小波分析課件

1.1

小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿足下述條件的函數(shù)或者信號:這時，也稱為小波母函數(shù)，(2)稱為容許性條件。（1）（2）1.1小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿1連續(xù)小波函數(shù)：為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)（a,b）的連續(xù)小波，簡稱為小波。

（3）連續(xù)小波函數(shù)：為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)2注釋注釋：如果小波母函數(shù)的Fourier

變換在原點是連續(xù)的，那么公式(2)說明，于是這說明函數(shù)有波動的特點，公式(1)又說明函數(shù)有衰減的特點，因此，稱函數(shù)為“小波”。

注釋注釋：如果小波母函數(shù)的Fourier于31.2

小波變換(WaveletTransform)對于任意的函數(shù)或者信號，其小波變換為（4）1.2小波變換(WaveletTransform)對于任4性質(zhì)這樣定義的小波變換具有下列性質(zhì)：Plancherel恒等式：小波變換的逆變換公式：（5）（6）性質(zhì)這樣定義的小波變換具有下列性質(zhì)：Plancherel恒等5性質(zhì)吸收公式：當(dāng)吸收條件成立時，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性質(zhì)吸收公式：當(dāng)吸收條件成立時，有吸收的Planchere6性質(zhì)吸收的逆變換公式（9）性質(zhì)吸收的逆變換公式（9）71.3.二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換

(DyadicWaveletTransform)

如果小波函數(shù)滿足穩(wěn)定性條件

(10)則稱為二進(jìn)小波，對于任意的整數(shù)k,記(11)1.3.二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換

(DyadicWavele8逆變換對于任意的，其二進(jìn)小波變換為：

這時，逆變換公式是

（12）（13）逆變換對于任意的，9重構(gòu)小波其中的Fourier變換滿足稱為二進(jìn)小波的重構(gòu)小波，比如可?。?/p>

（14）（15）重構(gòu)小波其中的Fourier變換滿足稱為10設(shè)小波為，對于任意的整數(shù)k和j，記1.4.正交小波和小波級數(shù)

(OrthonormalWavelet)

構(gòu)成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則稱是正交小波。

如果函數(shù)族(16)(17)設(shè)小波為，對于任意的整數(shù)k和j，記1.11小波級數(shù)這時，逆變換公式就是小波級數(shù)(18)

其中小波系數(shù)的算法是(19)小波級數(shù)這時，逆變換公式就是小波級數(shù)12連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數(shù)實際上是信號f(x)的離散小波變換。其實，這也是小波變換迷人的風(fēng)采之一：

小波系數(shù)是信號f(x)的小波變換在二進(jìn)離散點(20)連續(xù)變換和離散變換形式統(tǒng)一；連續(xù)變換和離散變換都適合全體信號；

連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數(shù)實際上是13§2.小波分析和時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier變換和Gabor變換(WindowedFourierTransformandGaborTransform)

D.Gabor在1946年開創(chuàng)時-頻分析的先河提出GaborTransform一般的時-頻分析是WindowedFourierTransformShort-TimeFourierTransform§2.小波分析和時-頻分析

(Time-Frequenc14WindowedFourierTransform稱為信號的窗口Fourier變換，其中的函數(shù)稱為窗口函數(shù)，一般要求是：具體地(21)WindowedFourierTransform稱為信號15GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函數(shù)，對應(yīng)的變換稱為Gabor變換(1946)。對于Gabor變換，存在如下的頻率再分割公式：(23)GaborTransformD.Gabor取(22)是Ga16物理解釋Gabor變換是信號在x=x0點“附近”的頻率為的頻率成分；只要把信號在各個時間點“附近”的頻率為的頻率成分全部累加起來，理所當(dāng)然就應(yīng)該是這個信號的頻率為的頻率成分；Gabor變換可以認(rèn)為是信號f(x)的另一種等價描述(因為Fourier變換是信號的等價描述)物理解釋Gabor變換17局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構(gòu)成標(biāo)架或者正交基）離散形式；Gabor變換沒有快速算法：比如沒有類似于離散Fourier變換之FFT的快速數(shù)值算法；

遺憾的是，Gabor變換存在如下局限：局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構(gòu)成標(biāo)架或者正交基）離18

AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定時-頻窗口t00t1t1AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定192.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis）時-頻分析本質(zhì)上是信號描述、分析和處理的一種方法，它給信號的“最優(yōu)描述問題”提供一種解決方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了這個問題：在通訊理論中，人們對于在給定的時間內(nèi)，把一個信號表示成“每一個都同時具有足夠確定的位置及頻率的諧波”的疊加這種信號的描述方法極感興趣

2.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAn20最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的時間結(jié)構(gòu)所傳遞，最好的例子是演奏音樂；把信號表成時間的函數(shù)其頻率特征無法突出，而Fourier分析又無法標(biāo)定各個分量發(fā)射的瞬時位置和持續(xù)時間；“最優(yōu)描述”應(yīng)該綜合這兩種描述的優(yōu)點，并用一個離散的刻畫來表示，以適應(yīng)信息理論和計算機(jī)處理的需要。

最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的21Wigner分布函數(shù)Wigner分布函數(shù)是信號時-頻分析的另一種具體的解決途徑。信號f(x)的Wigner分布函數(shù)是著名理論物理學(xué)家E.P.Wigner在1932年提出來的，定義是：(24)

顯然，這是一個實的二元函數(shù)。Wigner分布函數(shù)Wigner分布函數(shù)是信號時-頻分析的另22性質(zhì)Wigner分布函數(shù)有如下性質(zhì)：(25)(26)(27)性質(zhì)Wigner分布函數(shù)有如下性質(zhì)：(25)(26)(27)23Wigner分布函數(shù)的物理意義Wigner分布函數(shù)的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函數(shù)標(biāo)明信號的瞬時頻率的位置；Wigner分布函數(shù)標(biāo)明信號的瞬時位置的頻率。在能量的意義下，Wigner分布函數(shù)的物理意義是：Wigner分布函數(shù)的物理意義在能量的意義下，Wigner分24Wigner分布函數(shù)理論的局限Wigner分布函數(shù)的三個局限：

Wigner分布函數(shù)只記憶信號的部分信息；Wigner分布函數(shù)沒有有效的重建算法；Wigner分布函數(shù)的“瞬時”是漸近意義的。

Wigner分布函數(shù)理論的局限Wigner分布函數(shù)的三個局限252.3.

小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-FrequencyAnalysis)

小波變換是一種時-頻描述，它的信息記憶是完全的，是一種等價的變換描述，具有獨特的時—頻分析性質(zhì)。引入記號：

(28)中心半徑(29)2.3.小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-26對于，如果滿足條件:窗口函數(shù)及說明則稱之為窗口函數(shù)，和分別稱為它的時間中心和時間半徑，而和分別稱為它的譜中心和譜半徑。

說明：中心和半徑是下述分布的期望和均方差對于，如果滿足條27小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.1.小波的時-頻中心（29）（30）小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.282.3.3.小波的時-頻窗

(32)2.3.3.小波的時-頻窗(32)29AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗t00t12t1AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗302.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于；小波的時-頻窗是時-頻相平面中的可變的矩形；小波時-頻窗的變化規(guī)律：

（1）尺度參數(shù)a增大時，小波的時窗變寬，同時，它的主頻變低，頻窗變窄；（2）尺度參數(shù)a減小時，小波的時窗變窄，同時，它的主頻變高，頻窗變寬；

2.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于31小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率(33)

主頻變低時，頻窗變窄，頻率分辨率提高；主頻變高時，頻窗變寬，頻率分辨率降低；高頻時出現(xiàn)較低的頻率分辨率（難題?。?。

小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率32小波的頻帶特性

(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經(jīng)典的Fourier變換，任何小波本質(zhì)上都是以頻帶的形式出現(xiàn)在頻域中，這樣避免了許多理論和計算上的麻煩；(2)二進(jìn)小波頻域劃分的特色：將參數(shù)a按二進(jìn)方式離散化為選擇二進(jìn)小波滿足小波的頻帶特性(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經(jīng)典的33二進(jìn)小波的主頻是二進(jìn)小波的分頻特性

(34)所在的頻帶是當(dāng)k取遍全體整數(shù)時，這些頻帶正好分離覆蓋正頻軸，即這就是著名的二進(jìn)小波頻帶劃分技術(shù)。二進(jìn)小波342.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalWavelet’sTime-FrequencyAnalysis對于正交小波，(35)

其中系數(shù)是是一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，對于任何信號f(X)，可以展開成小波級數(shù)：

(36)2.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalW35正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數(shù)的系數(shù)正好是信號f(x)的小波變換在二進(jìn)離散點：(37)上的取值。這說明：對于正交小波來說，任何信號在二進(jìn)離散點上的小波變換包含了它的小波變換的全部信息，所以正交小波具有優(yōu)美的譜吸收特點。正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數(shù)的系數(shù)36小波變換與Fourier變換Fourier變換：對于任何信號f(x)，只有當(dāng)它是時間有限時，它的譜F()(Fourier變換)才是頻率吸收的；反過來，只有當(dāng)它是頻域有限時，f(x)才是時間吸收的;小波變換:對于正交小波分析來說，任何信號的正交小波譜都是譜吸收的，即二維小波譜所包含的信息完全被二進(jìn)離散點上的譜吸收。小波變換與Fourier變換Fourier變換：小波變換:37一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數(shù)值計算和各種應(yīng)用提供了極大的方便。同時，這些離散的小波譜點，本質(zhì)上意味著時-頻分析中頻譜分析的頻帶（統(tǒng)計意義下的區(qū)間），因此，小波分析成功地實現(xiàn)了人們夢寐以求的“頻帶信息的點處理方式”；在(a,b)-W(a,b)給出的二維小波譜空間，二進(jìn)離散小波譜點的分布規(guī)律可以用AppendixCFig.3.

加以說明。

一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數(shù)值38AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性0123456789101112131415012345670123010AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性039§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWaveletandMultiresolutionAnalysis)多分辨分析：上的一列閉的線性子空間和一個函數(shù)共同稱為一個多分辨分析，如果它們滿足如下的五個要求：3.1.多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWa40多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(39)(40)(41)5.構(gòu)造性公理：(42)生成V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。其中的函數(shù)稱為尺度函數(shù)(ScaleFunction)。1.單調(diào)性公理：(38)多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(41圖像的多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)方法，在計算機(jī)科學(xué)和信號處理中，特別是在圖像分析中，通常稱為多尺度分析方法(MultiscaleAnalysis)

，在小波分析建立之前就已經(jīng)得到了一些理論研究和應(yīng)用，這推動了小波變換理論的產(chǎn)生和完善。實際上，信號f(x)在子空間Vk上的正交投影fk(x)是圖像的多分辨分析多分辨分析(Multiresolution42圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在一定的分辨率之下的模糊象，公式(40)說明，當(dāng)分辨率足夠高時，模糊象和原象重合，即

因此，對fk(x)的分析實際是對原象的多種分辨率的分析。多分辨分析的困難在于如何從低分辨率的模糊象有效地添加恰當(dāng)?shù)募?xì)節(jié)，得到正確的高分辨率下的模糊象。這些問題的研究都屬于多分辨分析的范圍。

圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在433.2.

小波構(gòu)造

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)稱之為尺度方程。系數(shù)列叫低通濾波系數(shù)。

如果和函數(shù)是一個多分辨分析，那么，必然存在一列系數(shù)，使得(43)3.2.小波構(gòu)造

(Y.MeyerandS.Mall44構(gòu)造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)令，并構(gòu)造(44)

是L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基則有如下結(jié)論:(45)

是Vk在Vk+1中的正交補(bǔ)構(gòu)造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1945構(gòu)造定理的延伸結(jié)果(46)(47)(49)

(48)構(gòu)造定理的延伸結(jié)果(46)(47)(49)(48)46§4.多分辨分析和金字塔算法

(MultiresolutionAnalysisandPyramidAlgorithms)4.0.記號（Notation）：分別表示信號的趨勢和波動或者模糊象和細(xì)節(jié)(50)§4.多分辨分析和金字塔算法

(Multiresolut474.1.小波分解算法

(DecompositionAlgorithmsofWavelet)(51)4.1.小波分解算法

(DecompositionAl484.2.小波重建算法

(ReconstructionAlgorithmsofWavelet)(52)

4.2.小波重建算法

(ReconstructionA494.3.金字塔算法

(PyramidAlgorithms)(53)

引入記號:它們的幾何意義分別是原信號在子空間Vk和WK上的正交投影，且它們是相互正交的。由多分辨分析的意義可得

(54)4.3.金字塔算法

(PyramidAlgorith504.3.1.分解金字塔算法

(DecompositionPyramidAlgorithms)信號的分解(DecompositionofSignal)

4.3.1.分解金字塔算法

(Decomposition51空間的分解空間的分解(DecompositionofTheSubspace)

空間的分解空間的分解52系數(shù)的分解系數(shù)的分解(DecompositionofTheCoefficients)

系數(shù)的分解系數(shù)的分解534.3.2.重建金字塔算法

(ReconstructionPyramidAlgorithms)信號的重建(ReconstructionofSignal)

4.3.2.重建金字塔算法

(Reconstruction54空間的重建空間的重建(ReconstructionofSubspace)

空間的重建空間的重建55系數(shù)的重建

系數(shù)的重建(ReconstructionofTheCoeffients)系數(shù)的重建

系數(shù)的重建56信號的小波分解和合成算法信號的小波分解和合成算法57有限數(shù)字信號的高低通濾波器有限數(shù)字信號的高低通濾波器58矩陣分解算法矩陣分解算法59矩陣合成算法矩陣合成算法60有限數(shù)字信號的小波變換編碼有限數(shù)字信號的小波變換編碼61數(shù)字信號小波編碼數(shù)據(jù)量關(guān)系數(shù)字信號小波編碼數(shù)據(jù)量關(guān)系62小波應(yīng)用基本模式小波應(yīng)用基本模式63數(shù)字圖像二維小波編碼數(shù)字圖像二維小波編碼64數(shù)字圖像二維小波重建數(shù)字圖像二維小波重建65數(shù)字圖像的矩陣小波變換數(shù)字圖像的矩陣小波變換66§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

（R.CoifmanandY.Meyer1991)5.1Malvar小波(H.S.Malvar1987)

選擇窗口函數(shù)滿足如下要求：

時時§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

67Malvar小波基構(gòu)造Malvar小波基是函數(shù)族

(55)Malvar小波基構(gòu)造Malvar小波基是函數(shù)族(55)68說明容易驗證，上述函數(shù)族構(gòu)成L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。一般稱這個函數(shù)族的小波為Malvar小波。Malvar小波和離散余弦變換(DCT)、離散正弦變換(DST)有許多相似之處，根本的差別在于，Malvar小波是真正局部化了的離散余弦變換和離散正弦變換分析，同時，它還具有變換結(jié)果的遞推數(shù)值算法。

說明容易驗證，上述函數(shù)族構(gòu)成L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。一般稱這69讓人們驚奇的是，物理學(xué)家K.Wilson和數(shù)學(xué)家I.Daubechies也得到了極其相似的結(jié)果。但是，他們兩人和Malvar的工作之間并沒有必然的邏輯的關(guān)系。K.Wilson的想法是，對于實數(shù)軸的長度是2的等長劃分，按照各個區(qū)間的奇偶變化，分別輪番使用離散余弦變換和離散正弦變換進(jìn)行信號分析；I.Daubechies的想法是，不僅如此，而且必須加以局部化，局部化因子是同一個函數(shù)的2倍整數(shù)平移，只不過要求函數(shù)和它的Fourier變換都是指數(shù)衰減的并使得前述函數(shù)族構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。讓人們驚奇的是，物理學(xué)家K.Wilson和數(shù)學(xué)家I.Daub705.2Malvar小波

(R.CoifmanandY.Meyer1991)

選擇和并構(gòu)造窗口函數(shù)列滿足:

5.2Malvar小波

(R.Coifmanand71窗函數(shù)的構(gòu)造實際上，函數(shù)本質(zhì)上是區(qū)間的特征函數(shù)的光滑化

窗函數(shù)的構(gòu)造實際上，函數(shù)本質(zhì)上是區(qū)間72AppendixDFig.4.

窗函數(shù)的形狀示意圖Ak-1AkAk+1Ak+kAk-kAk+1-k+1k(t)k-1(t)AppendixDFig.4.

窗函數(shù)的形狀示意圖Ak-73第一類Malvar小波基第一類Malvar小波為：(56)

第一類Malvar小波基第一類Malvar小波為：(56)74第二類Malvar小波基第二類Malvar小波基為(57)

第二類Malvar小波基第二類Malvar小波基為(57)75§6.小波包(WaveletPackets)

(R.CoifmanandY.MeyerandM.V.Wickerhauser1992)

設(shè)和是一個多分辨分析且(43)和(44)成立。記6.1正交小波包(OrthonormalWaveletPackets)§6.小波包(WaveletPackets)

(R.C76正交小波包的定義遞推定義的函數(shù)族(58)(59)k是整數(shù)，m是自然數(shù)。稱之為小波包。引入記號正交小波包的定義遞推定義的函數(shù)族(58)(59)k是整數(shù)，m77正交小波包定理正交小波包定理(CoifmanandMeyerandWickerhauser92’)空間構(gòu)造是的標(biāo)準(zhǔn)正交基空間關(guān)系

(60)特殊空間關(guān)系正交小波包定理正交小波包定理78正交小波包的空間分割小波包實現(xiàn)小波空間的再分割正交小波包的空間分割小波包實現(xiàn)小波空間的再分割796.2．小波包和時-頻分析

(WaveletPacketsand

itsTime-FrequencyAnalysis)利用正交小波的構(gòu)造定理可知，子空間Wk是Vk在Vk+1中的正交補(bǔ)：

同時，根據(jù)小波的時-頻分析特性，可得下列關(guān)系:

6.2．小波包和時-頻分析

(WaveletPackets80正交小波實現(xiàn)有限頻帶的二進(jìn)分割正交小波實現(xiàn)有限頻帶的二進(jìn)分割81正交小波實現(xiàn)全頻域的二進(jìn)分割正交小波實現(xiàn)全頻域的二進(jìn)分割82正交小波包對二進(jìn)頻帶的等分割（62）正交小波包對二進(jìn)頻帶的等分割（62）83AppendixEFig.5.

小波包的完全頻帶分割特性0123456789101112131415012345670123010AppendixEFig.5.

小波包的完全頻帶分割特性84小波包的Mallat算法數(shù)字信號的小波包分解小波包的Mallat算法數(shù)字信號的小波包分解85數(shù)字信號的小波包分解數(shù)字信號的小波包分解86數(shù)字圖像的小波包分解數(shù)字圖像的小波包分解87AppendixFFig.6.

圖片的小波包分解示意圖AppendixFFig.6.

圖片的小波包分解示意圖88§7.總結(jié)和展望將前述小波工具歸納如下：

連續(xù)小波變換分析法二進(jìn)小波變換分析法;正交小波變換分析法;Malvar類小波分析法;小波包頻域再分割法?！?.總結(jié)和展望將前述小波工具歸納如下：連續(xù)小波變換分89最后的幾點說明（一）1.上述工具中，前三種即連續(xù)、二進(jìn)和正交小波分析，從分析和處理問題的過程來看，與Fourier分析頗為相似，不過在某些方面更加優(yōu)越，比如，正交小波本身具備的多分辨率分析的含義以及連續(xù)頻帶“點”吸收的二進(jìn)離散化技巧等等但因為它與Fourier分析比較相似，所以在應(yīng)用中使用得就比后面的兩種方法要多得多；

最后的幾點說明（一）1.上述工具中，前三種即連續(xù)、二進(jìn)和正交902.Malvar類小波分析完全有別于經(jīng)典的Fourier分析，真正實現(xiàn)嚴(yán)格意義下的局部化，而且，頻率也是嚴(yán)格意義下的Fourier頻率或經(jīng)典的線性頻率，同時，它還具有快速的遞推算法。從理論上突破了統(tǒng)計局部化以及時-頻分析的非線性頻率含義，數(shù)值計算的快速算法又奠定了數(shù)字信號處理的計算基礎(chǔ)。因此，Malvar類小波分析為數(shù)字信號的分析和處理提供了嶄新的分析工具,特別是在信號的最優(yōu)描述的搜索算法方面，Malvar小波分析提供了最優(yōu)算法；最后的幾點說明（二）2.Malvar類小波分析完全有別于經(jīng)典的Fourier913.小波包工具可以認(rèn)為是小波分析獨創(chuàng)地為科學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用研究提供的讓人頗感意外的新鮮工具，它那種統(tǒng)計意義下和嚴(yán)格意義下的頻域再分割的巧妙思想和優(yōu)美的遞推計算方法，讓人們幾乎不敢相信

同時，理解和使用起來也更加困難。這正是小波包分析現(xiàn)在使用得比較少的主要原因。

完最后的幾點說明（三）3.小波包工具可以認(rèn)為是小波分析獨創(chuàng)地為科學(xué)研究和工程技術(shù)921.1

小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿足下述條件的函數(shù)或者信號:這時，也稱為小波母函數(shù)，(2)稱為容許性條件。（1）（2）1.1小波(Wavelet)小波就是空間L2(R)中滿93連續(xù)小波函數(shù)：為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)（a,b）的連續(xù)小波，簡稱為小波。

（3）連續(xù)小波函數(shù)：為由小波母函數(shù)生成的依賴于參數(shù)94注釋注釋：如果小波母函數(shù)的Fourier

變換在原點是連續(xù)的，那么公式(2)說明，于是這說明函數(shù)有波動的特點，公式(1)又說明函數(shù)有衰減的特點，因此，稱函數(shù)為“小波”。

注釋注釋：如果小波母函數(shù)的Fourier于951.2

小波變換(WaveletTransform)對于任意的函數(shù)或者信號，其小波變換為（4）1.2小波變換(WaveletTransform)對于任96性質(zhì)這樣定義的小波變換具有下列性質(zhì)：Plancherel恒等式：小波變換的逆變換公式：（5）（6）性質(zhì)這樣定義的小波變換具有下列性質(zhì)：Plancherel恒等97性質(zhì)吸收公式：當(dāng)吸收條件成立時，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性質(zhì)吸收公式：當(dāng)吸收條件成立時，有吸收的Planchere98性質(zhì)吸收的逆變換公式（9）性質(zhì)吸收的逆變換公式（9）991.3.二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換

(DyadicWaveletTransform)

如果小波函數(shù)滿足穩(wěn)定性條件

(10)則稱為二進(jìn)小波，對于任意的整數(shù)k,記(11)1.3.二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換

(DyadicWavele100逆變換對于任意的，其二進(jìn)小波變換為：

這時，逆變換公式是

（12）（13）逆變換對于任意的，101重構(gòu)小波其中的Fourier變換滿足稱為二進(jìn)小波的重構(gòu)小波，比如可?。?/p>

（14）（15）重構(gòu)小波其中的Fourier變換滿足稱為102設(shè)小波為，對于任意的整數(shù)k和j，記1.4.正交小波和小波級數(shù)

(OrthonormalWavelet)

構(gòu)成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則稱是正交小波。

如果函數(shù)族(16)(17)設(shè)小波為，對于任意的整數(shù)k和j，記1.103小波級數(shù)這時，逆變換公式就是小波級數(shù)(18)

其中小波系數(shù)的算法是(19)小波級數(shù)這時，逆變換公式就是小波級數(shù)104連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數(shù)實際上是信號f(x)的離散小波變換。其實，這也是小波變換迷人的風(fēng)采之一：

小波系數(shù)是信號f(x)的小波變換在二進(jìn)離散點(20)連續(xù)變換和離散變換形式統(tǒng)一；連續(xù)變換和離散變換都適合全體信號；

連續(xù)和離散統(tǒng)一上的取值，因此，小波系數(shù)實際上是105§2.小波分析和時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier變換和Gabor變換(WindowedFourierTransformandGaborTransform)

D.Gabor在1946年開創(chuàng)時-頻分析的先河提出GaborTransform一般的時-頻分析是WindowedFourierTransformShort-TimeFourierTransform§2.小波分析和時-頻分析

(Time-Frequenc106WindowedFourierTransform稱為信號的窗口Fourier變換，其中的函數(shù)稱為窗口函數(shù)，一般要求是：具體地(21)WindowedFourierTransform稱為信號107GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函數(shù)，對應(yīng)的變換稱為Gabor變換(1946)。對于Gabor變換，存在如下的頻率再分割公式：(23)GaborTransformD.Gabor取(22)是Ga108物理解釋Gabor變換是信號在x=x0點“附近”的頻率為的頻率成分；只要把信號在各個時間點“附近”的頻率為的頻率成分全部累加起來，理所當(dāng)然就應(yīng)該是這個信號的頻率為的頻率成分；Gabor變換可以認(rèn)為是信號f(x)的另一種等價描述(因為Fourier變換是信號的等價描述)物理解釋Gabor變換109局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構(gòu)成標(biāo)架或者正交基）離散形式；Gabor變換沒有快速算法：比如沒有類似于離散Fourier變換之FFT的快速數(shù)值算法；

遺憾的是，Gabor變換存在如下局限：局限Gabor變換沒有“好”的（即可以構(gòu)成標(biāo)架或者正交基）離110

AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定時-頻窗口t00t1t1AppendixAFig.1.

Gabor變換的固定1112.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAnalysis）時-頻分析本質(zhì)上是信號描述、分析和處理的一種方法，它給信號的“最優(yōu)描述問題”提供一種解決方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了這個問題：在通訊理論中，人們對于在給定的時間內(nèi)，把一個信號表示成“每一個都同時具有足夠確定的位置及頻率的諧波”的疊加這種信號的描述方法極感興趣

2.2.時-頻分析

(Time-FrequencyAn112最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的時間結(jié)構(gòu)所傳遞，最好的例子是演奏音樂；把信號表成時間的函數(shù)其頻率特征無法突出，而Fourier分析又無法標(biāo)定各個分量發(fā)射的瞬時位置和持續(xù)時間；“最優(yōu)描述”應(yīng)該綜合這兩種描述的優(yōu)點，并用一個離散的刻畫來表示，以適應(yīng)信息理論和計算機(jī)處理的需要。

最優(yōu)描述問題有用的信息總是同時被所發(fā)射信號的頻率特性與信號的113Wigner分布函數(shù)Wigner分布函數(shù)是信號時-頻分析的另一種具體的解決途徑。信號f(x)的Wigner分布函數(shù)是著名理論物理學(xué)家E.P.Wigner在1932年提出來的，定義是：(24)

顯然，這是一個實的二元函數(shù)。Wigner分布函數(shù)Wigner分布函數(shù)是信號時-頻分析的另114性質(zhì)Wigner分布函數(shù)有如下性質(zhì)：(25)(26)(27)性質(zhì)Wigner分布函數(shù)有如下性質(zhì)：(25)(26)(27)115Wigner分布函數(shù)的物理意義Wigner分布函數(shù)的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函數(shù)標(biāo)明信號的瞬時頻率的位置；Wigner分布函數(shù)標(biāo)明信號的瞬時位置的頻率。在能量的意義下，Wigner分布函數(shù)的物理意義是：Wigner分布函數(shù)的物理意義在能量的意義下，Wigner分116Wigner分布函數(shù)理論的局限Wigner分布函數(shù)的三個局限：

Wigner分布函數(shù)只記憶信號的部分信息；Wigner分布函數(shù)沒有有效的重建算法；Wigner分布函數(shù)的“瞬時”是漸近意義的。

Wigner分布函數(shù)理論的局限Wigner分布函數(shù)的三個局限1172.3.

小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-FrequencyAnalysis)

小波變換是一種時-頻描述，它的信息記憶是完全的，是一種等價的變換描述，具有獨特的時—頻分析性質(zhì)。引入記號：

(28)中心半徑(29)2.3.小波的時-頻分析

(Wavelet’sTime-118對于，如果滿足條件:窗口函數(shù)及說明則稱之為窗口函數(shù)，和分別稱為它的時間中心和時間半徑，而和分別稱為它的譜中心和譜半徑。

說明：中心和半徑是下述分布的期望和均方差對于，如果滿足條119小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.1.小波的時-頻中心（29）（30）小波的時-頻中心與半徑2.3.2.小波的時-頻半徑2.3.1202.3.3.小波的時-頻窗

(32)2.3.3.小波的時-頻窗(32)121AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗t00t12t1AppendixBFig.2.

小波在時-頻相平面上的窗1222.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于；小波的時-頻窗是時-頻相平面中的可變的矩形；小波時-頻窗的變化規(guī)律：

（1）尺度參數(shù)a增大時，小波的時窗變寬，同時，它的主頻變低，頻窗變窄；（2）尺度參數(shù)a減小時，小波的時窗變窄，同時，它的主頻變高，頻窗變寬；

2.3.4.小波的時-頻特性小波時-頻窗的面積恒等于123小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率(33)

主頻變低時，頻窗變窄，頻率分辨率提高；主頻變高時，頻窗變寬，頻率分辨率降低；高頻時出現(xiàn)較低的頻率分辨率（難題！）。

小波的頻率分辨率小波分析具有固定的相對頻率分辨率124小波的頻帶特性

(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經(jīng)典的Fourier變換，任何小波本質(zhì)上都是以頻帶的形式出現(xiàn)在頻域中，這樣避免了許多理論和計算上的麻煩；(2)二進(jìn)小波頻域劃分的特色：將參數(shù)a按二進(jìn)方式離散化為選擇二進(jìn)小波滿足小波的頻帶特性(1)小波變換處理頻域的方式完全不同于經(jīng)典的125二進(jìn)小波的主頻是二進(jìn)小波的分頻特性

(34)所在的頻帶是當(dāng)k取遍全體整數(shù)時，這些頻帶正好分離覆蓋正頻軸，即這就是著名的二進(jìn)小波頻帶劃分技術(shù)。二進(jìn)小波1262.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalWavelet’sTime-FrequencyAnalysis對于正交小波，(35)

其中系數(shù)是是一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，對于任何信號f(X)，可以展開成小波級數(shù)：

(36)2.4.正交小波的時-頻分析

OrthonormalW127正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數(shù)的系數(shù)正好是信號f(x)的小波變換在二進(jìn)離散點：(37)上的取值。這說明：對于正交小波來說，任何信號在二進(jìn)離散點上的小波變換包含了它的小波變換的全部信息，所以正交小波具有優(yōu)美的譜吸收特點。正交小波的吸收譜由小波變換的定義可知，正交小波級數(shù)的系數(shù)128小波變換與Fourier變換Fourier變換：對于任何信號f(x)，只有當(dāng)它是時間有限時，它的譜F()(Fourier變換)才是頻率吸收的；反過來，只有當(dāng)它是頻域有限時，f(x)才是時間吸收的;小波變換:對于正交小波分析來說，任何信號的正交小波譜都是譜吸收的，即二維小波譜所包含的信息完全被二進(jìn)離散點上的譜吸收。小波變換與Fourier變換Fourier變換：小波變換:129一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數(shù)值計算和各種應(yīng)用提供了極大的方便。同時，這些離散的小波譜點，本質(zhì)上意味著時-頻分析中頻譜分析的頻帶（統(tǒng)計意義下的區(qū)間），因此，小波分析成功地實現(xiàn)了人們夢寐以求的“頻帶信息的點處理方式”；在(a,b)-W(a,b)給出的二維小波譜空間，二進(jìn)離散小波譜點的分布規(guī)律可以用AppendixCFig.3.

加以說明。

一點評論正交小波變換譜的完全吸收性為小波變換的理論分析、數(shù)值130AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性0123456789101112131415012345670123010AppendixCFig.3.

正交小波的點譜吸收特性0131§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWaveletandMultiresolutionAnalysis)多分辨分析：上的一列閉的線性子空間和一個函數(shù)共同稱為一個多分辨分析，如果它們滿足如下的五個要求：3.1.多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWa132多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(39)(40)(41)5.構(gòu)造性公理：(42)生成V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基。其中的函數(shù)稱為尺度函數(shù)(ScaleFunction)。1.單調(diào)性公理：(38)多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸縮性公理：(133圖像的多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)方法，在計算機(jī)科學(xué)和信號處理中，特別是在圖像分析中，通常稱為多尺度分析方法(MultiscaleAnalysis)

，在小波分析建立之前就已經(jīng)得到了一些理論研究和應(yīng)用，這推動了小波變換理論的產(chǎn)生和完善。實際上，信號f(x)在子空間Vk上的正交投影fk(x)是圖像的多分辨分析多分辨分析(Multiresolution134圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在一定的分辨率之下的模糊象，公式(40)說明，當(dāng)分辨率足夠高時，模糊象和原象重合，即

因此，對fk(x)的分析實際是對原象的多種分辨率的分析。多分辨分析的困難在于如何從低分辨率的模糊象有效地添加恰當(dāng)?shù)募?xì)節(jié)，得到正確的高分辨率下的模糊象。這些問題的研究都屬于多分辨分析的范圍。

圖像的多分辨分析（續(xù)）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在1353.2.

小波構(gòu)造

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)稱之為尺度方程。系數(shù)列叫低通濾波系數(shù)。

如果和函數(shù)是一個多分辨分析，那么，必然存在一列系數(shù)，使得(43)3.2.小波構(gòu)造

(Y.MeyerandS.Mall136構(gòu)造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)令，并構(gòu)造(44)

是L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基則有如下結(jié)論:(45)

是Vk在Vk+1中的正交補(bǔ)構(gòu)造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,19137構(gòu)造定理的延伸結(jié)果(46)(47)(49)

(48)構(gòu)造定理的延伸結(jié)果(46)(47)(49)(48)138§4.多分辨分析和金字塔算法

(MultiresolutionAnalysisandPyramidAlgorithms)4.0.記號（Notation）：分別表示信號的趨勢和波動或者模糊象和細(xì)節(jié)(50)§4.多分辨分析和金字塔算法

(Multiresolut1394.1.小波分解算法

(DecompositionAlgorithmsofWavelet)(51)4.1.小波分解算法

(DecompositionAl1404.2.小波重建算法

(ReconstructionAlgorithmsofWavelet)(52)

4.2.小波重建算法

(ReconstructionA1414.3.金字塔算法

(PyramidAlgorithms)(53)

引入記號:它們的幾何意義分別是原信號在子空間Vk和WK上的正交投影，且它們是相互正交的。由多分辨分析的意義可得

(54)4.3.金字塔算法

(PyramidAlgorith1424.3.1.分解金字塔算法

(DecompositionPyramidAlgorithms)信號的分解(DecompositionofSignal)

4.3.1.分解金字塔算法

(Decomposition143空間的分解空間的分解(DecompositionofTheSubspace)

空間的分解空間的分解144系數(shù)的分解系數(shù)的分解(DecompositionofTheCoefficients)

系數(shù)的分解系數(shù)的分解1454.3.2.重建金字塔算法

(ReconstructionPyramidAlgorithms)信號的重建(ReconstructionofSignal)

4.3.2.重建金字塔算法

(Reconstruction146空間的重建空間的重建(ReconstructionofSubspace)

空間的重建空間的重建147系數(shù)的重建

系數(shù)的重建(ReconstructionofTheCoeffients)系數(shù)的重建

系數(shù)的重建148信號的小波分解和合成算法信號的小波分解和合成算法149有限數(shù)字信號的高低通濾波器有限數(shù)字信號的高低通濾波器150矩陣分解算法矩陣分解算法151矩陣合成算法矩陣合成算法152有限數(shù)字信號的小波變換編碼有限數(shù)字信號的小波變換編碼153數(shù)字信號小波編碼數(shù)據(jù)量關(guān)系數(shù)字信號小波編碼數(shù)據(jù)量關(guān)系154小波應(yīng)用基本模式小波應(yīng)用基本模式155數(shù)字圖像二維小波編碼數(shù)字圖像二維小波編碼156數(shù)字圖像二維小波重建數(shù)字圖像二維小波重建157數(shù)字圖像的矩陣小波變換數(shù)字圖像的矩陣小波變換158§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

（R.CoifmanandY.Meyer1991)5.1Malvar小波(H.S.Malvar1987)

選擇窗口函數(shù)滿足如下要求：

時時§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

159Malvar小波基構(gòu)造Malvar小波基是函數(shù)族

(55)Malvar小波基構(gòu)造Malvar小波基是函數(shù)族(55)160說明容易驗證，上述函數(shù)族構(gòu)成L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。一般稱這個函數(shù)族的小波為Malvar小波。Malvar小波和離散余弦變換(DCT)、離散正弦變換(DST)有許多相似之處，根本的差別在于，Malvar小波是真正局部化了的離散余弦變換和離散正弦變換分析，同時，它還具有變換結(jié)果的遞推數(shù)值算法。

說明容易驗證，上述函數(shù)族構(gòu)成L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。一般稱這161讓人們驚奇的是，物理學(xué)家K.Wilson和數(shù)學(xué)家I.Daubechies也得到了極其相似的結(jié)果。但是，他們兩人和Malvar的工作之間并沒有必然的邏輯的關(guān)系。K.Wilson的想法是，對于實數(shù)軸的長度是2的等長劃分，按照各個區(qū)間的奇偶變化，分別輪番使用離散余弦變換和離散正弦變換進(jìn)行信號分析；I.Daubechies的想法是，不僅如此，而且必須加以局部化，局部化因子是同一個函數(shù)的2倍整數(shù)平移，只不過要求函數(shù)和它的Fourier變換都是指數(shù)衰減的并使得前述函數(shù)族構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基。讓人們驚奇的是，物理學(xué)家K.Wilson和數(shù)學(xué)家I.Daub1625.2Malvar小波

(R.CoifmanandY.Meyer1991)

選擇和并構(gòu)造窗口