如下(rúxià)形式：式中，（7-4）

可見，復(fù)雜周期數(shù)據(jù)是由一個(gè)(yīɡè)靜態(tài)分量A0和無限多個(gè)諧振分量(振幅為An，相位為θn)組成，諧振分量的頻率都是f1的整倍數(shù)。第九頁，共73頁。復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的圖形(túxíng)描述由圖可見，即使x(t)可能包含無限多個(gè)頻率分量，但頻譜仍然是離散的。周期性方波、三角波及鋸齒波都是復(fù)雜周期性波形的例子。在幾何(jǐhé)量測量中，不圓度誤差數(shù)據(jù)通常也是復(fù)雜周期數(shù)據(jù)．它是由偏心量、橢圓度及各種棱圓度等諧波分量疊加而成的。第十頁，共73頁。2．非周期(zhōuqī)數(shù)據(jù)凡能用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的，但又不是(bùshi)周期性的數(shù)據(jù)，均稱為非周期數(shù)據(jù)。它包括準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)和瞬態(tài)數(shù)據(jù)。

第十一頁，共73頁。準(zhǔn)周期(zhōuqī)數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是由彼此的頻率比不全為有理數(shù)的兩個(gè)以上(yǐshàng)正弦數(shù)據(jù)疊加而成的數(shù)據(jù)。例如x1(t)為周期性數(shù)據(jù)(shùjù)。1/3，1/7，3/7是有理數(shù)。X2(t)為準(zhǔn)周期性數(shù)據(jù)(shùjù)。是無理數(shù)第十二頁，共73頁。準(zhǔn)周期(zhōuqī)數(shù)據(jù)的表達(dá)式（7-5）

式中的任一頻率(pínlǜ)成分fn與另一頻率(pínlǜ)成分fm之比fn／fm不全為有理數(shù)。準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)(shùjù)的頻域描述如圖所示。在工程實(shí)踐中，當(dāng)兩個(gè)或幾個(gè)不相關(guān)的周期性物理現(xiàn)象混合作用時(shí)，常會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。例如幾個(gè)電動(dòng)機(jī)不同步振動(dòng)造成的機(jī)床或儀表的振動(dòng)，其動(dòng)態(tài)測試結(jié)果即為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。

第十三頁，共73頁。瞬態(tài)數(shù)據(jù)(shùjù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)以外(yǐwài)的非周期數(shù)據(jù)均為瞬態(tài)數(shù)據(jù)。產(chǎn)生瞬態(tài)數(shù)據(jù)的物理現(xiàn)象很多。如圖所示。

圖a為熱源消除后物體溫度變化及其頻譜；圖b為激振力解除后的阻尼振蕩系統(tǒng)的自由振動(dòng)及其頻譜；圖c為在t＝c時(shí)刻(shíkè)斷裂的電纜的應(yīng)力及其頻譜。第十四頁，共73頁。瞬態(tài)數(shù)據(jù)(shùjù)的特點(diǎn)與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)不同，瞬態(tài)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是不能用離散頻譜表示(biǎoshì)。瞬態(tài)數(shù)據(jù)的頻譜是連續(xù)型的且頻率范圍無限，這與周期數(shù)據(jù)及準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)有明顯區(qū)別。

第十五頁，共73頁。瞬態(tài)數(shù)據(jù)(shùjù)的描述（7-7）

（7-8）

x(f)的反變換(biànhuàn)為大多數(shù)情況下，瞬態(tài)數(shù)據(jù)可通過傅里葉變換(biànhuàn)，得到其頻域的描述為第十六頁，共73頁。(二)隨機(jī)性數(shù)據(jù)(shùjù)與確定性數(shù)據(jù)不同，隨機(jī)性數(shù)據(jù)是不能用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。若在一個(gè)動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中，不能在合理的試驗(yàn)誤差范圍內(nèi)預(yù)計(jì)未來(wèilái)時(shí)刻的測試結(jié)果數(shù)據(jù)，則可認(rèn)為此動(dòng)態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是隨機(jī)性數(shù)據(jù)。隨機(jī)性數(shù)據(jù)只能用概率統(tǒng)計(jì)的特征量來描述。

第十七頁，共73頁。隨機(jī)(suíjī)數(shù)據(jù)的分類根據(jù)隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量是否隨時(shí)間變化，可把隨機(jī)數(shù)據(jù)分為平穩(wěn)過程(guòchéng)和非平穩(wěn)過程(guòchéng)兩大類。平穩(wěn)隨機(jī)過程(guòchéng)又可進(jìn)一步分為各態(tài)歷經(jīng)的和非各態(tài)歷經(jīng)的。第十八頁，共73頁。隨機(jī)(suíjī)數(shù)據(jù)的分類第十九頁，共73頁。第二節(jié)隨機(jī)(suíjī)過程及其特征重復(fù)測量一個(gè)不變的物理量，由于被測量、測量儀器或測量條件的隨機(jī)因素，造成所測得一系列測量結(jié)果(jiēguǒ)包含隨機(jī)誤差(偶然誤差)，其中每次測量結(jié)果(jiēguǒ)都是取得一個(gè)隨機(jī)的、但是唯一的測量值，因而，測量結(jié)果(jiēguǒ)是一個(gè)隨機(jī)變量。第二十頁，共73頁。一、研究(yánjiū)隨機(jī)過程理論的實(shí)際意義隨著自動(dòng)化生產(chǎn)和科學(xué)研究的發(fā)展，越來越多地需要測量連續(xù)變化的過程，這時(shí)被測量可能是隨時(shí)間而連續(xù)變化，或者是隨空間而連續(xù)變化。因此測量過程和測量結(jié)果也是隨時(shí)間而連續(xù)變化的。同樣，由于檢測對象、測量儀器和測量條件的隨機(jī)(suíjī)誤差，因而被測過程和測量結(jié)果都是一個(gè)隨機(jī)(suíjī)的但是連續(xù)變化的函數(shù)。它有別于上述隨機(jī)(suíjī)變量，我們稱之為隨機(jī)(suíjī)函數(shù)。對隨機(jī)(suíjī)函數(shù)的分析計(jì)算，本質(zhì)上類似于前幾章的隨機(jī)(suíjī)誤差，但較復(fù)雜一些。隨機(jī)(suíjī)過程理論就是研究隨機(jī)(suíjī)性表現(xiàn)為一個(gè)過程的隨機(jī)(suíjī)現(xiàn)象的學(xué)科，通常它是研究動(dòng)態(tài)測量過程及其測量結(jié)果的理論根據(jù)。第二十一頁，共73頁。動(dòng)態(tài)(dòngtài)測量活動(dòng)日益增加幾何量機(jī)械量測量，過去以靜態(tài)測量為主。今天，隨著生產(chǎn)過程的自動(dòng)化，幾何量機(jī)械量的動(dòng)態(tài)(dòngtài)測量日益增加。例如機(jī)械量測量中的振動(dòng)測量、動(dòng)載和動(dòng)態(tài)(dòngtài)應(yīng)變測量、速度加速度連續(xù)測量，以及流量、壓力、溫度等物理量的連續(xù)測量等。幾何量測量中的線紋尺和圓分度的動(dòng)態(tài)(dòngtài)測量、絲桿或齒輪參數(shù)的動(dòng)態(tài)(dòngtài)測量、磨削加工中尺寸的測量和控制、圓度測量、表面粗糙度測量等。第二十二頁，共73頁。隨機(jī)過程(guòchéng)理論顯然，用過去靜態(tài)測量精度評定方法(如前幾章所述)是不能正確評定動(dòng)態(tài)測量結(jié)果(jiēguǒ)的，而且不能進(jìn)一步分析動(dòng)態(tài)測量中的特殊現(xiàn)象(例如測量速度、頻率響應(yīng)、記錄失真等)。因此，有必要進(jìn)一步介紹動(dòng)態(tài)測量及誤差計(jì)算的理論基礎(chǔ)——隨機(jī)過程理論。第二十三頁，共73頁。用輪廓儀測量磨削(móxiāo)表面粗糙度的記錄曲線用輪廓儀測量(cèliáng)某磨削表面粗糙度的記錄曲線中的任一點(diǎn)的表面輪廓高度是一個(gè)隨機(jī)變量，而沿任一方向的輪廓曲線是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)。因而連續(xù)測量(cèliáng)表面粗糙度可以看作是一個(gè)隨機(jī)過程。第二十四頁，共73頁。二、隨機(jī)(suíjī)過程的基本概念在動(dòng)態(tài)測量中，對某一個(gè)不斷變化著的量進(jìn)行測量，每一個(gè)測量結(jié)果是一個(gè)確定的隨時(shí)間或空間變化的函數(shù)(例如一條記錄(jìlù)曲線)，對于測量的時(shí)間間隔內(nèi)的每一瞬時(shí)，該函數(shù)都有一個(gè)確定的數(shù)值。但由于隨機(jī)誤差的存在，使得重復(fù)多次測量，會(huì)得到不完全相同的函數(shù)結(jié)果(例如一組記錄(jìlù)曲線)。這種函數(shù)，對于自變量(時(shí)間或空間)的每一個(gè)給定值，它是一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱這種函數(shù)為隨機(jī)函數(shù)。第二十五頁，共73頁。隨機(jī)(suíjī)函數(shù)用x(t)表示。每個(gè)測量結(jié)果xi(t)叫做隨機(jī)函數(shù)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)或一個(gè)樣本(yàngběn)，如x1(t)，x2(t)，…，xN(t)。而x(t)表示這些隨機(jī)函數(shù)樣本(yàngběn)的集合(總體)表面(biǎomiàn)粗糙度的測量第二十六頁，共73頁。隨機(jī)(suíjī)函數(shù)自變量為時(shí)間(shíjiān)t的隨機(jī)函數(shù)，通常叫隨機(jī)過程(例如磨加工尺寸是磨削時(shí)間(shíjiān)的隨機(jī)函數(shù))。自變量為空間坐標(biāo)l的隨機(jī)函數(shù)，通常叫隨機(jī)場(例如絲杠螺旋線誤差是絲杠長度的隨機(jī)函數(shù))。隨機(jī)場和隨機(jī)過程的研究方法是一樣的。因此以下統(tǒng)稱隨機(jī)過程或隨機(jī)函數(shù)。所有對自變量為時(shí)間(shíjiān)t的隨機(jī)函數(shù)計(jì)算公式，同樣適用于自變量為空間坐標(biāo)l或其他參量的隨機(jī)函數(shù)。第二十七頁，共73頁。對隨機(jī)(suíjī)函數(shù)的理解隨機(jī)過程或隨機(jī)函數(shù)x(t)包含如下的內(nèi)容：①把x(t)看作是樣本集合時(shí)，x(t)意味著一組時(shí)間函數(shù)x1(t)，x2(t)．…，xN(t)的集合；②把x(t)看作是一個(gè)(yīɡè)樣本(或一個(gè)(yīɡè)現(xiàn)實(shí))時(shí)，x(t)意味著一個(gè)(yīɡè)具體的時(shí)間函數(shù).例如x(t)＝x3(t)；③若t＝tl時(shí)，則x(t)意味著一組隨機(jī)變量x1(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)的集合。第二十八頁，共73頁。對隨機(jī)函數(shù)(hánshù)的理解實(shí)際上，含義1、2、3的本質(zhì)是一樣的，只是對隨機(jī)過程的描述方式不同。含義1是從總體(zǒngtǐ)集合意義上講的。含義2是從一個(gè)時(shí)間歷程(一個(gè)現(xiàn)實(shí))上描述。一個(gè)現(xiàn)實(shí)是表示一次實(shí)驗(yàn)給定的結(jié)果．這時(shí)，隨機(jī)函數(shù)表現(xiàn)為一個(gè)非隨機(jī)的確定性函數(shù)。含義3則是從一個(gè)固定的t值上描述，由圖7—12截取各個(gè)現(xiàn)實(shí)，得一組xl(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)值，這是一組隨機(jī)變量，同樣反映隨機(jī)過程x(t)的特征。由此可見，隨機(jī)函數(shù)兼有隨機(jī)變量與函數(shù)的特點(diǎn)。在一般實(shí)際測量中，多采用含義2描述隨機(jī)過程，而在理論分析中，多采用含義3進(jìn)行研究。第二十九頁，共73頁。三、隨機(jī)過程(guòchéng)的特征量隨機(jī)變量通常用它的概率分布函數(shù)、算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為特征量來表示。同樣，隨機(jī)過程也有它的特征量，這些特征量不象隨機(jī)變量的特征量那樣表現(xiàn)為一個(gè)(yīɡè)確定的數(shù)，而是表現(xiàn)為一個(gè)(yīɡè)函數(shù)。第三十頁，共73頁。隨機(jī)(suíjī)過程的特征量常用四種(sìzhǒnɡ)統(tǒng)計(jì)函數(shù)來表示，即：①概率密度函數(shù)；②均值、方差和方均值；③自相關(guān)函數(shù)；④譜密度函數(shù)。第三十一頁，共73頁。(一)概率密度函數(shù)

概率密度函數(shù)是描述隨機(jī)(suíjī)數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間內(nèi)的概率。第三十二頁，共73頁。概率密度函數(shù)(7-10)(7-11)(7-12)第三十三頁，共73頁。(二)均值(jūnzhí)、方差和方均值(jūnzhí)對于自變量t的每一個(gè)給定值，mx(t)等于隨機(jī)函數(shù)x(t)在該t值時(shí)的所有數(shù)值的平均值(數(shù)學(xué)(shùxué)期望)，即(7-13)隨機(jī)過程(guòchéng)的均值是一個(gè)非隨機(jī)的平均函數(shù)，它確定了隨機(jī)函數(shù)x(t)的中心趨勢，隨機(jī)過程(guòchéng)的各個(gè)現(xiàn)實(shí)(樣本)都圍繞它變動(dòng)，而變動(dòng)的分散程度則可用方差成標(biāo)準(zhǔn)差來評定。第三十四頁，共73頁。隨機(jī)函數(shù)(hánshù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差也是一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)間函數(shù)(hánshù)，它確定了隨機(jī)函數(shù)(hánshù)所有現(xiàn)實(shí)相對于均值的分散程度。在t＝t1時(shí)刻，隨機(jī)函數(shù)(hánshù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算類似于第二章隨機(jī)誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法。(7-14)(7-15)式(7—14)給出的隨機(jī)函數(shù)方差(fānɡchà)，實(shí)質(zhì)上是x(t)的二階中心矩，而二階原點(diǎn)矩(7-16)第三十五頁，共73頁。方均值(jūnzhí)隨機(jī)過程(guòchéng)的二階原點(diǎn)矩又稱方均值因故(7-17)由此可見，方均值既反映隨機(jī)(suíjī)過程的中心趨勢，也反映隨機(jī)(suíjī)過程的分散度。第三十六頁，共73頁。動(dòng)態(tài)測試數(shù)據(jù)的特征可以用數(shù)據(jù)的幅值隨時(shí)間變化的表達(dá)式、圖形或數(shù)據(jù)表來表示，這就是數(shù)據(jù)的時(shí)域描述。因此測量過程和測量結(jié)果也是隨時(shí)間而連續(xù)變化的。隨著研究的目的不同，可采用不同的域描述。所有對自變量為時(shí)間(shíjiān)t的隨機(jī)函數(shù)計(jì)算公式，同樣適用于自變量為空間坐標(biāo)l或其他參量的隨機(jī)函數(shù)。因隨機(jī)過程的總功率不變，故有按照被測物理量是否隨時(shí)間而變化，測試技術(shù)可分為靜態(tài)測試和動(dòng)態(tài)測試兩大類。例如幾個(gè)電動(dòng)機(jī)不同步振動(dòng)造成的機(jī)床或儀表的振動(dòng)，其動(dòng)態(tài)測試結(jié)果即為準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。顯然，用過去靜態(tài)測量精度評定方法(如前幾章所述)是不能正確評定動(dòng)態(tài)測量結(jié)果(jiēguǒ)的，而且不能進(jìn)一步分析動(dòng)態(tài)測量中的特殊現(xiàn)象(例如測量速度、頻率響應(yīng)、記錄失真等)。而x(t)表示這些隨機(jī)函數(shù)樣本(yàngběn)的集合(總體)因?yàn)槠椒€(wěn)過程的均值為常數(shù)，因此它的自相關(guān)函數(shù)就可直接用中心化的自相關(guān)函數(shù)式表示。方均值(jūnzhí)各態(tài)歷經(jīng)(lìjīnɡ)性又稱歷遍性或埃爾古德性。二、隨機(jī)(suíjī)過程的基本概念fn／fm不全為有理數(shù)。一、平穩(wěn)隨機(jī)(suíjī)過程及其特征量研究圖a和圖b兩個(gè)不同的隨機(jī)過程，可以看出它們(tāmen)的區(qū)別。(三)自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)均值(jūnzhí)和方差是表征隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性的重要特征量，但不能反映隨機(jī)過程不同時(shí)刻之間的關(guān)系。因此，除均值(jūnzhí)和方差外，我們還要用另一個(gè)特征量來反映隨機(jī)過程內(nèi)不同時(shí)刻之間的相關(guān)程度，這特征量叫相關(guān)函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)。第三十七頁，共73頁。兩個(gè)隨機(jī)函數(shù)的均值(數(shù)學(xué)期望)和方差幾乎一樣，但x(t)(圖a)的特點(diǎn)是變化緩慢，規(guī)律性較明顯，即x1(t)在不同t時(shí)刻的函數(shù)值之間有較明顯的聯(lián)系．相關(guān)性較強(qiáng)。而x2(t)(圖b)的特點(diǎn)是變化劇烈，即x2(t)在不同t時(shí)刻的函數(shù)值之間的聯(lián)系不明顯，而且(érqiě)隨首兩時(shí)刻間隔增大，它的聯(lián)系迅速減少,相關(guān)性變?nèi)酢５谌隧?，?3頁。自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)是一個(gè)二元的非隨機(jī)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)上可用相關(guān)(xiāngguān)矩來定義。(7-20)在實(shí)際應(yīng)用中，自相關(guān)函數(shù)還有一種更常用的表示(biǎoshì)式．稱為標(biāo)準(zhǔn)自相關(guān)函數(shù)，其定義是(7-18)第三十九頁，共73頁。自相關(guān)函數(shù)(hánshù)具有以下性質(zhì)：①當(dāng)t’＝t相關(guān)函數(shù)等于隨機(jī)函數(shù)的方差。由于方差可以由自相關(guān)函數(shù)表示，故隨機(jī)函數(shù)的基本特征量僅為均值與自相關(guān)函數(shù)。②自相關(guān)函數(shù)是對稱(duìchèn)的。③在隨機(jī)函數(shù)上加上一個(gè)非隨機(jī)函數(shù)時(shí)，它的均值(數(shù)學(xué)期望)也要加上同樣的非隨機(jī)函數(shù)，但它的自相關(guān)函數(shù)不變。所謂非隨機(jī)函數(shù)可以是一個(gè)固定的數(shù)，也可以是t的函數(shù)。④在隨機(jī)函數(shù)上乘以非隨機(jī)因子f(t)時(shí)，它的均值也應(yīng)乘上同一因子，而它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上f(t)f(t’)。特別是當(dāng)f(t)＝常數(shù)C時(shí)，它的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)乘上c2。第四十頁，共73頁。(四)譜密度(mìdù)函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，我們不僅關(guān)心作為隨機(jī)過程的數(shù)據(jù)的均值和相關(guān)函數(shù)，而且往往更關(guān)心隨機(jī)數(shù)據(jù)的頻率分布情況，也就是要研究隨機(jī)過程是由哪些頻率成分所組成，不同頻率的分量各占多大比重等。這種分析方法就是所謂頻譜分析法，它在測量誤差理論中占有重要地位。對于隨機(jī)函數(shù)，由于它的振幅(zhènfú)和相位是隨機(jī)的，不能作出確定的頻譜圖。隨機(jī)過程的均方值可用來表示隨機(jī)函數(shù)的強(qiáng)度第四十一頁，共73頁。功率(gōnglǜ)譜定義(dìngyì)函數(shù)(7-30)來描述(miáoshù)頻譜f到f＋Δf范圍內(nèi)隨機(jī)過程強(qiáng)度。當(dāng)隨機(jī)過程的長度趨于＋∞，而頻率元素Δf趨于零時(shí)，則有(7-31)變換式(7—31)為定積分形式，則有(7-32)第四十二頁，共73頁。譜密度(mìdù)的物理意義Gx(f)描述了過程的強(qiáng)度沿f軸的分布(fēnbù)密度，稱為隨機(jī)過程的頻譜密度或譜密度。如果把x(t)看作是電流，則x2(t)將表示該電流在負(fù)載上產(chǎn)生的功率。由此可見譜密度的物理意義是表示f(t)產(chǎn)生的功率在頻率軸上的分布(fēnbù)，而Gx(f)曲線與橫坐標(biāo)所圍面積表示了隨機(jī)過程的總功率。因此Gx(f)亦稱功率譜密度或功率譜。第四十三頁，共73頁。Gx(f)曲線與橫坐標(biāo)所圍面積表示了隨機(jī)過程(guòchéng)的總功率。這樣．我們便引進(jìn)了一個(gè)(yīɡè)描述平穩(wěn)隨機(jī)過程新的特征——譜密度函數(shù)。它是從頻率的領(lǐng)域描述隨機(jī)過程，而自相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間的領(lǐng)域描述隨機(jī)過程。第四十四頁，共73頁?！半p邊(shuāngbiān)“譜密度Sx(f)因式(7—31)是定義在0到＋∞的頻率范圍上，因此Gx(f)稱為“單邊”譜密度．但譜密度函數(shù)(hánshù)也可以定義在－∞到＋∞的頻率范圍上，稱為“雙邊“譜密度，記作Sx(f)。因隨機(jī)過程的總功率不變，故有（7-33）

Gx(f)與Sx(f)的關(guān)系(guānxì)第四十五頁，共73頁。譜密度的重要(zhòngyào)性質(zhì)譜密度(mìdù)有以下重要性質(zhì)：①譜密度(mìdù)Sx(f)是非負(fù)的實(shí)偶函數(shù)。②譜密度(mìdù)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。（7-34）

第四十六頁，共73頁。式(7—34)的簡化(jiǎnhuà)形式由于(yóuyú)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)．因此式(7—34)實(shí)際上只有實(shí)數(shù)值部分。故可化簡為只有實(shí)值部分的公式（7-35）

（7-36）

或第四十七頁，共73頁。以下舉例說明自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)與譜密度函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換。已知某隨機(jī)函數(shù)x(t)的相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)型式中a＞0；C——常數(shù)。試求該過程(guòchéng)的譜密度Sx(f)。解：第四十八頁，共73頁。有關(guān)(yǒuguān)討論：當(dāng)a不同，函數(shù)曲線也不同。（1）當(dāng)a減小時(shí)，相關(guān)函數(shù)隨著τ增加而減少得緩慢(huǎnmàn)，表示隨機(jī)過程變化較平滑。這時(shí)低頻成分占主要，頻譜上小頻率部分占優(yōu)勢。（2）當(dāng)a增加，相關(guān)函數(shù)隨τ增大面威小得很快，這意味著隨機(jī)過程前后相關(guān)較弱，過程變動(dòng)劇烈，過程所含高頻成份與低頻成份均起作用。（3）當(dāng)a＝0時(shí)，自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)＝C。它意味著隨機(jī)過程前后完全相關(guān)與自變量t無關(guān)。隨機(jī)過程不包含任何頻率成分的波動(dòng)，故頻譜為ω＝0。頻域?yàn)棣暮瘮?shù)。第四十九頁，共73頁。（4）當(dāng)a→∞時(shí)，相關(guān)函數(shù)→0，變成在τ＝0處的δ函數(shù)形式。此時(shí)各種頻率成份在隨機(jī)(suíjī)過程中均起作用。且各個(gè)作用幾乎一樣。于是該過程的頗譜表示為一常數(shù)，由式(7—34)得此常數(shù)的各種頻率的噪聲合成的隨機(jī)(suíjī)噪聲過程亦稱為“白噪聲”，表7—1序號5便是白噪聲的相關(guān)函數(shù)與譜密度。它在工程實(shí)際中是很有用的。第五十頁，共73頁。第五十一頁，共73頁。第三節(jié)隨機(jī)(suíjī)過程特征量的實(shí)際估計(jì)隨機(jī)過程分為平穩(wěn)隨機(jī)過程和非平穩(wěn)隨機(jī)過程兩大類。平穩(wěn)過程又可分為各態(tài)歷經(jīng)過程及非各態(tài)歷經(jīng)過程。由于它們備具特點(diǎn)．因此其特征量的計(jì)算方法亦有不同。但正如前所述，對一物理量作系列測量后．不可能求得被測量的真值。同樣，由于隨機(jī)誤差的存在及測量次數(shù)有限，因而對一隨機(jī)過程作一系列動(dòng)態(tài)測試后，也不可能求得隨機(jī)過程特征量的真值，而只能通過有限個(gè)樣本作出估計(jì)。在工程(gōngchéng)實(shí)際中的隨機(jī)過程大多是干穩(wěn)隨機(jī)過程，對于具有N個(gè)樣本的平穩(wěn)隨機(jī)過程通常采用總體平均法(幾何平均法)求其特征量的估計(jì)，而對各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，則可采用時(shí)間平均法求其特征量的估計(jì)值。下面分別介紹這些實(shí)際估計(jì)方法及其精度。第五十二頁，共73頁。一、平穩(wěn)隨機(jī)(suíjī)過程及其特征量研究圖a和圖b兩個(gè)不同的隨機(jī)過程，可以看出它們(tāmen)的區(qū)別。圖a的隨機(jī)過程x(t)，其特征量(如均值、方差)顯然是不隨t1的變化而有明顯的變化，而且所選擇的tl的起點(diǎn)可以是任意的。但圖b顯示另一種特點(diǎn)，即隨機(jī)過程的均值及自相關(guān)函數(shù)顯然隨著(suízhe)t1的推移而有明顯的變化。第五十三頁，共73頁。平穩(wěn)(píngwěn)隨機(jī)過程與非平穩(wěn)(píngwěn)隨機(jī)過程定義若隨機(jī)過程x(t)的所有特征量與t無關(guān)，即其特征量不隨t的推移而變化，則稱x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程。否則(fǒuzé)，稱為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。第五十四頁，共73頁。“平穩(wěn)(píngwěn)”的條件隨機(jī)過程是“平穩(wěn)(píngwěn)”的第一個(gè)條件是其均值為常數(shù)：

(7-41)隨機(jī)過程是“平穩(wěn)(píngwěn)”的第二個(gè)條件是其方差為常數(shù)：

(7-42)隨機(jī)過程“平穩(wěn)(píngwěn)”的第三個(gè)條件是隨機(jī)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)Rx(t，t＋τ)應(yīng)不隨t的位置推移而變化，即與t無關(guān)：

(7-43)由式(7—21)可知，方差可由自相關(guān)函數(shù)表示，因此條件式(7—42)只是條件式(7-43)的持殊情況。第五十五頁，共73頁。廣義(guǎngyì)平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)當(dāng)不考慮隨機(jī)函數(shù)的概率密度等其他特征量，而只滿足均值為常數(shù)和自相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān)這兩條件時(shí)，這樣的隨機(jī)函數(shù)稱為(chēnɡwéi)寬平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)。在工程實(shí)際中，很多隨機(jī)過程都滿足平穩(wěn)的條件，或者可以近似看作平穩(wěn)的。如照明電網(wǎng)的電壓波動(dòng)、電阻熱電噪聲、機(jī)床的振動(dòng)、切削加工平而的表面粗糙度等都是平穩(wěn)的。因此，我們要對平穩(wěn)隨機(jī)過程作進(jìn)一步的研究。第五十六頁，共73頁。(二)平穩(wěn)隨機(jī)過程(guòchéng)的特征量1．平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差(fānɡchà)平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和方差(fānɡchà)都是常數(shù)，且方差(fānɡchà)等于τ為0的自相關(guān)函數(shù)值。2．平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)因?yàn)槠椒€(wěn)過程的均值為常數(shù)，因此它的自相關(guān)函數(shù)就可直接用中心化的自相關(guān)函數(shù)式表示。第五十七頁，共73頁。平穩(wěn)(píngwěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)①當(dāng)τ＝0時(shí)：自相關(guān)函數(shù)取得最大值，且等于(děngyú)其方差。即（7-50）

②平穩(wěn)過程的自相關(guān)(xiāngguān)函數(shù)是偶函數(shù)，即（7-51）

③均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過程，若τ→∞時(shí)x(t)與x(t＋τ)不相關(guān)，則其相關(guān)函數(shù)趨于0。即（7-52）

第五十八頁，共73頁。④平穩(wěn)隨機(jī)過程(guòchéng)x(t)若含有周期性成分，則它的自相關(guān)函數(shù)中亦合有周期成分，且其周期與過程(guòchéng)的周期相同。在實(shí)際應(yīng)用中，性質(zhì)③、④是重要的。當(dāng)τ→∞時(shí)，不含周期信號成分的平穩(wěn)過程x(t)與x(t＋τ)的依賴性甚微(即不相關(guān))，其自相關(guān)函數(shù)(hánshù)趨于零。而含有周期信號成分的平穩(wěn)過程，x(t)與x(t＋τ)仍有周期性依賴關(guān)系，其自相關(guān)函數(shù)(hánshù)仍保持一定值。因此可從自相關(guān)函數(shù)(hánshù)是否趨于零來鑒別出均值為零的平穩(wěn)過程是否混有周期信號。第五十九頁，共73頁。(三)平穩(wěn)隨機(jī)過程特征(tèzhēng)量的實(shí)驗(yàn)估計(jì)上面給出了描述平穩(wěn)隨機(jī)(suíjī)過程的特征量的各個(gè)定義，若知道隨機(jī)(suíjī)函數(shù)的類型，便可知其特征量。但在工程實(shí)際中，更多的情況是預(yù)先不知道隨機(jī)(suíjī)數(shù)據(jù)的函數(shù)形式，面是通過實(shí)驗(yàn)測得如圖7—12所示的隨機(jī)(suíjī)函數(shù)樣本集合。這時(shí)可由實(shí)驗(yàn)結(jié)果來求特征量。第六十頁，共73頁。隨機(jī)函數(shù)樣本(yàngběn)集合圖7—12圖7—12第六十一頁，共73頁。實(shí)驗(yàn)估計(jì)(gūjì)的步驟首先對N個(gè)連續(xù)的記錄采樣(采集(cǎijí)斷續(xù)的數(shù)字樣本)，取等間距的tl，t2，…，tn，截取圖7—12的連續(xù)記錄，得函數(shù)值，如表7—2所示。第六十二頁，共73頁。采樣數(shù)目(shùmù)的確定采樣數(shù)目的確定：若圖7—12的記錄長度為T，首先將T分成等間距的n等分．即tk－tk-1＝T／n，為了可靠地計(jì)算均值和自相關(guān)函數(shù),n要取得足夠大，具體確定辦法參見有關(guān)書籍的采樣定理。采樣數(shù)目確定后，計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)(suíjī)過程的特征量，就不必用積分形式運(yùn)算，而可以用代數(shù)和估計(jì)．第六十三頁，共73頁。特征量估計(jì)(gūjì)計(jì)算（7-54）

（7-55）

（7-56）

（7-57）

這樣，就可以從實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)現(xiàn)實(shí)(xiànshí)的總體中，按照不同時(shí)刻tk求出隨機(jī)數(shù)據(jù)各特征量的估計(jì)值。這就是總體平均法，或稱幾何平均法。第六十四頁，共73頁。二、各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程(guòchéng