偏態(tài)與峰度的測度課件

第四章數(shù)據(jù)分布特征的測度第四章數(shù)據(jù)分布特征的測度1學習目標掌握眾數(shù)、中位數(shù)的概念、特點及其計算方法；了解四分位數(shù)概念；掌握算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念、特點及計算方法；了解異眾比率、四分位差、全距、方差及標準差的概念、及計算方法；了解偏度和峰度的意義；能夠區(qū)分各種指標的應(yīng)用場合，根據(jù)不同數(shù)據(jù)類型運用不同測度指標。學習目標掌握眾數(shù)、中位數(shù)的概念、特點及其計算方法；2主要內(nèi)容:集中趨勢的測度1離散程度的測度

2偏態(tài)與峰度的測度

3主要內(nèi)容:集中趨勢的測度1離散程度的測度2偏態(tài)與峰3眾數(shù)四分位數(shù)中位數(shù)平均數(shù)偏度峰度方差和標準差全距異眾比率四分位差離散系數(shù)數(shù)據(jù)的特征和測度集中趨勢離散程度分布的形狀眾數(shù)四分位數(shù)中位數(shù)平均數(shù)偏度峰度方差和標準差全距異眾比率四分4第一節(jié)集中趨勢的測度

眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)平均數(shù)第一節(jié)集中趨勢的測度眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)平均數(shù)5●概念在次數(shù)分布數(shù)列中，就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示。

主要用于測度定類數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于作為定序數(shù)據(jù)以及定距和定比數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。一、眾數(shù)一、眾數(shù)6●計算眾數(shù)的方法（1）單項分配數(shù)列的眾數(shù)計算方法

出現(xiàn)次數(shù)最多的那一組變量值就是眾數(shù)

某商場某日連續(xù)銷售15雙皮鞋的尺碼組成情況如下：38，37，38，40，40，41，40，42，44，40，41，39，40，40，43出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是40，40就是某商場某日銷售皮鞋尺碼的眾數(shù)?！裼嬎惚姅?shù)的方法7（2）組距分配數(shù)列的眾數(shù)計算方法第一步：根據(jù)分配數(shù)列次數(shù)最多的組確定為眾數(shù)所在組。第二步：根據(jù)該組與前后相鄰兩組分配次數(shù)的關(guān)系推算眾數(shù)。

（2）組距分配數(shù)列的眾數(shù)計算方法8眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系示意圖

，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)的值。

，眾數(shù)會向其前一組靠，眾數(shù)小于其組中值

，眾數(shù)會向其后一組靠，眾數(shù)大于其組中值

Moff-1f+1MoMo眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系示意圖Mof9其中，L，U分別表示眾數(shù)所在組的下限值和上限值，

i表示眾數(shù)組的組距。

根據(jù)上述關(guān)系，可以利用相似三角形推導(dǎo)出組距分配數(shù)列的眾數(shù)的計算公式如下：下限公式：

上限公式：

其中，L，U分別表示眾數(shù)所在組的下限值和上限值，

i表示眾數(shù)10某鄉(xiāng)3000農(nóng)戶按人均年純收入分組的資料如下表，試計算其眾數(shù)。人均年純收入（元）農(nóng)戶數(shù)2000-30003000-40004000-50005000-60006000-70007000-80008000-90009000-10000240480105060027021012030合計3000某鄉(xiāng)3000農(nóng)戶按人均年純收入分組的資料如下表，試計算其眾數(shù)11從表中可以看出，眾數(shù)所在的組為4000-5000，出現(xiàn)的最多次數(shù)為1050。按下限公式計算眾數(shù)：

按上限公式計算眾數(shù)：從表中可以看出，眾數(shù)所在的組為4000-5000，出現(xiàn)的最多12●眾數(shù)的優(yōu)缺點優(yōu)點①容易理解，②不受極值影響缺點①靈敏度和計算功能差②穩(wěn)定性差③具有不唯一性●眾數(shù)的優(yōu)缺點優(yōu)點13二、中位數(shù)和四分位數(shù)（一）中位數(shù)●概念是指對樣本數(shù)據(jù)由小到大排序后，處于中間位置上的變量值，用表示。是一個位置代表值，它主要用于測度定序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于定類數(shù)據(jù)。二、中位數(shù)和四分位數(shù)（一）中位數(shù)14●計算中位數(shù)的方法

（1）變量值未分組情況下：總體單位數(shù)n是奇數(shù)，中間位置的變量值是中位數(shù)。總體單位數(shù)n是偶數(shù)，中間位置的兩個變量值的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)?！裼嬎阒形粩?shù)的方法15（2）變量值分組情況下：

下限公式：

上限公式：

（2）變量值分組情況下：下限公式：上限公式：16某鄉(xiāng)人均年純收入中位數(shù)計算表如下：年人均純收入（元）農(nóng)戶數(shù)向上累計向下累計2000-30003000-40004000-50005000-60006000-70007000-80008000-90009000-10000240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030合計3000────某鄉(xiāng)人均年純收入中位數(shù)計算表如下：年人均純收入（元）農(nóng)戶數(shù)向17按下限公式計算中位數(shù)：按上限公式計算中位數(shù)：按下限公式計算中位數(shù)：18●優(yōu)缺點

優(yōu)點①容易理解，②不受極值影響③適宜于開口組資料和些不能用數(shù)字測定的事物缺點①靈敏度和計算功能差②間斷數(shù)Me●優(yōu)缺點優(yōu)點19（二）四分位數(shù)

中位數(shù)是從中間點將全部數(shù)據(jù)分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)、四分位數(shù)就是對數(shù)據(jù)集合四等分的三個數(shù)值，其中的第二個四分位數(shù)即為中位數(shù)。例如某數(shù)據(jù)集合有101項數(shù)據(jù)，則第26項、51項、76項三個數(shù)據(jù)可以把數(shù)據(jù)集合分為數(shù)目相等的四個等分，這三個數(shù)就分別是第一、第二、第三四分位數(shù)，其中第一個四分位數(shù)稱為上四分位數(shù)，第三個四分位數(shù)稱為下四分位數(shù)，第二個四分位數(shù)就為中位數(shù)。（二）四分位數(shù)20三、數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)●算術(shù)平均數(shù)主要適用于定居數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，但不適用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)三、數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)●算術(shù)平211、簡單算術(shù)平均數(shù)2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)原始數(shù)據(jù)被分為k組，各組的組中值為各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分別為

1、簡單算術(shù)平均數(shù)原始數(shù)據(jù)被分為k組，各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分22某中學100名高中一年級男生身高（單位：厘米）的頻數(shù)分布如下表。求該校高一男生的平均身高。

身高155～160160～165165～170170～175175～180180～185人數(shù)282836188某中學100名高中一年級男生身高（單位：厘米）的頻數(shù)分布如下23當我們掌握的不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是頻率時，也可直接根據(jù)上式計算均值

請注意！當我們掌握的不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是頻率時，也可直接根24●調(diào)和平均數(shù)——該式與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的計算結(jié)果完全一致。實際上，上式只是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式。

由此可見，調(diào)和平均數(shù)實際上是算術(shù)平均數(shù)的一種變形，二者在本質(zhì)上是一致的，唯一的區(qū)別就是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)。

只適用于定比數(shù)據(jù)，不適用于定距數(shù)據(jù)●調(diào)和平均數(shù)——該式與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的計算結(jié)果完全一致25●幾何平均數(shù)是n項變量值連乘積的n次方根。適合于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度，反應(yīng)現(xiàn)象增長率的平均水平。

因此，凡是現(xiàn)象的變量值的連乘積等于總比率或總速度，都可以使用幾何平均數(shù)來計算平均比率或平均速度。●幾何平均數(shù)因此，凡是現(xiàn)象的變量值的連乘積等于總比率或總速261、簡單幾何平均數(shù)適用于計算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度。1994-1998年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，計算這5年的平均發(fā)展速度。1、簡單幾何平均數(shù)1994-1998年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是272、加權(quán)幾何平均數(shù)對于分組數(shù)列，應(yīng)該采用加權(quán)幾何平均數(shù)計算其平均比率或平均速度。某投資銀行25年的年利率分別是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。2、加權(quán)幾何平均數(shù)某投資銀行25年的年利率分別是：1年3%，28第二節(jié)離散程度的測度離散系數(shù)異眾比率四分位差全距方差和標準差第二節(jié)離散程度的測度離散系數(shù)異眾比率四分位差全距方差和標29一、異眾比率是非眾數(shù)的次數(shù)與全部個案數(shù)目的比率，用表示。異眾比率是對眾數(shù)的補充，異眾比率越小，說明眾數(shù)的代表性越好；反之，異眾比率越大，則說明眾數(shù)的代表性越差。為眾數(shù)的頻數(shù)，為變量值的總頻數(shù)。一、異眾比率是非眾數(shù)的次數(shù)與全部個案數(shù)目的比率，用30二、四分位差●概念也稱為內(nèi)距或四分間距，它是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，是對定序及定序以上測量尺度的變量離散程度的測量指標。

●計算方法

①求出上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的位置

②計算這兩個四分位數(shù)之差二、四分位差●概念31◆

對原始資料調(diào)查11位同學的年齡如下：17歲、18歲、18歲、19歲、19歲、20歲、20歲、21歲、21歲、22歲、22歲。首先，求出Q1和Q3的位置：Q1的位置=

Q3的位置=

其次，從數(shù)序中找出Q1=18，Q3=21則四分位差Q=Q3—Q1=21—18=3◆對原始資料調(diào)查11位同學的年齡如下：17歲、18歲、1832◆對單值分組資料

如下表所示的學生學業(yè)成績：

等級學生人數(shù)向下累計↓向上累計↑甲乙丙丁5580202575305555258025總數(shù)80--Q1位置=

Q3位置=

從累積次數(shù)分布表中，很易看到在這兩個位置上的值分別是丁級和乙級，所以：四分位差Q=乙—丁=兩個等級。

◆對單值分組資料如下表所示的學生學業(yè)成績：等級學生33◆對組距分組資料

Q1和Q3的計算公式為：

其中，L1為Q1屬組之真實下限；L3為Q3屬組之真實下限；f1為Q1屬組之次數(shù)；f3為Q3屬組之次數(shù)；cf1為低于Q1屬組下限之累積次數(shù)；cf3為低于Q3屬組下限之累積次數(shù)；w1為Q1屬組之組距；w3為Q3屬組之組距；n為全部個案數(shù)。某企業(yè)100名職工收入的分布如下：

收入（元）職工數(shù)（人）累計頻數(shù)組中值XfXf100—19910101501500200—29910202502500300—399406035014000400—49920804509000500—5992010055011000合計100◆對組距分組資料Q1和Q3的計算公式為：其中，L1為Q134由上表知：Q1位置=

，所以Q1在300—399組內(nèi)；

Q3位置=，所以Q3在400—499組內(nèi)。

所以四分位差Q=Q3-Q1=162.5由上表知：Q1位置=，所以Q1在300—399組內(nèi)；Q335三、全距全距又稱極差，它是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。

全距是對定序及以上尺度的變量離散程度的測量。極差越小，表明資料越集中，集中趨勢統(tǒng)計量的代表性越高。一般公式為：

某校3個系各選5名同學，參加智力競賽，他們的成績分別如下：中文系：78、79、80、81、82數(shù)學系：65、72、80、88、95英語系：35、78、89、98、100則三個代表隊的全距分別為：中文系：82-78=4（分）數(shù)學系：95-65=30（分）英語系：100-35=65（分）對于組距分組數(shù)據(jù)，全距也可以近似表示為：三、全距全距又稱極差，它是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。全36四、方差及標準差方差和標準差是衡量變異程度最常用的指標，方差通常用表示。標準差又稱均方差，方差的平方根即為標準差，通常用表示，分析定距變量的離散情況，最常用的方法是標準差。

對于未分組數(shù)據(jù)，公式為：對于組距分組數(shù)據(jù)，公式為：四、方差及標準差方差和標準差是衡量變異程度最常用的指標，方差371998年度品牌飛利浦索尼東芝松下LG長虹創(chuàng)維海爾康佳TCL費用24292054168416111607143014301355126911751999年度品牌飛利浦東芝索尼TCLLG松下創(chuàng)維海爾康佳海信費用3415192918181688144013631234108010751023根據(jù)下表中1998年度和1999年度電視機廣告前10名品牌廣告費用統(tǒng)計情況，計算兩個年度廣告費用的標準差。根據(jù)上表可以計算出1998年度和1999年度的平均廣告費用額分別為：1604.4萬元，1606.5萬元。

1998年度的標準差為：=361.7（萬元）同理可以計算1999年度的標準差為674.7萬元。1998年度品牌飛利浦索尼東芝松下LG長虹創(chuàng)維海爾康佳TCL38五、離散系數(shù)離散系數(shù)是標準差與平均數(shù)的比值，用百分比表示。記離散系數(shù)為V，則公式為：離散系數(shù)是一種相對的離散量數(shù)統(tǒng)計量，它使我們能夠?qū)ν豢傮w中的兩種不同的離散量數(shù)統(tǒng)計量進行比較，或者對兩個不同總體中的同一離散量數(shù)統(tǒng)計量進行比較。一項調(diào)查的結(jié)果如下，某市人均月收入為92元，標準差為17元，人均住房面積7．5平方米，標準差為1．8平方米。試比較該市人均收入和人均住房情況哪一個差異程度比較大。由題中數(shù)據(jù)得：人均收入的離散系數(shù)為人均住房面積的離散系數(shù)為可見人均住房面積的差異情況比人均收入的差異情況要大。五、離散系數(shù)離散系數(shù)是標準差與平均數(shù)的比值，用百分比表示。記39第三節(jié)偏態(tài)與峰度的測度一.偏態(tài)及其測度二.峰度及其測度第三節(jié)偏態(tài)與峰度的測度一.偏態(tài)及其測度40偏態(tài)與峰度分布的形狀扁平分布尖峰分布偏態(tài)峰度左偏分布右偏分布與標準正態(tài)分布比較！偏態(tài)與峰度分布的形狀扁平分布尖峰分布偏態(tài)峰度左偏分布右偏分布41◆

偏態(tài)

1.數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度，用表示。2.偏態(tài)系數(shù)=0為對稱分布3.偏態(tài)系數(shù)>0為右偏分布4.偏態(tài)系數(shù)<0為左偏分布5.計算公式為◆偏態(tài)

1.數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測度，用表示。42α3=0α3>0α3<0(對稱分布)正偏態(tài)分布（右）負偏態(tài)分布(左）

α3=0α3>0α3<0(對稱分布)正偏態(tài)分布（右）負偏態(tài)分43偏度值α一般在-3～3之間。3為極度右偏斜-3為極度左偏斜絕大多數(shù)變量分布偏斜程度在-1～1之間偏度值α一般在-3～3之間。44某管理局所屬30個企業(yè)2005年3月份利潤額統(tǒng)計資料如右側(cè)表所示，要求計算該變量數(shù)列的偏斜狀況。

利潤額（萬元）企業(yè)數(shù)f組中值x10—3030—5050—7070—9021013520406080231219604683380-78608-274402808878802672672384160168482284880合計30—8120-153605358560某管理局所屬30個企業(yè)2005年3月份利潤額統(tǒng)計資料如右側(cè)表45根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算得計算結(jié)果表明該管理局所屬企業(yè)利潤額的分布狀況呈輕微負偏分布。根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算得計算結(jié)果表明該管理局所屬企業(yè)利潤額的分布狀46◆

峰度

1.數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度，用表示。2.峰度系數(shù)=3為扁平程度適中3.峰度系數(shù)<3為扁平分布4.峰度系數(shù)>3為尖峰分布5.計算公式為f(X)◆峰度

1.數(shù)據(jù)分布扁平程度的測度，用表示。f(X47根據(jù)偏度例題：某管理局所屬30個企業(yè)2005年3月份利潤額統(tǒng)計資料如右側(cè)表所示，要求計算該變量數(shù)列的峰度。

利潤額（萬元）企業(yè)數(shù)f組中值x10—3030—5050—7070—9021013520406080231219604683380-78608-274402808878802672672384160168482284880合計30—8120-153605358560根據(jù)表中有關(guān)數(shù)據(jù)計算峰度系數(shù)如下：計算結(jié)果表明，上述企業(yè)間利潤額的分布呈平頂峰度，各變量值分布較為均勻。根據(jù)偏度例題：某管理局所屬30個企業(yè)2005年3月份利潤額統(tǒng)48第四章數(shù)據(jù)分布特征的測度第四章數(shù)據(jù)分布特征的測度49學習目標掌握眾數(shù)、中位數(shù)的概念、特點及其計算方法；了解四分位數(shù)概念；掌握算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)的概念、特點及計算方法；了解異眾比率、四分位差、全距、方差及標準差的概念、及計算方法；了解偏度和峰度的意義；能夠區(qū)分各種指標的應(yīng)用場合，根據(jù)不同數(shù)據(jù)類型運用不同測度指標。學習目標掌握眾數(shù)、中位數(shù)的概念、特點及其計算方法；50主要內(nèi)容:集中趨勢的測度1離散程度的測度

2偏態(tài)與峰度的測度

3主要內(nèi)容:集中趨勢的測度1離散程度的測度2偏態(tài)與峰51眾數(shù)四分位數(shù)中位數(shù)平均數(shù)偏度峰度方差和標準差全距異眾比率四分位差離散系數(shù)數(shù)據(jù)的特征和測度集中趨勢離散程度分布的形狀眾數(shù)四分位數(shù)中位數(shù)平均數(shù)偏度峰度方差和標準差全距異眾比率四分52第一節(jié)集中趨勢的測度

眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)平均數(shù)第一節(jié)集中趨勢的測度眾數(shù)中位數(shù)四分位數(shù)平均數(shù)53●概念在次數(shù)分布數(shù)列中，就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示。

主要用于測度定類數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于作為定序數(shù)據(jù)以及定距和定比數(shù)據(jù)集中趨勢的測度值。一、眾數(shù)一、眾數(shù)54●計算眾數(shù)的方法（1）單項分配數(shù)列的眾數(shù)計算方法

出現(xiàn)次數(shù)最多的那一組變量值就是眾數(shù)

某商場某日連續(xù)銷售15雙皮鞋的尺碼組成情況如下：38，37，38，40，40，41，40，42，44，40，41，39，40，40，43出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是40，40就是某商場某日銷售皮鞋尺碼的眾數(shù)?！裼嬎惚姅?shù)的方法55（2）組距分配數(shù)列的眾數(shù)計算方法第一步：根據(jù)分配數(shù)列次數(shù)最多的組確定為眾數(shù)所在組。第二步：根據(jù)該組與前后相鄰兩組分配次數(shù)的關(guān)系推算眾數(shù)。

（2）組距分配數(shù)列的眾數(shù)計算方法56眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系示意圖

，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)的值。

，眾數(shù)會向其前一組靠，眾數(shù)小于其組中值

，眾數(shù)會向其后一組靠，眾數(shù)大于其組中值

Moff-1f+1MoMo眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系示意圖Mof57其中，L，U分別表示眾數(shù)所在組的下限值和上限值，

i表示眾數(shù)組的組距。

根據(jù)上述關(guān)系，可以利用相似三角形推導(dǎo)出組距分配數(shù)列的眾數(shù)的計算公式如下：下限公式：

上限公式：

其中，L，U分別表示眾數(shù)所在組的下限值和上限值，

i表示眾數(shù)58某鄉(xiāng)3000農(nóng)戶按人均年純收入分組的資料如下表，試計算其眾數(shù)。人均年純收入（元）農(nóng)戶數(shù)2000-30003000-40004000-50005000-60006000-70007000-80008000-90009000-10000240480105060027021012030合計3000某鄉(xiāng)3000農(nóng)戶按人均年純收入分組的資料如下表，試計算其眾數(shù)59從表中可以看出，眾數(shù)所在的組為4000-5000，出現(xiàn)的最多次數(shù)為1050。按下限公式計算眾數(shù)：

按上限公式計算眾數(shù)：從表中可以看出，眾數(shù)所在的組為4000-5000，出現(xiàn)的最多60●眾數(shù)的優(yōu)缺點優(yōu)點①容易理解，②不受極值影響缺點①靈敏度和計算功能差②穩(wěn)定性差③具有不唯一性●眾數(shù)的優(yōu)缺點優(yōu)點61二、中位數(shù)和四分位數(shù)（一）中位數(shù)●概念是指對樣本數(shù)據(jù)由小到大排序后，處于中間位置上的變量值，用表示。是一個位置代表值，它主要用于測度定序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于定類數(shù)據(jù)。二、中位數(shù)和四分位數(shù)（一）中位數(shù)62●計算中位數(shù)的方法

（1）變量值未分組情況下：總體單位數(shù)n是奇數(shù)，中間位置的變量值是中位數(shù)?？傮w單位數(shù)n是偶數(shù)，中間位置的兩個變量值的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)。●計算中位數(shù)的方法63（2）變量值分組情況下：

下限公式：

上限公式：

（2）變量值分組情況下：下限公式：上限公式：64某鄉(xiāng)人均年純收入中位數(shù)計算表如下：年人均純收入（元）農(nóng)戶數(shù)向上累計向下累計2000-30003000-40004000-50005000-60006000-70007000-80008000-90009000-10000240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030合計3000────某鄉(xiāng)人均年純收入中位數(shù)計算表如下：年人均純收入（元）農(nóng)戶數(shù)向65按下限公式計算中位數(shù)：按上限公式計算中位數(shù)：按下限公式計算中位數(shù)：66●優(yōu)缺點

優(yōu)點①容易理解，②不受極值影響③適宜于開口組資料和些不能用數(shù)字測定的事物缺點①靈敏度和計算功能差②間斷數(shù)Me●優(yōu)缺點優(yōu)點67（二）四分位數(shù)

中位數(shù)是從中間點將全部數(shù)據(jù)分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)、四分位數(shù)就是對數(shù)據(jù)集合四等分的三個數(shù)值，其中的第二個四分位數(shù)即為中位數(shù)。例如某數(shù)據(jù)集合有101項數(shù)據(jù)，則第26項、51項、76項三個數(shù)據(jù)可以把數(shù)據(jù)集合分為數(shù)目相等的四個等分，這三個數(shù)就分別是第一、第二、第三四分位數(shù)，其中第一個四分位數(shù)稱為上四分位數(shù)，第三個四分位數(shù)稱為下四分位數(shù)，第二個四分位數(shù)就為中位數(shù)。（二）四分位數(shù)68三、數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)●算術(shù)平均數(shù)主要適用于定居數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，但不適用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)三、數(shù)值平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)●算術(shù)平691、簡單算術(shù)平均數(shù)2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)原始數(shù)據(jù)被分為k組，各組的組中值為各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分別為

1、簡單算術(shù)平均數(shù)原始數(shù)據(jù)被分為k組，各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)分70某中學100名高中一年級男生身高（單位：厘米）的頻數(shù)分布如下表。求該校高一男生的平均身高。

身高155～160160～165165～170170～175175～180180～185人數(shù)282836188某中學100名高中一年級男生身高（單位：厘米）的頻數(shù)分布如下71當我們掌握的不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是頻率時，也可直接根據(jù)上式計算均值

請注意！當我們掌握的不是各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)，而是頻率時，也可直接根72●調(diào)和平均數(shù)——該式與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的計算結(jié)果完全一致。實際上，上式只是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式。

由此可見，調(diào)和平均數(shù)實際上是算術(shù)平均數(shù)的一種變形，二者在本質(zhì)上是一致的，唯一的區(qū)別就是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)。

只適用于定比數(shù)據(jù)，不適用于定距數(shù)據(jù)●調(diào)和平均數(shù)——該式與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的計算結(jié)果完全一致73●幾何平均數(shù)是n項變量值連乘積的n次方根。適合于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度，反應(yīng)現(xiàn)象增長率的平均水平。

因此，凡是現(xiàn)象的變量值的連乘積等于總比率或總速度，都可以使用幾何平均數(shù)來計算平均比率或平均速度。●幾何平均數(shù)因此，凡是現(xiàn)象的變量值的連乘積等于總比率或總速741、簡單幾何平均數(shù)適用于計算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度。1994-1998年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，計算這5年的平均發(fā)展速度。1、簡單幾何平均數(shù)1994-1998年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是752、加權(quán)幾何平均數(shù)對于分組數(shù)列，應(yīng)該采用加權(quán)幾何平均數(shù)計算其平均比率或平均速度。某投資銀行25年的年利率分別是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。2、加權(quán)幾何平均數(shù)某投資銀行25年的年利率分別是：1年3%，76第二節(jié)離散程度的測度離散系數(shù)異眾比率四分位差全距方差和標準差第二節(jié)離散程度的測度離散系數(shù)異眾比率四分位差全距方差和標77一、異眾比率是非眾數(shù)的次數(shù)與全部個案數(shù)目的比率，用表示。異眾比率是對眾數(shù)的補充，異眾比率越小，說明眾數(shù)的代表性越好；反之，異眾比率越大，則說明眾數(shù)的代表性越差。為眾數(shù)的頻數(shù)，為變量值的總頻數(shù)。一、異眾比率是非眾數(shù)的次數(shù)與全部個案數(shù)目的比率，用78二、四分位差●概念也稱為內(nèi)距或四分間距，它是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，是對定序及定序以上測量尺度的變量離散程度的測量指標。

●計算方法

①求出上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的位置

②計算這兩個四分位數(shù)之差二、四分位差●概念79◆

對原始資料調(diào)查11位同學的年齡如下：17歲、18歲、18歲、19歲、19歲、20歲、20歲、21歲、21歲、22歲、22歲。首先，求出Q1和Q3的位置：Q1的位置=

Q3的位置=

其次，從數(shù)序中找出Q1=18，Q3=21則四分位差Q=Q3—Q1=21—18=3◆對原始資料調(diào)查11位同學的年齡如下：17歲、18歲、1880◆對單值分組資料

如下表所示的學生學業(yè)成績：

等級學生人數(shù)向下累計↓向上累計↑甲乙丙丁5580202575305555258025總數(shù)80--Q1位置=

Q3位置=

從累積次數(shù)分布表中，很易看到在這兩個位置上的值分別是丁級和乙級，所以：四分位差Q=乙—丁=兩個等級。

◆對單值分組資料如下表所示的學生學業(yè)成績：等級學生81◆對組距分組資料

Q1和Q3的計算公式為：

其中，L1為Q1屬組之真實下限；L3為Q3屬組之真實下限；f1為Q1屬組之次數(shù)；f3為Q3屬組之次數(shù)；cf1為低于Q1屬組下限之累積次數(shù)；cf3為低于Q3屬組下限之累積次數(shù)；w1為Q1屬組之組距；w3為Q3屬組之組距；n為全部個案數(shù)。某企業(yè)100名職工收入的分布如下：

收入（元）職工數(shù)（人）累計頻數(shù)組中值XfXf100—19910101501500200—29910202502500300—399406035014000400—49920804509000500—5992010055011000合計100◆對組距分組資料Q1和Q3的計算公式為：其中，L1為Q182由上表知：Q1位置=

，所以Q1在300—399組內(nèi)；

Q3位置=，所以Q3在400—499組內(nèi)。

所以四分位差Q=Q3-Q1=162.5由上表知：Q1位置=，所以Q1在300—399組內(nèi)；Q383三、全距全距又稱極差，它是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。

全距是對定序及以上尺度的變量離散程度的測量。極差越小，表明資料越集中，集中趨勢統(tǒng)計量的代表性越高。一般公式為：

某校3個系各選5名同學，參加智力競賽，他們的成績分別如下：中文系：78、79、80、81、82數(shù)學系：65、72、80、88、95英語系：35、78、89、98、100則三個代表隊的全距分別為：中文系：82-78=4（分）數(shù)學系：95-65=30（分）英語系：100-35=65（分）對于組距分組數(shù)據(jù)，全距也可以近似表示為：三、全距全距又稱極差，它是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。全84四、方差及標準差方差和標準差是衡量變異程度最常用的指標，方差通常用表示。標準差又稱均方差，方差的平方根即為標準差，通常用表示，分析定距變量的離散情況，最常用的方法是標準差。

對于未分組數(shù)據(jù)，公式為：對于組距分組數(shù)據(jù)，公式為：四、方差及標準差方差和標準差是衡量變異程度最常用的指標，方差851998年度品牌飛利浦索尼東芝松下LG長虹創(chuàng)維海爾康佳TCL費用24292054168416111607143014301355126911751999年度品牌飛利浦東芝索尼TCLLG松下創(chuàng)維海爾康佳海信費用3415192918181688144013631234108010751023根據(jù)下表中1998年度和1999年度電視機廣告前10名品牌廣告費用統(tǒng)計情況，計算兩個年度廣告費用的標準差。根據(jù)上表可以計算出1998年度和1999年度的平均廣告費用額分別為：1604.4萬元，1606.5萬元。

1998年度的標準差為：=361.7（萬元）同理可以計算1999年度的標準差為