第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點課件

連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的間斷點第九節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

連續(xù)函數(shù)的概念第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)上,我們引入另一個基本概念——函數(shù)的連續(xù)性.函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的重要連續(xù)函數(shù)是非常重要的一類函數(shù),也是函數(shù)的一種重要性態(tài)之一.函數(shù)的連續(xù)性描述的是自變量有微小變化時,相應(yīng)的因變量的變化也很微小.在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)上,我們引入另一個基本概念——函數(shù)函數(shù)的連續(xù)性是描述函數(shù)的漸變性態(tài),對函數(shù)連續(xù)性一般有三種描述：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不斷曲線；什么是函數(shù)的連續(xù)性?當自變量有微小變化時，因變量的變化也是微小的；自變量的微小變化不會引起因變量的跳變；例如：函數(shù)的連續(xù)性是描述函數(shù)的漸變性態(tài),對函數(shù)連續(xù)性一般如何用數(shù)學語言刻畫函數(shù)的連續(xù)性？如何用數(shù)學語言刻畫函數(shù)的連續(xù)性？一、連續(xù)函數(shù)的概念1.函數(shù)的增量一、連續(xù)函數(shù)的概念1.函數(shù)的增量自變量和因變量的增量表示方法:自變量和因變量的增量都可正可負2.連續(xù)函數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)oxyy=?(x)}ΔyΔx連續(xù)oxy°}Δyy=?(x)Δx間斷自變量和因變量的增量表示方法:自變量和因變量的增量都可正可注oxyy=?(x)Δx}Δy注oxyy=?(x)Δx}Δy函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)的等價定義注該定義包含三重含義:(1)函數(shù)y=f(x)在x0點有定義;(2)極限存在;(3);函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)的等價定義注該定義包例1證由定義2知利用函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)的定義經(jīng)常用來討論分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性.例1證由定義2知利用函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)例2證例2證(2)單側(cè)連續(xù)由左、右極限的概念可得到函數(shù)在某點左、右連續(xù)的概念.記為記為,則稱函數(shù)?(x)在x0處左連續(xù);

定義3若左極限,則稱函數(shù)?(x)在x0處右連續(xù);若右極限因為則有(2)單側(cè)連續(xù)由左、右極限的概念可得到函數(shù)在某點左、右連結(jié)論:函數(shù)?(x)在x0處連續(xù)的充要條件是?(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).即定義4

若函數(shù)?(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱函數(shù)?(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù);若函數(shù)?(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在左端點a右連續(xù),在右端點b左連續(xù),則稱函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù).

(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上連續(xù)結(jié)論:函數(shù)?(x)在x0處連續(xù)的充要條件是?(注1.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形時沒有間斷的一筆畫的曲線段.

2.討論分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性.例3解右連續(xù)但不左連續(xù),注1.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形時沒有間斷的一筆畫的曲線段解討論函數(shù)在x=1處的連續(xù)性.練一練解討論函數(shù)在x=1處的連續(xù)性.練一練在點x=0,x=1處是否連續(xù).解在點x=0處,因為所以,f(x)在點x=0處不連續(xù).因為在點x=1處,又所以f(x)在點x=1處連續(xù).

討論函數(shù)練一練在點x=0,x=1處是否連續(xù).解在點x=0處,解練一練解練一練確定常數(shù)k,b的值,使函數(shù)

在定義域內(nèi)連續(xù).解練一練要使?(x)在x=0處連續(xù),故確定常數(shù)k,b的值,使函數(shù)解練一練要使?(x)在確定常數(shù)a,b,使為連續(xù)函數(shù).則要使?(x)連續(xù),則?(x)就必須在x=±1處連續(xù).解練一練確定常數(shù)a,b,使解之,得a=0,b=1故當a=0且b=1時,函數(shù)?(x)連續(xù).由定義2可知求連續(xù)函數(shù)在某點的極限即為求此點的函數(shù)值.解之,得a=0,b=1故當a=0且b若以上條件至少有一個不滿足,則稱?(x)在x0處間斷.即函數(shù)在x0點連續(xù)必須同時滿足以下三個條件:二、函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)y=f(x)在x0點有定義;(2)極限存在;(3);(2)?(x)在x0

處雖有定義,但不存在;(1)?(x)在x0

處沒有定義;(3)?(x)在x0處雖有定義,且存在,但若以上條件至少有一個滿足,則稱?(x)在x0處間斷.若以上條件至少有一個不滿足,則稱?(x)在x0處間斷.間斷點的分類1.第一類間斷點(1).跳躍間斷點例4解間斷點的分類1.第一類間斷點(1).跳躍間斷點例4解例

符號函數(shù)

例1-1-2例符號函數(shù)例1-1-2(2).可去間斷點例5解(2).可去間斷點例5解注

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.注可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則如例2.第二類間斷點例6解(1).無窮間斷點2.第二類間斷點例6解(1).無窮間斷點(2).振蕩間斷點例7(2).振蕩間斷點例7第一類間斷點：可去間斷點,跳躍間斷點,第二類間斷點：左右極限都存在的間斷點；左右極限至少有一個不存在的間斷點：無窮間斷點,振蕩間斷點,第一類間斷點：可去間斷點,跳躍間斷點,第二類間斷點：左右極限可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyx為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.解練一練解練一練第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點課件x=1,x=0,x=–1為間斷點.4.討論函數(shù)的連續(xù)性.提示x=1,x=0,x=–1為間斷點.4.解

間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.練一練間斷點的類型.確定函數(shù)解間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.練一練間斷點[解]非初等函數(shù)連續(xù)性問題舉例[解]非初等函數(shù)連續(xù)性問題舉例第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點課件[解][解]第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點課件演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！

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函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

連續(xù)函數(shù)的概念第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)上,我們引入另一個基本概念——函數(shù)的連續(xù)性.函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的重要連續(xù)函數(shù)是非常重要的一類函數(shù),也是函數(shù)的一種重要性態(tài)之一.函數(shù)的連續(xù)性描述的是自變量有微小變化時,相應(yīng)的因變量的變化也很微小.在函數(shù)極限概念的基礎(chǔ)上,我們引入另一個基本概念——函數(shù)函數(shù)的連續(xù)性是描述函數(shù)的漸變性態(tài),對函數(shù)連續(xù)性一般有三種描述：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不斷曲線；什么是函數(shù)的連續(xù)性?當自變量有微小變化時，因變量的變化也是微小的；自變量的微小變化不會引起因變量的跳變；例如：函數(shù)的連續(xù)性是描述函數(shù)的漸變性態(tài),對函數(shù)連續(xù)性一般如何用數(shù)學語言刻畫函數(shù)的連續(xù)性？如何用數(shù)學語言刻畫函數(shù)的連續(xù)性？一、連續(xù)函數(shù)的概念1.函數(shù)的增量一、連續(xù)函數(shù)的概念1.函數(shù)的增量自變量和因變量的增量表示方法:自變量和因變量的增量都可正可負2.連續(xù)函數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)oxyy=?(x)}ΔyΔx連續(xù)oxy°}Δyy=?(x)Δx間斷自變量和因變量的增量表示方法:自變量和因變量的增量都可正可注oxyy=?(x)Δx}Δy注oxyy=?(x)Δx}Δy函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)的等價定義注該定義包含三重含義:(1)函數(shù)y=f(x)在x0點有定義;(2)極限存在;(3);函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)的等價定義注該定義包例1證由定義2知利用函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)的定義經(jīng)常用來討論分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性.例1證由定義2知利用函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)例2證例2證(2)單側(cè)連續(xù)由左、右極限的概念可得到函數(shù)在某點左、右連續(xù)的概念.記為記為,則稱函數(shù)?(x)在x0處左連續(xù);

定義3若左極限,則稱函數(shù)?(x)在x0處右連續(xù);若右極限因為則有(2)單側(cè)連續(xù)由左、右極限的概念可得到函數(shù)在某點左、右連結(jié)論:函數(shù)?(x)在x0處連續(xù)的充要條件是?(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).即定義4

若函數(shù)?(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱函數(shù)?(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù);若函數(shù)?(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在左端點a右連續(xù),在右端點b左連續(xù),則稱函數(shù)?(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù).

(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上連續(xù)結(jié)論:函數(shù)?(x)在x0處連續(xù)的充要條件是?(注1.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形時沒有間斷的一筆畫的曲線段.

2.討論分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性.例3解右連續(xù)但不左連續(xù),注1.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖形時沒有間斷的一筆畫的曲線段解討論函數(shù)在x=1處的連續(xù)性.練一練解討論函數(shù)在x=1處的連續(xù)性.練一練在點x=0,x=1處是否連續(xù).解在點x=0處,因為所以,f(x)在點x=0處不連續(xù).因為在點x=1處,又所以f(x)在點x=1處連續(xù).

討論函數(shù)練一練在點x=0,x=1處是否連續(xù).解在點x=0處,解練一練解練一練確定常數(shù)k,b的值,使函數(shù)

在定義域內(nèi)連續(xù).解練一練要使?(x)在x=0處連續(xù),故確定常數(shù)k,b的值,使函數(shù)解練一練要使?(x)在確定常數(shù)a,b,使為連續(xù)函數(shù).則要使?(x)連續(xù),則?(x)就必須在x=±1處連續(xù).解練一練確定常數(shù)a,b,使解之,得a=0,b=1故當a=0且b=1時,函數(shù)?(x)連續(xù).由定義2可知求連續(xù)函數(shù)在某點的極限即為求此點的函數(shù)值.解之,得a=0,b=1故當a=0且b若以上條件至少有一個不滿足,則稱?(x)在x0處間斷.即函數(shù)在x0點連續(xù)必須同時滿足以下三個條件:二、函數(shù)的間斷點(1)函數(shù)y=f(x)在x0點有定義;(2)極限存在;(3);(2)?(x)在x0

處雖有定義,但不存在;(1)?(x)在x0

處沒有定義;(3)?(x)在x0處雖有定義,且存在,但若以上條件至少有一個滿足,則稱?(x)在x0處間斷.若以上條件至少有一個不滿足,則稱?(x)在x0處間斷.間斷點的分類1.第一類間斷點(1).跳躍間斷點例4解間斷點的分類1.第一類間斷點(1).跳躍間斷點例4解例

符號函數(shù)

例1-1-2例符號函數(shù)例1-1-2(2).可去間斷點例5解(2).可去間斷點例5解注

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.注可去間斷點只要改變或