建筑力學(xué)預(yù)備知識課件

1建筑力學(xué)預(yù)備知識

本章主要介紹力的基本性質(zhì)、力矩與力偶、平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用、變形固體及其假設(shè)和幾何圖形的性質(zhì)。要求掌握幾種常見約束的約束反力，受力圖的畫法，平面力系的平衡方程及其應(yīng)用；理解力的性質(zhì)和投影、力矩的計算、力偶的概念；了解變形固體及其假設(shè)，強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的概念，平面幾何圖形的性質(zhì)。本章提要1建筑力學(xué)預(yù)備知識本章主要介紹力的基本性質(zhì)、力矩與本章內(nèi)容1.1

力的概念1.2

靜力學(xué)公理1.3

約束與約束反力1.4

物體的受力分析及受力圖1.5

力的合成與分解1.6

力矩和力偶1.7

平面力系的平衡1.8

變形固體基本概念本章內(nèi)容1.1力的概念1.1力的概念人們在長期的生產(chǎn)勞動和日常生活中逐漸形成并建立了力的概念。

力可定義為：力是物體之間相互的機(jī)械作用，這種作用的效果是使物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變，或者使物體發(fā)生變形。既然力是物體與物體之間的相互作用，那么，力不可能脫離物體而單獨(dú)存在。有受力物體，必定有施力物體。1.1.1力的定義1.1力的概念人們在長期的生產(chǎn)勞動和日常生活中逐漸形成實(shí)踐證明，力對物體的作用效果取決于三個要素：力的大小、力的方向和力的作用點(diǎn)。這三個要素通常稱為力的三要素。描述一個力時，要全面表明力的三要素，因為任一要素發(fā)生改變時，都會對物體產(chǎn)生不同的效果。在國際單位制中，力的單位為牛頓（N）或千牛頓（kN）。1kN=1000N。1.1.2力的三要素實(shí)踐證明，力對物體的作用效果取決于三個要素：力的大小、力力是一個既有大小又有方向的物理量，所以力是矢量。力用一段帶箭頭的線段來表示。線段的長度表示力的大??；線段與某定直線的夾角表示力的方位，箭頭表示力的指向；線段的起點(diǎn)或終點(diǎn)表示力的作用點(diǎn)。用外文字母表示力時，用黑體字F或加一箭線的細(xì)體字。而普通字母F只表示力的大小。力是一個既有大小又有方向的物理量，所以力是矢量。力用一段1.2靜力學(xué)公理

兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，沿同一直線，并分別作用在這兩個物體上。作用力與反作用力的性質(zhì)應(yīng)相同。作用力與反作用力公理概括了兩個物體之間相互作用力之間的關(guān)系，在分析物體受力時將有重要的作用。1.2.1作用力與反作用力公理1.2靜力學(xué)公理兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大

作用在同一物體上的兩個力，使物體平衡的必要和充分條件是，這兩個力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。這個公理說明了作用在同一物體上兩個力的平衡條件。當(dāng)一個物體只受兩個力而保持平衡時，這兩個力一定滿足二力平衡公理。若一根桿件只在兩點(diǎn)受力作用而處于平衡，則作用在此兩點(diǎn)的二力的方向必在這兩點(diǎn)的連線上。1.2.2二力平衡公理作用在同一物體上的兩個力，使物體平衡的必要和充分條件是，

作用于剛體的任意力系中，加上或減去任意平衡力系，并不改變原力系的作用效應(yīng)。

推論：力的可傳性原理

作用在剛體上的力可沿其作用線移動到剛體內(nèi)的任意點(diǎn)，而不改變原力對剛體的作用效應(yīng)。根據(jù)力的可傳性原理，力對剛體的作用效應(yīng)與力的作用點(diǎn)在作用線的位置無關(guān)。加減平衡力系公理和力的可傳性原理都只適用于剛體。1.2.3加減平衡力系公理作用于剛體的任意力系中，加上或減去任意平衡力系，并不改變

作用于物體上的同一點(diǎn)的兩個力，可以合成為一個合力，合力也作用于該點(diǎn)，合力的大小和方向由這兩個力為邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線來表示。如圖1.1所示。

推論：三力平衡匯交定理

一剛體受共面不平行的三個力作用而平衡時，這三個力的作用線必匯交于一點(diǎn)。三力平衡匯交定理常常用來確定物體在共面不平行的三個力作用下平衡時其中未知力的方向。1.2.4力的平行四邊形法則作用于物體上的同一點(diǎn)的兩個力，可以合成為一個合力，合力也圖1.1力平行四邊形圖1.1力平行四邊形1.3約束與約束反力一個物體的運(yùn)動受到周圍物體的限制時，這些周圍物體就稱為該物體的約束。物體受到的力一般可以分為兩類：一類是使物體運(yùn)動或使物體有運(yùn)動趨勢，稱為主動力，如重力、水壓力等，主動力在工程上稱為荷載；另一類是對物體的運(yùn)動或運(yùn)動趨勢起限制作用的力，稱為被動力。1.3.1約束與約束反力的概念1.3約束與約束反力一個物體的運(yùn)動受到周圍物體的限制時約束對物體運(yùn)動的限制作用是通過約束對物體的作用力實(shí)現(xiàn)的，通常將約束對物體的作用力稱為約束反力，簡稱反力，約束反力的方向總是與約束所能限制的運(yùn)動方向相反。通常主動力是已知的，約束反力是未知的。約束對物體運(yùn)動的限制作用是通過約束對物體的作用力實(shí)現(xiàn)的，由柔軟的繩子、鏈條或膠帶所構(gòu)成的約束稱為柔體約束。由于柔體約束只能限制物體沿柔體約束的中心線離開約束的運(yùn)動，所以柔體約束的約束反力必然沿柔體的中心線而背離物體，即拉力，通常用FT表示。

如圖1.2(a)所示的起重裝置中，桅桿和重物一起所受繩子的拉力分別是FT1、FT2和FT3(圖1.2(b))，而重物單獨(dú)受繩子的拉力則為FT4(圖1.2(c))。1.3.2柔體約束由柔軟的繩子、鏈條或膠帶所構(gòu)成的約束稱為柔體約束。由于柔圖1.2柔體約束及其約束反力圖1.2柔體約束及其約束反力當(dāng)兩個物體直接接觸，而接觸面處的摩擦力可以忽略不計時，兩物體彼此的約束稱為光滑接觸面約束。光滑接觸面對物體的約束反力一定通過接觸點(diǎn)，沿該點(diǎn)的公法線方向指向被約束物體，即為壓力或支持力，通常用FN表示，如圖1.3所示。1.3.3光滑接觸面約束當(dāng)兩個物體直接接觸，而接觸面處的摩擦力可以忽略不計時，兩圖1.3光滑接觸面約束及其約束反力圖1.3光滑接觸面約束及其約束反力圓柱鉸鏈約束是由圓柱形銷釘插入兩個物體的圓孔構(gòu)成，如圖1.4（a）、（b）所示，且認(rèn)為銷釘與圓孔的表面是完全光滑的，這種約束通常如圖1.4（c）所示。圓柱鉸鏈約束只能限制物體在垂直于銷釘軸線平面內(nèi)的任何移動，而不能限制物體繞銷釘軸線的轉(zhuǎn)動。如圖1.5所示1.3.4圓柱鉸鏈約束圓柱鉸鏈約束是由圓柱形銷釘插入兩個物體的圓孔構(gòu)成，如圖1圖1.4圓柱鉸鏈約束圖1.4圓柱鉸鏈約束圖1.5圓柱鉸鏈約束的約束反力圖1.5圓柱鉸鏈約束的約束反力兩端用鉸鏈與不同的兩個物體分別相連且中間不受力的直桿稱為鏈桿，圖1.6（a）、（b）中AB、BC桿都屬于鏈桿約束。這種約束只能限制物體沿鏈桿中心線趨向或離開鏈桿的運(yùn)動。鏈桿約束的約束反力沿鏈桿中心線，指向未定。鏈桿約束的簡圖及其反力如圖1.6（c）、（d）所示。鏈桿都是二力桿，只能受拉或者受壓。1.3.5鏈桿約束兩端用鉸鏈與不同的兩個物體分別相連且中間不受力的直桿稱為圖1.6鏈桿約束及其約束反力圖1.6鏈桿約束及其約束反力用光滑圓柱鉸鏈將物體與支承面或固定機(jī)架連接起來，稱為固定鉸支座，如圖1.7（a）所示，計算簡圖如圖1.7（b）所示。其約束反力在垂直于鉸鏈軸線的平面內(nèi)，過銷釘中心，方向不定（圖1.7（a））。一般情況下可用圖1.7（c）所示的兩個正交分力表示。1.3.6固定鉸支座用光滑圓柱鉸鏈將物體與支承面或固定機(jī)架連接起來，稱為固定圖1.7固定鉸支座及其約束反力圖1.7固定鉸支座及其約束反力在固定鉸支座的座體與支承面之間加輥軸就成為可動鉸支座，其簡圖可用圖1.8（a）、（b）表示，其約束反力必垂直于支承面，如圖1.8（c）所示。在房屋建筑中，梁通過混凝土墊塊支承在磚柱上，如圖1.8（d）所示,不計摩擦?xí)r可視為可動鉸支座。1.3.7可動鉸支座在固定鉸支座的座體與支承面之間加輥軸就成為可動鉸支座，其圖1.8可動鉸支座及其約束反力圖1.8可動鉸支座及其約束反力如房屋的雨篷、挑梁，其一端嵌入墻里（圖1.9（a）），墻對梁的約束既限制它沿任何方向移動，同時又限制它的轉(zhuǎn)動，這種約束稱為固定端支座。它的簡圖可用圖1.9（b）表示，它除了產(chǎn)生水平和豎直方向的約束反力外，還有一個阻止轉(zhuǎn)動的約束反力偶，如圖1.9（c）所示。1.3.8固定端支座如房屋的雨篷、挑梁，其一端嵌入墻里（圖1.9（a）），墻圖1.9固定端支座及其約束反力圖1.9固定端支座及其約束反力由于物體與物體之間用各種約束相互連接，從而構(gòu)成了能夠承受各種荷載的結(jié)構(gòu)。凡只需要利用靜力平衡條件就能計算出結(jié)構(gòu)的全部約束反力和桿件的內(nèi)力的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)，全部約束反力和桿件的內(nèi)力不能只用靜力平衡條件來確定的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)的計算，將結(jié)合結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行計算。1.3.9靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的概念由于物體與物體之間用各種約束相互連接，從而構(gòu)成了能夠承受1.4物體的受力分析及受力圖在受力分析時，當(dāng)約束被人為地解除時，即人為地撤去約束時，必須在接觸點(diǎn)上用一個相應(yīng)的約束反力來代替。在物體的受力分析中，通常把被研究的物體的約束全部解除后單獨(dú)畫出，稱為脫離體。把全部主動力和約束反力用力的圖示表示在分離體上，這樣得到的圖形，稱為受力圖。1.4.1物體受力分析及受力圖的概念1.4物體的受力分析及受力圖在受力分析時，當(dāng)約束被人為

畫受力圖的步驟如下：

（1）明確分析對象，畫出分析對象的分離簡圖；

（2）在分離體上畫出全部主動力；

（3）在分離體上畫出全部的約束反力，注意約束反力與約束應(yīng)一一對應(yīng)。畫受力圖的步驟如下：【例1.1】重量為FW

的小球放置在光滑的斜面上，并用繩子拉住，如圖1.10（a）所示。畫出此球的受力圖。【解】以小球為研究對象，解除小球的約束，畫出分離體，小球受重力(主動力)FW，并畫出，同時小球受到繩子的約束反力（拉力）FTA和斜面的約束反力（支持力）FNB（圖1.10（b））。1.4.2物體的受力圖舉例【例1.1】重量為FW的小球放置在光滑的斜面上，并用繩子拉【例1.2】水平梁AB受已知力F作用，A端為固定鉸支座，B端為移動鉸支座，如圖1.11（a）所示。梁的自重不計，畫出梁AB的受力圖。【解】取梁為研究對象，解除約束，畫出分離體，畫主動力F；A端為固定鉸支座，它的反力可用方向、大小都未知的力FA，或者用水平和豎直的兩個未知力FAx和FAy表示；B端為移動鉸支座，它的約束反力用FB表示，但指向可任意假設(shè)，受力圖如圖1.11（b）、（c）所示?！纠?.2】水平梁AB受已知力F作用，A端為固定鉸支座，B端【例1.3】如圖1.12（a）所示，梁AC與CD在C處鉸接，并支承在三個支座上，畫出梁AC、CD及全梁AD的受力圖?！窘狻咳×篊D為研究對象并畫出分離體，如圖1.12（b）所示。取梁AC為研究對象并畫出分離體，如圖1.12（c）所示。以整個梁為研究對象，畫出分離體，如圖1.12（d）所示?！纠?.3】如圖1.12（a）所示，梁AC與CD在C處鉸接，圖1.10例1.1圖圖1.10例1.1圖圖1.11例1.2圖圖1.11例1.2圖圖1.12例1.3圖圖1.12例1.3圖1.5力的合成與分解凡各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系。在平面力系中，各力的作用線都匯交于一點(diǎn)的力系，稱為平面匯交力系；各力作用線互相平行的力系，稱為平面平行力系；各力的作用線既不完全平行又不完全匯交的力系，我們稱為平面一般力系。1.5力的合成與分解凡各力的作用線都在同一平面

如圖1.13（a）所示，設(shè)力F作用在物體上的A點(diǎn)，在力F作用的平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系xOy，從力F的兩端A和B分別向x軸作垂線，垂足分別為a和b，線段ab稱為力F在坐標(biāo)軸x上的投影，用Fx表示。同理，從A和B分別向y軸作垂線，垂足分別為a′和b′，線段a′b′稱為力F在坐標(biāo)軸y上的投影，用Fy表示。力的正負(fù)號規(guī)定如下：力的投影從開始端到末端的指向，與坐標(biāo)軸正向相同為正；反之，為負(fù)。1.5.1平面匯交力系的合成1.5.1.1力在坐標(biāo)軸上的投影如圖1.13（a）所示，設(shè)力F作用在物體上的A點(diǎn)，在力F若已知力的大小為F，它與x軸的夾角為α，則力在坐標(biāo)軸的投影的絕對值為：Fx=Fcosα

(1.1)

Fy=Fsinα

(1.2)投影的正負(fù)號由力的指向確定。反過來，當(dāng)已知力的投影Fx和Fy，則力的大小F和它與x軸的夾角α分別為：若已知力的大小為F，它與x軸的夾角為α，則力在坐標(biāo)軸的投【例1.4】圖1.14中各力的大小均為100N，求各力在x、y軸上的投影。【解】利用投影的定義分別求出各力的投影：

F1x=F1cos45°=100×√2/2=70.7N

F1y=F1sin45°=100×√2/2=70.7N

F2x=-F2×cos0°=-100N

F2y=F2sin0°=0

F3x=F3sin30°=100×1/2=50N

F3y=-F3cos30°=-100×√3/2=-86.6N

F4x=-F4cos60°=-100×1/2=-50N

F4y=-F4sin60°=-100×√3/2=-86.6N【例1.4】圖1.14中各力的大小均為100N，求各力在x、圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影圖1.14例1.4圖圖1.14例1.4圖

合力投影定理：合力在任意軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。數(shù)學(xué)式子表示為：如果F=F1+F2+…+Fn

(1.5)則

Fx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx

(1.6)

Fy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy

(1.7)平面匯交力系的合成結(jié)果為一合力。1.5.1.2平面匯交力系合成的解析法合力投影定理：合力在任意軸上的投影等于各分力在同一軸上投當(dāng)平面匯交力系已知時，首先選定直角坐標(biāo)系，求出各力在x、y軸上的投影,然后利用合力投影定理計算出合力的投影，最后根據(jù)投影的關(guān)系求出合力的大小和方向。當(dāng)平面匯交力系已知時，首先選定直角坐標(biāo)系，求出各力在x、【例1.5】如圖1.15所示，已知F1=F2=100N，F(xiàn)3=150N，F(xiàn)4=200N，試求其合力。【解】取直角坐標(biāo)系xOy。分別求出已知各力在兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為：Fx=∑Fx=F1+F2cos50°-F3cos60°-F4cos20°

=100+100×0.6428-150×0.5-200×0.9397

=-98.66N

Fy=∑Fy=F2sin50°+F3sin60°-F4sin20°

=100×0.766+150×0.866-200×0.342

=138.1N【例1.5】如圖1.15所示，已知F1=F2=100N，F(xiàn)3于是可得合力的大小以及與x軸的夾角α：F=√Fx2+Fy2

=√(-98.66)2+138.12=169.7N

α=arctan|Fy/Fx|=arctan1.4=54°28′因為Fx為負(fù)值，而Fy為正值，所以合力在第二象限，指向左上方（圖1.15（b））。于是可得合力的大小以及與x軸的夾角α：圖1.15例1.5圖圖1.15例1.5圖圖1.15例1.5圖圖1.15例1.5圖利用四邊形法則可以進(jìn)行力的分解。通常情況下將力分解為相互垂直的兩個分力F1和F2，如圖1.13（b）所示,則兩個分力的大小為：F1=Fcosα

(1.8)

F2=Fsinα

(1.9)力的分解和力的投影既有根本的區(qū)別又有密切聯(lián)系。分力是矢量，而投影為代數(shù)量；分力F1和F2的大小等于該力在坐標(biāo)軸上投影Fx和Fy的絕對值，投影的正負(fù)號反映了分力的指向。1.5.2力的分解利用四邊形法則可以進(jìn)行力的分解。通常情況下將力分解為相互圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影1.6力矩和力偶從實(shí)踐中知道，力可使物體移動，又可使物體轉(zhuǎn)動，例如當(dāng)我們擰螺母時（圖1.16），在扳手上施加一力F，扳手將繞螺母中心O轉(zhuǎn)動，力越大或者O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d越大，螺母將容易被擰緊。1.6.1力矩1.6.1.1力矩的概念1.6力矩和力偶從實(shí)踐中知道，力可使物體移動，又可使物將O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d稱為力臂，將力F與O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d的乘積Fd并加上表示轉(zhuǎn)動方向的正負(fù)號稱為力F對O點(diǎn)的力矩，用MO(F)表示，即MO(F)=±Fd（1.10）

O點(diǎn)稱為力矩中心，簡稱矩心。正負(fù)號的規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時，力矩為正；反之，為負(fù)。力矩的單位：牛頓米(N·m)或者千牛米(kN·m)將O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d稱為力臂，將力F與O點(diǎn)到力圖1.16力矩的概念圖1.16力矩的概念可以證明：合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于所有分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即：若

F=F1+F2+…+Fn

(1.11)則MO(F)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)

(1.12)該定理不僅適用于平面匯交力系，而且可以推廣到任意力系。1.6.1.2合力矩定理可以證明：合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于所有分力對同一點(diǎn)【例1.6】圖1.17所示每1m長擋土墻所受的壓力的合力為F，它的大小為160kN，方向如圖所示。求土壓力F使墻傾覆的力矩?！窘狻客翂毫可使墻繞點(diǎn)A傾覆，故求F對點(diǎn)A的力矩。采用合力矩定理進(jìn)行計算比較方便。MA(F)=MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b

=160×cos30°×4.5/3-160×sin30°×1.5

=87kN·m【例1.6】圖1.17所示每1m長擋土墻所受的壓力的合力為F圖1.17例1.6圖圖1.17例1.6圖把作用在同一物體上大小相等、方向相反但不共線的一對平行力組成的力系稱為力偶，記為（F，F(xiàn)′）。力偶中兩個力的作用線間的距離d稱為力偶臂。兩個力所在的平面稱為力偶的作用面。在實(shí)際生活和生產(chǎn)中，物體受力偶作用而轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象十分常見。例如，司機(jī)兩手轉(zhuǎn)動方向盤，工人師傅用螺紋錐攻螺紋，所施加的都是力偶。1.6.2力偶1.6.2.1力偶的概念把作用在同一物體上大小相等、方向相反但不共線的一對平行力用力和力偶臂的乘積再加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號所得的物理量稱之為力偶，記作M（F，F(xiàn)′）或M，即M（F，F(xiàn)′）=±Fd

(1.13)

力偶正負(fù)號的規(guī)定：力偶正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，其規(guī)定與力矩相同。若力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動，則力偶為正；反之，為負(fù)。力偶矩的單位與力矩的單位相同。力偶對物體的作用效應(yīng)取決于力偶的三要素，即力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向和力偶的作用面的方位。1.6.2.2力偶矩用力和力偶臂的乘積再加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號所得的物理量稱之為力

（1）力偶無合力，不能與一個力平衡和等效，力偶只能用力偶來平衡。力偶在任意軸上的投影等于零。

（2）力偶對其平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩，恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。實(shí)踐證明，凡是三要素相同的力偶，彼此相同，可以互相代替。如圖1.18所示。1.6.2.3力偶的性質(zhì)（1）力偶無合力，不能與一個力平衡和等效，力偶只能用力偶圖1.18力偶圖1.18力偶作用在同一物體上的若干個力偶組成一個力偶系，若力偶系的各力偶均作用在同一平面，則稱為平面力偶系。力偶對物體的作用效應(yīng)只有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而轉(zhuǎn)動效應(yīng)由力偶的大小和轉(zhuǎn)向來度量，因此，力偶系的作用效果也只能是產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動效應(yīng)的大小等于各力偶轉(zhuǎn)動效應(yīng)的總和。可以證明，平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。即：M=M1+M2+…+Mn=∑Mi(1.14)1.6.2.4平面力偶的合成作用在同一物體上的若干個力偶組成一個力偶系，若力偶系的各1.7平面力系的平衡由力的性質(zhì)可知：在剛體內(nèi)，力沿其作用線滑移，其作用效應(yīng)不改變。如果將力的作用線平行移動到另一位置，其作用效應(yīng)將發(fā)生改變，其原因是力的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與力的位置有直接的關(guān)系。通過證明可以得出力的平移定理：作用于剛體上的力，可以平移到剛體上任意一點(diǎn)，必須附加一個力偶才能與原力等效，附加的力偶矩等于原力對平移點(diǎn)之矩。1.7.1力的平衡定理1.7平面力系的平衡由力的性質(zhì)可知：在剛體內(nèi)，力沿其作平面一般力系平衡的充分和必要條件是：平面一般力系中各力在兩個任選的直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為：∑Fx=0

∑Fy=0

∑mO(F)=01.7.2平面力系的平衡1.7.2.1平面一般力系的平衡條件平面一般力系平衡的充分和必要條件是：平面一般力系中各力在此外平面一般力系的平衡方程還可以表示為二矩式和三力矩式。二矩式為：

∑Fx=0

∑mA(F)=0

∑mB(F)=0

三力矩式為

∑mA(F)=0

∑mB(F)=0

∑mC(F)=0此外平面一般力系的平衡方程還可以表示為二矩式和三力矩式。(1)平面匯交力系如果平面匯交力系中的各力作用線都匯交于一點(diǎn)O，則式中∑MO(F)=0，即平面匯交力系的平衡條件為力系的合力為零，其平衡方程為：∑Fx=0

（1.18a）

∑Fy=0

（1.18b）平面匯交力系有兩個獨(dú)立的方程，可以求解兩個未知數(shù)。1.7.2.2平面力系平衡的特例(1)平面匯交力系1.7.2.2平面力系平衡的特例(2)平面平行力系力系中各力在同一平面內(nèi)，且彼此平行的力系稱為平面平行力系。設(shè)有作用在物體上的一個平面平行力系，取x軸與各力垂直，則各力在x軸上的投影恒等于零，即∑Fx≡0。因此，根據(jù)平面一般力系的平衡方程可以得出平面平行力系的平衡方程：∑Fy=0

（1.19a）

∑MO（F）=0

（1.19b）(2)平面平行力系同理，利用平面一般力系平衡的二矩式，可以得出平面平行力系平衡方程的又一種形式：∑MA(F)=0

（1.20a）

∑MB（F）=0

（1.20b）注意，式中A、B連線不能與力平行。平面平行力系有兩個獨(dú)立的方程，所以也只能求解兩個未知數(shù)。同理，利用平面一般力系平衡的二矩式，可以得出平面平行力系（3）平面力偶系在物體的某一平面內(nèi)同時作用有兩個或者兩個以上的力偶時，這群力偶就稱為平面力偶系。由于力偶在坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，因此平面力偶系的平衡條件為：平面力偶系中各個力偶的代數(shù)和等于零，即：∑M=0（1.21）（3）平面力偶系【例1.7】求圖1.19（a）所示簡支桁架的支座反力?！窘狻浚?）取整個桁架為研究對象。（2）畫受力圖(圖1.19(b))。桁架上有集中荷載及支座A、B處的反力FA、FB，它們組成平面平行力系。（3）選取坐標(biāo)系，列方程求解：∑MB=030×12+10×6-FA×15=0

FA=(360+60)/15=28kN(↑)∑Fy=0FA+FB-30-10=0

FB=40-28=12kN(↑)校核：∑MA=FB×15-30×3-10×9=12×15-90-90=0【例1.7】求圖1.19（a）所示簡支桁架的支座反力。物體實(shí)際發(fā)生相互作用時，其作用力是連續(xù)分布作用在一定體積和面積上的，這種力稱為分布力，也叫分布荷載。單位長度上分布的線荷載大小稱為荷載集度，其單位為牛頓/米(N/m)，如果荷載集度為常量，即稱為均勻分布荷載，簡稱均布荷載。

對于均布荷載可以進(jìn)行簡化計算：認(rèn)為其合力的大小為Fq=qa，a為分布荷載作用的長度，合力作用于受載長度的中點(diǎn)。物體實(shí)際發(fā)生相互作用時，其作用力是連續(xù)分布作用在一定體積【例1.8】求圖1.20所示梁支座的反力?！窘狻浚?）取梁AB為研究對象。（2）畫出受力圖(圖1.20(b))。桁架上有集中荷載F、均布荷載q和力偶m以及支座A、B處的反力FAx、FAy和m。（3）選取坐標(biāo)系，列方程求解：∑Fx=0FAx=0∑MA=0MA-M-Fl-ql·l/2=0

MA=M+Fl+1/2ql2【例1.8】求圖1.20所示梁支座的反力?！艶y=0FAy-ql-F=0

FAy=F+ql以整體為研究對象，校核計算結(jié)果：∑MB=FAyl+M-MA-1/2ql2=0說明計算無誤?！艶y=0FAy-ql-F=0總結(jié)例1.7、例1.8，可歸納出物體平衡問題的解題步驟如下：

（1）選取研究對象。

（2）畫出受力圖。

（3）依照受力圖的特點(diǎn)選取坐標(biāo)系，注意投影為零和力矩為零的應(yīng)用，列方程求解。

（4）校核計算結(jié)果?？偨Y(jié)例1.7、例1.8，可歸納出物體平衡問題的解題步驟如圖1.19例1.7圖圖1.19例1.7圖圖1.20例1.8圖圖1.20例1.8圖1.8變形固體基本概念構(gòu)件是由固體材料制成的，在外力作用下，固體將發(fā)生變形，故稱為變形固體。在進(jìn)行靜力分析和計算時，構(gòu)件的微小變形對其結(jié)果影響可以忽略不計，因而將構(gòu)件視為剛體，但是在進(jìn)行構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性計算和分析時，必須考慮構(gòu)件的變形。1.8.1變形固體及其基本假設(shè)1.8變形固體基本概念構(gòu)件是由固體材料制成的，在外力作構(gòu)件的變形與構(gòu)件的組成和材料有直接的關(guān)系，為了使計算工作簡化，把變形固體的某些性質(zhì)進(jìn)行抽象化和理想化，做一些必要的假設(shè)，同時又不影響計算和分析結(jié)果。對變形固體的基本假設(shè)主要有：（1）均勻性假設(shè)即假設(shè)固體內(nèi)部各部分之間的力學(xué)性質(zhì)處處相同。宏觀上可以認(rèn)為固體內(nèi)的微粒均勻分布，各部分的性質(zhì)也是均勻的。構(gòu)件的變形與構(gòu)件的組成和材料有直接的關(guān)系，為了使計算工作（2）連續(xù)性假設(shè)即假設(shè)組成固體的物質(zhì)毫無空隙地充滿固體的幾何空間。實(shí)際的變形固體從微觀結(jié)構(gòu)來說，微粒之間是有空隙的，但是這種空隙與固體的實(shí)際尺寸相比是極其微小的，可以忽略不計。這種假設(shè)的意義在于當(dāng)固體受外力作用時，度量其效應(yīng)的各個量都認(rèn)為是連續(xù)變化的，可建立相應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。（2）連續(xù)性假設(shè)（3）各向同性假設(shè)即假設(shè)變形固體在各個方向上的力學(xué)性質(zhì)完全相同。具有這種屬性的材料稱為各向同性材料。鑄鐵、玻璃、混凝土、鋼材等都可以認(rèn)為是各向同性材料。（4）小變形假設(shè)固體因外力作用而引起的變形與原始尺寸相比是微小的，這樣的變形稱為小變形。由于變形比較小，在固體分析、建立平衡方程、計算個體的變形時，都以原始的尺寸進(jìn)行計算。（3）各向同性假設(shè)對于變形固體來講，受到外力作用發(fā)生變形，而變形發(fā)生在一定的限度內(nèi)，當(dāng)外力解除后，隨外力的解除而變形也隨之消失的變形，稱為彈性變形。但是也有部分變形隨外力的解除而變形不隨之消失，這種變形稱為塑性變形。本書只進(jìn)行彈性變形和小變形的計算?？傊牧狭W(xué)研究的構(gòu)件是均勻、連續(xù)、各向同性的理想彈性體，且限于小變形范圍。對于變形固體來講，受到外力作用發(fā)生變形，而變形發(fā)生在一定在工程實(shí)際中，構(gòu)件的形狀可以是各種各樣的，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕话憧梢詺w納為四類，即桿、板、殼和塊。所謂桿件，是指長度遠(yuǎn)大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件。桿件的形狀和尺寸可由桿的橫截面和軸線兩個主要幾何元素來描述。桿的各個截面的形心的連線叫軸線，垂直于軸線的截面叫橫截面。軸線為直線、橫截面相同的桿稱為等值桿。1.8.2桿件變形1.8.2.1桿件在工程實(shí)際中，構(gòu)件的形狀可以是各種各樣的，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮?/p>

（1）軸向拉伸與壓縮（圖1.21（a）、（b））。這種變形是在一對大小相等、方向相反、作用線與桿軸線重合的外力作用下，桿件產(chǎn)生長度的改變（伸長與縮短）。

（2）剪切（圖1.21（c））。這種變形是在一對相距很近、大小相等、方向相反、作用線垂直于桿軸線的外力作用下，桿件的橫截面沿外力方向發(fā)生的錯動。1.8.2.2桿件變形的基本形式（1）軸向拉伸與壓縮（圖1.21（a）、（b））。這種變

（3）扭轉(zhuǎn)（圖1.21（d））。這種變形是在一對大小相等、方向相反、位于垂直于桿軸線的平面內(nèi)的力偶作用下，桿的任意兩橫截面發(fā)生的相對轉(zhuǎn)動。

（4）彎曲（圖1.21（e））。這種變形是在橫向力或一對大小相等、方向相反、位于桿的縱向平面內(nèi)的力偶作用下，桿的軸線由直線彎曲成曲線。（3）扭轉(zhuǎn)（圖1.21（d））。這種變形是在一對大小相等圖1.21桿件變形的基本形式圖1.21桿件變形的基本形式圖1.21桿件變形的基本形式圖1.21桿件變形的基本形式(1)內(nèi)力構(gòu)件內(nèi)各粒子間都存在著相互作用力。當(dāng)構(gòu)件受到外力作用時，形狀和尺寸將發(fā)生變化，構(gòu)件內(nèi)各個截面之間的相互作用力也將發(fā)生變化，這種因為桿件受力而引起的截面之間相互作用力的變化稱為內(nèi)力。內(nèi)力與構(gòu)件的強(qiáng)度（破不破壞的問題）、剛度（變形大小的問題）緊密相連。要保證構(gòu)件的承載必須控制構(gòu)件的內(nèi)力。1.8.3內(nèi)力、應(yīng)力的概念(1)內(nèi)力1.8.3內(nèi)力、應(yīng)力的概念(2)應(yīng)力內(nèi)力表示的是整個截面的受力情況。在不同粗細(xì)的兩根繩子上分別懸掛重量相同的物體，則細(xì)繩將可能被拉斷，而粗繩不會被拉斷，這說明構(gòu)件是否破壞不僅僅與內(nèi)力的大小有關(guān)，而且與內(nèi)力在整個截面的分布情況有關(guān)，而內(nèi)力的分布通常用單位面積上的內(nèi)力大小來表示，我們將單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。它是內(nèi)力在某一點(diǎn)的分布集度。應(yīng)力根據(jù)其與截面之間的關(guān)系和對變形的影響，可分為正應(yīng)力和切應(yīng)力兩種。(2)應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用σ表示；相切于截面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用τ表示。在國際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，簡稱帕（Pa）。

1Pa=1N/m2工程實(shí)際中應(yīng)力的數(shù)值較大，常以千帕（kPa）、兆帕（MPa）或吉帕（GPa）為單位。垂直于截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用σ表示；相切于截面的應(yīng)力稱桿件在軸向拉力或壓力作用下，沿桿軸線方向會伸長或縮短，這種變形稱為縱向變形；同時，桿的橫向尺寸將減小或增大，這種變形稱為橫向變形。如圖1.21(a)、(b)所示，其縱向變形為：Δl=l1-l

(1.22)為了避免桿件長度的影響，用單位長度的變形量反映變形的程度，稱為線應(yīng)變?？v向線應(yīng)變用符號ε表示。ε=Δl/l=（l1-l）/l

(1.23)1.8.4應(yīng)變的概念1.8.4.1線應(yīng)變桿件在軸向拉力或壓力作用下，沿桿軸線方向會伸長或縮短，這圖1.21桿件變形的基本形式圖1.21桿件變形的基本形式

如圖1.21(c)為一矩形截面的構(gòu)件，在一對剪切力的作用下，截面將產(chǎn)生相互錯動，形狀變?yōu)槠叫兴倪呅危@種由于角度的變化而引起的變形稱為剪切變形。直角的改變量稱為切應(yīng)變，用符號γ表示。切應(yīng)變γ的單位為弧度。1.8.4.2切應(yīng)變?nèi)鐖D1.21(c)為一矩形截面的構(gòu)件，在一對剪切力的作用圖1.21桿件變形的基本形式圖1.21桿件變形的基本形式實(shí)驗表明，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在著一定的物理關(guān)系，在一定條件下，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這就是虎克定律。用數(shù)學(xué)公式表達(dá)為：σ=Eε

(1.24)式中比例系數(shù)E稱為材料的彈性模量，它與構(gòu)件的材料有關(guān)，可以通過試驗得出。1.8.4.3虎克定律實(shí)驗表明，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在著一定的物理關(guān)系，在一定條件構(gòu)件和結(jié)構(gòu)都應(yīng)有足夠的承受荷載的能力（承載能力），這種承載能力由以下三方面來衡量：

（1）構(gòu)件應(yīng)有足夠的強(qiáng)度。所謂強(qiáng)度，就是構(gòu)件在外力作用下抵抗破壞的能力。

（2）構(gòu)件應(yīng)有足夠的剛度。所謂剛度，就是構(gòu)件抵抗變形的能力。

（3）構(gòu)件應(yīng)有足夠的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性就是構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力。1.8.5強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的概念構(gòu)件和結(jié)構(gòu)都應(yīng)有足夠的承受荷載的能力（承載能力），這種承構(gòu)件的截面形狀與構(gòu)件的承載能力有著直接的關(guān)系。與截面尺寸和形狀有關(guān)的幾何量，稱為平面圖形的幾何性質(zhì)。1.8.6截面的幾何性質(zhì)構(gòu)件的截面形狀與構(gòu)件的承載能力有著直接的關(guān)系。1.8.6在地球表面附近的物體，都受到地球的引力作用，這個引力稱為重力。重力的大小稱為物體的重量。實(shí)驗證明，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終通過一個確定的點(diǎn)，這個點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn)，稱為重心。任何幾何圖形都有一個幾何中心，也就是形心。當(dāng)一個物體是均勻分布時，則物體的形心與物體的重心是重合的。在進(jìn)行構(gòu)件強(qiáng)度分析時，經(jīng)常要用到形心的位置。1.8.6.1重心與形心的概念在地球表面附近的物體，都受到地球的引力作用，這個引力稱為重心與形心的計算方法相對比較復(fù)雜。現(xiàn)將幾種常見圖形的形心列于表1.1。對于圓、矩形等對稱圖形，其形心就是其重心，比如圓的形心就在其圓心。1.8.6.2幾種常見圖形的形心重心與形心的計算方法相對比較復(fù)雜?，F(xiàn)將幾種常見圖形的形心表1.1常見圖形的形心與面積圖形形心位置面積xC=a/3yC=h/3A=ah/2yC=h/3A=ah/2表1.1常見圖形的形心與面積圖形形心位置面積xC=a/圖形形心位置面積yC=4r/3πA=πr2/2xC=3/4ayC=3/10bA=1/3/ab圖形形心位置面積yC=4r/3πA=πr2/2xC=3/圖形形心位置面積xC=3/5ayC=3/8bA=2/3ab圖形形心位置面積xC=3/5aA=2/3ab1建筑力學(xué)預(yù)備知識

本章主要介紹力的基本性質(zhì)、力矩與力偶、平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用、變形固體及其假設(shè)和幾何圖形的性質(zhì)。要求掌握幾種常見約束的約束反力，受力圖的畫法，平面力系的平衡方程及其應(yīng)用；理解力的性質(zhì)和投影、力矩的計算、力偶的概念；了解變形固體及其假設(shè)，強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的概念，平面幾何圖形的性質(zhì)。本章提要1建筑力學(xué)預(yù)備知識本章主要介紹力的基本性質(zhì)、力矩與本章內(nèi)容1.1

力的概念1.2

靜力學(xué)公理1.3

約束與約束反力1.4

物體的受力分析及受力圖1.5

力的合成與分解1.6

力矩和力偶1.7

平面力系的平衡1.8

變形固體基本概念本章內(nèi)容1.1力的概念1.1力的概念人們在長期的生產(chǎn)勞動和日常生活中逐漸形成并建立了力的概念。

力可定義為：力是物體之間相互的機(jī)械作用，這種作用的效果是使物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變，或者使物體發(fā)生變形。既然力是物體與物體之間的相互作用，那么，力不可能脫離物體而單獨(dú)存在。有受力物體，必定有施力物體。1.1.1力的定義1.1力的概念人們在長期的生產(chǎn)勞動和日常生活中逐漸形成實(shí)踐證明，力對物體的作用效果取決于三個要素：力的大小、力的方向和力的作用點(diǎn)。這三個要素通常稱為力的三要素。描述一個力時，要全面表明力的三要素，因為任一要素發(fā)生改變時，都會對物體產(chǎn)生不同的效果。在國際單位制中，力的單位為牛頓（N）或千牛頓（kN）。1kN=1000N。1.1.2力的三要素實(shí)踐證明，力對物體的作用效果取決于三個要素：力的大小、力力是一個既有大小又有方向的物理量，所以力是矢量。力用一段帶箭頭的線段來表示。線段的長度表示力的大?。痪€段與某定直線的夾角表示力的方位，箭頭表示力的指向；線段的起點(diǎn)或終點(diǎn)表示力的作用點(diǎn)。用外文字母表示力時，用黑體字F或加一箭線的細(xì)體字。而普通字母F只表示力的大小。力是一個既有大小又有方向的物理量，所以力是矢量。力用一段1.2靜力學(xué)公理

兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，沿同一直線，并分別作用在這兩個物體上。作用力與反作用力的性質(zhì)應(yīng)相同。作用力與反作用力公理概括了兩個物體之間相互作用力之間的關(guān)系，在分析物體受力時將有重要的作用。1.2.1作用力與反作用力公理1.2靜力學(xué)公理兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大

作用在同一物體上的兩個力，使物體平衡的必要和充分條件是，這兩個力大小相等，方向相反，且作用在同一直線上。這個公理說明了作用在同一物體上兩個力的平衡條件。當(dāng)一個物體只受兩個力而保持平衡時，這兩個力一定滿足二力平衡公理。若一根桿件只在兩點(diǎn)受力作用而處于平衡，則作用在此兩點(diǎn)的二力的方向必在這兩點(diǎn)的連線上。1.2.2二力平衡公理作用在同一物體上的兩個力，使物體平衡的必要和充分條件是，

作用于剛體的任意力系中，加上或減去任意平衡力系，并不改變原力系的作用效應(yīng)。

推論：力的可傳性原理

作用在剛體上的力可沿其作用線移動到剛體內(nèi)的任意點(diǎn)，而不改變原力對剛體的作用效應(yīng)。根據(jù)力的可傳性原理，力對剛體的作用效應(yīng)與力的作用點(diǎn)在作用線的位置無關(guān)。加減平衡力系公理和力的可傳性原理都只適用于剛體。1.2.3加減平衡力系公理作用于剛體的任意力系中，加上或減去任意平衡力系，并不改變

作用于物體上的同一點(diǎn)的兩個力，可以合成為一個合力，合力也作用于該點(diǎn)，合力的大小和方向由這兩個力為邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線來表示。如圖1.1所示。

推論：三力平衡匯交定理

一剛體受共面不平行的三個力作用而平衡時，這三個力的作用線必匯交于一點(diǎn)。三力平衡匯交定理常常用來確定物體在共面不平行的三個力作用下平衡時其中未知力的方向。1.2.4力的平行四邊形法則作用于物體上的同一點(diǎn)的兩個力，可以合成為一個合力，合力也圖1.1力平行四邊形圖1.1力平行四邊形1.3約束與約束反力一個物體的運(yùn)動受到周圍物體的限制時，這些周圍物體就稱為該物體的約束。物體受到的力一般可以分為兩類：一類是使物體運(yùn)動或使物體有運(yùn)動趨勢，稱為主動力，如重力、水壓力等，主動力在工程上稱為荷載；另一類是對物體的運(yùn)動或運(yùn)動趨勢起限制作用的力，稱為被動力。1.3.1約束與約束反力的概念1.3約束與約束反力一個物體的運(yùn)動受到周圍物體的限制時約束對物體運(yùn)動的限制作用是通過約束對物體的作用力實(shí)現(xiàn)的，通常將約束對物體的作用力稱為約束反力，簡稱反力，約束反力的方向總是與約束所能限制的運(yùn)動方向相反。通常主動力是已知的，約束反力是未知的。約束對物體運(yùn)動的限制作用是通過約束對物體的作用力實(shí)現(xiàn)的，由柔軟的繩子、鏈條或膠帶所構(gòu)成的約束稱為柔體約束。由于柔體約束只能限制物體沿柔體約束的中心線離開約束的運(yùn)動，所以柔體約束的約束反力必然沿柔體的中心線而背離物體，即拉力，通常用FT表示。

如圖1.2(a)所示的起重裝置中，桅桿和重物一起所受繩子的拉力分別是FT1、FT2和FT3(圖1.2(b))，而重物單獨(dú)受繩子的拉力則為FT4(圖1.2(c))。1.3.2柔體約束由柔軟的繩子、鏈條或膠帶所構(gòu)成的約束稱為柔體約束。由于柔圖1.2柔體約束及其約束反力圖1.2柔體約束及其約束反力當(dāng)兩個物體直接接觸，而接觸面處的摩擦力可以忽略不計時，兩物體彼此的約束稱為光滑接觸面約束。光滑接觸面對物體的約束反力一定通過接觸點(diǎn)，沿該點(diǎn)的公法線方向指向被約束物體，即為壓力或支持力，通常用FN表示，如圖1.3所示。1.3.3光滑接觸面約束當(dāng)兩個物體直接接觸，而接觸面處的摩擦力可以忽略不計時，兩圖1.3光滑接觸面約束及其約束反力圖1.3光滑接觸面約束及其約束反力圓柱鉸鏈約束是由圓柱形銷釘插入兩個物體的圓孔構(gòu)成，如圖1.4（a）、（b）所示，且認(rèn)為銷釘與圓孔的表面是完全光滑的，這種約束通常如圖1.4（c）所示。圓柱鉸鏈約束只能限制物體在垂直于銷釘軸線平面內(nèi)的任何移動，而不能限制物體繞銷釘軸線的轉(zhuǎn)動。如圖1.5所示1.3.4圓柱鉸鏈約束圓柱鉸鏈約束是由圓柱形銷釘插入兩個物體的圓孔構(gòu)成，如圖1圖1.4圓柱鉸鏈約束圖1.4圓柱鉸鏈約束圖1.5圓柱鉸鏈約束的約束反力圖1.5圓柱鉸鏈約束的約束反力兩端用鉸鏈與不同的兩個物體分別相連且中間不受力的直桿稱為鏈桿，圖1.6（a）、（b）中AB、BC桿都屬于鏈桿約束。這種約束只能限制物體沿鏈桿中心線趨向或離開鏈桿的運(yùn)動。鏈桿約束的約束反力沿鏈桿中心線，指向未定。鏈桿約束的簡圖及其反力如圖1.6（c）、（d）所示。鏈桿都是二力桿，只能受拉或者受壓。1.3.5鏈桿約束兩端用鉸鏈與不同的兩個物體分別相連且中間不受力的直桿稱為圖1.6鏈桿約束及其約束反力圖1.6鏈桿約束及其約束反力用光滑圓柱鉸鏈將物體與支承面或固定機(jī)架連接起來，稱為固定鉸支座，如圖1.7（a）所示，計算簡圖如圖1.7（b）所示。其約束反力在垂直于鉸鏈軸線的平面內(nèi)，過銷釘中心，方向不定（圖1.7（a））。一般情況下可用圖1.7（c）所示的兩個正交分力表示。1.3.6固定鉸支座用光滑圓柱鉸鏈將物體與支承面或固定機(jī)架連接起來，稱為固定圖1.7固定鉸支座及其約束反力圖1.7固定鉸支座及其約束反力在固定鉸支座的座體與支承面之間加輥軸就成為可動鉸支座，其簡圖可用圖1.8（a）、（b）表示，其約束反力必垂直于支承面，如圖1.8（c）所示。在房屋建筑中，梁通過混凝土墊塊支承在磚柱上，如圖1.8（d）所示,不計摩擦?xí)r可視為可動鉸支座。1.3.7可動鉸支座在固定鉸支座的座體與支承面之間加輥軸就成為可動鉸支座，其圖1.8可動鉸支座及其約束反力圖1.8可動鉸支座及其約束反力如房屋的雨篷、挑梁，其一端嵌入墻里（圖1.9（a）），墻對梁的約束既限制它沿任何方向移動，同時又限制它的轉(zhuǎn)動，這種約束稱為固定端支座。它的簡圖可用圖1.9（b）表示，它除了產(chǎn)生水平和豎直方向的約束反力外，還有一個阻止轉(zhuǎn)動的約束反力偶，如圖1.9（c）所示。1.3.8固定端支座如房屋的雨篷、挑梁，其一端嵌入墻里（圖1.9（a）），墻圖1.9固定端支座及其約束反力圖1.9固定端支座及其約束反力由于物體與物體之間用各種約束相互連接，從而構(gòu)成了能夠承受各種荷載的結(jié)構(gòu)。凡只需要利用靜力平衡條件就能計算出結(jié)構(gòu)的全部約束反力和桿件的內(nèi)力的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)，全部約束反力和桿件的內(nèi)力不能只用靜力平衡條件來確定的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)的計算，將結(jié)合結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行計算。1.3.9靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的概念由于物體與物體之間用各種約束相互連接，從而構(gòu)成了能夠承受1.4物體的受力分析及受力圖在受力分析時，當(dāng)約束被人為地解除時，即人為地撤去約束時，必須在接觸點(diǎn)上用一個相應(yīng)的約束反力來代替。在物體的受力分析中，通常把被研究的物體的約束全部解除后單獨(dú)畫出，稱為脫離體。把全部主動力和約束反力用力的圖示表示在分離體上，這樣得到的圖形，稱為受力圖。1.4.1物體受力分析及受力圖的概念1.4物體的受力分析及受力圖在受力分析時，當(dāng)約束被人為

畫受力圖的步驟如下：

（1）明確分析對象，畫出分析對象的分離簡圖；

（2）在分離體上畫出全部主動力；

（3）在分離體上畫出全部的約束反力，注意約束反力與約束應(yīng)一一對應(yīng)。畫受力圖的步驟如下：【例1.1】重量為FW

的小球放置在光滑的斜面上，并用繩子拉住，如圖1.10（a）所示。畫出此球的受力圖?！窘狻恳孕∏驗檠芯繉ο?，解除小球的約束，畫出分離體，小球受重力(主動力)FW，并畫出，同時小球受到繩子的約束反力（拉力）FTA和斜面的約束反力（支持力）FNB（圖1.10（b））。1.4.2物體的受力圖舉例【例1.1】重量為FW的小球放置在光滑的斜面上，并用繩子拉【例1.2】水平梁AB受已知力F作用，A端為固定鉸支座，B端為移動鉸支座，如圖1.11（a）所示。梁的自重不計，畫出梁AB的受力圖?！窘狻咳×簽檠芯繉ο?，解除約束，畫出分離體，畫主動力F；A端為固定鉸支座，它的反力可用方向、大小都未知的力FA，或者用水平和豎直的兩個未知力FAx和FAy表示；B端為移動鉸支座，它的約束反力用FB表示，但指向可任意假設(shè)，受力圖如圖1.11（b）、（c）所示?！纠?.2】水平梁AB受已知力F作用，A端為固定鉸支座，B端【例1.3】如圖1.12（a）所示，梁AC與CD在C處鉸接，并支承在三個支座上，畫出梁AC、CD及全梁AD的受力圖。【解】取梁CD為研究對象并畫出分離體，如圖1.12（b）所示。取梁AC為研究對象并畫出分離體，如圖1.12（c）所示。以整個梁為研究對象，畫出分離體，如圖1.12（d）所示?！纠?.3】如圖1.12（a）所示，梁AC與CD在C處鉸接，圖1.10例1.1圖圖1.10例1.1圖圖1.11例1.2圖圖1.11例1.2圖圖1.12例1.3圖圖1.12例1.3圖1.5力的合成與分解凡各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系。在平面力系中，各力的作用線都匯交于一點(diǎn)的力系，稱為平面匯交力系；各力作用線互相平行的力系，稱為平面平行力系；各力的作用線既不完全平行又不完全匯交的力系，我們稱為平面一般力系。1.5力的合成與分解凡各力的作用線都在同一平面

如圖1.13（a）所示，設(shè)力F作用在物體上的A點(diǎn)，在力F作用的平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系xOy，從力F的兩端A和B分別向x軸作垂線，垂足分別為a和b，線段ab稱為力F在坐標(biāo)軸x上的投影，用Fx表示。同理，從A和B分別向y軸作垂線，垂足分別為a′和b′，線段a′b′稱為力F在坐標(biāo)軸y上的投影，用Fy表示。力的正負(fù)號規(guī)定如下：力的投影從開始端到末端的指向，與坐標(biāo)軸正向相同為正；反之，為負(fù)。1.5.1平面匯交力系的合成1.5.1.1力在坐標(biāo)軸上的投影如圖1.13（a）所示，設(shè)力F作用在物體上的A點(diǎn)，在力F若已知力的大小為F，它與x軸的夾角為α，則力在坐標(biāo)軸的投影的絕對值為：Fx=Fcosα

(1.1)

Fy=Fsinα

(1.2)投影的正負(fù)號由力的指向確定。反過來，當(dāng)已知力的投影Fx和Fy，則力的大小F和它與x軸的夾角α分別為：若已知力的大小為F，它與x軸的夾角為α，則力在坐標(biāo)軸的投【例1.4】圖1.14中各力的大小均為100N，求各力在x、y軸上的投影?！窘狻坷猛队暗亩x分別求出各力的投影：

F1x=F1cos45°=100×√2/2=70.7N

F1y=F1sin45°=100×√2/2=70.7N

F2x=-F2×cos0°=-100N

F2y=F2sin0°=0

F3x=F3sin30°=100×1/2=50N

F3y=-F3cos30°=-100×√3/2=-86.6N

F4x=-F4cos60°=-100×1/2=-50N

F4y=-F4sin60°=-100×√3/2=-86.6N【例1.4】圖1.14中各力的大小均為100N，求各力在x、圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影圖1.14例1.4圖圖1.14例1.4圖

合力投影定理：合力在任意軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。數(shù)學(xué)式子表示為：如果F=F1+F2+…+Fn

(1.5)則

Fx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx

(1.6)

Fy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy

(1.7)平面匯交力系的合成結(jié)果為一合力。1.5.1.2平面匯交力系合成的解析法合力投影定理：合力在任意軸上的投影等于各分力在同一軸上投當(dāng)平面匯交力系已知時，首先選定直角坐標(biāo)系，求出各力在x、y軸上的投影,然后利用合力投影定理計算出合力的投影，最后根據(jù)投影的關(guān)系求出合力的大小和方向。當(dāng)平面匯交力系已知時，首先選定直角坐標(biāo)系，求出各力在x、【例1.5】如圖1.15所示，已知F1=F2=100N，F(xiàn)3=150N，F(xiàn)4=200N，試求其合力?！窘狻咳≈苯亲鴺?biāo)系xOy。分別求出已知各力在兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為：Fx=∑Fx=F1+F2cos50°-F3cos60°-F4cos20°

=100+100×0.6428-150×0.5-200×0.9397

=-98.66N

Fy=∑Fy=F2sin50°+F3sin60°-F4sin20°

=100×0.766+150×0.866-200×0.342

=138.1N【例1.5】如圖1.15所示，已知F1=F2=100N，F(xiàn)3于是可得合力的大小以及與x軸的夾角α：F=√Fx2+Fy2

=√(-98.66)2+138.12=169.7N

α=arctan|Fy/Fx|=arctan1.4=54°28′因為Fx為負(fù)值，而Fy為正值，所以合力在第二象限，指向左上方（圖1.15（b））。于是可得合力的大小以及與x軸的夾角α：圖1.15例1.5圖圖1.15例1.5圖圖1.15例1.5圖圖1.15例1.5圖利用四邊形法則可以進(jìn)行力的分解。通常情況下將力分解為相互垂直的兩個分力F1和F2，如圖1.13（b）所示,則兩個分力的大小為：F1=Fcosα

(1.8)

F2=Fsinα

(1.9)力的分解和力的投影既有根本的區(qū)別又有密切聯(lián)系。分力是矢量，而投影為代數(shù)量；分力F1和F2的大小等于該力在坐標(biāo)軸上投影Fx和Fy的絕對值，投影的正負(fù)號反映了分力的指向。1.5.2力的分解利用四邊形法則可以進(jìn)行力的分解。通常情況下將力分解為相互圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影圖1.13力在坐標(biāo)軸上的投影1.6力矩和力偶從實(shí)踐中知道，力可使物體移動，又可使物體轉(zhuǎn)動，例如當(dāng)我們擰螺母時（圖1.16），在扳手上施加一力F，扳手將繞螺母中心O轉(zhuǎn)動，力越大或者O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d越大，螺母將容易被擰緊。1.6.1力矩1.6.1.1力矩的概念1.6力矩和力偶從實(shí)踐中知道，力可使物體移動，又可使物將O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d稱為力臂，將力F與O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d的乘積Fd并加上表示轉(zhuǎn)動方向的正負(fù)號稱為力F對O點(diǎn)的力矩，用MO(F)表示，即MO(F)=±Fd（1.10）

O點(diǎn)稱為力矩中心，簡稱矩心。正負(fù)號的規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動時，力矩為正；反之，為負(fù)。力矩的單位：牛頓米(N·m)或者千牛米(kN·m)將O點(diǎn)到力F作用線的垂直距離d稱為力臂，將力F與O點(diǎn)到力圖1.16力矩的概念圖1.16力矩的概念可以證明：合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于所有分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即：若

F=F1+F2+…+Fn

(1.11)則MO(F)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)

(1.12)該定理不僅適用于平面匯交力系，而且可以推廣到任意力系。1.6.1.2合力矩定理可以證明：合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于所有分力對同一點(diǎn)【例1.6】圖1.17所示每1m長擋土墻所受的壓力的合力為F，它的大小為160kN，方向如圖所示。求土壓力F使墻傾覆的力矩?！窘狻客翂毫可使墻繞點(diǎn)A傾覆，故求F對點(diǎn)A的力矩。采用合力矩定理進(jìn)行計算比較方便。MA(F)=MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b

=160×cos30°×4.5/3-160×sin30°×1.5

=87kN·m【例1.6】圖1.17所示每1m長擋土墻所受的壓力的合力為F圖1.17例1.6圖圖1.17例1.6圖把作用在同一物體上大小相等、方向相反但不共線的一對平行力組成的力系稱為力偶，記為（F，F(xiàn)′）。力偶中兩個力的作用線間的距離d稱為力偶臂。兩個力所在的平面稱為力偶的作用面。在實(shí)際生活和生產(chǎn)中，物體受力偶作用而轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象十分常見。例如，司機(jī)兩手轉(zhuǎn)動方向盤，工人師傅用螺紋錐攻螺紋，所施加的都是力偶。1.6.2力偶1.6.2.1力偶的概念把作用在同一物體上大小相等、方向相反但不共線的一對平行力用力和力偶臂的乘積再加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號所得的物理量稱之為力偶，記作M（F，F(xiàn)′）或M，即M（F，F(xiàn)′）=±Fd

(1.13)

力偶正負(fù)號的規(guī)定：力偶正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，其規(guī)定與力矩相同。若力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動，則力偶為正；反之，為負(fù)。力偶矩的單位與力矩的單位相同。力偶對物體的作用效應(yīng)取決于力偶的三要素，即力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向和力偶的作用面的方位。1.6.2.2力偶矩用力和力偶臂的乘積再加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號所得的物理量稱之為力

（1）力偶無合力，不能與一個力平衡和等效，力偶只能用力偶來平衡。力偶在任意軸上的投影等于零。

（2）力偶對其平面內(nèi)任意點(diǎn)之矩，恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。實(shí)踐證明，凡是三要素相同的力偶，彼此相同，可以互相代替。如圖1.18所示。1.6.2.3力偶的性質(zhì)（1）力偶無合力，不能與一個力平衡和等效，力偶只能用力偶圖1.18力偶圖1.18力偶作用在同一物體上的若干個力偶組成一個力偶系，若力偶系的各力偶均作用在同一平面，則稱為平面力偶系。力偶對物體的作用效應(yīng)只有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而轉(zhuǎn)動效應(yīng)由力偶的大小和轉(zhuǎn)向來度量，因此，力偶系的作用效果也只能是產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動效應(yīng)的大小等于各力偶轉(zhuǎn)動效應(yīng)的總和?？梢宰C明，平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。即：M=M1+M2+…+Mn=∑Mi(1.14)1.6.2.4平面力偶的合成作用在同一物體上的若干個力偶組成一個力偶系，若力偶系的各1.7平面力系的平衡由力的性質(zhì)可知：在剛體內(nèi)，力沿其作用線滑移，其作用效應(yīng)不改變。如果將力的作用線平行移動到另一位置，其作用效應(yīng)將發(fā)生改變，其原因是力的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與力的位置有直接的關(guān)系。通過證明可以得出力的平移定理：作用于剛體上的力，可以平移到剛體上任意一點(diǎn)，必須附加一個力偶才能與原力等效，附加的力偶矩等于原力對平移點(diǎn)之矩。1.7.1力的平衡定理1.7平面力系的平衡由力的性質(zhì)可知：在剛體內(nèi)，力沿其作平面一般力系平衡的充分和必要條件是：平面一般力系中各力在兩個任選的直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為：∑Fx=0

∑Fy=0

∑mO(F)=01.7.2平面力系的平衡1.7.2.1平面一般力系的平衡條件平面一般力系平衡的充分和必要條件是：平面一般力系中各力在此外平面一般力系的平衡方程還可以表示為二矩式和三力矩式。二矩式為：

∑Fx=0

∑mA(F)=0

∑mB(F)=0

三力矩式為

∑mA(F)=0

∑mB(F)=0

∑mC(F)=0此外平面一般力系的平衡方程還可以表示為二矩式和三力矩式。(1)平面匯交力系如果平面匯交力系中的各力作用線都匯交于一點(diǎn)O，則式中∑MO(F)=0，即平面匯交力系的平衡條件為力系的合力為零，其平衡方程為：∑Fx=0

（1.18a）

∑Fy=0

（1.18b）平面匯交力系有兩個獨(dú)立的方程，可以求解兩個未知數(shù)。1.7.2.2平面力系平衡的特例(1)平面匯交力系1.7.2.2平面力系平衡的特例(2)平面平行力系力系中各力在同一平面內(nèi)，且彼此平行的力系稱為平面平行力系。設(shè)有作用在物體上的一個平面平行力系，取x軸與各力垂直，則各力在x軸上的投影恒等于零，即∑Fx≡0。因此，根據(jù)平面一般力系的平衡方程可以得出平面平行力系的平衡方程：∑Fy=0

（1.19a）