大物-物理著科學(xué)課后答案網(wǎng)用心為你服務(wù)

課后答案網(wǎng)，用心為你服務(wù)！大學(xué)答案---中學(xué)答案---考研答案---考試最全最多的課后習(xí)題參考答案，盡在課后答案網(wǎng)（Khdaw團(tuán)隊(duì)一直秉承用心為大家服務(wù)的，以關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)生活為出發(fā)點(diǎn)，旨在為廣大學(xué)生朋友的自主學(xué)習(xí)提供一個(gè)和交流的平臺(tái)。愛校園（www.aixiaoyuancom）課后答案網(wǎng)（www.khdawcom）淘答案（www.taodaancom枟大學(xué)物理（新版）枠學(xué)習(xí)指導(dǎo)主編張孝林副主編田蓬編者蘇亞鳳喻有理劉丹東內(nèi)容簡(jiǎn)本書是與教授主編的枟大學(xué)物理新版枠配套的教學(xué)參考書書了答過晰，書中還給出每章的主要內(nèi)容以及８０．枟大學(xué)物理（新版）枠學(xué)習(xí)指導(dǎo)／張孝林主編．－科學(xué)ISBN７唱０３唱００９４０３唱Ⅰ．大?Ⅱ．張?Ⅲ物理學(xué)高等學(xué)校Ⅳ館館（２００１）第０２１２５鄢德平／柏連海責(zé)任安春科 各地新華書店經(jīng)*２００２年１月第一版２００４年１月第三次印刷印數(shù)：１００００

開本：７２０×１０００印張：２７字?jǐn)?shù)：５２８（印裝質(zhì)量問題我社負(fù)責(zé)調(diào)換枙路通枛 它在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素、、提高學(xué)生智力等方面具有重要的作用要學(xué)好大學(xué)物理除了課堂的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練外，是與教授主編的枟大學(xué)物理（新版）枠配套的教學(xué)參考書本書給出了教材中全部習(xí)題的詳細(xì)解答在解題過力求做到思路清晰解法簡(jiǎn)捷為了使讀者掌握和了解類型的題目書中還給出了８０余有一定代表性和示范性的典型例題在這些典型例題的求解中突出物理概念和物理模型注重題目的分析參加本書編寫的有田蓬勃（１～４章）、張孝林（５～７、１２章）、蘇亞鳳（８～１０章）喻有理（１１，１５，１６，１８，１９章）（１３，１４章）、（１７章）全書由張孝林負(fù)責(zé)統(tǒng)稿李和張俊武用計(jì)算機(jī)繪制了全書的插圖由于編者水平所限和編寫時(shí)間倉促書中難免會(huì)有一些疏漏和錯(cuò)誤希望使用本書的讀者指正．本書在編寫過得到了教授的悉心指導(dǎo)得到了李甲科教授、焦兆煥編者２０００年１０月·i前第一篇??????????????????（）第１ 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)???????????????????（）第２ 牛頓運(yùn)動(dòng)定律??????????????????（）第３ 功和能?????????????????????（）第４ 沖量和動(dòng)量???????????????????（）第５ 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)???????????????????（）第６ 剛體動(dòng)力學(xué)???????????????????（）第７ 機(jī)械振動(dòng)????????????????????（）第二 電磁學(xué)???????????????????????（）第８ 靜電場(chǎng)?????????????????????（）第９ ??????????????????（）?????????????（２３２第三 熱學(xué)????? ??????????????????（２５６第１１ 熱力學(xué)基礎(chǔ)???????????????????（２５６第１２ 氣體動(dòng)理論???????????????????（２８５第四篇波動(dòng)和波動(dòng)光學(xué)????????????????????（３０４第１３ 機(jī)械波?????????????????????（３０４第１４ 波動(dòng)光學(xué)????????????????????（３３２第五篇近代物理基礎(chǔ)????????????????????（３６０第１５狹義相對(duì)論力學(xué)基礎(chǔ)???????????????（３６０第１６量子物??????????????????（３８２第１７原子核基本知識(shí)簡(jiǎn)介???????????????（４０５第１８粒子物??????????????????（４１６第１９??????????（４２４第一 1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)—1暢確定質(zhì)點(diǎn)位置的方法確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)首先要確定參考系在確定的參考系2運(yùn)動(dòng)學(xué)方質(zhì)點(diǎn)相對(duì)參考系質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方運(yùn)動(dòng)學(xué)方描述了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)幾種不同描述方法對(duì)應(yīng)x＝x（y＝y(tǒng)（tz＝z（t）位矢法：r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k自然法：s＝s（t）3暢質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度位移：Δr＝r（t＋Δt）r（t）dv＝dr＝vxi＋vyj＋vzdtd加速度a＝dv＝axi＋ayj＋azddv＝ddt4暢常見的幾種運(yùn)動(dòng)

a＝an＋aτ

＋ρ＋

dvd勻加速度運(yùn)動(dòng) v＝v０＋x＝

t＋１２·１０v２－v２＝２０圓周運(yùn)動(dòng) Δs＝rΔv＝rdθ＝r＝τ＝τ

rdω＝ dran＝v＝ωv＝rr5———伽利略變換在兩個(gè)相互作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中va＝vr＋uaa＝ar＋二、典型例1唱1 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)其速度與時(shí)間之間關(guān)系如圖１唱１（a）所示．設(shè)t＝０時(shí)，x＝０試根據(jù)已知的vx t圖畫出a t圖和x t圖．解vx t曲線的斜率即為加速度從已知的vx t曲線可得０～２s a０－２＝dv＝２０－（－２０）＝２０（ms－２）２～６ a２－６

３０

—２６～１０ a６－１０

６－＝

＝暢５

—２d １０－根據(jù)以上結(jié)果可畫出 t曲線如圖１唱（b）根據(jù)v t曲線０～v＝２０t－tdx＝２０－td圖１唱 dx＝（２０t－２０）d ∫dx＝∫（２０t－２０）d x＝１０—２０tt＝２s x＝２～６v＝２暢tx＝１暢t２tt＝６s x＝１００６～１０v＝暢t＋·２圖１唱 圖１唱根據(jù)以上結(jié)果作x－t曲線，如圖１唱１（c）所說明理解運(yùn)動(dòng)圖線v－t掌握?qǐng)D線上點(diǎn)、線、斜率和面積所表示的物理內(nèi)容根據(jù)位加速度的定義vt關(guān)系可xt，at滑動(dòng)（圖１唱２）已知其切向加速度為－gsinθ．θ是曲線切向與水平方向的夾角求質(zhì)點(diǎn)在各處的速率．唱解取如圖１唱２所示的直角ds為質(zhì)點(diǎn)移它y方向的dy＝dssinθ這里只用到切向加速度aτ＝dd故

＝－gsinds／dt＝v上式可寫成

dv＝－gsinθdt＝－gdydddv＝－gdy

·３ v ０v２－０即

＝２g（

— v２＝v２＋２g（y－ 法向加速度和總加速度之間的關(guān)系及定義是解此題的基dy＝ds·sinθ將直角坐標(biāo)系與自然ys聯(lián)系起來是解此題的關(guān)鍵積分可解此題此題可看出向加速度改變質(zhì)點(diǎn)速度的大小法向但它的作用是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向．1唱3vt時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的切向分量和法向分量及曲率半徑．唱２解球作平拋運(yùn)動(dòng)故球的運(yùn)動(dòng)方２r＝即d

ti＋１gt２

vx＝dx＝v００y＝１ ＝d（０d

t）＝vy＝dy＝d１gt２＝d球在時(shí)刻tv·４

dtv２＋v２＋v v２＋g２０vy＝arctan

（見圖θ＝arctanv vaτ

dv＝dd d

v２＋g２t２

g２００小球作加速度００g＝aτ＋a ００ an＝ρ可得曲率半徑 ρ

v

＝（v２＋g２t２）３ 面在直角坐標(biāo)系中由運(yùn)動(dòng)方求速度另一方面根據(jù)自然坐標(biāo)系下速度、切向加及切向加速度和法向加速度垂直的性質(zhì)與合加速度的關(guān)系求解．1唱 羅盤顯示飛機(jī)頭指向正東空氣流速表的讀數(shù)為２１５km／h此時(shí)風(fēng)向南、風(fēng)速６５km／h，（a）求飛機(jī)相對(duì)地面的速度；（b）若想朝正東飛行機(jī)頭應(yīng)指向什么方向？唱解由速度v＝vv（a）可得v （２１５）２＋（６５）２＝２２５（km·５θ＝arctan由圖１唱４（b）可得θ＝arcsin

＝＝即機(jī)頭應(yīng)指向東南方向１７暢６°．v （２１５）２－（６５）２＝正確掌并注意到速度的矢量量疊加得到本題結(jié)果．三、習(xí)題詳1暢 選擇（１）根據(jù)瞬時(shí)速度矢v的定其用直角坐標(biāo)和自然坐標(biāo)的表示形式的大小｜v｜可表示為（B，D，F(xiàn)，H）d d d d（A）d

d

d

d（Ed dy＋d

dxi＋dyj＋d）dt＋d d

d d d１２（G）d ２d

dyd

dzd

dxd

dyd

dz２d（２）根據(jù)瞬時(shí)加速度矢量a的定義及其用直角坐標(biāo)和自然坐標(biāo)的表示形式它的大?。黙｜可表示為（ACGdd

d （B）d

d２d

d２（D）dd２

d２x＋d２y＋d２d d１

d d１

v２

dv２d

２d２dd２dρ（３）以下說法中是（B，C，D質(zhì)點(diǎn)具有恒定的速度質(zhì)點(diǎn)具有恒定的速率質(zhì)點(diǎn)加速度方向恒定質(zhì)點(diǎn)速度方向恒定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的值很大質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)其法向加速度一般并不為零加速度為零．·６（４）能正確表示質(zhì)點(diǎn)在曲線軌跡上P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為的圖是圖１暢圖１暢（５）質(zhì)點(diǎn)以速度v＝t２m／s作直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)直線作Ox軸t＝３s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于x＝９m處，則該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方為（C）（A）x＝２ （B）x＝４t＋１２（C）x＝４t＋１t３－ （D）x＝４t＋１t３＋ 1暢2填空∫（）質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)其速度v與時(shí)間t的關(guān)系如圖１暢２（１）t１時(shí)刻曲線的切線斜率表示該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度t１與t３之間曲線的割線斜率表t１到t３時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均t＝t４時(shí)間點(diǎn)的位移∫∫∫

|v|dt ０ 圖１暢（２）質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)若d dr不為零則質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)若dv＝０dt＝０ ddddd不為零點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)

da不為零則質(zhì)點(diǎn)作變d

dt＝０dt （３）已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方為x＝x（t），y＝y(tǒng)（t），則t１時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位·７r（t）＝x（t）i＋y（t）j，時(shí)間間隔（t２－t）內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Δr＝［x（t）x（t）］＋［y（t２）－y（t）］j隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位移的大小｜Δr｜＝｛［x（t２）－x（t１）］２２１［y（t２）－y（t１）］d２１dd dt

∫t d ∫１，該時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的 Δs＝ d １１（４）質(zhì)點(diǎn)Oxy平面內(nèi)作斜拋運(yùn)動(dòng)，t＝時(shí)質(zhì)點(diǎn)O點(diǎn)，t＝t１時(shí)質(zhì)點(diǎn)１t動(dòng)到A暢２（４）０

vxdt表示從＝t１時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位移沿x軸的投影t∫vydt表示t＝t１時(shí)間內(nèi)質(zhì) 圖１暢 沿y軸的投影０A

vdtt＝t１A間內(nèi)經(jīng)歷的路；∫dr表示從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的 A ０（）AB桿以勻速ux軸正方向運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)套在拋物線（y２＝２px）導(dǎo)軌上的小環(huán)１暢２（５）已知t＝ABy小環(huán)運(yùn)動(dòng)的軌跡方y(tǒng)＝px運(yùn)動(dòng)學(xué)方為x＝ut，y＝±（put）＝ 加速度a ±pu ± j人以速度v０在勻速行走，見圖１暢３暢求人影中頭頂?shù)囊苿?dòng)速度，并求影長增長的速率．

圖１暢x頭頂坐標(biāo)為x２設(shè)人影頭頂?shù)囊苿?dòng)速度為vud

dv＝dt，

＝d·８

圖１暢

x２x１為人影長dd dd

dh—h—

u （x２—x１）＝d

d＝ ＝ x２－

x２＝hv＝d hdx１

hdt＝

ld

＝h—ldu＝d

ddt＝

vl 湖中有一小船岸邊有人用繩子通過一高處的滑輪拉船如圖１暢４所示，人收繩的速率為v問：（１）船的運(yùn)動(dòng)速度u（沿水平方向）比v大還是（２）如果保持收繩的速率v不變船是否做勻速運(yùn)動(dòng)？如不是圖１暢解（１）將船在如圖所示的坐標(biāo)系中到滑輪繩長為l滑輪距水面的高度h依題意有２xd有

dv＝dd

d u＝d

dx＝２ldx２＝l２－

dx＝ldl |u|＝d

＝ldl＝lld xd

d xd u＝－v＝－v u為負(fù)表示運(yùn)動(dòng)方向向左，｜u｜＞v

·９（２）船作變換運(yùn)動(dòng)其加速

vdd d d dd＝dt＝dt２ —xv＝－x３（l－xv a＝－xtanθ，a與v方向相同船做變加速運(yùn)動(dòng) 與火箭發(fā)射臺(tái)的距離為l觀測(cè)沿豎直方向向上發(fā)射的火箭如圖１暢５觀測(cè)得θ的規(guī)律為θ＝kt（k為常數(shù)）．試寫出火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方并求出當(dāng)＝π速度解在圖中所示的y＝ltanθ＝ dv＝dy＝lk／cos２dda＝d當(dāng)θ＝π

＝２ t·sec２３v＝４３圖１暢 a

８３９因此火箭在勻加速上升９1暢6粒子按規(guī)律x＝t３－３t２－９t＋５沿x軸運(yùn)動(dòng)在哪個(gè)時(shí)間間隔它沿著x軸正向運(yùn)動(dòng)？哪個(gè)時(shí)間間隔沿著x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)？哪個(gè)時(shí)間間隔它加速？哪個(gè)時(shí)間間隔 ？分別畫出x，v，a以時(shí)間為自變量的函數(shù)圖．解因已知粒子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方對(duì)其微分可求得速度、加速度因此v＝dx＝３t２－６t－dd２a ＝６t－d當(dāng)v＝（t２t）ts粒子沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)．由于a＝（t）ts時(shí)，ats時(shí)，a＜０．可見在時(shí)間間ts內(nèi)和ts內(nèi)，va同號(hào)粒子作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間間隔１s＜t＜３s內(nèi)，v和a異號(hào)粒子作運(yùn)動(dòng)圖略1暢 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方為x＝t２，y＝（t－１）２，x和y均以m為單位，ts為單位（１）質(zhì)點(diǎn)的軌跡方（２）在t＝s質(zhì)點(diǎn)的速v和加速a·１０解（１）由運(yùn)動(dòng)學(xué)方消去時(shí)間t可得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方將t＝x代入yxy＝（x－１）２ －yx（２）對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方微分求速度及加速度＝dd

＝２dvy＝dy＝２（t－dv＝２ti＋２（t－１）dv dax＝d

＝２ay＝dt＝a＝２i＋２當(dāng)t＝s時(shí)速度和加速度分v＝４i＋２jm／s a＝２i＋２jm1暢 已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方為r＝２ti＋（２－t２）j其中，r，t分別以ms為單位（１）t＝s到t＝s質(zhì)點(diǎn)的位移（２）t＝s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度（３）質(zhì)點(diǎn)的軌跡方（４）在Oxy平面內(nèi)畫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡軌跡圖上標(biāo)出t＝２s質(zhì)點(diǎn)的rva．解依題意有

x＝２ y＝２－

r（１）＝２i＋j r（２）＝４i－２Δr＝r（２）－r（１）＝２i－３（２）通過對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方求導(dǎo)可v＝dxi＋dyj＝２i－２dd２a＝d

＋d d２dt２

＝－２v＝２i－４jm／s a＝－２jm（３）由（１）、（２）兩式消去時(shí)間t可得

·１１（４）圖

y＝２－1暢9一粒子沿著拋y＝x２速度x軸的投vx為數(shù)m／s試計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在x＝m處時(shí)其速度和加速度的大小和方向３解依題意： vx＝dx＝３m／sdty＝d dvy＝dy＝２xdxd d當(dāng)x＝m時(shí)，vy＝２＝m v２＋v vv２＋v 其方向α＝arccosvx＝vdv dax

＝２ ＝１８m

dt＝０ay＝d a＝ay＝m／s a的方向y軸正向1暢10一質(zhì)點(diǎn)沿一直線其加速a＝x式中x的單位為m，a的單位為m／s試求該質(zhì)點(diǎn)的速度v與位置坐x之間x＝v０＝m／s．解依題意a＝dv＝dvdx＝vdv＝－２d dxd d

∫－２xdx＝０００

vd—x２＝１（v２－v２ v v２－２x２ １６－２在本題變量的替換０這種方法在許多問題中都有應(yīng)讀者應(yīng)注意體會(huì)該方法的思路．·１２ 火箭沿豎直方向由靜止向上發(fā)射加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖所示．試求火箭在t＝５０s時(shí)用完那一瞬間所能達(dá)到的高度及該時(shí)刻火箭的速度．解由圖可知２第一階 a＝１２dv＝１t dv＝tdd v∫dv＝v

１tdt，v＝１０ ０當(dāng)t＝２０s v＝１００４v＝１t４

xx

圖００

x＝１t３，t＝２０ x＝２０００ a＝１t＋ dv＝１t＋２０d６v∫dv＝v

１t d

２０

v t２

∫dx＝∫１t２＋２０t－２００d

＝１t３＋２０２－t＋４４４暢當(dāng)t＝s時(shí)，v＝m／s，h＝暢０m1暢 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑R＝１m的圓周運(yùn)動(dòng)．t＝０時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)如圖后沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方s＝πt２＋πt其中s的單位為m，t的單位為s·１３（１）質(zhì)點(diǎn)繞行一周所經(jīng)歷的路、位移、平均速度和平均速率（２）質(zhì)點(diǎn)秒末的速度和加速度的大小解（１）質(zhì)點(diǎn)繞行一周所經(jīng)歷的路為圓周的周長即Δs＝２πR＝６暢２８m由位移和平均速可知此時(shí)位移平均速度也為ΔΔr＝０， v＝Δt＝０令Δs＝s（t）－s（０）＝πt２πt＝２πR，可得質(zhì)點(diǎn)繞行一周所需時(shí)Δt＝１sv－

Δs

２π

＝６暢Δ Δ由以上結(jié)果可看出路與位移速度與速率是不相同的．（２）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速v＝ds＝２πt＋vv２v２R＋d２sda圖１暢當(dāng)t＝１s時(shí) v＝９暢４２m／s，a＝８９暢０m／s２２1暢 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方為s＝v０t－１bt２，其２v０，b都是常數(shù)（１）在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的加a（２）在何時(shí)加速度的大小等于b（３）到加速度大小等于b時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)行的圈數(shù)．解（１）由自然坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方可得dv＝ds＝v０－bt d

d２dt＝－（２）令a

（v０－a

n－

＋b

＝bb０·１４b０

v－bt＝０ t＝即t＝v０加速度大小為bbb b（３）Δs＝s（t）－s（０）＝

v０－

v＝２ n＝Δs＝ ０２π

４π1暢14一質(zhì)點(diǎn)s＝tt在圓軌道上運(yùn)s為沿圓弧m為單ts為單t＝s時(shí)的總加速度m／s求此圓弧的半徑．解質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn) 由自然坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率大d

v＝ds＝３t２＋４d （３t２＋４aτ

dt＝６t＋４，an

R R當(dāng)t＝s時(shí)，v＝m／s，aτ＝m／s２，an＝４００R依題 a

４００R

＝２，得R＝暢５m1．15一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為０暢１m的圓周運(yùn)動(dòng)，其用角坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)方為θ＝t３，θ的單位rad，t的單位s（１）在t＝２s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大?。ǎ玻│鹊扔诙嗌贂r(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度和半徑的解（１）質(zhì)點(diǎn)的角速度及角加速度為d d２dω ＝１２t β ２＝２４dd因此質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度大小為τan＝Rω２＝１４４Rt４ a＝Rβ＝２４τ當(dāng)t＝s時(shí)，an＝暢４m／s２，aτ＝暢８m／s２（２）設(shè)時(shí)刻t′a和半徑夾角為此時(shí)an＝aτ，６１４４Rt′４＝２４Rt′ t′３＝１６θ（t′）＝２＋４t′３＝２暢６７1．16一圓盤半徑為３m度在t＝０時(shí)為３暢３３πrad／s勻地t＝st＝s時(shí)的切向加速度和法向加速度的大?。饨撬俣染鶆虻販p小·１５β＝ω（４）－ω（０）＝０－３暢３３π４－０ ＝－０暢８３π圓盤做勻角加速度運(yùn)動(dòng)ω＝ω０＋βt＝３暢３３π－０暢８３π當(dāng)t＝２s時(shí)，ω＝３暢３３π暢８３π＝１６暢７πrad／s．a(chǎn)n＝Rω２＝８２暢４m／s２，aτ＝Rβ＝暢８m1．17（１）地球的半徑為m心的向心加速度．（２）地球繞運(yùn)行的軌道半徑為１暢５×１０１１m求地球相對(duì)于的向心加速度．（３）天文測(cè)量表明系以近似圓形的軌道繞系中心運(yùn)動(dòng)，半徑為２暢８×１０２０m，速率為２暢５×１０５m／s求系相對(duì)于系的向心加速度（４）求這些加速度每對(duì)的比值解（１）地球赤道表面一點(diǎn)相對(duì)于地球中心的向 １n＝R１ω１＝６暢３７×１０１

２４×６０×

＝３暢３６×１０（m／s（２）地球相對(duì)的向心加速度R Rn＝２ω２＝１暢５×１０２

３６５×２４×６０×

－ ＝５暢９５×１０（m／s（３）系相對(duì)系的向心加速度 ５ ＝３

＝２暢２３×（m／sn ２暢８×（４）兩加速度比值為anan＝５暢６５∶１度比值anan＝２暢６７×１０７∶１ 1．18一架飛機(jī)在水平地面的上方m／s的速率垂直俯沖圓形路徑脫離俯沖７８暢４m／s２到地Rvan＝當(dāng)an為飛機(jī)所能承受的最大加速度時(shí)，R即為最?。罚笗常?/p>

Rmin

Rmin

７８暢４＝３８６暢２1．19s內(nèi)，它的角速度均勻地增加到６暢６７πrad／s５min內(nèi)停止·１６解（１）t＝t＝s盤作勻加速β１＝ω（６）－ω（０）＝１暢１１π６－Δφ＝１β１t２＝２０πrad n１＝Δφ＝ （２）從開始制動(dòng)到完全停止歷時(shí)Δt＝３００s圓盤作勻轉(zhuǎn)動(dòng)開始制動(dòng)時(shí)，β２＝０－

＝－０暢０２２πΔφ＝６暢６７π×３００－２

×０暢０２２π×３００２＝１０００π（３）勻速轉(zhuǎn)動(dòng)階段所轉(zhuǎn)過的圈n２＝３１００－（１０＋５００）＝

Δt

２π６暢６７π

＝７７７６＋７７７＋３００＝１０８３（s）＝１８暢０５120 并證va即v·a＝０．解取坐標(biāo)系如圖以直角坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方x＝Rcosωt， r＝RcosωtiRsinωtjdv＝dr＝－ωRsinωti＋ωRcosda＝dd

＝－ω２Rcosωti＋ω２Rsin1．21一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)因此v·a＝vxax＋vyay1．21一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)＝t２＝（t）２，其中x，ym為單位，ts為單位圖（１）試寫出質(zhì)點(diǎn)的軌跡方并在Oxy平面內(nèi)示意地畫出軌跡曲線（２）質(zhì)點(diǎn)的速度何時(shí)取極小值·１７（３）試求當(dāng)速度大小m／s時(shí)的位置坐標(biāo)（４）試求時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度的大?。猓ǎ保┯蛇\(yùn)動(dòng)學(xué)方消去t得軌跡方xt x（２）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速vx＝dx＝２t，vy＝dy＝２（t－d dv２＋v２＋v ４t２＋４（t－１dx（４）＝１６m y（４）＝９４t２＋４（４t２＋４（t－＝dv＝dd d

＝ ２（２t－t２＋t２＋（t－ 因此向

a a２＋a２＝an a２－a２＝ τt２＋（t－ 橢圓規(guī)的AB桿上，A、B兩點(diǎn)分別沿Oy槽、Ox槽移動(dòng)試證明桿上一點(diǎn)C的軌跡為橢圓又設(shè)桿上的A點(diǎn)以勻速v０運(yùn)動(dòng)求B，C兩點(diǎn)的速度圖１暢·１８解建立如圖所示直角坐標(biāo)系，C點(diǎn)的xc＝（l１＋l２yc＝－l２sinl１＋

＋

＝由此可見C點(diǎn)的軌跡為

vA＝dyAj＝－vdx２＝

—Bd

d２

dt＝－

dt＝２v０B

vB＝dxBi＝y(tǒng)Av又由于

＝l１＋l２x

d xBBd l１＋l２d Bdt而

dt xBd

y＝－l２ACACl２d

dt＝－l１dt＝l１v＝l１＋l２

i＋l２v

xBv

１1．23一人站Oxy平面上的某點(diǎn)（x１，y）以初速v鉛垂向上拋出一球．（１）試以時(shí)間t為變量寫出球的位矢量r（２）求出球的速度矢v和加速度矢量a解（１）起拋點(diǎn)的坐標(biāo)為（x１，y１，０），球豎直向上做勻運(yùn)動(dòng)加速度—gk因而球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方x＝

y＝

z＝v

t－１

２·１９２

r＝

i＋

j＋

t－１gt２２（２）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度２v＝dr＝（v０－gt）k a＝dv＝－d d1．24半徑R的大環(huán)上套一小環(huán)MAB穿入軸以規(guī)律θ＝ωt（ω為常量）逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（１）試以大環(huán)為參考系分別用直角坐標(biāo)法和自然法求出小環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方、速度和加速度；（２）試以桿AB為參考系求小環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方、速度和加速度．解θ＝ωt（ω）（１）以大環(huán)為參考系，M點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的夾θ＝ωt因而有x＝Rcos２ωt y＝Rsin２vx＝－２ωRsin２ωt vy＝２ωRcos２ax＝－４ω２Rcos２ωt ay＝－４ω２Rsin２s＝２Rωt v＝ds＝２R２d２ d τ ２＝０ and

R＝４R圖１暢

（２）以A為原點(diǎn)AB作坐標(biāo)軸Oη有η＝２Rcosdv＝dη＝－２Rωsinda＝dv＝－２Rω２cosad1暢25一輛帶篷的卡車雨天在平直公 行駛發(fā)現(xiàn)車速過小時(shí)雨滴從車后斜向落入車內(nèi)車速過大時(shí)雨滴從車前斜向落入車內(nèi)已知雨滴相對(duì)地面速度大小為v與水平面夾角為α，試問（１）車速為多大時(shí)雨滴恰好不能落入車內(nèi)？（２）此時(shí)雨滴相對(duì)車廂的速度為多大？vvr車廂相對(duì)于地面的速度為ve根據(jù)伽利略速度變換三者關(guān)系為v＝vr＋·２０vr垂直于車為不能落入車的關(guān)系內(nèi)，此時(shí)v，vr，ve有如圖１暢２５（１）ve＝vcos（２）vr＝vsin1．26相對(duì)于地面靜止的聲可向各個(gè)方向發(fā)出聲波已知所波在靜止的空氣中以３４０m／s的速度一觀察者相對(duì)于聲源m／s的速度運(yùn)動(dòng)，試按以情況求出觀察者所測(cè)得的聲速：（１）觀察者運(yùn)動(dòng)方向與聲波方向相同（２）觀察者運(yùn)動(dòng)方向與聲波方向相反（３）觀察者運(yùn)動(dòng)方向與聲波方向垂直（４）觀察者測(cè)得聲波沿垂直于自己的運(yùn)動(dòng)方向傳來

圖解選地面為定參考系選隨觀察者一起運(yùn)動(dòng)的參考系為動(dòng)參考系設(shè)聲波相對(duì)于定參考系的速度為va相對(duì)于動(dòng)參考系的速度為vr動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系的速度為ve｜va｜＝m／s，｜ve｜＝m／s，vrva＝vr＋ve，vr＝vave．（１）vevax軸正向vavr＝va－ve＝３４０＝３２０（m／s）vr沿x軸正向（２）vevax軸正vavr＝va－（ve）＝２０＝３６０（m／s）vr沿x軸正向（３）y軸正va同，x軸正向vev v２＋v２ ３４０２＋２０２＝３４０暢６（m vr與x軸正向夾角α＝９３暢７°（４）y軸正vrx正向vev v２—v２ ３４０２－２０２＝３３９暢４（m va與x軸正向夾角β＝８６暢６°1．27一從水平飛行的飛機(jī)尾艙中水平射出，出口速度的大小為３００m／s飛機(jī)速度大小為２５０m／s試描述的運(yùn)動(dòng)情況：（１）在固結(jié)于地面的坐標(biāo)系中（２）在固結(jié)于飛機(jī)的坐標(biāo)系中并計(jì)算射手必須把槍指向什么方 才能使在地面坐標(biāo)系中速度的水平分·２１圖１暢

解（１）在地面參考標(biāo)系中沿拋物線其水平速度大小為va＝vr－ve＝３００－２５０＝５０（２）在飛機(jī)參考系中仍沿拋物線軌跡vr＝m／s的水平速度離開飛機(jī)．以地面為靜參為動(dòng)參考系，靜考系中觀察到速度的水平分量為零設(shè)的絕對(duì)速度va沿鉛直方向向上，依題意動(dòng)參考系相對(duì)靜參考系的速度ve沿水平方va，ve及相對(duì)速度vr三者的關(guān)系sinθ＝v

＝２５０＝０暢８３，θ＝５６暢４°可見射手必須把槍指向斜上方與鉛直方暢４°角1．28可以認(rèn)為月球以地球?yàn)橹行淖鲌A周運(yùn)動(dòng)而地球又以為中心作圓周運(yùn)動(dòng)試求當(dāng)（１）月球在地球和之間和（２）地球在月球和之間時(shí)月球相對(duì)于的加速度．解設(shè)月球相對(duì)地球加速度為ar地球相 加速度ae月球相 速度為aaaa＝ar＋月球繞地球作圓周期月球中心到地球中心距離為３暢９×m １a＝ω２ １

－ ×３暢９×１０＝２暢３×１０（m／s地球繞作圓周運(yùn)動(dòng)，周期取為３６５天地球中心到中心距離為１暢５×m

e＝ω２r２＝３６５×２４×６０× ×１暢５×１０＝５暢９×１０（m／s所以，（１）月球在地球和之間時(shí)月球相對(duì)于的加速度aa＝－ar＋ae＝３暢６×１０（２）地球在月球和之間 月球相對(duì)于的加速度aa＝ar＋ae＝８暢２×１０m．29當(dāng)某物體在空氣（或其他流體）速率逐漸趨于一個(gè)終極速率vtay＝－g·２２解當(dāng)ay＝垂直下落的物體不再加速此時(shí)速率趨于終極速率vt，因此，t—g＋bv２＝tv＝g＝７０ ·２３2章牛頓運(yùn)動(dòng)定律—1暢牛頓運(yùn)動(dòng)三定第一定律何質(zhì)點(diǎn)都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)直到其它物體對(duì)它作用第二定律物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與物體所受的合力成正比R＝∑Fi＝d（mvirird m為常量R＝Fi＝在直角坐標(biāo)系下

dt＝mdt２＝ma ddv d２ dRx Fix＝i

＝mdRy Fiy＝

d d２＝２ d dRz Fiz＝

dv d２＝２ d d在自然坐標(biāo)系下

Rτ＝∑Fiτ＝maτ＝md d２Rn Fin＝man＝m 第三定當(dāng)物體AF作用于物體BB也同時(shí)以力F作用于AFF總是大小相方向相且作用在同一直線上其關(guān)系可１＝－２力滿足矢量疊加原理：F＝F１＋F２＋2暢力學(xué)中幾種m１萬有引力：F＝

；G＝暢m３·kg·s—２為引力常量２r２重力： P＝mg； g＝９暢８m／s２為重力加速度．彈簧的彈性力：Fx＝－kx，k為勁度系數(shù)．·２４靜摩擦力ffmax，fmax＝μN(yùn)，μ０為最大靜摩擦因數(shù)滑動(dòng)摩f＝μN(yùn)，μ為滑動(dòng)摩擦因3暢應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題的一般步選取研究對(duì)象分析受力情況畫出受力圖選取坐標(biāo)系列方求解討論4暢牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用范圍宏觀低二、典型例唱1v０從地面豎直向上拋出一質(zhì)量為mαmv２的黏滯阻力（α，v為小球運(yùn)動(dòng)的速度大?。┙庑∏蜇Q直向上拋出后到向下的重力mg和向下的阻力αmv２作用取地面為坐標(biāo)原點(diǎn)豎直向上為y軸正方向由牛頓第二定—mg－αmv２＝mdd dyd d d變量替換＝ ＝v d dtd即

dd—mg－αmv２＝mvdd mvdv mg＋

＝d由題小球位于地y＝小為v＝v０設(shè)小球向上的最大高度h也就是y＝h，v＝積分上０ mvd

＝hd∫v

mg＋ ０h＝１２

mg＋

小球下落時(shí)將受到向下的重力mg和向上的αmv２根據(jù)牛頓第二定律有

—mg＋αmv２＝mdd—mg＋αmv２＝mvdd

·２５即 mvdv mg－

＝d由題y＝hv＝球回到地它的速度大小為v１y＝v＝v１積分上—v

＝０d∫mg－ 得１h＝１ １將（１）式代入（２）式，

２αmg－１

mg＋ ０ ０１２ ２αmg－１ ２０ 這是一個(gè)變力牛頓定律應(yīng)用問題應(yīng)用牛頓定律求解本題時(shí)積分變量替換即dv＝dydv＝vdv非常重要積分變量替換后分離變量然后通過積分就可d dtd d求解此題法在許多問題中都有應(yīng)用的方向始終與物體的運(yùn)動(dòng)方向解此題時(shí)應(yīng)將小球的上拋運(yùn)動(dòng)和下落運(yùn)動(dòng)分開考慮．2唱 一質(zhì)量為M的圓環(huán)用線懸掛著將兩個(gè)質(zhì)量均為m的有孔小珠套２此環(huán)上以在環(huán)上作無摩擦地滑動(dòng)，如圖（a）所示今同時(shí)將兩個(gè)小珠從環(huán)的頂部釋放并沿相反方向自由滑下證明m≥３M時(shí)大環(huán)將升起２解取小珠為研究對(duì)象受重力mg作用還受大環(huán)對(duì)它的約束力N沿半徑向外向方向牛頓定律沿切向方向

mgcosθ－N

mgsinθ＝daτ＝ ＝dvdθ＝ωdv＝gsinθd dθd d·２６唱v

ωdv＝gsinvdv＝rgsinθ在θ＝v＝，故vdv＝

rgsinθd０由式（１）與（２）

２１v２＝rg（１－cos ２３N＝３mgcosθ－３

從上式可以看出，當(dāng)cosθ時(shí)，N沿半徑cosθ時(shí)，N沿半徑 cosθ＝２時(shí)，N為零．以大環(huán)到三個(gè)力的Mg的張力T小珠的反作用力N′（如圖（b））大環(huán)上須使N′沿半徑向由于N＝－故要求環(huán)對(duì)小珠的約束力沿半徑向 即大環(huán)上升的條件cosθ＜ ３

T＋２N′cosθ－Mg＝ 考慮到大環(huán)上升T＝a界條件a＝故由（）式得大環(huán)上升的另一·２７２N′cosθ＝ 把式（３）代入式（６）N＝－N３—６mgcosθ－３即

cosθ＝Mg６mcos２θ－４mcosθ＋M＝因?yàn)閏osθ必須為實(shí)數(shù)

cosθ＝３

±１— ６１— ６２

２２１－９６１－９６３

＜２滿足大環(huán)上升的條件式（４）

θ１＝arccos１１—１— ６１— ６β＝２１— ６３為什么不θ＝arccos１３

１－９６

>

環(huán)已經(jīng)向上運(yùn)動(dòng)了而我們所要求的僅是大環(huán)開始上升時(shí)兩小珠間的夾角說明選取研對(duì)其進(jìn)行正確的受力分然坐標(biāo)應(yīng)用牛頓定律解此題時(shí)dv＝dvdθ＝ωdv的變量替換非常重要這樣通過積分d dθd 環(huán)下滑過速度v和θ角的關(guān)系（當(dāng)然這也可通過機(jī)械能守恒直接給出）由此可給出當(dāng)大環(huán)將升起時(shí)，θ角所滿足的關(guān)系式cosθ必為實(shí)數(shù)解得此題2唱 如圖２唱３所示一條質(zhì)量為m長為l的勻質(zhì)鏈條放在一光滑的水桌面上鏈子的一端有極小的一段長度被推出桌子邊緣在重力作用下開始下落，試求在下列兩種鏈條剛剛離開桌面時(shí)的速度：（１）在剛開始鏈條為一直線形式；（２）在剛開始下落時(shí)鏈條盤在桌子的邊緣假定鏈條未脫離桌面的那一部分的速度一直保持為零此外解釋上述兩種情況下速度不同的原因．l解（１）鏈條在運(yùn)動(dòng)過其各部分的速度、加速度均相同沿鏈條方向受力為mxgl·２８x＝０時(shí)，v＝０積

F＝mxg＝lmxg＝mvdv dvlmg∫ xdx＝∫mvd０ v

（２）設(shè)鏈條落下部分的長度為x一部分有加其余部分則仍為靜止，根據(jù)

圖２唱故上式兩邊乘以xv即

dmxv＝ d ＝xgdt＝d（xv２vgx２dt＝１d（x２v２２ d d（x２ （因?yàn)関 d且利用初始條件：x＝０，v＝，v２＝２３當(dāng)x＝l可得鏈條剛離開桌面時(shí)的v＝ 由式（１）與（２）可知第二種情況下的速度小于第一種情況下的速度其原因在桌面上的鏈條由靜止突然運(yùn)動(dòng)相鄰部分之間發(fā)生了非彈性碰撞鏈條各質(zhì)元內(nèi)力作功之和不為零因而有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量機(jī)械能則是守恒的說明通過對(duì)牛頓定律求積分可求d物體的速度．（）中質(zhì)量積分速度關(guān)鍵在于積分變量的替換

v＝dvdx＝vdv．（）中是一變質(zhì)量問題， dxd d d此類問題中牛頓定律要采用F

（mv）形式而非F＝m 形式這一點(diǎn)d d·２９2唱4A，BmA＝kgmB＝kg設(shè)在水平桌面上的物A與桌面的摩擦因數(shù)μ＝BA跨過一定滑輪相連細(xì)繩滑輪的質(zhì)量和滑輪受到的阻力均可忽略不計(jì)２唱４（a）所示求下列兩種情況下繩子受到的張力（１）當(dāng)該裝置以a０＝２m／s２的加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)；（２）當(dāng)該裝置以a０＝２m／s解（１）取A，B物體為研究對(duì)象唱４（b）唱以運(yùn)動(dòng)裝置為動(dòng)參考系以地面為靜止參考系建立如圖２唱４（b）的坐標(biāo)系A(chǔ)，BaraA和aB由牛頓第二定律有A對(duì)B

T－f＝mAaA mAg－N＝mAaA f＝ mBg－T＝mB aAx＝araAy＝aBy＝a０＋代入式（１），（２），（４）求解方組可T＝mAmB（g－a）（１＋μ）＝１１暢７mA＋m（２）當(dāng)該裝a加速度水平向左運(yùn)A，B兩物體受力如圖·３０圖唱

圖２唱B由加速度變換關(guān)系

T－f＝mAaA mAg－N＝mAaA f＝ —Tsinθ＝mB mBg－Tcosθ＝mB aAy＝０aBx＝arsinθ－aBy＝arcos代入式（５），（６），（８），（９）求解方組可mA０T０mA＋

（gμ－a０） a２＋g２＝１２暢５正確分析受力是應(yīng)用牛頓定律的前提而在此題中注意到牛頓定律成立的參考系是慣性系由物體在非慣性系中·３１ar運(yùn)用伽利略變換給出慣性系中物體的加速度是解本這也是解此類題目常用的方法．三、習(xí)題詳2暢 選擇（１）三個(gè)質(zhì)量相等的物體A，B，C緊靠在一起于光滑水平暢（１）A，C分別受到水平F１，F(xiàn)（F１＞F）的作AB的作用力大小（A） （B）F１－２F１＋１ （D）２F１－１３（E）

F１＋２

（F）

F１－２ 圖２暢（２）如圖２暢１（２）所示兩個(gè)質(zhì)量分別為mA和mB的物體A、B一起在水平面上沿x軸正向作勻直線運(yùn)動(dòng)加速度大小為a，A與B間的靜摩擦因數(shù)為μ，則A作用B的靜摩擦力F的大小和方向分別為（D）μmBgx軸正向相μmBgx軸正向相mBax軸正向相mBax（３）質(zhì)量為m的物φ處的圖２暢近似為（D）Me

球質(zhì)量為Me半徑為Re自轉(zhuǎn)角速度為ω若考慮到地球自轉(zhuǎn)的影響則該物受到的重２２RG２Re

mωRecos２２eeGMem—mω２Rcos （D）GMem—mω２Rcos２２２ee （４）輕繩的一端掛一物體跨過滑輪另一端掛一載人的梯子而平衡設(shè)滑輪質(zhì)量忽略不計(jì)擦忽略不計(jì)軸的壓力為（D）·３２2暢2（１）質(zhì)量為mlM的均質(zhì)細(xì)桿的延長線質(zhì)點(diǎn)與細(xì)桿近端距離為r選圖２暢２（１）（a）所示坐標(biāo)則細(xì)桿上長度為dx的一段與m質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的大小為dF＝G ldx細(xì)與質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的大小為

rl 圖２暢 ＝ ２ Gr（r＋l

２暢２（１）（b）所示坐標(biāo)系細(xì)桿上長度為dx的一段與質(zhì)點(diǎn)之m萬有引力的大小為dF＝G

dx細(xì)桿與質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的大小為F （r＋x ∫G dx＝G ２ l（r＋x r（r＋２圖２暢

（２）質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在變力＝F０（１－kt）（F０和k均為常量）作用下沿Ox軸作直若已知tv＋mt－１２＝０時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)x０＝０，速度為v０力的方向與初速度方向一kt）質(zhì)點(diǎn)v＋mt－１２運(yùn)動(dòng)學(xué)方為x＝vt

t２－１ ２ （３）在光滑的水平桌有一自然長度為l０度系數(shù)為k的輕一端固定端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)在桌面上以角速度ω繞固定端作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則該圓周的半R＝kl／（kmω）彈簧作用于質(zhì)點(diǎn)的拉力F＝kl０mω／（k－mω）（４）質(zhì)量為m的小圓環(huán)位于豎直面內(nèi)半徑為R的光滑大圓環(huán)上如·３３２暢２（４）．若大圓環(huán)繞通過其中心的豎直軸以恒定角速度ω而小圓環(huán)相對(duì)于大圓則大圓環(huán)作用于小圓環(huán)的力大N＝mRω小圓環(huán)相對(duì)g的位置角θ＝cos ５2．3把一根均勻的棒AC放置在光滑桌面暢３（a）量為ML，今用一大小為F１設(shè)想把棒分ABBCBC＝１LAB段對(duì)５

圖２暢

解AC段做為一整體為研受力BC段為研究對(duì)象分析受暢F１＝ F＝ 由式（１）（２）可得F＝１Ma＝F１，F(xiàn)５軸正向，F(xiàn)即為所ABBC段的作圖２暢

圖２暢2暢4在光滑的水平桌面上，放著４個(gè)完全一樣的量均為m＝１暢０kg如圖２暢４（a）所示，有一恒力F（F＝９暢８N）作用在第１個(gè)立方體上．問第３個(gè)立方體共受幾個(gè)力？其大小、方向如何？個(gè)立方體右端緊挨一堵墻重復(fù)上面的討論．解第三個(gè)立方體同其它一齊運(yùn)動(dòng)四個(gè)立方體作為一整體所受力為F

F＝４ 對(duì)第三個(gè)立方體分析其受力如圖２暢４（b）因此F２３－F４３＝ ·３４圖２暢N３－P３＝ 解上述方可得F４３＝F′４３＝F＝２暢４５NF２３＝１F＝暢９NN３＝P３＝ N２暢４（b）若右端緊挨一堵墻四個(gè)物體是其加速度因此第三個(gè)立方則有F２３＝F４３＝F＝９暢８NN３＝P３＝９暢８2暢 已知一個(gè)斜度可以變化但底邊長L不變的斜面（１）求石塊從斜面頂端無初速地滑到底所需時(shí)間與斜面傾角α之間的關(guān)系．設(shè)石塊與斜面間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．（２）若斜面傾角α１＝６０°和α２＝４５°時(shí)，石塊下滑的時(shí)間相同動(dòng)摩擦因數(shù)μ等于多大？圖２暢解取石塊做為研究對(duì)象對(duì)其受力分析沿斜面建立坐標(biāo)如圖暢５ N－Pcosα＝ ·３５解方并考慮到f＝μN(yùn)可a＝（sinα－μcosα）（２）從石塊加速度表達(dá)式可看出塊做勻加速度下滑下滑所需時(shí)間如為t有s＝１at２＝ cos２g２gcosα（sinα－μcos把α１＝和α２＝式并令其相等可得μ＝０暢2．6如圖２暢６（a）所示人的質(zhì)m＝kgm＝kg，站在升降機(jī)上的人要想拉住升降機(jī)使之不動(dòng)？繩子和滑輪質(zhì)量不計(jì)．解分別就人（m１）、升降機(jī)（m２）分析如圖暢６（b），由于滑輪和繩的質(zhì)量不計(jì)，所以繩中各處個(gè)裝置保持靜止應(yīng)用牛頓第二定

T１＋N－m１g＝對(duì)小滑輪：圖２暢

考慮到T１＝T′１聯(lián)立方求解m１＋T１ g＝２２０暢５圖２暢2．7暢７（a）所示AB帶電而彼此相吸·３６的電力的大小為FBA＝mg／（cosφcotθsinφ）張力的大小為T＝mg／（cosθ—sinθtanφ）證明取球A為研究對(duì)象坐標(biāo)如圖（b）所示圖２暢 圖２暢A保持靜聯(lián)立式（１）、（２）

P＋FBAsinφ－Tcosθ＝ Tsinθ－FBAcosφ＝ FBA＝mg／（cosφcotθ－sinT＝mg／（cosθ－sinθtan2．8宇宙飛船沿地球與月球的中心連線從地球飛到月球mm＝７暢２２kg軌道半徑為rem＝８m．xGMem＝

Mm

M為地球質(zhì) （

—x x＝ ＝３暢４６×＋2．9桌上M＝kg的板m＝kg的物物體和板之間、板和桌面之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝０暢２５，最大靜摩擦因數(shù)均為μ０＝以水平力F暢９（a）所·３７（１）若物體與板一起以a＝１m／s的加速度運(yùn)動(dòng)試計(jì)算物體與板以及板與桌面之間相互作用的摩擦力（２）若欲使板從物體下抽出F至少要多大解（１）物體與板一起運(yùn)以整們對(duì)桌面的壓力即為其重力NM＝（m＋M）g板對(duì)桌面的摩擦力為fM＝μN(yùn)M＝μ（m＋M）g＝７暢３５圖２暢物體m由于受到向右的靜摩擦力fm作用與板一起以加速度a＝１m／s２運(yùn)因此物體與板之間的摩擦力為fm＝ma＝２（２）欲使板從物體下抽出m所受力為最大靜摩擦力fm＝μ０Nm并獲最大加速度

＝fm＝０m０

g板也必須獲得不小于

的加速度時(shí)受如圖暢９（b）將·８圖２暢

F＋fm＋Ma０fM— μ（M＋m）Mfm＝μ０Nm＝μ０ a０＝μg代入 F≥μ（m＋M）g＋μ（m＋M）g＝１６暢７ 2．10如圖２暢１０（a）所示，升降機(jī)中有一質(zhì)量為 A與臺(tái)面之間無摩擦g（g 重力加速度）的加速度加速上升時(shí)，以升降機(jī)為參考系a A，B兩物體的加速度是多大又以機(jī)外地面為參考系A(chǔ)，B兩物體的加速度是多大 解選固結(jié)于地面的Oxy為定坐標(biāo)系固結(jié)于≥fM２機(jī)的O′x′y′為動(dòng)坐標(biāo)系，A、B受力如圖２暢１０（b），用a′A和a′B分別代表A、B的相對(duì)加aA、aB分別代A、B物體相對(duì)地Oxy參考系的按題意O′x′y′相對(duì)于Oxy的加速度為１g方向沿y軸向上由伽利略變換２圖２暢AB

aAx＝a′Ax＋０＝aAy＝a′Ay＋１g＝１ aBx＝a′Bx＋０＝aBy＝a′By＋１g＝－a′B＋１ 注意到此時(shí)升降機(jī)已不再是慣性系頓定律只對(duì)慣性系（即此題的地面參考系）成立（在非慣性系應(yīng)用牛）于是對(duì)A有T＝maAx＝ ２N－PA＝maAy＝１ ２B

２T′－PB＝maBy＝m１g－ ２４a′＝３g＝０暢gaAx＝a′＝０暢４２aBy＝１g－a＝暢注意到aAy＝１ aBx＝０可得A、B兩物體相對(duì)地面參考系的加速度２A A＋A ＝１３g，aA A＋A

＝

·３９2．11AB的重量分別為PA＝NPB＝N并以彈簧相互AA取坐標(biāo)軸正方向向下，A的運(yùn)動(dòng)學(xué)方為x＝hcosωt其中振幅h＝１暢０×１０－２m，角頻率ω＝８πrad／s圖（１）彈簧對(duì)A的作用力N的最大值和最小值（２）B對(duì)支承面的壓力的最大值和最小值解取重A、B為研究對(duì)A、B受力如d２ t（１）按圖有PA－N＝mAa＝ ２＝－mAhωcostN＝PAmAhωcosωt＝mAωxPAA在最低位x＝ha＝hωN２Nmax＝PA＋mAωh＝PA ＝３２８暢９A在最置時(shí)，x＝－h(huán)這時(shí)a＝hω２，N有最小Nmin＝PA－mAω２h＝PA１（２）B對(duì)支承面壓力的最大值和最小值分別

＝７１暢１Rmax＝PB|Nmax|＝７２８暢９Rmin＝PB|Nmin|＝４７１暢１2．12卡車本身連同所載、貨物共重４t車身在鋼板彈簧上振動(dòng)其位移滿足規(guī)律y＝０暢０８sin４πt（m）求卡車對(duì)彈簧的壓力．解車身做我們的研究對(duì)象車身受力如圖依圖·４０Nd２ N—P＝ma＝ ２＝－０暢０８（４π）sin４πdN＝P＋ma＝［４暢１５sin４πt］（由牛頓第三定律卡車對(duì)彈簧N′＝－［４－５暢１５sin４πt］（2．13并繞O點(diǎn)以角速度ωm桶的質(zhì)量M圓周半徑Rω為多大才能保證水流不出來？又問在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)繩中的張力多大？

圖解以水為研究對(duì)我們可直觀地ω水就會(huì)流出來．（１）按圖２暢１３（b）N＋mg＝mR令N＝此時(shí)恰能保證水不流ω＝來．

ωg水不R圖２暢（２）把水和桶看作一個(gè)整體，其受力如圖２暢１３（c）．T（Mm）g（M

m）RT′－（M＋m）g＝（M＋m）R解得最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)的張T＝（M＋m）（Rω２－g） T′＝（M＋m）（Rω２＋2．14一根長為l·４１動(dòng)棒的另一端附著一質(zhì)量為m的小球如圖２暢１４（a）所示（１）試分析在頂點(diǎn)A處的速率取什么值才能使棒對(duì)小球的率滿足什么條件才能使棒對(duì)小球的作用力為拉力或推力？（２）設(shè)m＝g，l＝cm球以v＝cm／s的速率作勻速AB，C三點(diǎn)處棒對(duì)小球的作用力圖２暢解（１）取小球A進(jìn)行觀上可感到如果小球小球?qū)?duì)棒有速度將對(duì)小球有一小球在A處的受暢１４（b），vN＋P＝mN＝v＝為推力．

顯然v

，N為拉v＜glN（２）此時(shí)小球的速度為４０cm／sgl小球A點(diǎn)受到棒的推球A、B、C三點(diǎn)受力暢vAP－N＝BN－P＝

l N＝４暢７４v N＝５暢０６CR＝ml＝N R２－P２＝４暢９2．15如圖２暢１５（a）所示mM連接起mm在桌面vrM解mM受力·４２圖２暢m當(dāng)M靜止M

vT＝mT′＝PM＝T＝v r＝m彈簧的伸長滿足胡克定律m以轉(zhuǎn)數(shù)γ旋轉(zhuǎn)（ν為單位時(shí)間內(nèi)旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)）試證明（１）勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為kl０／（k－４π２mν２）（２）彈簧的彈性力為４π２mkl０ν２／（k－４π２mν２）．式中l(wèi)０為彈簧原長，k為勁度系數(shù)．彈簧變形Δl＝rl０彈簧的彈性力T＝k（rl）k（r－l０）＝

vr v＝２πr＝ k—４π２mν２kl０４π２mν２T＝k－４π２2．17當(dāng)月亮朝向時(shí)地球?qū)υ铝恋牧em與對(duì)月亮的力Fsm基所有其它力對(duì)月亮的影響月亮的質(zhì)量為７暢３５×１０２２kg月亮加速度的大?。ぃ矗硤D解２２ ＋ （１暢９８×）２＋（４暢３６×a＝m

２７暢３５×＝６暢５２×１０－３（m·s2．18一飛機(jī)上升達(dá)到最置然后下降它的路徑為一半徑為R的豎直圓周２暢１８（a）所示v正好使失重試證明當(dāng)飛機(jī)沿圓周飛行時(shí)飛機(jī)對(duì)的作用力（和坐椅間的接觸力）N＝mgsin（θ／２）m為的質(zhì)θ為飛行速度與水平方向間的夾角．圖２暢 圖２暢證明對(duì)受力情況進(jìn)行分析如圖２暢·４４當(dāng)飛機(jī)到達(dá)最高點(diǎn) 失有vP＝m

v２＝當(dāng)飛機(jī)以恒定速率沿圓周飛行時(shí)沿法向方向N＋Pcosθ＝m ２ ＝mR－mgcosθ＝２mgsin

f＝Psinθ＝mgsin2．19如圖２暢１９（a）m的物Aνθ設(shè)物體A與漏斗壁間μ０Ar問物體Aν解當(dāng)ν較大時(shí)，A有向上滑動(dòng)趨勢(shì)擦力方向向下，A受力如圖２暢１９（b），Nsinθ＋frcosθ＝mrω２＝mr４π２Ncosθ－frsinθ－Ρ＝frν增大fmax＝μ０N時(shí)，ν亦增大到νmaxNsinθ＋μ０Ncosθ＝mr４π２Ncosθ－μ０Nsinθ－Ρ＝

＝

g（sinθ＋μ０r（cosθ－μ０sin圖·４５當(dāng)ν較小A有向下滑動(dòng)趨摩擦力方向向上，A受力如圖２暢１９（c）類似上述分析達(dá)到極限情況時(shí)有Nsinθ－μ０Ncosθ＝mr４π２Ncosθ＋μ０Nsinθ－Ρ＝νmin＝

g（sinθ－μ０cosr（cosθ＋μ０sin可見要使A與漏斗保持相對(duì)靜止，ν應(yīng)該在νmax＞ννmin之間2．20質(zhì)量m的質(zhì)F＝μmr的力排斥其中r為質(zhì)點(diǎn)到固定中心的距離．在起始時(shí)，r０＝a，v０＝０．求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)走過路s＝a時(shí)的速率．圖２暢mμmr＝mdv＝mvdd d即vdv＝μrd ２∫∫vdv∫ 得

μrdv＝３μ·．21m可以粗略地R＝kv２暢求跳傘員的運(yùn)動(dòng)速率v隨時(shí)t變化的規(guī)律和終極速率v．解這是一個(gè)變加速求解要用到微積理概念并沒有·４６

P－R＝dmg－kv２＝mddt d mg－v２令則

＝ktdd

T＝T

圖２暢Tdv v２－vT

＝kdm d kmT０v２－v２T得

m∫０dvT

，tR＝mkkvk

v＝v

２t／t －２t － R＋d當(dāng)a＝dv＝極限速率vTdddTmg－T得

＝mdv＝Tmg－kv２＝０ vT

＝mg·４７3章功和能—1暢在質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生一元位移dr的過作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F所做的功被定義為F和位移dr

dA＝F·d∫b∫Aab F·da（F在單位時(shí)間內(nèi)所做的功

＝dA Pd P重力的功：A＝mg（z１－z萬有引力的功：A＝GmM１彈簧彈性力的功：A

２１kλ２ ２２ ２摩擦力的功：A＝萬有彈簧彈性力作功與路徑無關(guān)擦力作功與路徑有關(guān)2暢動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量A＝１mv２－１ 點(diǎn)系總動(dòng)能的增量即Ae＋∑Ai＝Ek２－

∑i

i

１m 能；Ek１＝∑ １為質(zhì)點(diǎn)系初態(tài)總動(dòng)能i２i3暢應(yīng)用動(dòng)能定理解題的一般步驟確定研究對(duì)象分析研究對(duì)象的受力和各力作功情況列方求解討論·４８4暢作功與路徑無關(guān)的力有引簧彈性力等都是保守力5對(duì)保守力場(chǎng)可引入勢(shì)能的概念其定０∫M０∫EpM

F·dF為保守EpM點(diǎn)的勢(shì)能M為勢(shì)能零重力勢(shì)Ep＝mgzz＝的平面為勢(shì)能零點(diǎn)萬有引力勢(shì)能：Ep＝GmM以無窮遠(yuǎn)處為r２彈簧彈性力勢(shì)能：Ep＝１kx２以彈簧原長處為勢(shì)能零點(diǎn)２6暢保守力與勢(shì)能的F＝－Δ

＝－

＋Ep

l＝－dp7暢機(jī)械能守恒定

x

抄 抄

或 d在只有保守力做功的情況下統(tǒng)的機(jī)械能保持不變它是普遍的能量守恒定律的特例．8暢能量守恒定律能量不能也不能創(chuàng)造只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式對(duì)一孤立系二、典型例3唱1一彈簧的質(zhì)量為m原長為l０勁度系數(shù)為k一端端系一質(zhì)量為M彈簧的伸長是均勻的唱現(xiàn)將小球拉至A然后無初速地突然釋放小球，試求小球經(jīng)過位置B時(shí)的速度．由于彈簧伸長是均勻的所以彈簧上任意一點(diǎn)的速度vx隨x線性增加即在x處彈簧的速度 vxyx 圖３唱式中v為彈簧終B處的速度即小球的速度２dx２元的 dEkm

（dm）vx

１d

３xd ２ ２·４９則彈簧的總動(dòng)能為 ymv２ km＝∫dEkm＝小球經(jīng)過位置B時(shí)的速v其動(dòng)

３xdx＝２y

６２EkM＝１２ E＝Ekm＋EkM＝１mv２＋１ 取小球與彈簧為系統(tǒng)內(nèi)力為保守力外力不做功故系統(tǒng)的機(jī)械０１kl２＝１mv２＋１Mv２＋１k（y－l０ ０３k［l２－（y－０v ３M＋

）２但本題給出了一個(gè)要考慮彈簧質(zhì)量的問題力作功是保守力作功機(jī)械能守恒本題的關(guān)鍵在于計(jì)算彈簧的動(dòng)能彈簧上各個(gè)質(zhì)元的速度不同因而其動(dòng)能也不同這樣就需先計(jì)算出一個(gè)微元的動(dòng)能即本題中的１（dm）v２然后通過積分求整個(gè)彈簧的動(dòng)能最后運(yùn)用機(jī) 唱2l的直l２μ為λ撤去外力x時(shí)的速度．解法一取整個(gè)鏈條為研究對(duì)象分析其受力當(dāng)鏈條在桌面移動(dòng)距離x時(shí)沿鏈條方向，鏈條受重力（l２＋x）λg，摩擦力μ（l１－x）λg．根據(jù)牛頓定律：（l２＋x）λg－μ（l１－x）λg＝λ（l１＋l２）a＝l２＋xg－μl１－xlld

l１＋l２＋

圖３唱 dt

l１－xl１＋

g－μ

＋l２·５０vdv

l２＋xg－μl１－xgdl１＋ l１＋＝l ［（１＋μ）xdx＋（l２－μl１）dx１＋當(dāng)x＝鏈條速度v＝積分∫v∫vdv０glgl１＋v

xl１＋l２∫０［（１＋μ）xdx＋（l２－μl１）dx［（１＋μ）x２＋２（l２－μl１）x］１解法二取整個(gè)鏈條為研究對(duì)象當(dāng)鏈條在桌面移動(dòng)了距離dx時(shí)鏈條所受重力作功λ（lx）gdxμλ（lx）gdxd１λ（d２

＋

）v２根據(jù)動(dòng)能定理２d１λ（l１＋l２）２

＝λ（l２＋x）gdx－μλ（l１－x）gd依題意知：x＝０時(shí)，v＝即

１λ（l１＋l２）∫v ∫v∫v１λ（l１＋l２）∫v

∫ ［λ（l２＋x）gdx－μλ（l１－x）gdx∫０∫x∫ ［λg（１＋μ）xdx＋λg（l２－μl１）dx０gl１＋２v ［（１＋μ）xgl１＋２

—

）x］１變力的功通過積分就可解此題接用牛頓定律也可求解此題我們可看3唱 一擺鈴是由金屬線圍成的半徑 a的圓環(huán)在此環(huán)上套上一個(gè)質(zhì)量m的很小的圓環(huán)小環(huán)可在大圓環(huán)上無摩擦地滑動(dòng)大環(huán)放置在豎直平面內(nèi)在大環(huán)的最低點(diǎn)A將一個(gè)彈簧的一端固定的另一端則連到小環(huán)上如圖所示．彈aak＝mg如果開始把小環(huán)拉到大圓環(huán)的最高點(diǎn)并以水平初速v０＝ag那么在大圓環(huán)的最低點(diǎn)小環(huán)的速度２時(shí)在起始階段大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的作用力是離開大圓環(huán)中心的而在·５１角度cos以后對(duì)小環(huán)的作用力則是指向大環(huán)中心的解設(shè)小環(huán)B彈簧與豎直方向夾角為φ對(duì)大環(huán)中心θ環(huán)受三個(gè)力作用mg彈性力T大環(huán)對(duì)小環(huán)的作用力N（假定沿半徑向外為正向）．設(shè)小環(huán)在B點(diǎn)的速v由牛頓第二定律得mv ＝Tcosφ－mgcosθ－ 又aT＝kΔl＝mg（２acosφ－a＝mg（２cosφ－ 能零點(diǎn)

唱

以小環(huán)、彈簧與地球?yàn)檠袆t系統(tǒng)機(jī)械能守恒．取最高點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)彈簧原長為彈性勢(shì)１mv２－mga（１＋cosθ）＋１mg（２acosφ－ ２２ １ ２＝２即v

＋２a（２a－ a將式（３）、（２）代入式（１）

２（５＋４cosθ＋８cosφ－

２N＝１２cos２φ－１０cosφ－６cosθ－θ＝π－２２N＝mg（１２cosφ－１１）（２cosφ＋ ２AA２２vA＝３２２（２）由式（４）可知：當(dāng)cosφ＝１１時(shí)，N＝０當(dāng)０＜φarccos１１時(shí)，２cosφ，１２cosφ，這時(shí)N＞０大環(huán)對(duì)小·５２時(shí)．當(dāng)arccos＜φ時(shí)

cosφ，１２cosφ，這時(shí)N＜０，即大環(huán)說明本題綜合運(yùn)用了牛頓定律與機(jī)械能守恒定律力和彈簧彈性力是保守力，機(jī)械能守恒在寫出彈簧彈性力勢(shì)能時(shí)要注意其勢(shì)能零點(diǎn)是選在彈簧原長處N＝3唱4質(zhì)量為５暢６g的A以５０１m／s的速度水平地射入一靜止在水平面上的質(zhì)量kg的木BABB向前移動(dòng)cm后而停（１）B與水平面間的摩擦因數(shù)（２）木塊對(duì)所作的功W１（３）對(duì)木塊所作的功W２（４）W１與W２的大小是否相為什解（１）射入木塊時(shí)間短暫可認(rèn)為此過木塊沒有移動(dòng)在此過其動(dòng)量守恒．m１v１＝（m１＋m２） AB的共同速度：u

m１＋m２v對(duì)AB構(gòu)成的系統(tǒng)由動(dòng)能定２２

—μ（

＋

）gs＝０－１（

＋

）μ＝２gs＝２gs（

mv１ mv１１＋m２（５暢６×１０－３ ＝２×９暢８×０暢５×（５暢６×１０－３＋２）２×５０

＝０暢v（２）對(duì)，由于木塊對(duì)其作功，使其速度從v１＝５０１（m／s）減為零，因此根據(jù)v２１W１＝０－１２１

２＝－１

×５暢６×１０－３×５０１２＝－７０３１（３）對(duì)木塊在整個(gè)過對(duì)其作功同時(shí)水平面的摩擦力也對(duì)其作功，木塊初而后移cm后停根據(jù)動(dòng)能定理W２－μ（m１＋m２）gs＝即W２＝μ（m１＋m２）＝０暢２×（５暢６×１０－３＋２）×９暢８×５０×１０－２＝１暢９７·５３（４）W１W２數(shù)值上不不為這是因?yàn)锳和B系統(tǒng)內(nèi)力作功它改變了系統(tǒng)的機(jī)械能．說明系統(tǒng)的內(nèi)力不改變系統(tǒng)的動(dòng)量而可能改變系統(tǒng)的機(jī)械能在此題中得到充分的體現(xiàn)守恒定律和動(dòng)能定理就可解此題能定理求W１和W２時(shí)要正確分析和木塊在整個(gè)過各力作功情況．例如對(duì)，從初速５０１m／s到同木塊一起靜止是由于木塊對(duì)其作功的結(jié)果．三、習(xí)題詳3暢 選擇（１）把一質(zhì)量為m各邊長均a的均質(zhì)貨由位置（I）翻轉(zhuǎn)到位置（II）人力所作的功為（D）．圖３暢 （B）２２ －１）２（２）宇宙飛船關(guān)閉發(fā)返回地球的過可以認(rèn)為是僅在地球萬有引力作用下運(yùn)動(dòng)若用m表示飛船質(zhì)量，M表示地球質(zhì)量，G表示引力常量則飛船從距地球中心r１處下降到r２處的過動(dòng)能的增量為（C）．

r１－

r１－ r

r

r１

r２１（３）質(zhì)點(diǎn)M與一固定的輕彈簧相連接并沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)３暢１（３）已橢圓的長半軸和短半軸分別為ab彈簧原長為l（a＞l０＞b）勁度系數(shù)為k則質(zhì)點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到B的過彈性力所作的功為（B）圖３暢

（A）１ka２－１ （B）１k（a－l０）２－１k（l０－ （C）１k（a－２·５４１k（l０－b）２－１k（a－l０）２ （４）一勁度系數(shù)為k的彈簧振子一端固定并置于水平面上彈簧的伸長量l若選距彈簧原長時(shí)自由端O點(diǎn)的距離為lO′點(diǎn)為彈性勢(shì)能的零參考點(diǎn)則彈性勢(shì)能為（D）．（A）１ （B）１ （C）１ （D）３ 圖３暢（５）kg的物在變力F作用下沿x軸作直力隨坐標(biāo)x的變化如圖３暢１（５）．物體在x＝０處，速度為１m／s則物體運(yùn)動(dòng)到x＝１６m處速度大小為（B）．（A）２２ （B）３（C）４ （D）１７m圖３暢（）關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力作功問題以下說法中（C）一對(duì)內(nèi)力所作的功之和一般不為零·５５一對(duì)內(nèi)力所作的功之和是否為零3．2（１）質(zhì)量m的質(zhì)A點(diǎn)無初速沿圖示軌道滑B點(diǎn)而停與H２分別表示A、B兩點(diǎn)離水平面的高度則質(zhì)點(diǎn)在滑動(dòng)過摩擦力的功—mg（H１－H２）合力的功圖３暢（）人從１０m深的井中提水桶離水面時(shí)裝水１０kgm要漏掉０．２kg的水則把這桶水從水面提高到井口的過人力所作的功為８８２J．（）質(zhì)點(diǎn)在F＝y(tǒng)ixj作用下沿圖示路徑F的單位為N，x，y的單位為mF在路Oa上的A＝abA＝JOb上的功A＝JOcbO上的A＝J．圖３暢（４）質(zhì)量為M、長為L的均質(zhì)鏈條掛在光滑水平細(xì)桿上若鏈條因 滑下則當(dāng)鏈條的一端剛脫離細(xì)桿的瞬時(shí)鏈條速度大小 （５）勁度系數(shù)為k、原長為l０的輕彈簧一端固定于O點(diǎn)另一端系m的物體如圖現(xiàn)將彈簧置于水平位置并保持原長然后無初速釋放·５６ n２（n＋１）g－ n２（n＋１）g－ ．（６）質(zhì)量為m的水平射入質(zhì)量為M、置于光滑水平面上的沙箱在沙箱中前進(jìn)l而靜同時(shí)沙箱向前運(yùn)動(dòng)的距離為s，此后與沙箱一起以共同速度v勻速運(yùn)動(dòng)，則受到的平均阻力F＝Mv２／２s射入時(shí)的速度v０＝ M（s＋l）＋１沙箱 圖３暢 ２統(tǒng)損失的機(jī)械ΔE＝Ml２s3．3某物塊質(zhì)量為PN使其壓緊在墻上墻與物塊的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ試計(jì)算物塊沿圖示的不同路徑ABABAOBAB已知圓弧半徑為r．解重力是所做的功摩擦力是非做功與路徑有因而重力作的功：AAB＝AAB＝Pr，AAOB＝２２圖３暢

AAB＝－ ２AAB＝－μN(yùn)１π AAOB＝－μN(yùn)２２3．4一彈簧原長２０cm勁度系數(shù)k＝２９４０N／m問將該彈簧由AB位置移A′B′位置彈性力的功等于多解AB、A′B′位置彈簧的伸長分Δl＝l－l０＝０暢２０２＋０暢４０２－０暢２０＝０暢２４７（m）Δl′＝l′－l０ ０暢１５２＋０暢２０２－０暢２０＝０暢０５彈簧彈性力作功為彈性勢(shì)能增量的負(fù)值因而A＝－－１k（Δl′）２－１k（Δ ＝１×２９４０×（０暢２４７２－）＝（J）·５７圖３暢3．5求把水從面積為５０m２的 室中抽到街道上來所需作的功已知水深為１暢５m水面至街道的距離為５m．圖３暢解該功數(shù)值上等于同一過重力的功取坐標(biāo)如圖（b）則dA＝ρsgzd２z２A＝

ρsgzdz∫６暢∫＝５暢

１×１０３×５０×９暢８×zd＝－４暢２３×１０６抽水所需的功為A＝４暢２３×１０６J也可從能量角度考慮此題抽水所做的功等于水機(jī)械能的變化道為勢(shì)能·５８

A＝０－－ρs（z２－z１）·

z２－ ＝１ρsgz２－ ＝４暢２３×１０６ 3．6計(jì)算沿x方向的力F（x）＝αx２－β在從x 到x這段位移中所作的功．設(shè)α＝３N／m２，β＝２N，x１＝１m，x２＝３m 解由功的定義 A＝∫２F（x）dx＝∫２（αx２－β）d ＝１α

x—３ １J＝１×３（３３－１３）－２×（３－１）＝２２（）J有一半放在光滑的桌面上，而另一半下求鐵鏈滑離桌面邊緣時(shí)重力所作的功．等于鐵鏈勢(shì)能增量的負(fù)因而有A＝－Δ＝－ －１

mgl－－１

＝３

圖３暢８８3．8彈簧對(duì)物體的作用力F＝kxi８８kyjk為物體xy平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的勁度求當(dāng)物體從起點(diǎn)（xi，yi）移到終點(diǎn)（xf，yf）時(shí)彈力作功的表達(dá)式．解由功的定義A＝（xi，yi

（xf，yfF·dr＝（xi

Fxdx＋Fyd＝（xi，yif

（－kxdx－kydy＝∫－kxdx＋∫－kyd＝１k（x２－x２）＋１k（y２－y２ 3．9v＝vi的速度運(yùn)動(dòng)成正比，F(xiàn)＝Avi，AA＝N·sm２．（）如小汽車以km／h的·５９恒定速km求空氣阻力所作的功．（）問保持該速率空氣阻力必須提供多大的功率？解（１）小汽車以８０km／h的恒定速率行駛時(shí)恒力行駛km，（２）