第3講-行列式降價處理-按行列展開_第1頁
第3講-行列式降價處理-按行列展開_第2頁
第3講-行列式降價處理-按行列展開_第3頁
第3講-行列式降價處理-按行列展開_第4頁
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第6節(jié)行列式的降價處理：按行、列展開降階、降級處理是數(shù)學處理的基本思路之一。對n階行列式也可使用這一思路：將n階行列式變成n-1階行列式進行處理，從而可層層降階到低階行列式進行處理，這便是行列式的按行或按列展開。一特殊行列式的降階處理一般行列式的按行、按列展開特殊行列式的計算第一頁，共24頁。例：證明(降階處理)左端＝＝＝＝右端一特殊行列式的降階處理第二頁，共24頁。更一般地，如下行列式能否降階處理？第三頁，共24頁。又因第四頁，共24頁。綜上，有第五頁，共24頁。一般行列式的按行展開第六頁，共24頁。其中第七頁，共24頁。上面分析表明，一般n階行列式可按某行展開成該行元素與其代數(shù)余子式的積的和的形式：第八頁，共24頁。此行列式相當于在行列式又因代數(shù)余子式可降階為如下形式(相等或符號相反)第九頁，共24頁。綜合前述知識知，Aij與Mij的有如下關系即Aij可通過計算一個n-1階行列式得到。下式表明了行列式可降階處理。稱上式為行列式的按第i行展開式。(i=1,2,…,n)第十頁，共24頁。按第j列展開行列式＝？第十一頁，共24頁。行列式的按行、列展開式表明行列式=某一行的元素分別與各自代數(shù)余子式的乘積之和對行列式d?當k=i時，是d按第i行的展開，仍為d；當k≠i時,則表示的是d的第k行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘。其結果是否仍為d?第十二頁，共24頁。例，已知行列式＝第十三頁，共24頁。例：第十四頁，共24頁。當k≠i時,不妨設i<k，則＝0.第十五頁，共24頁。定理：設第十六頁，共24頁。例：計算行列式問題：與化三角行列式相比，計算量有否變化？第十七頁，共24頁。例：計算＝問題：與化三角行列式相比，計算量有否變化？第十八頁，共24頁。注意行列式按行、列進行展開的著眼點不在于減少計算量，而在于其理論意義。當然在手算具體確定的行列式時，當行列式的某些行與列有大多數(shù)0時，能有效化簡計算，但這種做法卻沒有通用性。第十九頁，共24頁。三特殊行列式的計算(n-1行乘-a1加到第n行；n-2行乘-a1加到第n-1行，余類推)1范德蒙德行列式第二十頁，共24頁。(上邊最后一式右邊又是一個n-1級的范德蒙德行列式)第二十一頁，共24頁。從而有（歸納證明），第二十二頁，共24頁。2結論可借助矩陣的按行、列展開用數(shù)

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