電子科技桂電版-ch4-1歐式空間

第一節(jié)向量的內(nèi)積一內(nèi)積的定義和性質(zhì)三正交向量組二向量的長度與夾角四應(yīng)用舉例五正交矩陣與正交變換一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)1、定義設(shè)ｎ維實向量稱實數(shù)為向量α與β的內(nèi)積，記作注：內(nèi)積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有２、性質(zhì)（1）對稱性：（2）線性性：（3）正定性：１、長度的概念當(dāng)且僅當(dāng)時二、向量的長度與夾角令為ｎ維向量α的長度（模或范數(shù)）.特別長度為１的向量稱為單位向量.（1）正定性：（2）齊次性：（3）三角不等式：２、性質(zhì)（4）柯西－施瓦茲（Cauchy－Schwarz）不等式:當(dāng)且僅當(dāng)α與β的線性相關(guān)時，等號成立.注①當(dāng)時，②由非零向量α得到單位向量是α的單位向量.稱為把α單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.的過程３、夾角設(shè)α與β為ｎ維空間的兩個非零向量，α與β的夾角的余弦為因此α與β的夾角為例解練習(xí)三、正交向量組1、正交當(dāng)，稱α與β正交.注①若，則α與任何向量都正交.②③對于非零向量α與β，2、正交組若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個向量組稱為正交向量組，簡稱正交組.3、標(biāo)準(zhǔn)正交組由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組.定理4、性質(zhì)正交向量組必為線性無關(guān)組.定理若向量β與β與中每個向量都正交，則的任一線性組合也正交.5、正交基若正交向量組則稱為向量空間Ｖ上的一個正交基.為向量空間Ｖ上的一個基，6、標(biāo)準(zhǔn)正交基若標(biāo)準(zhǔn)正交組則稱為向量空間Ｖ上的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.為向量空間Ｖ上的一個基，7、施密特（Schmidt）正交化法設(shè)是向量空間Ｖ的一個基，要求向量空間Ｖ的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是要找到一組兩兩正交的單位向量，使與等價，此問題稱為把這組基標(biāo)準(zhǔn)正交化.1）正交化令就得到Ｖ的一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.Ｖ的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.如果上述方法稱為施密特（Schmidt）正交化法.2）標(biāo)準(zhǔn)化令是Ｖ的一組基，則就是注則兩兩正交，且與等價.上述方法中的兩個向量組對任意的與都是等價的.四、應(yīng)用舉例例1證明：中，勾股定理成立的充要條件是正交.解所以成立的充要條件是即正交.已知三維向量空間中，例2正交，試求是三維向量空間的一個正交基.解設(shè)則即例4已知向量求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.解設(shè)非零向量都于正交，即滿足方程或其基礎(chǔ)解系為令1）正交化令2）標(biāo)準(zhǔn)化令五、正交矩陣和正交變換1、定義如果ｎ階矩陣滿足：則稱Ａ為正交矩陣.則可表示為若Ａ按列分塊表示為Ａ＝亦即其中①Ａ的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交矩陣Ａ的ｎ個列（行）向量構(gòu)成向量空間2、正交矩陣的充要條件②Ａ的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.注3、正交變換若Ｐ為正交矩陣，則ｙ=Ｐｘ線性變換稱為正交變換.設(shè)