第3講-行列式降價(jià)處理-按行列展開(kāi)

第6節(jié)行列式的降價(jià)處理：按行、列展開(kāi)降階、降級(jí)處理是數(shù)學(xué)處理的基本思路之一。對(duì)n階行列式也可使用這一思路：將n階行列式變成n-1階行列式進(jìn)行處理，從而可層層降階到低階行列式進(jìn)行處理，這便是行列式的按行或按列展開(kāi)。一特殊行列式的降階處理一般行列式的按行、按列展開(kāi)特殊行列式的計(jì)算第一頁(yè)，共24頁(yè)。例：證明(降階處理)左端＝＝＝＝右端一特殊行列式的降階處理第二頁(yè)，共24頁(yè)。更一般地，如下行列式能否降階處理？第三頁(yè)，共24頁(yè)。又因第四頁(yè)，共24頁(yè)。綜上，有第五頁(yè)，共24頁(yè)。一般行列式的按行展開(kāi)第六頁(yè)，共24頁(yè)。其中第七頁(yè)，共24頁(yè)。上面分析表明，一般n階行列式可按某行展開(kāi)成該行元素與其代數(shù)余子式的積的和的形式：第八頁(yè)，共24頁(yè)。此行列式相當(dāng)于在行列式又因代數(shù)余子式可降階為如下形式(相等或符號(hào)相反)第九頁(yè)，共24頁(yè)。綜合前述知識(shí)知，Aij與Mij的有如下關(guān)系即Aij可通過(guò)計(jì)算一個(gè)n-1階行列式得到。下式表明了行列式可降階處理。稱上式為行列式的按第i行展開(kāi)式。(i=1,2,…,n)第十頁(yè)，共24頁(yè)。按第j列展開(kāi)行列式＝？第十一頁(yè)，共24頁(yè)。行列式的按行、列展開(kāi)式表明行列式=某一行的元素分別與各自代數(shù)余子式的乘積之和對(duì)行列式d?當(dāng)k=i時(shí)，是d按第i行的展開(kāi)，仍為d；當(dāng)k≠i時(shí),則表示的是d的第k行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘。其結(jié)果是否仍為d?第十二頁(yè)，共24頁(yè)。例，已知行列式＝第十三頁(yè)，共24頁(yè)。例：第十四頁(yè)，共24頁(yè)。當(dāng)k≠i時(shí),不妨設(shè)i<k，則＝0.第十五頁(yè)，共24頁(yè)。定理：設(shè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)。例：計(jì)算行列式問(wèn)題：與化三角行列式相比，計(jì)算量有否變化？第十七頁(yè)，共24頁(yè)。例：計(jì)算＝問(wèn)題：與化三角行列式相比，計(jì)算量有否變化？第十八頁(yè)，共24頁(yè)。注意行列式按行、列進(jìn)行展開(kāi)的著眼點(diǎn)不在于減少計(jì)算量，而在于其理論意義。當(dāng)然在手算具體確定的行列式時(shí)，當(dāng)行列式的某些行與列有大多數(shù)0時(shí)，能有效化簡(jiǎn)計(jì)算，但這種做法卻沒(méi)有通用性。第十九頁(yè)，共24頁(yè)。三特殊行列式的計(jì)算(n-1行乘-a1加到第n行；n-2行乘-a1加到第n-1行，余類推)1范德蒙德行列式第二十頁(yè)，共24頁(yè)。(上邊最后一式右邊又是一個(gè)n-1級(jí)的范德蒙德行列式)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。從而有（歸納證明），第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。2結(jié)論可借助矩陣的按行、列展開(kāi)用數(shù)