數(shù)值微分和數(shù)值積分課件

第二章數(shù)值微分和數(shù)值積分第二章數(shù)值微分和數(shù)值積分1數(shù)值微分

函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值，函數(shù)f(x)過(guò)于復(fù)雜這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然，而又簡(jiǎn)單的方法就是，取極限的近似值，即差商數(shù)值微分函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值2向前差商x0x0+h向前差商x0x0+h3由Taylor展開因此，有誤差由Taylor展開因此，有誤差4向后差商x0-hx0向后差商x0-hx05由Taylor展開因此，有誤差由Taylor展開因此，有誤差6中心差商x0-hx0x0+h中心差商x0-hx0x0+h7由Taylor展開因此，有誤差由Taylor展開因此，有誤差8f(x)=exp(x)例：f(x)=exp(x)例：9由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有個(gè)最佳步長(zhǎng)我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來(lái)確定設(shè)D(h),D(h/2)分別為步長(zhǎng)為h,h/2

的差商公式。則時(shí)的步長(zhǎng)h/2

就是合適的步長(zhǎng)由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有10

插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)誤差插值型數(shù)值微分用Taylor展開分析插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性11給定點(diǎn)列且，求解：例：給定點(diǎn)列且，求解：例：12Taylor展開分析，可以知道，它們都是稱為三點(diǎn)公式誤差？Taylor展開分析，可以知道，它們都是稱為三點(diǎn)公式誤差？13數(shù)值積分關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：1、函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成2、F(x)求不出3、F(x)非常復(fù)雜定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合稱為積分系數(shù)，與f(x)無(wú)關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān)數(shù)值積分關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式但是，14例：例：15為數(shù)值積分，為積分，則稱數(shù)值積分有k階代數(shù)精度是指：?jiǎn)栴}：如果判斷好壞？代數(shù)精度

對(duì)任意次數(shù)不高于k次的多項(xiàng)式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差為數(shù)值積分，為積分，則稱數(shù)值積分有k階代數(shù)精度是指：?jiǎn)栴}：如16用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分代數(shù)精度由Lagrange插值的誤差表達(dá)式，，有可以看出，至少n階代數(shù)精度插值型用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分代數(shù)精度由Lagrange插值17Vandermonde行列式使用盡可能高的代數(shù)精度已知求系數(shù)所以，如果m>n，則系數(shù)唯一前面得到的系數(shù)是最好的嗎？Vandermonde行列式使用盡可能高的代數(shù)精度已知求系數(shù)18若數(shù)值積分至少n階代數(shù)精度，則系數(shù)唯一誤差若數(shù)值積分至少n階代數(shù)精度，則系數(shù)唯一誤差19Newton-Cote’s積分若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，則，一個(gè)自然的辦法就是取等距節(jié)點(diǎn)。對(duì)區(qū)間做等距分割。該數(shù)值積分稱為Newton-Cote’s積分Newton-Cote’s積分若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，則，一個(gè)20設(shè)節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)(b-a)與步長(zhǎng)h無(wú)關(guān)，可以預(yù)先求出設(shè)節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)(b-a)與步長(zhǎng)h無(wú)關(guān)，可以預(yù)先求出21N＝1時(shí)梯形公式N＝1時(shí)梯形公式22N＝2時(shí)Simpson公式N＝2時(shí)Simpson公式231、梯形公式此處用了積分中值定理誤差1、梯形公式此處用了積分中值定理誤差242、Simpson公式

注意到，Simpson公式有3階代數(shù)精度，因此為了對(duì)誤差有更精確地估計(jì)，我們用3次多項(xiàng)式估計(jì)誤差為02、Simpson公式注意到，Simpso25數(shù)值微分和數(shù)值積分課件26一般的有因此，N-C積分，對(duì)偶數(shù)有n+1階代數(shù)精度，而奇數(shù)為n階代數(shù)精度一般的有因此，N-C積分，對(duì)偶數(shù)有n+1階代數(shù)精度，而奇數(shù)27復(fù)化積分?jǐn)?shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge現(xiàn)象的存在，使得我們不能用太多的積分點(diǎn)計(jì)算。采用與插值時(shí)候類似，我們采用分段、低階的方法復(fù)化積分?jǐn)?shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge28誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化梯形公式誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化梯形公式29由均值定理知可以看出，復(fù)化梯形公式是收斂的。如果節(jié)點(diǎn)不等距，還可以做復(fù)化積分嗎？怎么處理？由均值定理知可以看出，復(fù)化梯形公式是收斂的。如果節(jié)點(diǎn)不等距，30誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化Simpson公式誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化Simpson公式31由均值定理知可以看出，復(fù)化Simpson公式是收斂的。由均值定理知可以看出，復(fù)化Simpson公式是收斂的。32定義若一個(gè)積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運(yùn)算量基本相同定義若一個(gè)積分公式的誤差滿足33Lab03復(fù)化積分1.分別編寫用復(fù)化Simpson積分公式和復(fù)化梯形積

分公式計(jì)算積分的通用程序2.用如上程序計(jì)算積分取節(jié)點(diǎn){xi,i=0,…N}，N為{2k,k=0,1,…,12}，并計(jì)算誤差，同時(shí)給出誤差階3.簡(jiǎn)單分析你得到的數(shù)據(jù)Lab03復(fù)化積分1.分別編寫用復(fù)化Simpson積分公式34誤差階：記步長(zhǎng)為h時(shí)的誤差為e,步長(zhǎng)為h/k時(shí)的誤差為ek則，相應(yīng)的誤差階為：誤差階：記步長(zhǎng)為h時(shí)的誤差為e,步長(zhǎng)為h/k時(shí)的誤差為ek則35SampleOutput(representsaspace)復(fù)化梯形積分，誤差和誤差階為k=0,0.244934066848e00k=1,0.534607244904,1.90...復(fù)化Simpson積分，誤差和誤差階為k=1,0.244934066848e00k=2,0.534607244904e-01,4.01...SampleOutput(representsa36

函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點(diǎn)。對(duì)于變化緩慢的部分，加密格點(diǎn)會(huì)造成計(jì)算的浪費(fèi)。以此我們介紹一種算法，可以自動(dòng)在變化劇烈的地方加密格點(diǎn)計(jì)算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點(diǎn)。積分的自適應(yīng)計(jì)算函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差37①先看看事后誤差估計(jì)以復(fù)化梯形公式為例n等分區(qū)間2n等分區(qū)間近似有：類似，復(fù)化Simpson公式①先看看事后誤差估計(jì)以復(fù)化梯形公式為例n等分區(qū)間2n等分區(qū)間38②自適應(yīng)計(jì)算記為復(fù)化一次，2次的Simpson公式控制求②自適應(yīng)計(jì)算記為復(fù)化一次，2次的Simpson公式控制求39是是40由前面的事后誤差估計(jì)式，則，這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合后成為一個(gè)高階的公式。類似，Romberg積分由前面的事后誤差估計(jì)式，則，這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合41記為以步長(zhǎng)為h的某數(shù)值積分公式，有記為以步長(zhǎng)為h的某數(shù)值積分公式，有42有如下的Euler-Maclaurin定理若為2m階公式，則Romberg積分就是不斷地用如上定理組合低階公式為高階公式，進(jìn)而計(jì)算積分

Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T有如下的Euler-Maclaurin定理若為2m階公式，則43重積分的計(jì)算

在微積分中，二重積分的計(jì)算是用化為累次積分的方法進(jìn)行的。計(jì)算二重?cái)?shù)值積分也同樣采用累次積分的計(jì)算過(guò)程。簡(jiǎn)化起見，我們僅討論矩形區(qū)域上的二重積分。對(duì)非矩形區(qū)域的積分，大多可以變化為矩形區(qū)域上的累次積分。a,b,c,d為常數(shù)，f在D上連續(xù)。將它變?yōu)榛鄞畏e分首先來(lái)看看復(fù)化梯形公式的二重推廣重積分的計(jì)算在微積分中，二重積分的計(jì)算是用化為累44做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：先計(jì)算，將x作為常數(shù)，有再將y作為常數(shù)，在x方向，計(jì)算上式的每一項(xiàng)的積分二重積分的復(fù)化梯形公式做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：先計(jì)算，將x作為常數(shù)，有再將y45數(shù)值微分和數(shù)值積分課件46系數(shù)，在積分區(qū)域的四個(gè)角點(diǎn)為1/4，4個(gè)邊界為1/2，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為1誤差系數(shù)，在積分區(qū)域的四個(gè)角點(diǎn)為1/4，4個(gè)邊界為1/2，內(nèi)部節(jié)47類似前面有：記二重積分的復(fù)化Simpson公式做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：m，n為偶數(shù)類似前面有：記二重積分的復(fù)化Simpson公式做等距節(jié)點(diǎn)，x48誤差誤差49Gauss型積分公式

Newton-Cote’s積分公式，可以知道n為偶數(shù)時(shí)，n+1個(gè)點(diǎn)數(shù)值積分公式有n+1階精度。是否有更高的代數(shù)精度呢？n個(gè)點(diǎn)的數(shù)值積分公式，最高可以到多少代數(shù)精度？本節(jié)會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題。Gauss型積分公式Newton-Cote’50例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，則有4個(gè)未知量，可以列出4個(gè)方程：（以f(x)在[-1,1]為例）可解出：數(shù)值積分公式具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)精度高例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，則有4個(gè)未51證明：取易知：也就是說(shuō)，數(shù)值積分公式，對(duì)一個(gè)2n+2階的多項(xiàng)式是有誤差的，所以，n+1個(gè)點(diǎn)的數(shù)值積分公式不超過(guò)2n+1階n個(gè)積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式，最高2n－1階定理如何構(gòu)造最高階精度的公式？證明：取易知：也就是說(shuō)，數(shù)值積分公式，對(duì)一個(gè)2n+2階的多項(xiàng)52一般性，考慮積分：稱為權(quán)函數(shù)定義兩個(gè)可積函數(shù)的內(nèi)積為：兩個(gè)函數(shù)正交，就是指這兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積為0一般性，考慮積分：稱為權(quán)函數(shù)定義兩個(gè)可積函數(shù)的內(nèi)積為：兩個(gè)函53利用Schmidt正交化過(guò)程，變?yōu)檎换涂梢詫⒍囗?xiàng)式基函數(shù)利用Schmidt正交化過(guò)程，變?yōu)檎换涂梢詫⒍囗?xiàng)式基函54以n階正交多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)為積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式有2n－1階的代數(shù)精度Gauss點(diǎn)Gauss積分，記為Gn(f)證明：若f為2n－1次多項(xiàng)式，則為n－1次多項(xiàng)式又，僅差一個(gè)常數(shù)（零點(diǎn)相同）具有一個(gè)很好的性質(zhì)：以n階正交多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)為積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式有2n－1階55(2)求出pn(x)的n個(gè)零點(diǎn)x1,x2,…xn即為Gauss點(diǎn).

(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為W(x)的正交多項(xiàng)式pn(x).(3)計(jì)算積分系數(shù)

Gauss型求積公式的構(gòu)造方法(2)求出pn(x)的n個(gè)零點(diǎn)x1,x2,…xn56解按Schemite正交化過(guò)程作出正交多項(xiàng)式:

的2點(diǎn)Gauss公式.求積分例：解按Schemite正交化過(guò)程作出正交多項(xiàng)式:的257故兩點(diǎn)Gauss公式為

積分系數(shù)為P2(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為故兩點(diǎn)Gauss公式為積分系數(shù)為P2(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為58

區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式,其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式的零點(diǎn).(1)Gauss-Legendre求積公式公式的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到.幾種Gauss型求積公式由因此,[a,b]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式為區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求59數(shù)值微分和數(shù)值積分課件60

區(qū)間[0,)上權(quán)函數(shù)W(x)=e-x的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Laguerre求積公式,其Gauss點(diǎn)為L(zhǎng)aguerre多項(xiàng)式的零點(diǎn).(2)Gauss-Laguerre求積公式公式的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到.由所以,對(duì)[0,+)上權(quán)函數(shù)W(x)=1的積分,也可以構(gòu)造類似的Gauss-Laguerre求積公式:區(qū)間[0,)上權(quán)函數(shù)W(x)=e-x的Gauss61數(shù)值微分和數(shù)值積分課件62(3)Gauss-Hermite求積公式公式的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到.區(qū)間(-,)上權(quán)函數(shù)W(x)=

的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Hermite求積公式,其Gauss點(diǎn)為Hermite多項(xiàng)式的零點(diǎn).(3)Gauss-Hermite求積公式公式63Gauss公式的余項(xiàng)：/*設(shè)P為f

的過(guò)x0…xn的插值多項(xiàng)式*//*只要P

的階數(shù)不大于2n+1，則下一步等式成立*/插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)Q：什么樣的插值多項(xiàng)式在x0…xn上有2n+1階？Gauss公式的余項(xiàng)：/*設(shè)P為f的過(guò)x0…64A：Hermite多項(xiàng)式！滿足A：Hermite多項(xiàng)式！滿足65第二章數(shù)值微分和數(shù)值積分第二章數(shù)值微分和數(shù)值積分66數(shù)值微分

函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值，函數(shù)f(x)過(guò)于復(fù)雜這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然，而又簡(jiǎn)單的方法就是，取極限的近似值，即差商數(shù)值微分函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值67向前差商x0x0+h向前差商x0x0+h68由Taylor展開因此，有誤差由Taylor展開因此，有誤差69向后差商x0-hx0向后差商x0-hx070由Taylor展開因此，有誤差由Taylor展開因此，有誤差71中心差商x0-hx0x0+h中心差商x0-hx0x0+h72由Taylor展開因此，有誤差由Taylor展開因此，有誤差73f(x)=exp(x)例：f(x)=exp(x)例：74由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有個(gè)最佳步長(zhǎng)我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來(lái)確定設(shè)D(h),D(h/2)分別為步長(zhǎng)為h,h/2

的差商公式。則時(shí)的步長(zhǎng)h/2

就是合適的步長(zhǎng)由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有75

插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)誤差插值型數(shù)值微分用Taylor展開分析插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性76給定點(diǎn)列且，求解：例：給定點(diǎn)列且，求解：例：77Taylor展開分析，可以知道，它們都是稱為三點(diǎn)公式誤差？Taylor展開分析，可以知道，它們都是稱為三點(diǎn)公式誤差？78數(shù)值積分關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：1、函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成2、F(x)求不出3、F(x)非常復(fù)雜定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合稱為積分系數(shù)，與f(x)無(wú)關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān)數(shù)值積分關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式但是，79例：例：80為數(shù)值積分，為積分，則稱數(shù)值積分有k階代數(shù)精度是指：?jiǎn)栴}：如果判斷好壞？代數(shù)精度

對(duì)任意次數(shù)不高于k次的多項(xiàng)式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差為數(shù)值積分，為積分，則稱數(shù)值積分有k階代數(shù)精度是指：?jiǎn)栴}：如81用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分代數(shù)精度由Lagrange插值的誤差表達(dá)式，，有可以看出，至少n階代數(shù)精度插值型用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分代數(shù)精度由Lagrange插值82Vandermonde行列式使用盡可能高的代數(shù)精度已知求系數(shù)所以，如果m>n，則系數(shù)唯一前面得到的系數(shù)是最好的嗎？Vandermonde行列式使用盡可能高的代數(shù)精度已知求系數(shù)83若數(shù)值積分至少n階代數(shù)精度，則系數(shù)唯一誤差若數(shù)值積分至少n階代數(shù)精度，則系數(shù)唯一誤差84Newton-Cote’s積分若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，則，一個(gè)自然的辦法就是取等距節(jié)點(diǎn)。對(duì)區(qū)間做等距分割。該數(shù)值積分稱為Newton-Cote’s積分Newton-Cote’s積分若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，則，一個(gè)85設(shè)節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)(b-a)與步長(zhǎng)h無(wú)關(guān)，可以預(yù)先求出設(shè)節(jié)點(diǎn)步長(zhǎng)(b-a)與步長(zhǎng)h無(wú)關(guān)，可以預(yù)先求出86N＝1時(shí)梯形公式N＝1時(shí)梯形公式87N＝2時(shí)Simpson公式N＝2時(shí)Simpson公式881、梯形公式此處用了積分中值定理誤差1、梯形公式此處用了積分中值定理誤差892、Simpson公式

注意到，Simpson公式有3階代數(shù)精度，因此為了對(duì)誤差有更精確地估計(jì)，我們用3次多項(xiàng)式估計(jì)誤差為02、Simpson公式注意到，Simpso90數(shù)值微分和數(shù)值積分課件91一般的有因此，N-C積分，對(duì)偶數(shù)有n+1階代數(shù)精度，而奇數(shù)為n階代數(shù)精度一般的有因此，N-C積分，對(duì)偶數(shù)有n+1階代數(shù)精度，而奇數(shù)92復(fù)化積分?jǐn)?shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge現(xiàn)象的存在，使得我們不能用太多的積分點(diǎn)計(jì)算。采用與插值時(shí)候類似，我們采用分段、低階的方法復(fù)化積分?jǐn)?shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge93誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化梯形公式誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化梯形公式94由均值定理知可以看出，復(fù)化梯形公式是收斂的。如果節(jié)點(diǎn)不等距，還可以做復(fù)化積分嗎？怎么處理？由均值定理知可以看出，復(fù)化梯形公式是收斂的。如果節(jié)點(diǎn)不等距，95誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化Simpson公式誤差做等距節(jié)點(diǎn)，復(fù)化Simpson公式96由均值定理知可以看出，復(fù)化Simpson公式是收斂的。由均值定理知可以看出，復(fù)化Simpson公式是收斂的。97定義若一個(gè)積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運(yùn)算量基本相同定義若一個(gè)積分公式的誤差滿足98Lab03復(fù)化積分1.分別編寫用復(fù)化Simpson積分公式和復(fù)化梯形積

分公式計(jì)算積分的通用程序2.用如上程序計(jì)算積分取節(jié)點(diǎn){xi,i=0,…N}，N為{2k,k=0,1,…,12}，并計(jì)算誤差，同時(shí)給出誤差階3.簡(jiǎn)單分析你得到的數(shù)據(jù)Lab03復(fù)化積分1.分別編寫用復(fù)化Simpson積分公式99誤差階：記步長(zhǎng)為h時(shí)的誤差為e,步長(zhǎng)為h/k時(shí)的誤差為ek則，相應(yīng)的誤差階為：誤差階：記步長(zhǎng)為h時(shí)的誤差為e,步長(zhǎng)為h/k時(shí)的誤差為ek則100SampleOutput(representsaspace)復(fù)化梯形積分，誤差和誤差階為k=0,0.244934066848e00k=1,0.534607244904,1.90...復(fù)化Simpson積分，誤差和誤差階為k=1,0.244934066848e00k=2,0.534607244904e-01,4.01...SampleOutput(representsa101

函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點(diǎn)。對(duì)于變化緩慢的部分，加密格點(diǎn)會(huì)造成計(jì)算的浪費(fèi)。以此我們介紹一種算法，可以自動(dòng)在變化劇烈的地方加密格點(diǎn)計(jì)算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點(diǎn)。積分的自適應(yīng)計(jì)算函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差102①先看看事后誤差估計(jì)以復(fù)化梯形公式為例n等分區(qū)間2n等分區(qū)間近似有：類似，復(fù)化Simpson公式①先看看事后誤差估計(jì)以復(fù)化梯形公式為例n等分區(qū)間2n等分區(qū)間103②自適應(yīng)計(jì)算記為復(fù)化一次，2次的Simpson公式控制求②自適應(yīng)計(jì)算記為復(fù)化一次，2次的Simpson公式控制求104是是105由前面的事后誤差估計(jì)式，則，這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合后成為一個(gè)高階的公式。類似，Romberg積分由前面的事后誤差估計(jì)式，則，這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合106記為以步長(zhǎng)為h的某數(shù)值積分公式，有記為以步長(zhǎng)為h的某數(shù)值積分公式，有107有如下的Euler-Maclaurin定理若為2m階公式，則Romberg積分就是不斷地用如上定理組合低階公式為高階公式，進(jìn)而計(jì)算積分

Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T有如下的Euler-Maclaurin定理若為2m階公式，則108重積分的計(jì)算

在微積分中，二重積分的計(jì)算是用化為累次積分的方法進(jìn)行的。計(jì)算二重?cái)?shù)值積分也同樣采用累次積分的計(jì)算過(guò)程。簡(jiǎn)化起見，我們僅討論矩形區(qū)域上的二重積分。對(duì)非矩形區(qū)域的積分，大多可以變化為矩形區(qū)域上的累次積分。a,b,c,d為常數(shù)，f在D上連續(xù)。將它變?yōu)榛鄞畏e分首先來(lái)看看復(fù)化梯形公式的二重推廣重積分的計(jì)算在微積分中，二重積分的計(jì)算是用化為累109做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：先計(jì)算，將x作為常數(shù)，有再將y作為常數(shù)，在x方向，計(jì)算上式的每一項(xiàng)的積分二重積分的復(fù)化梯形公式做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：先計(jì)算，將x作為常數(shù)，有再將y110數(shù)值微分和數(shù)值積分課件111系數(shù)，在積分區(qū)域的四個(gè)角點(diǎn)為1/4，4個(gè)邊界為1/2，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為1誤差系數(shù)，在積分區(qū)域的四個(gè)角點(diǎn)為1/4，4個(gè)邊界為1/2，內(nèi)部節(jié)112類似前面有：記二重積分的復(fù)化Simpson公式做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：m，n為偶數(shù)類似前面有：記二重積分的復(fù)化Simpson公式做等距節(jié)點(diǎn)，x113誤差誤差114Gauss型積分公式

Newton-Cote’s積分公式，可以知道n為偶數(shù)時(shí)，n+1個(gè)點(diǎn)數(shù)值積分公式有n+1階精度。是否有更高的代數(shù)精度呢？n個(gè)點(diǎn)的數(shù)值積分公式，最高可以到多少代數(shù)精度？本節(jié)會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題。Gauss型積分公式Newton-Cote’115例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，則有4個(gè)未知量，可以列出4個(gè)方程：（以f(x)在[-1,1]為例）可解出：數(shù)值積分公式具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)精度高例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，則有4個(gè)未116證明：取易知：也就是說(shuō)，數(shù)值積分公式，對(duì)一個(gè)2n+2階的多項(xiàng)式是有誤差的，所以，n+1個(gè)點(diǎn)的數(shù)值積分公式不超過(guò)2n+1階n個(gè)積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式，最高2n－1階定理如何構(gòu)造最高階精度的公式？證明：取易知：也就是說(shuō)，數(shù)值積分公式，對(duì)一個(gè)2n+2階的多項(xiàng)117一般性，考慮積分：稱為權(quán)函數(shù)定義兩個(gè)可積函數(shù)的內(nèi)積為：兩個(gè)函數(shù)正交，就是指這兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積為0一般性，考慮積分：稱為權(quán)函數(shù)定義兩個(gè)可積函數(shù)的內(nèi)積為：兩個(gè)函118利用Schmidt正交化過(guò)程，變?yōu)檎换涂梢詫⒍囗?xiàng)式基函數(shù)利用Schmidt正交化過(guò)程，變?yōu)檎换涂梢詫⒍囗?xiàng)式基函119以n階正交多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)為積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式有2n－1階的代數(shù)精度Gauss點(diǎn)Gauss積分，記為Gn(f)證明：若f為2n－1次多項(xiàng)式，則為n－1次多項(xiàng)式又，僅差一個(gè)常數(shù)（零點(diǎn)相同）具有一個(gè)很好的性質(zhì)：以n階正交多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)為積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式有2n－1階120(2)求出pn(x)的n個(gè)零點(diǎn)x1,x2,…xn即為G