相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義例題二維隨機(jī)變量的推廣§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有

則稱X和Y相互獨(dú)立

.一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!用分布函數(shù)表示,即

設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X和Y相互獨(dú)立

.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!其中是X和Y的聯(lián)合密度，

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨(dú)立

.對(duì)任意的x,y,有

若(X,Y)是連續(xù)型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!設(shè)（X,Y）～N()X,Y相互獨(dú)立嗎？證明：

X,Y相互獨(dú)立證：例２相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!已知X和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!即可見對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!解(1)由圖可知邊緣密度函數(shù)為11顯然，故X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

判斷連續(xù)型二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的

設(shè)f(x,y)是連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，如果其大于0的區(qū)域不是矩形，則

X與Y一定不獨(dú)立。相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!解練習(xí)：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!二、二維隨機(jī)變量的推廣1.分布函數(shù)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

其它依次類推.3.邊緣分布函數(shù)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!5.相互獨(dú)立性相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!

這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.給出了各種情況下隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件，希望同學(xué)們牢固掌握.小結(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!

若(X,Y)是離散型r.v

，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!例1

袋中有二個(gè)白球，三個(gè)黑球，從中取兩次球求：（X,Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布，分有放回和無放回討論解：有放回0101101011不放回有放回時(shí)，X和Y相互獨(dú)立；不放回時(shí)則不是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!因?yàn)樗砸滓娪蓌,y的任意性知，上式對(duì)一切x,y成立，故X和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!

例3

設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0y

>0解：相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!例4

已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為(1)(2)討論X,Y是否獨(dú)立？相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!(2)由圖可知邊緣密度函數(shù)為顯然，故X,Y不獨(dú)立11相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!

若兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且又有相同的分布,不能說這兩個(gè)隨機(jī)變量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互獨(dú)立，則X-11-110.250.25Ypij0.250.25P(X=Y)=0.5,故不能說

X=Y.注意相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!(1)由分布律的性質(zhì)知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!例5

一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12時(shí),他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在7~9時(shí),設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率.

解相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!于是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!2.概率密度函數(shù)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!4.邊緣概率密度函數(shù)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量共