初中數學人教八年級上冊第十一章三角形等邊三角形時含°角的直角三角形的性質PPT

學習目標1．探索含30°角的直角三角形的性質．（重點）2．會運用含30°角的直角三角形的性質進行有證明和計算．（難點）溫故知新等邊三角形的性質：

1、三邊都相等；2、三個角都相等且都是60度；3、每一邊的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合；4、三條對稱軸。

等邊三角形的判定：1、三邊都相等的三角形是等邊三角形；2、三個角都相等的三角形是等邊三角形；3、有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形

導入新課問題引入問題1

如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數量關系嗎？分離拼接ACB問題2

將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發(fā)現？講授新課含30°角的直角三角形的性質一性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個等邊三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你還能用其他方法證明嗎？證法1證明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延長BC到D，使BD=AB，連接AD，則△ABD

是等邊三角形．

又∵AC⊥BD,已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB．ABCD

證明方法：倍長法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

EABC證明：在BA上截取BE=BC，連接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

證明方法：截半法證法2知識要點含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.幾何語言：∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

√判斷下列說法是否正確：1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半．

2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半。

3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。

4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．例1

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm典例精析注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.例2

如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.EC方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運用時，關鍵是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．想一想：圖中BC、DE分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？例3如圖是屋架設計圖的一部分，點D

是斜梁AB的中點，立柱BC，DE

垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多長？ABCDEABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直角三角形來解決．本題的關鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質解決問題.練習：在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長．解：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線，∴BE=AE=5，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°∵∠C=90°，∴AC=AE=2.5課堂小結