通州市高中畢業(yè)生四月模擬考試數(shù)學試題及答案

通州市2010屆高中畢業(yè)生四月模擬考試數(shù)學試卷通州市教育科學研究院命制2010年4月注意事項1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考試科目、試卷類型等寫在答題紙上，并貼好條形碼。2主觀題請在規(guī)定區(qū)域答題。請務(wù)必保持答題紙的整潔，不要折疊，考試結(jié)束，將答題紙交回。一、填空題：（每小題5分，共70分）1．復(fù)數(shù)等于▲.2．對于集合、，定義，．設(shè)，，則為▲.3．若，且是第二象限角，則▲．4．設(shè)，則的最大值為▲．5．在△ABC中，若∠B=120°，AB=1，BC=2，則AC=▲．6．設(shè)向量，，若與垂直，則實數(shù)▲．7．直線與圓相切，則的值為▲．8．圖1是某次歌詠比賽中，七位評委為某參賽選手打出分數(shù)的莖葉圖．去掉一個最高分，再去掉一個最低分，則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為▲．7984464793圖1圖圖29．執(zhí)行圖2所示的程序，輸出的結(jié)果為20，則判斷框中應(yīng)填入的條件為▲．高三數(shù)學試卷第1頁（共4頁）10.如圖所示，墻上掛有一長為寬為2的矩形木板，它的陰影部分是由，的圖象和直線圍成的圖形，某人向此板投飛鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每一點的可能性相同，則他擊中陰影部分的概率是▲．11．設(shè)是等差數(shù)列，若，則其前9項的和=▲．12．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為▲．13．已知數(shù)列滿足，，則u▲.14．已知是R上的增函數(shù)，則的取值范圍是▲．二、解答題：（共90分）15．(本小題滿分14分)已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的單調(diào)增區(qū)間．16．(本小題滿分14分)如圖4，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點，求證：（Ⅰ）EF∥平面PAB；（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．高三數(shù)學試卷第2頁（共4頁）17．(本小題滿分15分)已知定點A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M，當P在圓周上運動時，點M的軌跡記為曲線C．(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；PABMl·PABMl··18.(本小題滿分15分)數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求證：對任意實數(shù)（是常數(shù)，＝2．71828）和任意正整數(shù)，總有2；（3）正數(shù)數(shù)列中，．求數(shù)列中的最大項．高三數(shù)學試卷第3頁（共4頁）19．(本小題滿分16分)時值5月，荔枝上市．某市水果市場由歷年的市場行情得知，從5月10日起的60天內(nèi)，荔枝的售價S(t)(單位：元／kg)與上市時間t(單位：天)的關(guān)系大致可用如圖1所示的折線ABCD表示，每天的銷售量M(t)(單位：噸)與上市時間t(單位：天)的關(guān)系大致可用如圖2所示的拋物線段OEF表示，其中O為坐標原點，E是拋物線的頂點（1）請分別寫出S(t)，M(t)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這60天內(nèi)，該水果市場哪天的銷售額最大？S(元)S(元)1065O10204060t(天)ABCD圖1M(噸)2O104060t(天)10FE圖220.(本小題滿分16分)已知函數(shù)和函數(shù)，記．（1）當時，若在上的最大值是，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，判斷在其定義域內(nèi)是否有極值，并予以證明；（3）對任意的，若在其定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，試求實數(shù)的取值范圍．高三數(shù)學試卷第4頁（共4頁）通州市2010屆高中畢業(yè)生四月模擬考試數(shù)學試題參考答案及評分細則通州市教育科學研究院命制2010年4月一、填空題：（每小題5分，共70分）1.23456.1378.85，1.69..a≥410.11.3612.13.．14.15.（Ⅰ）2分4分∴的最小正周期．7分（Ⅱ）令10分解得，，13分∴的單調(diào)增區(qū)間．14分16．（Ⅰ）∵、分別是、的中點，∴∥．2分∵底面是矩形，∴∥．∴∥．4分又平面，平面，∴∥平面．7分（Ⅱ）∵，∴．8分∵底面是矩形，．10分又，∴．12分∵，∴平面．14分17.解(1)以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0).設(shè)M(x,

y),由題意：|MP|=|MA|,|BP|=2，所以|MB|+|MA|=2.故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓，其方程為x2+2y2=2.(2)直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切.證法一：由(1)知曲線C方程為x2+2y2=2，設(shè)P(m,n)，則P在⊙B上，故(m－1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m.當P、A、B共線時，直線l的方程為x=±EQ\R(,2)，顯然結(jié)論成立.當P、A、B不共線時，直線l的方程為：,整理得，把直線l的方程代入曲線C方程得：，整理得∴直線l與曲線C相切.(說明：以A或B為原點建系亦可)證法二：在直線l上任取一點，連結(jié)，由垂直平分線的性質(zhì)得，∴(當且僅當M、重合時取“=”號)∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M.結(jié)論得證18.（1）解：由已知：對于，總有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均為正數(shù)，∴（n≥2）∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列又n=1時，，解得=1∴．（） （2）證明：∵對任意實數(shù)和任意正整數(shù)n，總有≤．∴（3）解：由已知，易得猜想n≥2時，是遞減數(shù)列．令∵當∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)．由．∴n≥2時，是遞減數(shù)列．即是遞減數(shù)列．又，∴數(shù)列中的最大項為．函數(shù)20.(本小題滿分16分)解：（1）時，．①當時，，不合題意；②當時，在上遞增，在上遞減，而