雙曲線講義(教師版)

雙曲線講義(教師版)雙曲線講義(教師版)雙曲線講義(教師版)資料僅供參考文件編號：2022年4月雙曲線講義(教師版)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：一、雙曲線知識點總結(jié):1.雙曲線的定義（1）第一定義：當(dāng)時,的軌跡為雙曲線;當(dāng)時,的軌跡不存在;當(dāng)時,的軌跡為以為端點的兩條射線（2）雙曲線的第二義平面內(nèi)到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點的軌跡為雙曲線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)焦點，焦距范圍頂點對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱離心率準(zhǔn)線漸近線與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程為：與雙曲線共軛的雙曲線為等軸雙曲線的漸近線方程為，離心率為.；1.注意定義中“陷阱問題1：已知，一曲線上的動點到距離之差為6，則雙曲線的方程為2.注意焦點的位置問題2：雙曲線的漸近線為，則離心率為二、雙曲線經(jīng)典題型:1.定義題：1.某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s:相關(guān)各點均在同一平面上)【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的．[解析]如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－|PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意得a=680,c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.2.設(shè)P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則△PF1F2的面積為 （） A． B．12 C． D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形故選B。3.如圖2所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關(guān)于軸對稱，則的值是（）A．9B．16C．18D．27[解析]，選C4.P是雙曲線左支上的一點，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（）（A） （B） （C） （D）［解析］設(shè)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為，由圓的切線性質(zhì)知，5.若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是（）A.B.C.D.【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選A.2.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程．【解題思路】運用方程思想，列關(guān)于的方程組[解析]解法一：設(shè)雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為－=1.解法二：設(shè)雙曲線方程為－＝1，將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1.2.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為；[解析]設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時，化為，，當(dāng)時，化為，，綜上，雙曲線方程為或3.以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________.[解析]拋物線的焦點為，設(shè)雙曲線方程為，，雙曲線方程為4.已知點，，，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為A．B．C．（x>0）D．[解析]，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B3.與漸近線有關(guān)的問題1若雙曲線的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系[解析]焦點到漸近線的距離等于實軸長，故，,所以【名師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系,通過的比例關(guān)系可以求離心率,也可以求漸近線方程2.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.[解析]選C3.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是（） A．B．C．D．[解析]從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B4.過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設(shè)所求雙曲線為點（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置.4.幾何1.設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（）A． B． C. D．【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴.選B.5.求弦1.雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為（）A.B.C.D.【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.∵弦中點為（2，1），∴.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：2.在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.