2013年山東高考數(shù)學(xué)理試題及答案

2013年山東高考數(shù)學(xué)理試題及答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1）復(fù)數(shù)z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)為(

)

A.2+i

B.2-i

C.5+i

D.5-i【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得，所以，選D.（2）設(shè)集合A={0,1,2},則集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的個數(shù)是(

)A.1

B.3

C.5

D.9【答案】C【解析】因為,所以，即,有5個元素，選C.（3）已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2+,則f(-1)=(

)

（A）-2

（B）0

（C）1

（D）2【答案】A【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，選A.（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面積是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為(

)

（A）（B）（C）（D）

【答案】B【解析】取正三角形ABC的中心，連結(jié),則是PA與平面ABC所成的角。因為底面邊長為，所以,.三棱柱的體積為,解得，即,所以，即，選B.（5）將函數(shù)y=sin（2x+）的圖像沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的一個可能取值為

（A）（B）（C）0

（D）

【答案】B【解析】將函數(shù)y=sin（2x+）的圖像沿x軸向左平移個單位，得到函數(shù)，因為此時函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以選B.（6）在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組：，所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為

（A）2

（B）1

（C）（D）

【答案】

C【解析】作出可行域如圖，由圖象可知當M位于點D處時，OM的斜率最小。由得，即,此時OM的斜率為，選C.（7）給定兩個命題p、q，若﹁p是q的必要而不充分條件，則p是﹁q的（A）充分而不必條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為﹁p是q的必要而不充分條件，所以﹁q是p的必要而不充分條件，即p是﹁q的充分而不必要條件，選A.（8）函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為

【答案】

D【解析】函數(shù)y=xcosx+sinx為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱，所以排除B，C.當時，,排除A,選D.（9）過點（3，1）作圓（x-1）2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（A）2x+y-3=0

（B）2x-y-3=0（C）4x-y-3=0

（D）4x+y-3=0

【答案】A【解析】由圖象可知，是一個切點，所以代入選項知，不成立，排除。又直線的斜率為負，所以排除C，選A.設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即（10）用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為

（A）243

（B）252

（C）261

（D）279

【答案】B【解析】有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為。沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有,所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為，選B.（11）拋物線C1：y=

x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2：的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=A.

B.

C.

D.【答案】D【解析】經(jīng)過第一象限的雙曲線的漸近線為。拋物線的焦點為,雙曲線的右焦點為.，所以在處的切線斜率為，即，所以，即三點，，共線，所以，即，選D.（12）設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當取得最大值時，的最大值為（A）0

（B）1

（C）（D）3【答案】

B

【解析】由，得。所以，當且僅當，即時取等號此時，.

，故選B.二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分

（13）執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的的值為0.25，則輸入的n的值為

【答案】3【解析】第一次循環(huán)，，此時不成立。第二次循環(huán)，，此時成立，輸出。(14)在區(qū)間[-3,3]上隨機取一個數(shù)x，使得|x+1

|-|x-2

|≥1成立的概率為【答案】【解析】設(shè)，則。由，解得，即當時，。由幾何概型公式得所求概率為。（15）已知向量與的夾角為，且若且,則實數(shù)的值為【答案】【解析】向量與的夾角為，且所以。由得，，即，所以，即，解得。（16）定義“正對數(shù)”：，現(xiàn)有四個命題：①若，則②若，則③若，則④若，則其中的真命題有：（寫出所有真命題的編號）【答案】①③④【解析】①當時，，，所以成立。當時，，此時，即成立。綜上恒成立。②當時，，所以不成立。③討論的取值，可知正確。④討論的取值，可知正確。所以正確的命題為①③④。

三、解答題：本大題共6小題，共74分.

（17）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=.

（Ⅰ）求a，c的值；

（Ⅱ）求sin（A-B）的值.

解答：（1）由cosB=與余弦定理得，，又a+c=6，解得（2）又a=3,b=2，與正弦定理可得，,，所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

（18）（本小題滿分12分）

如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH。

（Ⅰ）求證：AB//GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值

.

解答：（1）因為C、D為中點，所以CD//AB同理：EF//AB，所以EF//CD，EF平面EFQ，所以CD//平面EFQ，又CD平面PCD,所以CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，△ABQ為直角三角形，以B為坐標原點，以BA、BC、BP為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一個法向量為，平面EFG的一個法向量為，可得,所以二面角D-GH-E的余弦值為（19）本小題滿分12分

甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是.假設(shè)每局比賽結(jié)果互相獨立.

（1）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率

（2）若比賽結(jié)果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望.解答：（1），，

（2）由題意可知X的可能取值為：3,2,1,0相應(yīng)的概率依次為：，所以EX=

（20）（本小題滿分12分）

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn，且Tn+=λ（λ為常數(shù)），令cn=b2n，（n∈N?）.求數(shù)列｛cn｝的前n項和Rn.

解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝為等差數(shù)列，可得，所以（2）由Tn+=λ可得，，Tn-1+=λ兩式相減可得，當時，，所以當時，cn=b2n=，錯位相減法可得，Rn=當時，cn=b2n=，可得Rn=

（21）（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間，最大值；（2）討論關(guān)于x的方程根的個數(shù).解答：（1），令得，，當所以當時，函數(shù)取得最的最大值（2）由（1）知，f(x)先增后減，即從負無窮增大到，然后遞減到c，而函數(shù)|lnx|是（0,1）時由正無窮遞減到0，然后又逐漸增大。故令f(1)=0得，，所以當時，方程有兩個根；當時，方程有一兩個根；當時，方程有無兩個根.（22）（本小題滿分13分）

橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2,離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線

PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點p作斜率為k