二維空間脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜表達(dá)的FFT模擬

二維空間脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜表達(dá)的FFT模擬高層建筑、風(fēng)力發(fā)電高塔、大跨屋蓋、輸電塔線體系和橋梁等高柔大跨結(jié)構(gòu)對(duì)風(fēng)荷載往往十分敏感。由于風(fēng)荷載中的脈動(dòng)分量具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，將使上述風(fēng)敏感性結(jié)構(gòu)發(fā)生多種形式的風(fēng)致振動(dòng)，甚至可能發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，極大降低結(jié)構(gòu)的安全性，因此結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)分析問題一直備受學(xué)術(shù)界和工程界的關(guān)注。結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析一般可在頻域和時(shí)域內(nèi)進(jìn)行。頻域方法往往較為簡(jiǎn)便高效，遺憾的是它只適用于線性系統(tǒng)［3-4］，而大多數(shù)結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)載條件下將進(jìn)入非線性階段，甚至一些結(jié)構(gòu)在正常工作條件下就已處于復(fù)雜的非線性狀態(tài)，如風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。因此時(shí)域分析方法是結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)與可靠性分析的必然選擇。在時(shí)域分析過程中，脈動(dòng)隨機(jī)風(fēng)場(chǎng)模擬是其中的首要環(huán)節(jié)?？臻g中任意一點(diǎn)的風(fēng)速可分解為沿水平方向的平均風(fēng)速U和沿3個(gè)相互垂直方向的脈動(dòng)風(fēng)速。對(duì)于高柔結(jié)構(gòu)體系，3個(gè)脈動(dòng)分量之間的相關(guān)性可以忽略，因此高柔結(jié)構(gòu)的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬可單獨(dú)考慮為1個(gè)方向的脈動(dòng)分量。本文以風(fēng)力發(fā)電高塔為分析對(duì)象，重點(diǎn)關(guān)注順風(fēng)向分量u。實(shí)測(cè)表明，u同時(shí)隨著時(shí)間和空間位置變化。因此，在風(fēng)場(chǎng)模擬中，通常選取一系列空間點(diǎn)進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程的模擬。這種方法是將脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)描述為隨機(jī)向量過程。為此需要引入互功率譜密度矩陣以刻畫該隨機(jī)向量過程的統(tǒng)計(jì)特征［7-8］?；诖?，可采用譜表達(dá)方法或者線性濾波等方法進(jìn)行脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的時(shí)域模擬。其中，譜表達(dá)方法算法簡(jiǎn)單且結(jié)果精度較高，獲得了廣泛的應(yīng)用［9-10］。該方法在風(fēng)場(chǎng)模擬過程中需要針對(duì)每個(gè)離散頻率點(diǎn)進(jìn)行互功率譜矩陣的Cholesky分解［11-12］，當(dāng)離散空間點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，矩陣分解的效率很低，甚至可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的問題。雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此提出了改進(jìn)措施，如對(duì)互功率譜矩陣進(jìn)行本征正交分解（POD）、引入快速Fourier變換等[13-15]，但仍然難以避免互功率譜矩陣的分解，數(shù)值不穩(wěn)定問題依然存在。事實(shí)上，空間中的風(fēng)場(chǎng)是一個(gè)連續(xù)的“時(shí)-空”隨機(jī)場(chǎng)，由于人為的空間離散，導(dǎo)致了上述互功率譜矩陣分解成為不容回避的問題，且在實(shí)際應(yīng)用中往往需要在獲得時(shí)程之后進(jìn)一步在空間離散點(diǎn)之間進(jìn)行插值從而引入額外的誤差。早在20世紀(jì)70年代，Shinozuka在研究多變量及多維隨機(jī)過程問題時(shí)，將一維空間中的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)處理為一個(gè)二維隨機(jī)過程，并獲得了該二維隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)的表達(dá)形式。該方法在模擬風(fēng)場(chǎng)時(shí)，無(wú)需對(duì)空間進(jìn)行離散，因而避免引入互功率譜矩陣及其Cholesky分解或本征正交分解，表達(dá)形式簡(jiǎn)單。但是，該方法多年來(lái)一直未獲得關(guān)注。近年來(lái)，Benowitz及Benowitz和Deodatis采用該方法,將脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)考慮為沿時(shí)間和空間變化的隨機(jī)波,推導(dǎo)了一維空間中均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜，并利用譜表達(dá)方法和二維FFT技術(shù)對(duì)風(fēng)場(chǎng)進(jìn)行了模擬，具有簡(jiǎn)便、高效、模擬精度高等優(yōu)點(diǎn)。由于FFT技術(shù)不能模擬空間中非等間距分布點(diǎn)的風(fēng)場(chǎng)Peng等在此基礎(chǔ)上引入了基于POD的插值方法，模擬了大跨橋梁水平方向的風(fēng)場(chǎng)。為了降低該方法中隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，劉章軍等引入了標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量集的隨機(jī)函數(shù)表達(dá)，并模擬了沿水平方向分布的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)。此后，Peng等進(jìn)一步引入“演變譜”的概念，將該方法拓展于一維空間非均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬，同時(shí)還引入了基于POD分解的FFT方法，以提高模擬效率。最近，Chen等和Song等將該方法進(jìn)一步拓展至二維空間的均勻與非均勻風(fēng)場(chǎng)模擬，并提出了結(jié)構(gòu)化非均勻離散策略和基于“舍選法”思想的非均勻離散策略，對(duì)波數(shù)-頻率域進(jìn)行非均勻離散以降低計(jì)算量。本文針對(duì)二維空間均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬問題，首先簡(jiǎn)要介紹波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜的推導(dǎo)過程。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步構(gòu)造出基于聯(lián)合譜的脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬的快速Fourier變換形式。應(yīng)用該方法，對(duì)5MW風(fēng)力機(jī)標(biāo)準(zhǔn)模型槳葉所在平面進(jìn)行了均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬，驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性。從圖3-5可以看到，基于樣本估計(jì)獲得的自功率譜密度函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)和相干函數(shù)與目標(biāo)值均吻合良好。可見，基于本文的二維空間均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)模擬方法具有很好的精度，能夠滿足實(shí)際工程需要。從圖3-5也可以看到，本文方法的模擬精度和經(jīng)典方法的模擬精度幾乎相同。為了檢驗(yàn)本文方法的模擬效率，進(jìn)一步比較了經(jīng)典方法和本文方法在模擬風(fēng)力機(jī)風(fēng)輪平面風(fēng)場(chǎng)的耗費(fèi)時(shí)間。對(duì)于該5MW風(fēng)機(jī)的風(fēng)輪平面，大約需要模擬250個(gè)空間點(diǎn)處的脈動(dòng)風(fēng)速?；诮?jīng)典的風(fēng)場(chǎng)模擬方法模擬250個(gè)點(diǎn)處的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，耗時(shí)約為640s。而本文方法實(shí)際上同時(shí)在169萬(wàn)個(gè)點(diǎn)處進(jìn)行了模擬，耗時(shí)僅約為180s。因此，本文方法在模擬大型二維均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)時(shí)效率更高，且避免了可能的數(shù)值奇異，不需要對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行空間插值。同時(shí)值得指出，對(duì)于海上風(fēng)機(jī)槳葉旋轉(zhuǎn)問題，采用波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜可以方便地通過空-時(shí)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)槳葉各點(diǎn)的風(fēng)速采樣，同樣不需要進(jìn)行空間插值。但相應(yīng)的FFT模擬算法尚需進(jìn)一步研究。4結(jié)論脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)的模擬對(duì)于高層、高聳和大跨結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。本文針對(duì)二維空間均勻脈動(dòng)風(fēng)場(chǎng)的模擬問題，基于波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜方法，引入三維快速Fourier變換技術(shù)代替譜表達(dá)方法中的三重求和，極大地提高了計(jì)算效率。通過模擬5MW風(fēng)力機(jī)標(biāo)準(zhǔn)模型風(fēng)輪平面的脈動(dòng)風(fēng)速場(chǎng)，對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)論如下：（1）基于波數(shù)-頻率聯(lián)合功率譜的風(fēng)場(chǎng)模擬方法，不需要對(duì)空間進(jìn)行離散，從而避免引入互功率譜矩陣及其分解，理論基礎(chǔ)嚴(yán)密，實(shí)施更為便捷。（2）基于聯(lián)合功率譜方法的二維空間風(fēng)場(chǎng)模擬需要在