靜力平衡問題探討課件

第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題1第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦3.1平面力系的平衡問題思路：研究對象受力分析平衡方程求解一、平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類：

對于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應滿足的條件及約束力。60ABCDF23.1平面力系的平衡問題思路：研究對象受力分析平衡方程例3.1求圖示結構中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0結果正確。2）取坐標，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/mL=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。3例3.1求圖示結構中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受例3.3夾緊裝置如圖。設各處均為光滑接觸，求P力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0FB=F

解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFAMA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0

FC=Fctga。

越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點O，則由力矩方程直接可得:MO(F)=FABcos-FCABsin=0

FC=Fctg

4例3.3夾緊裝置如圖。設各處均為光滑接觸，研究整體，受例3.4梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：Fx=FAx=0---(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA5例3.4梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊由

2)小車為研究對象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBFEFCyFByFCx=062)小車為研究對象，列平衡方程：3)取BC梁為研究對象，有補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A、B及D處的約束力。解：研究整體有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB2a-Fa=0

FB=F/2Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD桿，有：MC(F)=FDya=0YD=0Fy=FACsin45-F=0FACFx=FDx-FACcos45=0FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請驗算：AB桿(帶銷A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy7補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A、B解：研究整求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問題否？選取適當的坐標軸和矩心，注意正負號。檢查結果，驗算補充選取適當研究對象，畫受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零；力偶對任一點之矩即為M。8求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標出已知量問題1：不計桿重，求連桿機構在圖示平衡位置時F1、F2之關系。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。bＣMABac4560ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCFq2aaa459問題1：不計桿重，求連桿機構問題2:三鉸拱受力偶M作問題1.不計桿重，求連桿機構在圖示平衡位置時F1、F2之關系。4560ABCDF1

F2FDFCME(F)=F2AE-F1sin60BE=0注意：BE=AB；AE=AB可解得：

F2=......F12E

10問題1.不計桿重，求連桿機構在圖示平衡位置時4560AB問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。解:BC為二力桿;外力只有力偶M,以AC為軸寫投影方程可知，A處反力為FAy=0,整體受力如圖所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0FCFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=?AM又由可解得BF11問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，解:BC問題2再論:不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。12問題2再論:不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣM問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，3個方程，4個未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA13問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理討論：判斷下述分析的正誤。MA=

M+Fa-2Pa固定鉸的約束力作用于銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy14討論：判斷下述分析的正誤。MA=M+Fa-2Pa第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FBd-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAyl+Fl=0FAy=-FFx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F15第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束第二種情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F

l考察BC桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FByMB(F)=0:FCylBC+Fl=02=-—F2

FCy=FBy再考察AB桿，

由MA(F)=0可求得FBx16第二種情形lllACBM=FlFAyFAxllABDFBx由ABD桿的平衡有：MA(F)=02

FBx=—Fˉ2MB(F)=0FAy=

0MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F

l更簡單方法以整體為研究對象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?17由ABD桿的平衡有：MA(F)=02二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題--未知量數=獨立平衡方程數ABCF30如例1系統(tǒng)二根桿六個平衡方程；約束三處鉸鏈六個反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個，但B、C處約束力未知量也減少了二個。18二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)三個物體8個平衡方程；約束固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸處各1共8個反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)三個物體9個方程，反力只有8個。小車可能發(fā)生水平運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數少于獨立的平衡方程數，有運動的可能。CABWP19本題作用于小車的是如例3未被完全約束住的物體及系統(tǒng)約束力未2）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數>獨立平衡方程數，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數m系統(tǒng)中物體數n<3n未完全約束

m=3n靜定問題>3n靜不定問題靜不定的次數為：

k=m-3n202）靜不定問題或超靜定問題完全約束的物體或系統(tǒng)，若約ＣMAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數m=8物體數n=3m<3n未完全約束m=6n=2m=3n靜定結構m=3n=1+2+2+4=9m=3n靜定結構60ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy21ＣMAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數m=8m=第一次作業(yè)：思考題：3-1，習題：3-1，3-3，3-5，3-6。22第一次作業(yè)：223.2含摩擦的平衡問題摩擦給運動帶來阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可進行傳動、驅動、制動、自鎖。

摩擦是二物體接觸表面間有相對運動（或運動趨勢）時的阻礙作用。接觸表面間只有相對滑動趨勢時的摩擦，是靜滑動摩擦。一、靜滑動摩擦AOmCP512DDdaABWPABFLFTAFLFTFNAFBFNAFFNBFF0FT靜止滑動FmaxFTC233.2含摩擦的平衡問題摩擦給運動帶來阻力，消耗能量，降低效只要滑動未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。

摩擦力F也是被動力，它阻礙物體的運動，但不能完全約束物體的運動。

F作用在沿接觸面切向且指向與運動趨勢相反。APTNFVf是靜滑動摩擦系數，F(xiàn)N是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動）摩擦力與法向反力的大小成正比，即

Fmax=fFNF0FT靜止滑動FmaxFTC

FT=0,靜止，無運動趨勢；F=00<FT<FTC

,靜止，有運動趨勢；F=FT

FT=FTc,臨界狀態(tài)；F=FT=FTc=Fmax

FT>FTc,運動狀態(tài)；一般有FT<Fmax24只要滑動未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。二、含摩擦的平衡問題的分析方法特點：5）有平衡方程和摩擦補充方程Fmax=f

FN。4）考慮可能發(fā)生滑動的臨界情況(此時F=Fmax)，并由此判斷摩擦力指向。3）二物體接觸面間的摩擦力，也是相互作用的作用力與反作用力。1）問題中含有可能發(fā)生相對滑動的摩擦面。AFLFTFNAFBFNAFFNBF2）受力圖中應包括摩擦力，摩擦力沿滑動面切向，指向與運動趨勢相反。25二、含摩擦的平衡問特點：5）有平衡方程和摩擦補充方程FAOMCF1mineaL2）制動桿受力如圖。有平衡方程

MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程Fmax=fFN;

FN=M/fr代入后求得F1min=(Ma/fr-Me/r)/L=M(a-fe)/frL1）取輪O研究，畫受力圖。有平衡方程MO(F)=M-Fmaxr=0

得到Fmax=M/r解：討論F1最小而制動，摩擦力最大的臨界狀態(tài)。例3.5剎車裝置如圖。塊C與輪間摩擦系數為f，求F1min。制動的要求是F1>F1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy26AOMCF1mineaL2）制動桿受力如圖。有平衡方程例3.6圖示懸臂可沿柱滑動,摩擦系數為f。為保證不卡住，試確定力F0的作用位置。解：1)F0向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FND-FNA=0；

Fy=FA+FD-F0=0

MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0及FA=fFNA,FD=fFND

解得：FNA=FND=F0/2f,xmax=h/2f.懸臂不卡住，應有xmax<h/2f而與F0無關。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA27例3.6圖示懸臂可沿柱滑動,摩擦系數為f。為保證解：1)例3.6圖示懸臂可沿柱滑動,摩擦系數為f。為保證不卡住，試確定力P的作用位置。解：2)F0向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FNB-FNC=0；

Fy=F0-FB-FC=0

MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0及FB=fFNB,FC=fFNC

同樣解得：FNB=FNC=F0/2f

xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA懸臂不卡住，應有xmax<h/2f，而與F0無關；與上下滑無關。28例3.6圖示懸臂可沿柱滑動,摩擦系數為f。為保證不解：含摩擦的平衡問題的分析方法：研究對象受力分析平衡方程求解先回憶靜力平衡問題的一般方法：（此時F=Fmax）

可滑動的臨界情況分析摩擦力沿滑動面切向，指向與運動趨勢相反。加摩擦方程Fmax=fFN解有一個區(qū)間范圍WaFTBA29含摩擦的平衡問題的分析方法：研究對象受力分析平衡方程討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設主動力之合力FA的作用線與法向夾角為a，若a<r，則無論FA多大，總有全反力FR與之平衡，物體保持靜止；這種現(xiàn)象稱為自鎖。摩擦角：臨界狀態(tài)(F=Fmax)時，F(xiàn)R與法向間的夾角。顯然有:tg=Fmax/FN=f即摩擦角的正切等于靜摩擦系數f?？芍戳R的作用線只能在摩擦角(錐)之內。全反力FR:支承面法向反力

FN和摩擦力F之合力。FRFNFrmaxFRQfr自鎖FAa滑動FAa>r若a>r,則無論FA多小，物體都不能保持平衡。30討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設主動力之合力FA的作用線與法向夾角

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑

3.破碎機軋輥D=500mm，勻速轉動破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計）

1.木楔打入墻內，摩擦角為，試問a為多大時木楔打入后才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問題：312.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不1.木楔打入墻內，摩擦角為，試問a為多大時木楔打入后才不致退出？aa不計重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對稱性)。臨界狀態(tài)有：a=r;自鎖條件為：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN1321.木楔打入墻內，摩擦角為，試問a為多大時aa問題：2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在P力除去后工件不松，求偏心距e.自鎖條件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:efd/2aFROAFA

3.破碎機軋輥D=500mm，勻速轉動破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計）

二力平衡必共線。臨界狀態(tài):tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa33問題：自鎖條件：aFROAFA二力平衡必共線。fa1Cosa討論二：皮帶傳動的摩擦力

皮帶在輪O上，包角。緊邊FT2，松邊FT1，輪O逆時針轉動。研究皮帶微段。法向壓力dFN，摩擦力dF，二端拉力為FT+dFT和FT。在臨界狀態(tài)下，dF=fdFN。FT1oMbFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮帶受力。接觸面法向分布壓力FN、摩擦力F都是的函數。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程：

Fx=FTcos(d/2)+fdFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d/2)-(FT+dFT)sin(d/2)=034討論二：皮帶傳動的摩擦力注意d是小量，有sin(d/2)=d/2,cos(d/2)=1；略去二階小量dFTd；得到：

fdFN=dFT和dFN=FTd;再消去dFN，

即得：dFT/FT=fd

積分,注意=0時，F(xiàn)T=FT1；=時，F(xiàn)T=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到：

Fx=FTcos(d/2)+fdFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d/2)-(FT+dFT)sin(d/2)=0可見：1)若f=0，即光滑接觸，有FT1=FT2，輪O不能傳遞扭矩。2)摩擦存在時，有扭矩M作用在輪上，且

M=[FT2-FT1]r=FT2r[1-exp(-f)].3)摩擦系數f越大，皮帶包角越大，輪徑r越大，可傳遞的扭矩M越大。35注意d是小量，有sin(d/2)=d/2,積分,注意3.3平面桁架橋梁結構節(jié)點：桿件間的結合點。桁架：桿組成的幾何形狀不變的框架。平面桁架:桿軸線和外力在同一平面內。363.3平面桁架橋梁結構節(jié)點：桿件間的結合點。桁架：桿組平面桁架的基本假設:2)載荷都在桁架平面內，且作用于桁架的節(jié)點處，或可作為集中載荷分配到節(jié)點處。故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點處受力的二力桿。桿內力是沿桿的拉/壓力。1)桿均為無重直桿，

節(jié)點均為鉸接點。3)桁架只在節(jié)點處受到約束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB37平面桁架的2)載荷都在桁架平面內，且作用于桁架的節(jié)點處，故無余桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個節(jié)點均為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有m根桿的內力和三個約束，m+3=2n，是靜定問題?；救切斡腥鶙U和三個節(jié)點，其余(n-3)個節(jié)點各對應二根桿，故無余桿桁架中桿數m和節(jié)點數n應當滿足：m=3+2(n-3),即m=2n-3顯然，無余桿桁架是靜定桁架。有余桿桁架（m>2n-3）則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件：以基本三角形框架為基礎，每增加一個節(jié)點就增加二根桿件。38無余桿桁架：n個節(jié)點均為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有F討論下列桁架及問題的靜定性桿數m=7節(jié)點數n=5m=2n-3靜定桁架約束力3靜定問題靜定桁架，反力4一次靜不定問題

桿數m=6節(jié)點數n=4m-(2n-3)=1靜不定桁架約束力3一次靜不定m-(2n-3)=2靜不定桁架，約束力4三次靜不定問題F39F討論下列桁架及問題的靜定性桿數m=7節(jié)點數n=5靜定桁3.3.1節(jié)點法用節(jié)點法求平面桁架中桿內力的步驟為：1)研究整體，求約束反力。求反力FAx、FAy

由A節(jié)點平衡求F1、F2

由D節(jié)點求F3、F4由C節(jié)點求F5、F6

3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點開始，

逐一列平衡方程求解。若求得的結果為負，則是壓力。2)選取節(jié)點，畫受力圖。假定桿內力為拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF2F3F4CFCF1F3F6F5403.3.1節(jié)點法用節(jié)點法求平面桁架中桿內力的步驟為：求3.3.2截面法2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對象，畫受力圖。桿內力假定為拉力。截面法求解桁架問題時，不需逐個節(jié)點分析，其分析方法可歸納為：3)列平衡方程求解。因為作用在研究對象上的是平面一般力系，可以求解三個未知量。1)研究整體，求約束反力。413.3.2截面法2)任取一截面，截取部分桁架作為研究例3.11求圖示桁架中各桿內力。解：1)由整體求得：

FAx=0;FAy=FE/3;FB=2FE/32)截取上部研究，受力如圖。有Fx=0F2=0

MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0F3=-2FE/3

Fy=-FE-F3-F1=0F1=-FE/3綜合應用截面法和截點法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789FEa/2a/2aaa333FBFAxFAyCD456FEF3F2F13)研究節(jié)點D，可求得F4、F6；4)研究節(jié)點C，可求得F5、F6；5)研究節(jié)點B，可求得F8、F9；6)研究節(jié)點A，可求得F7、F9；DF6F4F1CF6F5F3BF8F9F3FBF9F7F1FAxFAyA42例3.11求圖示桁架中各桿內力。解：1)由整體求得：2)截討論1：求桁架指定截面內力。FAB123aaaaa4FF1ABF2F3F41AB23aFaaaFFFF1F2F343討論1：求桁架指定截面內力。FAB123aaaaa4FF1AAKEBDCJF討論2：廣告牌由桿系支撐，風載作用如圖。如何求各桿內力？思考：零桿是否可以不要？KEDCJF

FCB=0D

FCD=0EKCJF44AKEBDCJF討論2：廣告牌由桿系支撐，風載作用如圖。如何第二次作業(yè)：思考題：3-4習題：3-13,3-14,3-16(b)，3-17(b)。45第二次作業(yè)：453.4空間力系的平衡問題

力F

為Fz、Fxy；FxyFx、Fy；顯然有：F=Fx+Fy+Fz；且各分力為：由定義知后者正是力在各軸上的投影。故正交坐標系中，投影和分力大小相等。二次投影法：先投影到坐標面，再投影到軸上。1.力在空間坐標軸上的投影AA′abxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空間中力的投影及力對軸之矩463.4空間力系的平衡問題力F為Fz、Fx物體繞軸轉動效果的度量。以門繞Z軸的轉動為例來討論。顯然有：Mz(F1)=0；Mz(F2)=02.力對軸之矩

將力F分解成Fz和Fxy，可見

Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)力F對軸z之矩Mz(F)等于力在垂直于z軸之平面內的分量Fxy對軸z與該平面交點O之矩。正負用右手螺旋法確定，（圖中為正）。力與軸相交或平行，對軸之矩為零故力F對軸z之矩可寫為：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh

zF1FF2yhOxFxyFz47物體繞軸轉動效果的度量。2.力對軸之矩將力F分解成Fz和F例:試寫出圖中力F在軸上的投影及對力軸之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40NFZ=(3/5)F=30NMx(F)=-Fyz+Fzy=-40+36=-4N.mMy(F)=-FZx=-6N.mMz(F)=Fyx=8N.m利用合力矩定理，進一步有：

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fxy+FyxOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mA'F=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ48例:試寫出圖中力F在軸上的投影及對力軸之矩。Fx=0利二、力偶矩的矢量表示故：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶矩矢是自由矢，可平行移動。

空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和進行。力偶矩矢

M：矢的長度--力偶矩的大小；

矢的指向--力偶作用平面的法向；轉向由右手螺旋規(guī)則確定。1）力偶矩矢：空間力偶對剛體的作用效果取決于力偶矩的大?。涣ε甲饔闷矫?；力偶的轉動方向。F'xyzFM49二、力偶矩的矢量表示故：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所確定2）空間中力對點之矩與力對軸之矩間的關系如圖，力F對O點之矩矢MO垂直于OAB平面且大小為：

MO=MO(F)=Fh=2OABAzBOMOFh另一方面：力F對軸z之矩等于其在垂直于軸z之的平面內的分量F對交點O之矩，即：故可知：力對某點之矩矢在過該點任一軸上的投影等于力對該軸之矩。Mz(F)=M0(F)=2Oab=2OABcos=MOcosF'abMzg502）空間中力對點之矩與力對軸之矩間的關系如圖，力F對O點之矩三、空間一般力系的簡化和平衡1.空間中力的平移力F平移到A點，得到力F和作用于Abc面以力偶矩矢表示的力偶M?？臻g匯交力系空間力偶系主矩MO力偶矩矢表示主矢FR'匯交于O空間一般力系向某點O平移2.空間力系的簡化力F向A點平移F和M,FM

xyzOFbAcFM=MO(F)51三、空間一般力系的簡化和平衡1.空間中力的平移力F平移到A點當主矢和主矩都等于零時，空間力系為平衡力系。空間一般力系向某點O平移主矢FR'主矩MO若FR0，MO=0；為一合力，且FR=FR空間力系簡化的最終結果：若FR=0，MO0；為一合力偶且M=MO2)MOFR’，在MO、FR平面內將矢量MO分解，得到力FR和與其平行的力偶矩矢MR，稱為力螺旋。1)MOFR，反向應用力的平移定理，得到一合力。若FR0，MO0；xyzOFRMOFRMOMRMLMROFR52當主矢和主矩都等于零時，空間力系為平衡力系?？臻g一般力系向某3.空間力系的平衡方程Fx=0；Fy=0；Fz=0Mx(F)=0；My(F)=0；Mz(F)=0空間一般力系由FR=0；MO=0可寫出平衡方程為將原點取在匯交點，有Mx(F)0,My(F)0;Mz(F)0平衡方程是：

Fx=0；Fy=0；Fz=0空間匯交力系xyzA取y軸與各力平行，有Fx0;Fz0;My(F)0。平衡方程是：

Fy=0；Mx(F)=0；Mz(F)=0空間平行力系xzy533.空間力系的平衡方程Fx=0；Fy=0；四、空間平衡問題的求解

FAx

FAy

FAz

FBy

FBz

FCt

FCr

FDt

FDr

Fx

Fy

Fz

Mx(F)

My(F)

Mz(F)

例3.11列傳動軸的平衡方程。解：畫受力圖。1.直接求解法000FByAB00-FCrAC0 FDrAD000 0-FBzAB

FCtAC0 FDtAD0 000 00-FCtr10FDtr2 0 00FAz 0FBz-FCt0-FDt00FAy

0FBy00-FCr0 FDrFAx0 0 000 0 0 0 xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz列表給出各力在軸上的投影及對軸之矩。54四、空間平衡問題的求解FAxFAyFA

Fx=FAx=0--(1)

Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0--(2)

Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0--(3)

Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0--(4)

My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0--(5)

Mz(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0--(6)

利用上述六個方程，除可求五個約束反力外，還可確定平衡時軸所傳遞的載荷。由表中各行可列出六個平衡方程為：xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz55Fx=FAx=0--2.投影法空間平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平面力系，必為平衡力系。如由Axy平面力系可寫出平衡方程：

Fx=FAx=0--(1)

Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0--(2)(Mz(F)=)MA(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0

--(6)xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABCDyxFCrFDrFByFAyFAx562.投影法空間平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平同理，由Axz平面力系可寫方程(1)(3)(5)；由Ayz平面力系可寫出平衡方程(2)(3)(4)?？臻g力系投影到三個坐標平面上，即可轉化為平面力系的平衡問題。

優(yōu)點是圖形簡明，幾何關系清楚，工程常用。xzAyFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABDxzFDtFCtCFBzFAxFAzyzAFAyFByFAzFBzFCrFDtFDrFCt57同理，由Axz平面力系可寫方程(1)(3)(5)；討論：試分析圖中鋼架各銷餃處的約束反力。Z方向無載荷作用，設各處Z方向反力為零。Fz=0(自動滿足)Mz2(F)=0FAy=F1;Fy=0FBy=-FCy;

Mx(F)=-150F1+50FCy-50FBy=0

FCy=3F1/2Fx=FAx+FBx+FCx+F2=0My(F)=-150F2-50FCx+50FBx=0剩余二個方程，不足以確定FAx、FBx、FCx三個未知量；需要考慮三鉸裝配時在x方向的間隙情況。10050cm150cmABCcmz1xyz250cmCF1F2FCyFCxFByFBxFAyFAx58討論：試分析圖中鋼架各銷餃處的約束反力。Z方向無載荷作用，設五、重心起重機翻傾；船舶穩(wěn)定；旋轉機械振動重力W=mg,重心在質量對稱軸上。重心是物體各部分所受重力之合力的作用點。2.實驗法（利用力的平衡）垂吊法重心不一定在物體上。均質物體的重心在其形心處。形心在對稱點、軸、面上。1.解析法物體重心的確定：o垂吊法ABCOWF稱重法W稱重法ABCFAFBLx59五、重心起重機翻傾；船舶穩(wěn)定；旋轉機械振動重力W=mg,例：單位厚度拼合板框如圖，求重心。3.組合法（利用合力矩定理）確定簡單均質圖形組合而成的非均質物體的重心。求yc：組合板=板1+5a正方板-4a正方板

W=W1+W2’-W3’=5a2+50a2-32a2由合力矩定理有:-Wyc=-0.5aW3yc=16a/23后一種方法也稱負面積法或加減法。解：組合板=板1+板2+板3

W=W1+W2+W3=5a2+8a2+10a2=23a2

由合力矩定理有：(注意不是平衡方程)-Wxc=2.5aW1-2.5aW3xc=12.5a/23g2a2aaa5axyg2OxcWW1W2W3yxycW1W3'oW2'60例：單位厚度拼合板框如圖，求重心。3.組合法（利用合力矩定討論1：試確定圖中平面圖形的重心xC。組合圖形=三角形1+三角形2-1/4圓

W=W1+W2-W3由合力矩定理求xC。aaaxCWaaW1W2W31261討論1：試確定圖中平面圖形的重心xC。組合圖形aaaxCWa討論2：木塊中鉆有直徑為d=20mm的二孔，如圖。試確定塊體重心的坐標。組合體=立方體1-圓柱2-圓柱3

W=W1-W2-W3

=(803-80pd2/4-80pd2/4)=80(802-pd2/2)由合力矩定理(對軸z之矩)求xC。轉一個方向，由合力矩定理求yC。由合力矩定理(對軸x之矩)求zC。

WzC=40W1-40W2-40W3=40WzC=40mm(zC=40的平面是均質物體的對稱面)xzy20602060404020OW1WW2W3xczc62討論2：木塊中鉆有直徑為d=20mm的二孔，組合體=立方體小結

1)求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：研究對象受力圖平衡方程補充研究對象？靜定問題總有足夠的平衡方程求解。 4)臨界狀態(tài)時，全反力FR與接觸面法向的夾角稱為摩擦角,且tg=f。若外力的合力FQ的作用線在摩擦角內，則物體將保持靜止；稱為自鎖。3)含摩擦問題應考慮臨界狀態(tài)。最大靜滑動摩擦力

Fmax=fFN沿接觸面切向且指向與運動趨勢相反。2)n個物體組成的物系，約束反力數為m,(平面)若m=3n，是靜定的。靜不定的次數為m-3n。63小結1)求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為5)m(桿數)=2n(節(jié)點數)-3的桁架是靜定桁架。靜定桁架中桿內力可由節(jié)點法、截面法求解。8)

重心是物體各部分所受重力之合力的作用點。均質物體的重心即在其形心處。重心可用組合法、垂吊法或稱重法確定。7)

空間力系的平衡條件為：

Fx=0；Fy=0；Fz=0

Mx(F)=0；My(F)=0；Mz(F)=06)

力對軸之矩可表達為：

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)

力與軸共面(平行或相交)時，力對軸之矩為零。645)m(桿數)=2n(節(jié)點數)-3的桁架是靜定桁架。8)第三次作業(yè)：思考題：3-5習題：3-18；3-19;3-21；3-22。再見65第三次作業(yè)：再見65第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題66第三章靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦3.1平面力系的平衡問題思路：研究對象受力分析平衡方程求解一、平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類：

對于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應滿足的條件及約束力。60ABCDF673.1平面力系的平衡問題思路：研究對象受力分析平衡方程例3.1求圖示結構中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0結果正確。2）取坐標，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30=0ABCF=2KNFq30q=0.5KN/mL=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。68例3.1求圖示結構中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受例3.3夾緊裝置如圖。設各處均為光滑接觸，求P力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0FB=F

解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFAMA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0

FC=Fctga。

越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點O，則由力矩方程直接可得:MO(F)=FABcos-FCABsin=0

FC=Fctg

69例3.3夾緊裝置如圖。設各處均為光滑接觸，研究整體，受例3.4梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：Fx=FAx=0---(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA70例3.4梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊由

2)小車為研究對象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBFEFCyFByFCx=0712)小車為研究對象，列平衡方程：3)取BC梁為研究對象，有補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A、B及D處的約束力。解：研究整體有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB2a-Fa=0

FB=F/2Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD桿，有：MC(F)=FDya=0YD=0Fy=FACsin45-F=0FACFx=FDx-FACcos45=0FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請驗算：AB桿(帶銷A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy72補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A、B解：研究整求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問題否？選取適當的坐標軸和矩心，注意正負號。檢查結果，驗算補充選取適當研究對象，畫受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零；力偶對任一點之矩即為M。73求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標出已知量問題1：不計桿重，求連桿機構在圖示平衡位置時F1、F2之關系。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。bＣMABac4560ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCFq2aaa4574問題1：不計桿重，求連桿機構問題2:三鉸拱受力偶M作問題1.不計桿重，求連桿機構在圖示平衡位置時F1、F2之關系。4560ABCDF1

F2FDFCME(F)=F2AE-F1sin60BE=0注意：BE=AB；AE=AB可解得：

F2=......F12E

75問題1.不計桿重，求連桿機構在圖示平衡位置時4560AB問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。解:BC為二力桿;外力只有力偶M,以AC為軸寫投影方程可知，A處反力為FAy=0,整體受力如圖所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0FCFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=?AM又由可解得BF76問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，解:BC問題2再論:不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。77問題2再論:不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣM問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，3個方程，4個未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA78問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理討論：判斷下述分析的正誤。MA=

M+Fa-2Pa固定鉸的約束力作用于銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy79討論：判斷下述分析的正誤。MA=M+Fa-2Pa第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FBd-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAyl+Fl=0FAy=-FFx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F80第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束第二種情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F

l考察BC桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FByMB(F)=0:FCylBC+Fl=02=-—F2

FCy=FBy再考察AB桿，

由MA(F)=0可求得FBx81第二種情形lllACBM=FlFAyFAxllABDFBx由ABD桿的平衡有：MA(F)=02

FBx=—Fˉ2MB(F)=0FAy=

0MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F

l更簡單方法以整體為研究對象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?82由ABD桿的平衡有：MA(F)=02二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題--未知量數=獨立平衡方程數ABCF30如例1系統(tǒng)二根桿六個平衡方程；約束三處鉸鏈六個反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個，但B、C處約束力未知量也減少了二個。83二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)三個物體8個平衡方程；約束固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸處各1共8個反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)三個物體9個方程，反力只有8個。小車可能發(fā)生水平運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數少于獨立的平衡方程數，有運動的可能。CABWP84本題作用于小車的是如例3未被完全約束住的物體及系統(tǒng)約束力未2）靜不定問題或超靜定問題

完