函數(shù)的極值與函數(shù)圖像

關(guān)于函數(shù)的極值與函數(shù)圖像第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0復(fù)習(xí):函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(x)增函數(shù)f(x)減函數(shù)第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日鞏固：定義域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)>0,得x<0或x>1，則f(x)單增區(qū)間（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)<0,得0<x<1,f(x)單減區(qū)(0,1).注意:求單調(diào)區(qū)間:1:首先注意定義域,

2:其次區(qū)間不能用

(U)連接（第一步）解：（第二步）（第三步）第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日

f

(x)<0

yxOx1aby=f(x)極大值點兩側(cè)極小值點兩側(cè)

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0極值x2

xX<x2

x2X>x2

f(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f(x)

f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0極大值減f(x)<0f(x)=0增減極小值f(x)>0注意:(1)

f(x0)=0，x0不一定是極值點(2)只有f(x0)=0且x0兩側(cè)單調(diào)性不同

，

x0才是極值點.(3)求極值點，可以先求f(x0)=0的點，再列表判斷單調(diào)性結(jié)論：極值點處，f(x)=0第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況小結(jié)第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日因為所以例1

求函數(shù)的極值.解:令解得或當(dāng),即,或;當(dāng),即.當(dāng)x變化時,f(x)的變化情況如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–2時,f(x)有極大值28/3;當(dāng)x=2時,f(x)有極小值–4/3.第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日變式求下列函數(shù)的極值:解:

令解得列表:x0f(x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞減–所以,當(dāng)時,f(x)有極小值第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日求下列函數(shù)的極值:解:

解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–3時,f(x)有極大值54;當(dāng)x=3時,f(x)有極小值–54.第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日求下列函數(shù)的極值:解:

解得所以,當(dāng)x=–2時,f(x)有極小值–10;當(dāng)x=2時,f(x)有極大值22

.解得所以,當(dāng)x=–1時,f(x)有極小值–2;當(dāng)x=1時,f(x)有極大值2

.第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日例3已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1，(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x＝±1時函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由．[解析]

(1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日[點評]若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則一定有f′(x0)＝0，因此我們可根據(jù)極值得到一個方程，來解決參數(shù)．第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.代入①式，得a(x2－1)＝0.∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.∴a＝2，b＝0.第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日注意：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值。思考1.判斷下面4個命題，其中是真命題序號為

。①f(x0)=0,則f(x0)必為極值；②

f(x)=在x=0

處取極大值0，③函數(shù)的極小值一定小于極大值④函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。⑤函數(shù)的極值即為最值第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日有極大值和極小值,求a范圍?思考2解析:f(x)有極大值和極小值f’(x)=0有2實根,

已知函數(shù)解得a>6或a<3第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日練習(xí)1：

求在時極值。第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日練習(xí)2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1與x=-1

處有極值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的極值.第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日練習(xí)3：

已知函數(shù)f(x)=x2-2(m-1)x+4在區(qū)間[1,5]內(nèi)的最小值為2，求m的值第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日練習(xí)4

：設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定實數(shù)a的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間.第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日小結(jié)：1個定義:

極值定義2個關(guān)鍵：

①可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在極值點處的f’(x)=0

。

②極值點左右兩邊的導(dǎo)數(shù)必須異號