三角形“四個心”與平面向量_第1頁
三角形“四個心”與平面向量_第2頁
三角形“四個心”與平面向量_第3頁
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平面向量與三角形四心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結合（1）是的重心.證法1：設是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，為的垂心（3）設,,是三角形的三條邊長，O是ABC的內心為的內心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡得（4）為的外心。典型例題：例1：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點.//點的軌跡一定通過的重心，即選.例2：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點的軌跡一定通過的內心，即選.例3：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.===+=0點的軌跡一定通過的垂心，即選.舉一反三：通過上述例題及解答,我們可以總結出關于三角形“四心”的向量表達式.若點為內任意一點，若點滿足:1．;2.兩點分別是的邊上的中點,且;3.;4..練習：1．已知三個頂點及平面內一點，滿足，若實數(shù)滿足：，則的值為（）A．2B．C．3D．62．若的外接圓的圓心為O，半徑為1，，則()A．B．0C．1D．3．點在內部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圓的圓心為O，若，則是的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心5．是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（）A．外心B．內心C．重心D．垂心6．的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個頂點，若，則為（）A．等腰

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