導(dǎo)數(shù)中證明不等式技巧-構(gòu)造、切線放縮、二元變量、凹凸反轉(zhuǎn),唯手熟爾

,g

e

g

,

b

g

b

g

g

e

e

e

h

g

h

e

e

h

e

e

e

e

e

e

e

e

g

be

b

(

((e

e

,

bm

mx

b

e

m

mx

g

(

)

e

g

e

g

e

g

e

e

g

(

)

g

g

(

)

g

(

)g

(

)

g(

)

g

e

mx

mx

N*

N*

nn

n

nn

n

,

,b

,

n

nn

n

n

n

,

n

,

b

b

n n

n n n

n

nn

n

n

h

h

,

b

,

b

,

nn

n

nn

n

g

g

e

e

g

e e e

g

g

g

g

,

g

ee e

g

e

e

e

e

e

e e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

g

g

e

g

g

g

g

g

e

e

e

e

e

e

e

e,

e

e

e

e

e

e

e

e

e

,

,

b

b

b . .

C.

.

,

b

b

,

b

,

b

r

b

,

b

C,P,

r

b

e

e

e

. .

C.

.

P

,

P

,

e

e

e

PF

P,

,F

F

r

eP

,e

F

r

eP

,e

PF

b

b

b

m

mme .

. .e . e

b

，曲線

在點(diǎn)

處的切線方程為

.（）求實(shí)數(shù),

b的值；（）設(shè)F

mx

m

,

,

分別是函數(shù)F

的兩個(gè)零點(diǎn)，求證： 因?yàn)?/p>

,因?yàn)?/p>

,

分別是函數(shù)F

的兩個(gè)零點(diǎn)，所以

m

，

m

.

【解析】（）

b

；（）

，F(xiàn)

m

，F(xiàn)

m

，

m

m

F

要證明F

，只需證

，

.

思路一：因?yàn)?/p>

，只需證

令

，即證

. 令h

，則

，所以函數(shù)

在

上單調(diào)遞減，

，即證

.由上述分析可知F

.

,

轉(zhuǎn)化為

,

的關(guān)

系變形為齊次式，設(shè)

,

,

,

e

等，構(gòu)造函數(shù)來解決，可稱之為構(gòu)造比較函數(shù)法. 思路二：因?yàn)?/p>

，只需證

，

設(shè)

，則

，

所以函數(shù)

在

上單調(diào)遞減，

，即證

由上述分析可知F

.

思路三：要證明

，只需證

.即證

，由對(duì)數(shù)平均數(shù)易得.

b

b

b

b

b

bb

【解析】（）因?yàn)?/p>

g

，所以e

，即

，設(shè)

【解析】（）因?yàn)?/p>

g

，所以e

，即

，設(shè)

，則

，（）當(dāng)b時(shí)，方程

g

在區(qū)間

上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；）當(dāng)b時(shí)，設(shè)

,

是函數(shù)F

g

兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

. e 所以

在上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，

，當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)

時(shí)，

，要使方程

g

在區(qū)間

上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

，解得

，故的取值范圍是,

e

；

與函數(shù)

圖象有兩個(gè)交兩式相減得

e

e

.

點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求解，直線與曲線相切對(duì)應(yīng)所求范圍的界點(diǎn).（）由題意，F(xiàn)

e

，F(xiàn)

e

，因?yàn)?/p>

,

是函數(shù)F

g

兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

e不妨設(shè)

，F(xiàn)

F

，即e

e

要證

，即證明

，，即e

，即e

e

，亦即

e

e

.

e

e

令

，只需證當(dāng)

時(shí)，不等式

e

恒成立，

e

，

e

，

e

解析：（

e

，則

e

，

e

e

e

e，易證

e

，所以

，所以

在

上單調(diào)遞減，

，即

e

.綜上所述，

成立.

g

e

g

e

g

e

g

g

所以g

g

g

g

g

g

e

g

e

e

g

e

，

有兩個(gè)零點(diǎn)，亦即函數(shù)

e

與直線

.，

g

g

g

g

e

eg

e

e

e

e

h

e

e

g

ee

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

，如果“腦中有‘形’”，如圖所示，并不難得出

.

，

.

，

.

，

.

，

有零點(diǎn)，

，函數(shù)

g

，

，且

，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

g

g

g

，不適合題意，則

，所以

， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

.正確答案為

C.g

g

，所以

， 故g

，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

：因?yàn)楹瘮?shù)

有零點(diǎn)，

，所以

，

， 因?yàn)楹瘮?shù)g

，

，所以

，

， 令

，不適合題意；

，欲使

，亦即

，所以

，即

，兩邊平方，化簡(jiǎn)可得

，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

.正確答案為

C.

：因?yàn)楹瘮?shù)

有零點(diǎn)，

， 所以

，

， 因?yàn)楹瘮?shù)g

，

，

所以

，

，

令h

u

，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

,

,

，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

.正確答案為

C.

，則函數(shù)

有零點(diǎn)

=，

，函數(shù)

g

，

，此時(shí)滿足

<

，因此排除

； 再

，則函數(shù)

有零點(diǎn)

=

，

，函數(shù)

g

，

此時(shí)滿足

=

<

，因此排除

，；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

.正確答案為

C.

,

=

(

)

(

)

(

)

(

)

=

...

...

*

(

)

(

)

(

)

(

)

b

b

F

F

）函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

F

F

又

，

，所以該切線方程為

．g

g

F

，則g

，

g

，所以g

F

在又g

，所以g

F

，即F

在F

F，故

b

令

N

，

，

，n

n

n

n

n

n

所以

所以

...

，

化簡(jiǎn)可得

化簡(jiǎn)可得

，得證.

u

u

u

，

在上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，

的最小值為

，故

；

時(shí)，有

，可證

，只需證e

e

e

，可證

，

，

，

g

g

在的取值范圍；

e

，

，

記

，則h

，

當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

，

單調(diào)遞增，

g

當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

，

單調(diào)遞增，

g

所以

，即

g

當(dāng)時(shí)，

，

，

在上單調(diào)遞減，

，所以

，即

g

g

在的取值范圍是

；

（）當(dāng)時(shí)，

g

在

,

，則

,

，則

,

，

所以

e時(shí)，

在

上單調(diào)遞減，所以

的圖象的上方，所以

n

n

n

n

!

n

!

n

n

P

,

*g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

*

n

n

!

，即證

e

n

n

!

，即證

e

，!只需證只需證n

.g

L

，即證，即證

e

，

!!

n

n

n

.

h