北師大時(shí)間序列分析第六章課件

第六章多維時(shí)間序列的AR模型多維平穩(wěn)序列多維平穩(wěn)序列的均值和自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)多維AR(p)序列第六章多維時(shí)間序列的AR模型多維平穩(wěn)序列

例：序列y1,y2,y3分別表示我國1952年至1988年工業(yè)部門、交通運(yùn)輸部門和商業(yè)部門的產(chǎn)出指數(shù)序列。例：序列y1,y2,y3分別表示我國1952年至1988年第一節(jié)多維平穩(wěn)序列一、二階矩有窮的多維時(shí)間序列定義1.1設(shè)為m維隨機(jī)向量序列，其中

若，則稱為二階矩有窮的m維隨機(jī)向量序列，簡稱為m維隨機(jī)序列。記分別稱為的均值向量函數(shù)和協(xié)方差陣函數(shù)，其中*表示共軛轉(zhuǎn)置。第一節(jié)多維平穩(wěn)序列一、二階矩有窮的多維時(shí)間序列北師大時(shí)間序列分析第六章課件

二、多維平穩(wěn)時(shí)間序列定義1.2：設(shè)為m維二階矩有窮隨機(jī)序列，若均值向量函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)滿足則稱為m維平穩(wěn)序列，稱為平穩(wěn)相關(guān)。

二、多維平穩(wěn)時(shí)間序列北師大時(shí)間序列分析第六章課件

定理1.1為m維平穩(wěn)序列的協(xié)方差陣函數(shù)，則(i)(ii)(iii)

(iv)對任意正整數(shù),m維復(fù)向量,有即為非負(fù)定陣。

定義1.3：若m維平穩(wěn)序列滿足

(1.1)

其中S>0(正定陣)，則稱是m維平穩(wěn)白噪聲序列，簡稱m維白噪聲序列。定義1.3：若m維平穩(wěn)序列滿足

定義1.4：若m維隨機(jī)序列滿足：

(1.2)其中為滿足(1.1)的s維白噪聲序列，為常值陣序列，滿足

則稱為m維平穩(wěn)線性序列?？勺C(1.2)中的每個(gè)分量都均方收斂，且有定義1.4：若m維隨機(jī)序列滿足：三、常見多維平穩(wěn)模型1、多維滑動平均模型2、多維自回歸模型三、常見多維平穩(wěn)模型第二節(jié)多維平穩(wěn)序列的均值和

自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)

簡單起見，以下假定序列為實(shí)序列一.均值的估計(jì)設(shè)是m維平穩(wěn)序列，是觀測值，均值的點(diǎn)估計(jì)定義為第二節(jié)多維平穩(wěn)序列的均值和

自協(xié)方差函數(shù)的估

相合性：定理2.1如果的每個(gè)分量序列都是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列，則當(dāng)時(shí)定理2.2如果自協(xié)方差函數(shù)滿足條件

則其中相合性：

定理2.3如果則當(dāng)時(shí)，有定理2.3如果

定理2.4如果為以下的m維平穩(wěn)線性序列

定理2.4如果為以下的m維平穩(wěn)線性序列

二.自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)設(shè)是m維平穩(wěn)序列，是觀測值，的估計(jì)為二.自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)

相關(guān)系數(shù)的估計(jì)為

其中表示的第(i,j)元素，自相關(guān)系數(shù)矩陣的估計(jì)是相關(guān)系數(shù)的估計(jì)為

第三節(jié)多維AR(p)序列一.多維ARMA模型定義3.1設(shè)為實(shí)m維平穩(wěn)序列，稱它為m維ARMA(p,q)序列，如果滿足如下m維隨機(jī)差分方程

(3.1)

其中為實(shí)系數(shù)陣，為實(shí)m維白噪聲序列，記

(3.2)第三節(jié)多維AR(p)序列一.多維ARMA模型

且滿足如下條件：(i)(ii)和是左互質(zhì)，即若，則(iii),rank表示秩。若滿足條件(i)，則稱(3.1)具有平穩(wěn)性和可逆性，且有當(dāng)p=0時(shí)，稱(3.1)為m維MA(q)模型，當(dāng)q=0時(shí)，稱(3.1)為m維AR(p)模型。且滿足如下條件：

多維ARMA(p,q)模型(3.1)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式分別為：

且多維ARMA(p,q)模型(3.1)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式分

注：對多維ARMA(p,q)模型建模時(shí)遇到兩大困難，(1)多維ARMA(p,q)模型的參數(shù)不可由唯一決定，當(dāng)然也不可由的自協(xié)方差函數(shù)唯一決定稱之為多維ARMA模型的不可識別性。(2)一維ARMA模型中，對滑動平均參數(shù)的估計(jì)常要采用非線性最小二乘估計(jì)，對于多維情形就更復(fù)雜、更困難。注：對多維ARMA(p,q)模型建模時(shí)遇到兩大困二.多維AR模型定義3.2設(shè)為實(shí)m維平穩(wěn)序列，稱它為m維AR(p)序列，如果滿足如下m維隨機(jī)差分方程

(3.3)

其中為實(shí)系數(shù)陣，為實(shí)m維白噪聲序列，記

(3.4)二.多維AR模型

且滿足如下條件：(i)(ii)且滿足如下條件：VAR(1)模型的解:VAR(1)模型的解:VAR(1)序列的自協(xié)方差函數(shù):VAR(1)序列的自協(xié)方差函數(shù):

三.多維AR模型的參數(shù)估計(jì)目的：假定自回歸的階數(shù)p已知，求出自回歸系數(shù)陣和白噪聲方差陣S的估計(jì)。1.自回歸系數(shù)陣的矩估計(jì)設(shè)為VAR(p)序列

(3.3)

對(3.3)等式兩邊右乘，再求數(shù)學(xué)期望得，三.多維AR模型的參數(shù)估計(jì)

(3.5)式取n=1,2,…,p可表為矩陣型的線性方程組：

(3.7)

令(3.5)式取n=1,2,…,p可表為矩陣型的線性方程組：

稱(3.6)式為Yule-Walker方程，它可表為

(3.7)設(shè)為的長度為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，m維樣本自協(xié)方差陣

(3.8)

可作為的估計(jì)。于是，系數(shù)陣的估計(jì)：AR(p)模型的系數(shù)陣的估計(jì)

(3.9)稱為的矩估計(jì)，又稱為Yule-Walker估計(jì)。稱(3.6)式為Yule-Walker方程，它可表為

白噪聲方差S的矩估計(jì)為(3.10)白噪聲方差S的矩估計(jì)為

2.多維AR(p)模型系數(shù)的最小二乘估計(jì)求使得，

(3.11)達(dá)最小，則必須滿足：

(3.12)其中是的第行第j列的元素。2.多維AR(p)模型系數(shù)的最小二乘估計(jì)

則有，

(3.13)記

(3.14)

則(3.13)為

(3.15)當(dāng)n充分大時(shí)，漸近相等。

則有，

系數(shù)陣的最小二乘估計(jì)：由(3.15)解出，記稱之為的最小二乘估計(jì)。m維白噪聲序列的方差陣S的最小二乘估計(jì)：

(3.16)系數(shù)陣的最小二乘估計(jì)：由(3.15)解出，記

3.多維AR(p)模型系數(shù)陣的遞推估計(jì)1).m維AR模型系數(shù)陣隨階數(shù)p的遞推算法為了表示自回歸系數(shù)陣隨著模型階數(shù)p而變，將它表示為則模型表示為：

(3.17)相應(yīng)的記為，它滿足

(3.18)

3.多維AR(p)模型系數(shù)陣的遞推估計(jì)

記，并定義

(3.20)其中稱之為(3.18)的對偶方程，解為

(3.21)記

定理3.1多維AR模型系數(shù)陣估計(jì)隨階數(shù)p有如下遞推公式：定理3.1多維AR模型系數(shù)陣估計(jì)隨階數(shù)p有如下遞推

2).m維AR模型白噪聲方差陣估計(jì)隨階數(shù)p的遞推算法定理3.2當(dāng)m維AR模型的階數(shù)p增加時(shí)，白噪聲方差陣估計(jì)有如下遞推公式其中I為m階單位陣。注：由定理3.2可遞推得到：其中是0階自回歸序列的方差陣估計(jì)，可取為：2).m維AR模型白噪聲方差陣估計(jì)隨階數(shù)p的遞推

四.多維AR模型的定階1.FPE定階準(zhǔn)則(最終預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則)為

(3.22)滿足

的相應(yīng)作為m維AR模型階數(shù)的估計(jì)，此時(shí)m維AR模型的一步預(yù)報(bào)誤差方差陣達(dá)最小。四.多維AR模型的定階

2.AIC定階準(zhǔn)則為

(3.23)

其中，滿足

的相應(yīng)作為AIC定階準(zhǔn)則下的m維AR模型的定階。2.AIC定階準(zhǔn)則為

3.BIC定階準(zhǔn)則為

(3.24)滿足

的相應(yīng)作為BIC準(zhǔn)則下的m維AR模型的定階。注：FPE準(zhǔn)則與AIC準(zhǔn)則是一致的。

3.BIC定階準(zhǔn)則為

五.多維AR模型的維數(shù)選取與預(yù)報(bào)1.維數(shù)的選取目的：設(shè)為m維AR序列，考察m維時(shí)序所提供的信息能否用部分分量序列。依據(jù)：前個(gè)分量記為引入，

(3.25)

其中表示陣的左上角階子方陣，表示AR(p)序列的最終預(yù)報(bào)誤差方差陣，它與(3.25)比較，如果：五.多維AR模型的維數(shù)選取與預(yù)報(bào)

(3.26)則認(rèn)為僅考慮前維時(shí)序就夠了。如果，

(3.27)

則應(yīng)考慮用m維時(shí)序。步驟：在m維時(shí)序每去掉一維進(jìn)行比較，由(3.26),(3.27)決定取舍，逐步反復(fù)比較。

2.m維AR(p)序列的預(yù)報(bào)

步最小均方誤差陣的預(yù)報(bào)為：

(3.28)步線性最小均方誤差陣的預(yù)報(bào)為：

(3.29)2.m維AR(p)序列的預(yù)報(bào)

例：序列X1,X2,X3分別表示我國1952年至1988年工業(yè)部門，交通運(yùn)輸部門和商業(yè)部門的產(chǎn)出指數(shù)序列，試建立多維AR模型。估計(jì)：為避免數(shù)據(jù)的劇烈波動，首先對序列進(jìn)行對數(shù)化處理。例：序列X1,X2,X3分別表示我國1952年至1988年

對估計(jì)結(jié)果的幾點(diǎn)注釋：1.考慮到有同樣變量的多個(gè)滯后，可能由于多重共線性，所估計(jì)的每一個(gè)系數(shù)不都是統(tǒng)計(jì)上顯著的，但集體地看這些系數(shù)也許會在標(biāo)準(zhǔn)的F檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上顯著。例如在對LY1的回歸中，僅在滯后1，2的LY1系數(shù)和滯后1期的LY2的系數(shù)是統(tǒng)計(jì)上顯著的而其余的都不是，但總的系數(shù)的F檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)顯著的。對估計(jì)結(jié)果的幾點(diǎn)注釋：

2.最值得關(guān)注的是窗口的最后一部分，其結(jié)果是針對Var系統(tǒng)整體而言，其中包括決定性殘差協(xié)方差、對數(shù)似然函數(shù)值和AIC與SC信息量。本例中AIC函數(shù)當(dāng)P=3時(shí)最小，而SC則在P=1時(shí)最小，故，考慮由LR（似然比）檢驗(yàn)進(jìn)行取舍。原假設(shè)模型的最大滯后期為1，即P=1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中，分別表示p=1,p=3時(shí)模型整體的對數(shù)似然函數(shù)值。在零假設(shè)下，該統(tǒng)計(jì)量漸近分布，自由度為從Var(3)到Var(1)對模型參數(shù)施加的零約束的個(gè)數(shù)。Pval=0.00096,故拒絕原假設(shè)，采用滯后期為3。2.最值得關(guān)注的是窗口的最后一部分，其結(jié)果是針對

預(yù)報(bào)：預(yù)報(bào)：

六.Var建模的一些問題1.優(yōu)點(diǎn)

方法簡單

無須決定哪些變量是內(nèi)生的，哪些變量是外生的。

估計(jì)簡單常用的OLS法可用于逐個(gè)地估計(jì)每一方程。

預(yù)報(bào)好在許多案例中，用此法得到預(yù)報(bào)優(yōu)于用更復(fù)雜的聯(lián)立方程模型得到的預(yù)報(bào)。六.Var建模的一些問題

2.存在的問題：不同于聯(lián)立方程模型,Var利用較少的先驗(yàn)信息，所以是乏理論的（atheoretic）。由于重點(diǎn)放到預(yù)測，Var模型較不適合于政策分析對Var建模最大的挑戰(zhàn)在于選擇適當(dāng)滯后長度模型中m個(gè)分量嚴(yán)格講應(yīng)該是（聯(lián)合）平穩(wěn)的，如不然，則有必要適當(dāng)變換數(shù)據(jù)（如：差分）。這給估計(jì)帶來較大的難度所估計(jì)的模型中的系數(shù)往往難于逐一地加以解釋，故Var技術(shù)的操作人員常估計(jì)一種所謂的脈沖響應(yīng)函數(shù)以描述Var系數(shù)中的因變量如何響應(yīng)與方程種的誤差項(xiàng)的沖擊。2.存在的問題：

第四節(jié)脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)(IRF:ImpulseResponseFunction)用于衡量來自隨機(jī)擾動項(xiàng)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差沖擊對內(nèi)生變量當(dāng)前和未來取值的影響1.定義一個(gè)向量自回歸寫成向量的形式第四節(jié)脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)(IRF:Impu1.定義一個(gè)向量自回歸寫成向量的形式于是，即的第i行，第j列元素等于時(shí)期t第j個(gè)變量的創(chuàng)新增加一個(gè)單位而其他時(shí)期其他創(chuàng)新為常數(shù)的情況下對時(shí)期t+s的第i個(gè)變量的值()的影響。

定義的第i行，第j列元素1.定義

定義的第i行，第j列元素作為s的一個(gè)函數(shù)，稱作脈沖-響應(yīng)函數(shù)，它描述了在時(shí)期t的其他變量和早期變量不變情況下對的一個(gè)暫時(shí)變化的反應(yīng)。定義的第i行，第j列元素

例：考慮如下的兩變量Var(1)模型：其中，P和M分別表示產(chǎn)量和貨幣流通額，模型中隨機(jī)擾動項(xiàng)也稱為新息(Innovation)。

由上面兩式構(gòu)成的Var(1)模型中，如果發(fā)生變化，不僅當(dāng)前的P值立即改變，而且還會通過當(dāng)前的P值影響到變量P和M今后的取值。脈沖響應(yīng)函數(shù)試圖描述這些影響的軌跡。顯示任意一個(gè)變量的擾動如何通過模型影響其他變量，最終又反饋到自身的過程。例：考慮如下的兩變量Var(1)模型：

2對所建Var(3)模型進(jìn)行脈沖響應(yīng)函數(shù)的分析2對所建Var(3)模型進(jìn)行脈沖響應(yīng)函數(shù)的分析北師大時(shí)間序列分析第六章課件北師大時(shí)間序列分析第六章課件

第五節(jié)方差分解一.方差分解的主要思想把系統(tǒng)中每個(gè)內(nèi)生變量（共k個(gè)）波動（L步預(yù)報(bào)均方誤差）按其成因分解為與各方程新息相關(guān)聯(lián)的k個(gè)組成部分，從而了解各新息對模型內(nèi)生變量的相對重要性。記，向量自回歸t時(shí)刻的s步預(yù)報(bào)誤差為第五節(jié)方差分解一.方差分解的主要思想

因而s步預(yù)測的均方誤差為下面，我們考慮每一個(gè)正交化擾動對MSE的貢獻(xiàn)。作變換其中，各個(gè)互不相關(guān)。將上式右乘以它的轉(zhuǎn)置，再取期望得因而s步預(yù)測的均方誤差為

經(jīng)計(jì)算得，

于是，我們可計(jì)算第j個(gè)正交化創(chuàng)新對t時(shí)刻的s步預(yù)報(bào)的MSE的貢獻(xiàn)：（*）當(dāng)時(shí)，對于一個(gè)協(xié)方差平穩(wěn)的向量自回歸有即向量的無條件方差。因此令S足夠大，運(yùn)用（*）可求出的總方差中歸因于擾動的部分。于是，我們可計(jì)算第j個(gè)正交化創(chuàng)新對t時(shí)刻的s步預(yù)

3.例：對所建Var(3)模型進(jìn)行方差分解3.例：對所建Var(3)模型進(jìn)行方差分解北師大時(shí)間序列分析第六章課件第六章多維時(shí)間序列的AR模型多維平穩(wěn)序列多維平穩(wěn)序列的均值和自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)多維AR(p)序列第六章多維時(shí)間序列的AR模型多維平穩(wěn)序列

例：序列y1,y2,y3分別表示我國1952年至1988年工業(yè)部門、交通運(yùn)輸部門和商業(yè)部門的產(chǎn)出指數(shù)序列。例：序列y1,y2,y3分別表示我國1952年至1988年第一節(jié)多維平穩(wěn)序列一、二階矩有窮的多維時(shí)間序列定義1.1設(shè)為m維隨機(jī)向量序列，其中

若，則稱為二階矩有窮的m維隨機(jī)向量序列，簡稱為m維隨機(jī)序列。記分別稱為的均值向量函數(shù)和協(xié)方差陣函數(shù)，其中*表示共軛轉(zhuǎn)置。第一節(jié)多維平穩(wěn)序列一、二階矩有窮的多維時(shí)間序列北師大時(shí)間序列分析第六章課件

二、多維平穩(wěn)時(shí)間序列定義1.2：設(shè)為m維二階矩有窮隨機(jī)序列，若均值向量函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)滿足則稱為m維平穩(wěn)序列，稱為平穩(wěn)相關(guān)。

二、多維平穩(wěn)時(shí)間序列北師大時(shí)間序列分析第六章課件

定理1.1為m維平穩(wěn)序列的協(xié)方差陣函數(shù)，則(i)(ii)(iii)

(iv)對任意正整數(shù),m維復(fù)向量,有即為非負(fù)定陣。

定義1.3：若m維平穩(wěn)序列滿足

(1.1)

其中S>0(正定陣)，則稱是m維平穩(wěn)白噪聲序列，簡稱m維白噪聲序列。定義1.3：若m維平穩(wěn)序列滿足

定義1.4：若m維隨機(jī)序列滿足：

(1.2)其中為滿足(1.1)的s維白噪聲序列，為常值陣序列，滿足

則稱為m維平穩(wěn)線性序列。可證(1.2)中的每個(gè)分量都均方收斂，且有定義1.4：若m維隨機(jī)序列滿足：三、常見多維平穩(wěn)模型1、多維滑動平均模型2、多維自回歸模型三、常見多維平穩(wěn)模型第二節(jié)多維平穩(wěn)序列的均值和

自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)

簡單起見，以下假定序列為實(shí)序列一.均值的估計(jì)設(shè)是m維平穩(wěn)序列，是觀測值，均值的點(diǎn)估計(jì)定義為第二節(jié)多維平穩(wěn)序列的均值和

自協(xié)方差函數(shù)的估

相合性：定理2.1如果的每個(gè)分量序列都是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列，則當(dāng)時(shí)定理2.2如果自協(xié)方差函數(shù)滿足條件

則其中相合性：

定理2.3如果則當(dāng)時(shí)，有定理2.3如果

定理2.4如果為以下的m維平穩(wěn)線性序列

定理2.4如果為以下的m維平穩(wěn)線性序列

二.自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)設(shè)是m維平穩(wěn)序列，是觀測值，的估計(jì)為二.自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)

相關(guān)系數(shù)的估計(jì)為

其中表示的第(i,j)元素，自相關(guān)系數(shù)矩陣的估計(jì)是相關(guān)系數(shù)的估計(jì)為

第三節(jié)多維AR(p)序列一.多維ARMA模型定義3.1設(shè)為實(shí)m維平穩(wěn)序列，稱它為m維ARMA(p,q)序列，如果滿足如下m維隨機(jī)差分方程

(3.1)

其中為實(shí)系數(shù)陣，為實(shí)m維白噪聲序列，記

(3.2)第三節(jié)多維AR(p)序列一.多維ARMA模型

且滿足如下條件：(i)(ii)和是左互質(zhì)，即若，則(iii),rank表示秩。若滿足條件(i)，則稱(3.1)具有平穩(wěn)性和可逆性，且有當(dāng)p=0時(shí)，稱(3.1)為m維MA(q)模型，當(dāng)q=0時(shí)，稱(3.1)為m維AR(p)模型。且滿足如下條件：

多維ARMA(p,q)模型(3.1)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式分別為：

且多維ARMA(p,q)模型(3.1)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式分

注：對多維ARMA(p,q)模型建模時(shí)遇到兩大困難，(1)多維ARMA(p,q)模型的參數(shù)不可由唯一決定，當(dāng)然也不可由的自協(xié)方差函數(shù)唯一決定稱之為多維ARMA模型的不可識別性。(2)一維ARMA模型中，對滑動平均參數(shù)的估計(jì)常要采用非線性最小二乘估計(jì)，對于多維情形就更復(fù)雜、更困難。注：對多維ARMA(p,q)模型建模時(shí)遇到兩大困二.多維AR模型定義3.2設(shè)為實(shí)m維平穩(wěn)序列，稱它為m維AR(p)序列，如果滿足如下m維隨機(jī)差分方程

(3.3)

其中為實(shí)系數(shù)陣，為實(shí)m維白噪聲序列，記

(3.4)二.多維AR模型

且滿足如下條件：(i)(ii)且滿足如下條件：VAR(1)模型的解:VAR(1)模型的解:VAR(1)序列的自協(xié)方差函數(shù):VAR(1)序列的自協(xié)方差函數(shù):

三.多維AR模型的參數(shù)估計(jì)目的：假定自回歸的階數(shù)p已知，求出自回歸系數(shù)陣和白噪聲方差陣S的估計(jì)。1.自回歸系數(shù)陣的矩估計(jì)設(shè)為VAR(p)序列

(3.3)

對(3.3)等式兩邊右乘，再求數(shù)學(xué)期望得，三.多維AR模型的參數(shù)估計(jì)

(3.5)式取n=1,2,…,p可表為矩陣型的線性方程組：

(3.7)

令(3.5)式取n=1,2,…,p可表為矩陣型的線性方程組：

稱(3.6)式為Yule-Walker方程，它可表為

(3.7)設(shè)為的長度為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，m維樣本自協(xié)方差陣

(3.8)

可作為的估計(jì)。于是，系數(shù)陣的估計(jì)：AR(p)模型的系數(shù)陣的估計(jì)

(3.9)稱為的矩估計(jì)，又稱為Yule-Walker估計(jì)。稱(3.6)式為Yule-Walker方程，它可表為

白噪聲方差S的矩估計(jì)為(3.10)白噪聲方差S的矩估計(jì)為

2.多維AR(p)模型系數(shù)的最小二乘估計(jì)求使得，

(3.11)達(dá)最小，則必須滿足：

(3.12)其中是的第行第j列的元素。2.多維AR(p)模型系數(shù)的最小二乘估計(jì)

則有，

(3.13)記

(3.14)

則(3.13)為

(3.15)當(dāng)n充分大時(shí)，漸近相等。

則有，

系數(shù)陣的最小二乘估計(jì)：由(3.15)解出，記稱之為的最小二乘估計(jì)。m維白噪聲序列的方差陣S的最小二乘估計(jì)：

(3.16)系數(shù)陣的最小二乘估計(jì)：由(3.15)解出，記

3.多維AR(p)模型系數(shù)陣的遞推估計(jì)1).m維AR模型系數(shù)陣隨階數(shù)p的遞推算法為了表示自回歸系數(shù)陣隨著模型階數(shù)p而變，將它表示為則模型表示為：

(3.17)相應(yīng)的記為，它滿足

(3.18)

3.多維AR(p)模型系數(shù)陣的遞推估計(jì)

記，并定義

(3.20)其中稱之為(3.18)的對偶方程，解為

(3.21)記

定理3.1多維AR模型系數(shù)陣估計(jì)隨階數(shù)p有如下遞推公式：定理3.1多維AR模型系數(shù)陣估計(jì)隨階數(shù)p有如下遞推

2).m維AR模型白噪聲方差陣估計(jì)隨階數(shù)p的遞推算法定理3.2當(dāng)m維AR模型的階數(shù)p增加時(shí)，白噪聲方差陣估計(jì)有如下遞推公式其中I為m階單位陣。注：由定理3.2可遞推得到：其中是0階自回歸序列的方差陣估計(jì)，可取為：2).m維AR模型白噪聲方差陣估計(jì)隨階數(shù)p的遞推

四.多維AR模型的定階1.FPE定階準(zhǔn)則(最終預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則)為

(3.22)滿足

的相應(yīng)作為m維AR模型階數(shù)的估計(jì)，此時(shí)m維AR模型的一步預(yù)報(bào)誤差方差陣達(dá)最小。四.多維AR模型的定階

2.AIC定階準(zhǔn)則為

(3.23)

其中，滿足

的相應(yīng)作為AIC定階準(zhǔn)則下的m維AR模型的定階。2.AIC定階準(zhǔn)則為

3.BIC定階準(zhǔn)則為

(3.24)滿足

的相應(yīng)作為BIC準(zhǔn)則下的m維AR模型的定階。注：FPE準(zhǔn)則與AIC準(zhǔn)則是一致的。

3.BIC定階準(zhǔn)則為

五.多維AR模型的維數(shù)選取與預(yù)報(bào)1.維數(shù)的選取目的：設(shè)為m維AR序列，考察m維時(shí)序所提供的信息能否用部分分量序列。依據(jù)：前個(gè)分量記為引入，

(3.25)

其中表示陣的左上角階子方陣，表示AR(p)序列的最終預(yù)報(bào)誤差方差陣，它與(3.25)比較，如果：五.多維AR模型的維數(shù)選取與預(yù)報(bào)

(3.26)則認(rèn)為僅考慮前維時(shí)序就夠了。如果，

(3.27)

則應(yīng)考慮用m維時(shí)序。步驟：在m維時(shí)序每去掉一維進(jìn)行比較，由(3.26),(3.27)決定取舍，逐步反復(fù)比較。

2.m維AR(p)序列的預(yù)報(bào)

步最小均方誤差陣的預(yù)報(bào)為：

(3.28)步線性最小均方誤差陣的預(yù)報(bào)為：

(3.29)2.m維AR(p)序列的預(yù)報(bào)

例：序列X1,X2,X3分別表示我國1952年至1988年工業(yè)部門，交通運(yùn)輸部門和商業(yè)部門的產(chǎn)出指數(shù)序列，試建立多維AR模型。估計(jì)：為避免數(shù)據(jù)的劇烈波動，首先對序列進(jìn)行對數(shù)化處理。例：序列X1,X2,X3分別表示我國1952年至1988年

對估計(jì)結(jié)果的幾點(diǎn)注釋：1.考慮到有同樣變量的多個(gè)滯后，可能由于多重共線性，所估計(jì)的每一個(gè)系數(shù)不都是統(tǒng)計(jì)上顯著的，但集體地看這些系數(shù)也許會在標(biāo)準(zhǔn)的F檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上顯著。例如在對LY1的回歸中，僅在滯后1，2的LY1系數(shù)和滯后1期的LY2的系數(shù)是統(tǒng)計(jì)上顯著的而其余的都不是，但總的系數(shù)的F檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)顯著的。對估計(jì)結(jié)果的幾點(diǎn)注釋：

2.最值得關(guān)注的是窗口的最后一部分，其結(jié)果是針對Var系統(tǒng)整體而言，其中包括決定性殘差協(xié)方差、對數(shù)似然函數(shù)值和AIC與SC信息量。本例中AIC函數(shù)當(dāng)P=3時(shí)最小，而SC則在P=1時(shí)最小，故，考慮由LR（似然比）檢驗(yàn)進(jìn)行取舍。原假設(shè)模型的最大滯后期為1，即P=1.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：其中，分別表示p=1,p=3時(shí)模型整體的對數(shù)似然函數(shù)值。在零假設(shè)下，該統(tǒng)計(jì)量漸近分布，