高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料.第一章 集合與常用邏輯用語

高三課標版數(shù)學(xué)(文)第一章集合與常用邏輯用語第一節(jié)集合的概念與運算最新考綱：1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；5.能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關(guān)系及運算．1．元素與集合(1)集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．問題探究：集合{?}是空集嗎？它與{0}，?有什么區(qū)別？提示：集合{?}不是空集，因為它含有元素?，同理，{0}也不是空集，因為它含有元素0，但{?}與{0}不同，因為它們的元素不同，?是不含任何元素的集合．2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素A?B真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}4．集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B．補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)集合{x|y＝eq\r(x－1)}與集合{y|y＝eq\r(x－1)}是同一個集合．()(2)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.()(3)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1，2}，且A?B，則實數(shù)m＝1或m＝eq\f(1,2).()(4)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n－1，非空真子集的個數(shù)是2n－2.()(5)若A＝{0，1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，則A?B.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．(2015·福建卷)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0，1，2}，則M∩N等于()A．{0} B．{1}C．{0，1，2} D．{0，1}[解析]因為M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0，1，2}，所以M∩N＝{0，1}，故選D.[答案]D3．(2016·北京東城期末統(tǒng)測)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}，則A∪B＝()A．(0，1) B．(1，2)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]由已知條件可得B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}＝{x|x>1或x<－1}，∴A∪B＝{x|0<x<2}∪{x|x>1或x<－1}＝{x|x>0或x<－1}，故選C.[答案]C4．(2015·濟南3月模擬)已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，設(shè)U＝R，則A∩(?UB)等于()A．[3，＋∞) B．(－1，0]C．(3，＋∞) D．[－1，0][解析]解不等式|x－1|<2得－1<x<3，所以A＝{x|－1<x<3}．要使函數(shù)y＝lg(x2＋x)有意義，則x2＋x>0，解得x<－1或x>0，所以B＝{x|x<－1或x>0}，?UB＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩(?UB)＝(－1，0]，故選B.[答案]B5．(2015·東北三省四市第二次聯(lián)考)設(shè)集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個數(shù)為________．[解析]∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6個元素．[答案]6考點一集合的基本概念1．掌握集合的概念，關(guān)鍵是把握集合中元素的特性，要特別注意集合中元素的互異性，一方面利用集合中元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確．2．用描述法表示集合時，首先應(yīng)清楚集合的類型和元素的性質(zhì)．加強對集合中元素的特征的理解，互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．(1)(2015·新課標全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．5 B．4C．3 D．2(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．[解題指導(dǎo)]切入點：集合中元素的特征；關(guān)鍵點：集合中元素的互異性．[解析](1)集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，當n＝0時，3n＋2＝2，當n＝1時，3n＋2＝5，當n＝2時，3n＋2＝8，當n＝3時，3n＋2＝11，當n＝4時，3n＋2＝14，∵B＝{6，8，10，12，14}，∴A∩B中元素的個數(shù)為2，選D.(2)因為3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.當m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3，此時集合A中有重復(fù)元素3，所以m＝1不符合題意，舍去；當2m2＋m＝3時，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，因為當m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)≠3，符合題意．所以m＝－eq\f(3,2).[答案](1)D(2)－eq\f(3,2)(1)用描述法表示集合時要把握元素的特征，分清點集、數(shù)集；(2)要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最容易被忽視，因此要對計算結(jié)果進行檢驗，防止所得結(jié)果違背集合中元素的互異性．對點訓(xùn)練1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4[解析]由題意得，ax2＋ax＋1＝0只有一個實數(shù)解，當a＝0時，方程無實數(shù)解；當a≠0時，則Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合題意舍去)，故選A.[答案]A2．已知集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，則下列結(jié)論正確的是()A．x＋y∈A B．x－y∈AC．xy∈A D．eq\f(x,y)∈A[解析]由集合A＝{t2＋s2|t，s∈Z}(即A中元素均可以表示為兩個整數(shù)平方和的形式)，可得1＝02＋12，2＝12＋12，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3?A，故A“x＋y∈A”不成立；又1－2＝－1?A，故B“x－y∈A”不成立；又eq\f(1,2)?A，故D“eq\f(x,y)∈A”不成立．故選C.[答案]C3．A、B是兩個集合，A＝{y|y＝x2－2}，B＝{－3，1，y}，其中y∈A，則y的取值集合是________．[解析]因為B是一個集合，由集合元素的互異性可知y≠－3且y≠1，A是函數(shù)y＝x2－2的值域[－2，＋∞)，從而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．[答案]{y|y≥－2且y≠1}考點二集合間的基本關(guān)系判斷集合間關(guān)系往往轉(zhuǎn)化為元素與集合間關(guān)系，對描述法表示的集合要抓住元素及屬性，可將元素列舉出來或通過元素特征，對連續(xù)數(shù)集和抽象集合，常借助數(shù)形結(jié)合的思想(借助數(shù)軸，韋恩圖及函數(shù)圖象等)解決．空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性．(1)(2015·皖南八校聯(lián)考)已知R表示實數(shù)集，集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，則下列結(jié)論正確的是()A．M?N B．M??RNC．?RM?N D．?RN?M(2)(2015·鄭州模擬)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．[解題指導(dǎo)]切入點：子集的定義；關(guān)鍵點：含有字母參數(shù)時，應(yīng)對?關(guān)注．[解析](1)集合N＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3或x<－1}，所以?RN＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M??RN，故選B.(2)當m＋1>2m－1，即m<2時，B＝?，滿足B?A；若B≠?，且滿足B?A，如圖所示，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3.))∴2≤m≤3.故m<2或2≤m≤3，即m的取值范圍為{m|m≤3}．[答案](1)B(2){m|m≤3}(1)判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系；(2)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．解決這類問題常常是合理利用數(shù)軸、Venn圖來幫助分析；(3)B為A的子集，不要漏掉B＝?時的情況．對點訓(xùn)練1．(2015·重慶卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，則()A．A＝B B．A∩B＝?C．AB D．BA[解析]∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1?B，∴BA.故選D.[答案]D2．(2016·合肥模擬)已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，若S?P，則實數(shù)a的取值組成的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,2))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2)))[解析]由題意得，P＝{－3，2}．當a＝0時，S＝?，滿足S?P；當a≠0時，方程ax＋1＝0的解為x＝－eq\f(1,a)，為滿足S?P，可使－eq\f(1,a)＝－3，或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)，或a＝－eq\f(1,2).故所求集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2))).故選D.[答案]D3．(2016·南充調(diào)研)已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，則實數(shù)a－b的取值范圍是________．[解析]集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因為A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即實數(shù)a－b的取值范圍是(－∞，－2]．[答案](－∞，－2]考點三集合的基本運算在進行集合的運算時，先看清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉(zhuǎn)化求解，必要時充分利用數(shù)軸、韋恩圖、圖象等工具使問題直觀化，并會運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，使運算更加直觀、簡潔．韋恩圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心．(1)(2015·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，則集合A∩(?UB)＝()A．{3} B．{2，5}C．{1，4，6} D．{2，3，5}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，則A∩B＝________．[解題指導(dǎo)]切入點：集合的交、并、補的概念；關(guān)鍵點：化簡集合，準確運算．[解析](1)因為?UB＝{2，5}，所以A∩(?UB)＝{2，5}．故選B.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝－x2＋2x＋6＝－(x－1)2＋7≤7，∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．[答案](1)B(2){y|－1≤y≤7}[拓展探究](1)在例3(2)中，若集合A變?yōu)锳＝{x|y＝x2－2x，x∈R}，其他條件不變，求A∩B.(2)在例3(2)中，若集合A、B變?yōu)椋篈＝{(x，y)|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，求A∩B.[解](1)因A中元素是函數(shù)自變量，則A＝R，而B＝{y|y≤7}，則A∩B＝{y|y≤7}．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x，,y＝－x2＋2x＋6))?x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.于是，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))故A∩B＝{(3，3)，(－1，3)}．考點四與集合有關(guān)的新定義問題與集合有關(guān)的新定義問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運用，在新給出的運算法則的前提下，將題目中的條件轉(zhuǎn)化成符合新的運算法則的形式，是解答此類問題的關(guān)鍵．分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中，是破解新定義型試題的關(guān)鍵所在．(2016·太原模擬)設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，則A?B＝()A．{0}∪(2，＋∞) B．[0，1)∪[2，＋∞)C．(0，1)∪(2，＋∞) D．{0}∪[2，＋∞)[解題指導(dǎo)]切入點：A?B的定義；關(guān)鍵點：從定義出發(fā)解決問題．[解析]由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(0，2)．又由新定義A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，結(jié)合數(shù)軸得A?B＝{0}∪[2，＋∞)．故選D.[答案]D解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運算．對點訓(xùn)練1．(2016·大連質(zhì)檢)設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P且x?Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}[解析]由log2x<1，解得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，解得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由題意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．故選B.[答案]B2．對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義運算(用⊕表示運算符號)：當m，n都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時，m⊕n＝m＋n；當m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10，3⊕7＝3＋7＝10，3⊕4＝3×4＝12.在上述定義中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________個．[解析]m，n同奇同偶時有11組：(1，11)，(2，10)，…，(11，1)；m，n一奇一偶時有4組：(1，12)，(12，1)，(3，4)，(4，3)．[答案]15————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．集合中的元素的三個特征，特別是無序性和互異性在解題時經(jīng)常用到．解題后要進行檢驗，要重視符號語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化．2．對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號．3．對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖．[易錯點睛]1．解題中要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素(集合是點集、數(shù)集還是圖形集)．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關(guān)注對空集的討論，防止漏解．3．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系．4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心．課時跟蹤訓(xùn)練(一)一、選擇題1．(2015·山東卷)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，則A∩B＝()A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)[解析]由B＝{x|(x－1)(x－3)<0}＝{x|1<x<3}，A＝{x|2<x<4}，得A∩B＝(2，3)，故選C.[答案]C2．(2015·四川卷)設(shè)集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，則A∪B＝()A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}[解析]利用數(shù)軸知A∪B＝{x|－1<x<3}．故選A.[答案]A3．(2015·石家莊一模)若已知M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5，7}，P＝M∩N，則集合P的子集個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5[解析]∵P＝{1，3}，∴集合P的子集個數(shù)為4，故選C.[答案]C4．(2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，則(?RP)∩Q＝()A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2][解析]先化簡集合P，再應(yīng)用集合的補集與交集的定義進行計算．由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以?RP＝{x|0<x<2}＝(0，2)．又Q＝{x|1<x≤2}＝(1，2]，所以(?RP)∩Q＝(1，2)．故選C.[答案]C5．(2015·寧波二模)設(shè)全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|－3<x<－1}B．{x|－3<x<0}C．{x|－1≤x<0}D．{x|x<－3}[解析]因為A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，?UB＝{x|x≥－1}，陰影部分為A∩(?UB)，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x<0}，故選C.[答案]C6．(2015·山西四校聯(lián)考)設(shè)U＝R，A＝{x|y＝xeq\r(x)}，B＝{y|y＝－x2}，則A∩(?UB)＝()A．? B．RC．{x|x>0} D．{0}[解析]∵A＝{x|y＝xeq\r(x)}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x2}＝{y|y≤0}，∴?UB＝{y|y>0}，從而有A∩(?UB)＝{x|x>0}．故選C.[答案]C7．(2016·唐山統(tǒng)考)設(shè)全集U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x＋2)·(x－1)<0}，則()A．A∩B＝? B．A∪B＝UC．?UB?A D．?UA?B[解析]∵B＝{x|(x＋2)(x－1)<0}，∴B＝{x|－2<x<1}，∵A＝{x|x≥1}，∴A∩B＝?.故選A.[答案]A8．(2015·臨沂二檢)已知集合A＝{1，3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3[解析]由A∪B＝A，可得B?A，則m＝3或m＝eq\r(m)，得m＝3或0或1.經(jīng)檢驗m＝1時，集合A＝{1，3，1}，B＝{1，1}，顯然不成立．綜上有m＝0或3，故選B.[答案]B9．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，x<y，x＋y∈A}，則集合B中的元素個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5[解析]當x＝1時，y＝2或3或4；當x＝2時，y＝3，所以集合B中的元素個數(shù)為4.故選C.[答案]C10．(2015·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(二))已知非空集合A，B，全集U＝A∪B，集合M＝A∩B，集合N＝(?UB)∪(?UA)，則()A．M∪N＝M B．M∩N＝?C．M＝N D．M?N[解析]因為本題涉及的集合間的運算以及關(guān)系較為抽象，可以考慮利用Venn圖輔助解題．作出滿足題意的Venn圖，如圖所示，容易知道M∩N＝?，故選B.[答案]B二、填空題11．已知集合A＝{0，2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0，1，2，4}，則實數(shù)a的值為________．[解析]若a＝4，則a2＝16?(A∪B)，所以a＝4不符合要求；若a2＝4，則a＝±2，又－2?(A∪B)，所以a＝2.[答案]212．(2016·武漢調(diào)研)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}．若B?A，則實數(shù)a的取值集合為________．[解析]因為A＝{1，－1}，當a＝0時，B＝?，適合題意；當a≠0時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))?A，則eq\f(1,a)＝1或－1，解得a＝1或－1，所以實數(shù)a的取值集合為{0，1，－1}．[答案]{－1，0，1}13．(2015·長沙模擬)已知集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若A∩B＝?，則a的取值范圍是__________．[解析]①當A中的元素為非正數(shù)時，A∩B＝?，即方程x2＋(a＋2)x＋1＝0只有非正數(shù)解，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（a＋2）2－4≥0，,a＋2≥0，))解得a≥0；②當A＝?時，Δ＝(a＋2)2－4<0，解得－4<a<0.綜上，a>－4.所以a的取值范圍是(－4，＋∞)．[答案](－4，＋∞)三、解答題14．(2015·杭州學(xué)君中學(xué)模擬)已知集合A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中m≠0，且A＝B，求q的值．[解]由A＝B可知，(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋d＝mq，,m＋2d＝mq2，))或(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋d＝mq2，,m＋2d＝mq.))解(1)得q＝1，解(2)得q＝1或q＝－eq\f(1,2).又因為當q＝1時，m＝mq＝mq2，不滿足集合中元素的互異性，應(yīng)舍去，所以q＝－eq\f(1,2).15．(2016·江蘇四市調(diào)研)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0，3]，求實數(shù)m的值；(2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍．[解]由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0，3]，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3.))∴m＝2.(2)?RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，∵A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.16．(2016·長春實驗中學(xué)檢測)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－5,x＋1)≤0))))，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)當m＝3時，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求實數(shù)m的值．[解]由eq\f(x－5,x＋1)≤0，且x＋1≠0，解得－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(1)當m＝3時，B＝{x|－1<x<3}，則?RB＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)因為A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此時B＝{x|－2<x<4}，符合題意，故實數(shù)m的值為8.第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件最新考綱：1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．1．命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的語句叫作命題．其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若綈p，則綈q逆否命題若綈q，則綈p(2)四種命題間的逆否關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．問題探究：一個命題的“否命題”與“否定”是同一個命題嗎？提示：不是．命題的否命題既否定命題的條件又否定命題的結(jié)論，而命題的否定僅是否定命題的結(jié)論．3．充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)如果p?q，q?p，則p是q的充要條件．在判斷充分條件與必要條件時，一定要注意弄清問題的設(shè)問方式，“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”兩種說法的含義是不同的．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命題．()(2)命題“α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的否命題是“若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1”．()(3)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．()(4)設(shè)a，b∈R，則“a＋b>4”是“a>2且b>2”的充分條件．()(5)給定兩個命題p，q.若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為()A．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為真命題B．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為真命題C．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為假命題D．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為假命題[解析]根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D，因為x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故選C.[答案]C3．“a＝1”是“關(guān)于x的方程x2－2x＋a＝0有實數(shù)根”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]方程x2－2x＋a＝0有實數(shù)根的充要條件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.因此，“a＝1”是“關(guān)于x的方程x2－2x＋a＝0有實數(shù)根”的充分不必要條件，故選A.[答案]A4．已知a，b∈R.下列四個條件中，使a>b成立的必要而不充分的條件是()A．a(chǎn)>b－1 B．a(chǎn)>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b[解析]因為a>b?a>b－1，但a>b－1推不出a>b，故A是a>b的必要不充分條件；B是a>b的充分不必要條件；C是a>b的既不充分也不必要條件；D是a>b的充要條件，故選A.[答案]A5．(2016·河北正定中學(xué)月考)設(shè)A：eq\f(x,x－1)<0，B：0<x<m，若B是A成立的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是__________．[解析]eq\f(x,x－1)<0?0<x<1.由已知，得(0，1)(0，m)，所以m>1.[答案](1，＋∞)考點一命題的關(guān)系及命題真假的判斷1．在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一個命題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的“逆命題”、“否命題”和“逆否命題”．2．對于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié)論分清，再結(jié)合所涉及的知識才能正確地判斷命題的真假．原命題與其逆否命題同真同假．(1)命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是()A．若x2≥1，則x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，則x2<1C．若x>1或x<－1，則x2>1D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1(2)(2016·合肥質(zhì)檢)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假[解題指導(dǎo)]切入點：四種命題的概念；關(guān)鍵點：分清命題的條件和結(jié)論．[解析](1)命題“若x2<1，則－1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤－1，則x2≥1”，故選D.(2)原命題正確，所以逆否命題正確．模相等的兩復(fù)數(shù)不一定互為共軛復(fù)數(shù)，如z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，同時因為逆命題與否命題互為逆否命題，所以逆命題和否命題錯誤．故選B.[答案](1)D(2)B(1)判斷命題的四種形式的關(guān)鍵是準確把握命題的條件和結(jié)論，然后根據(jù)命題的四種形式進行判斷即可；(2)互為逆否命題的兩個命題是等價命題，即同為真或同為假．根據(jù)這個結(jié)論我們可以把一些難于判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷，其中原命題和其逆否命題、其逆命題和其否命題都互為逆否命題．對點訓(xùn)練1．下列命題中為真命題的是()A．命題“若x>1，則x2>1”的否命題B．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題D．命題“若x2>1，則x>1”的逆否命題[解析]對于選項A，命題“若x>1，則x2>1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，易知當x＝－2時，x2＝4>1，故選項A為假命題；對于選項B，命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題為“若x>|y|，則x>y”，分析可知選項B為真命題；對于選項C，命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，易知當x＝－2時，x2＋x－2＝0，故選項C為假命題；對于選項D，命題“若x2>1，則x>1”的逆否命題為“若x≤1，則x2≤1”，易知當x＝－2時，x2＝4>1，故選項D為假命題．綜上可知，選B.[答案]B2．命題“函數(shù)f(x)，g(x)定義在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，則h(x)為偶函數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]由f(x)，g(x)均為奇函數(shù)可得h(x)＝f(x)·g(x)為偶函數(shù)，反之則不成立，如h(x)＝x2是偶函數(shù)，但函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,x2＋1)，g(x)＝x2＋1都不是奇函數(shù)，故其逆命題不正確，其否命題也不正確，只有其逆否命題正確．故選B.[答案]B3．若“x∈[2，5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命題，則x的取值范圍是________．[解析]根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2或x>5，,1≤x≤4，))解得1≤x<2，故x∈[1，2)．[答案][1，2)考點二充分條件與必要條件的判斷1．利用定義判斷(1)若p?q，則p是q的充分條件；(2)若q?p，則p是q的必要條件；(3)若p?q且q?p，則p是q的充要條件；(4)若p?q且qp，則p是q的充分不必要條件；(5)若pq且q?p，則p是q的必要不充分條件；(6)若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件．2．利用集合判斷記條件p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則：若A?B，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若A?B，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若AB，且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．利用p?q與綈q?綈p，q?p與綈p?綈q，p?q與綈q?綈p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．(1)(2015·重慶卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件(2)(2015·四川卷)設(shè)a，b為正實數(shù)，則“a>b>1”是“l(fā)og2a>log2b>0”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件[解題指導(dǎo)]切入點：充分、必要條件的概念；關(guān)鍵點：從集合的角度進行判斷．[解析](1)由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件，故選A.(2)因為y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a>b>1?log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“l(fā)og2a>log2b>0”的充要條件．[答案](1)A(2)A充要條件的判斷就是對原命題與逆命題真假的判斷．原命題為真，則條件是結(jié)論的充分條件，結(jié)論是條件的必要條件；原命題為假，則條件不是結(jié)論的充分條件，結(jié)論也不是條件的必要條件．對點訓(xùn)練1．若集合A＝{0，m2}，B＝{1，2}，則“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]因為m＝1時，A＝{0，1}，A∪B＝{0，1，2}，所以充分性成立；反之，若A∪B＝{0，1，2}，則A＝{0，1}或A＝{0，2}，當m2＝1時，m＝1或m＝－1；當m2＝2時，m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2)，所以必要性不成立，即“m＝1”是“A∪B＝{0，1，2}”的充分不必要條件，故選A.[答案]A2．給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]據(jù)已知可得綈peq\o(\s\up1(),\s\do11())q，q?綈p，因為原命題與其逆否命題等價，故有綈qeq\o(\s\up1(),\s\do11())p，p?綈q，故有p是綈q的充分不必要條件，故選A.[答案]A3．在△ABC中，“sinA>eq\f(\r(3),2)”是“A>eq\f(π,3)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]△ABC中，sinA>eq\f(\r(3),2)得，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，故sinA>eq\f(\r(3),2)是A>eq\f(π,3)的充分條件；當A＝eq\f(5,6)π時，sinA＝eq\f(1,2)<eq\f(\r(3),2)，故“sinA>eq\f(\r(3),2)”是“A>eq\f(π,3)”的充分不必要條件，故選A.[答案]A考點三充分條件與必要條件的應(yīng)用1．充分條件、必要條件和充要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，結(jié)合具體問題進行判斷的步驟是：第一步，分清條件是什么，結(jié)論是什么；第二步，嘗試用條件推結(jié)論，用結(jié)論推條件；第三步，確定條件是結(jié)論的什么條件．要證明命題的條件是充要條件，既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立，證明原命題是證明條件的充分性，證明逆命題是證明條件的必要性．2．利用條件的充分性或必要性求參數(shù)的值(或范圍)充分條件、必要條件和充要條件揭示了命題的條件和結(jié)論之間的從屬關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系．對于條件或結(jié)論含有參數(shù)的命題，可先將其轉(zhuǎn)化為最簡形式，再借助于韋恩圖或數(shù)軸的直觀性列方程或不等式，即可求出參數(shù)的值或取值范圍．若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．(1)a<0，b<0的一個必要條件為()A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)－b>0C.eq\f(a,b)>1 D．eq\f(a,b)<－1(2)(2015·臨沂模擬)已知p：－2≤x≤1，q：(x－a)(x－a－4)>0，若p是q成立的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解題指導(dǎo)]切入點：充分、必要條件的判斷；關(guān)鍵點：弄清條件、結(jié)論．[解析](1)若a<0，b<0，則一定有a＋b<0，故選A.(2)由q：(x－a)(x－a－4)>0，得x<a或x>a＋4.設(shè)p：A＝{x|－2≤x≤1}，q：B＝{x|x<a或x>a＋4}，∵p是q成立的充分不必要條件，∴AB.∴a＋4<－2或a>1，即a<－6或a>1.[答案](1)A(2)(－∞，－6)∪(1，＋∞)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．[拓展探究]在本例(2)中，若p：x≤－2或x≥1，p是q成立的必要不充分條件，其他條件不變，試確定a的取值范圍．[解]由q：(x－a)(x－a－4)>0，得x<a或x>a＋4.設(shè)p：A＝{x|x≤－2或x≥1}，q：B＝{x|x<a或x>a＋4}，∵p是q的必要不充分條件，∴BA.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－2，,a＋4≥1，))解得－3≤a≤－2.————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．命題真假的判斷(1)對于一些簡單命題，若判斷其為真命題需推理證明．若判斷其為假命題只需舉出一個反例．(2)對于復(fù)合命題的真假判斷應(yīng)利用真值表．(3)也可以利用“互為逆否命題”的等價性，判斷其逆否命題的真假．2．充分、必要條件的判定方法(1)定義法(2)傳遞法(3)集合法：若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則①若A?B，則p是q的充分條件；②若B?A，則p是q的必要條件；③若A＝B，則p是q的充要條件；(4)等價命題法：利用原命題和逆否命題是等價的這個結(jié)論，有時可以準確快捷地得出結(jié)果，是反證法的理論基礎(chǔ)．[易錯點睛]1．當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提．2．判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫成“若p則q”的形式．3．判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言．課時跟蹤訓(xùn)練(二)一、選擇題1．(2015·安徽卷)設(shè)p：1<x<2，q：2x>1，則p是q成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]q：2x>1?x>0，且(1，2)?(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要條件．故選A.[答案]A2．(2015·湖南卷)設(shè)A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]結(jié)合韋恩圖可知，A∩B＝A，得A?B，反之，若A?B，即集合A為集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A?B”的充要條件，故選C.[答案]C3．(2015·德州一模)命題“若a<0，則一元二次方程x2＋x＋a＝0有實根”與其逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)是()A．0 B．2C．4 D．不確定[解析]當a<0時，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有實根，故原命題為真；根據(jù)原命題與逆否命題真假一致，可知其逆否命題為真；逆命題為：“若方程x2＋x＋a＝0有實根，則a<0”，因為方程有實根，所以判別式Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq\f(1,4)，顯然a<0不一定成立，故逆命題為假；根據(jù)否命題與逆命題真假一致，可知否命題為假．故正確的命題有2個．故選B.[答案]B4．(2016·沈陽質(zhì)量監(jiān)測(一))已知x∈R，則“x2－3x>0”是“x－4>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]注意到x2－3x>0?x<0或x>3，x－4>0?x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反過來，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分條件，故選B.[答案]B5．(2016·江西贛州摸底)若a，b∈R，則“|a－b|＝|a|＋|b|”是“ab<0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]依題意，注意到由|a－b|＝|a|＋|b|不能得知ab<0，如取a＝0，b＝3；反過來，由ab<0可得|a－b|＝|a|＋|b|.因此，“|a－b|＝|a|＋|b|”是“ab<0”的必要不充分條件，故選B.[答案]B6．(2015·東北三校二模)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1][解析]q：eq\f(3,x＋1)<1?eq\f(3,x＋1)－1<0?eq\f(2－x,x＋1)<0?(x－2)·(x＋1)>0?x<－1或x>2.因為p是q的充分不必要條件，所以k>2，故選B.[答案]B7．設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件[解析]若存在集合C使得A?C，B??UC，則可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由Venn圖(如圖)可知，存在A＝C，同時滿足A?C，B??UC.故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件．故選C.[答案]C8．(2015·江西九校聯(lián)考(二))設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1，則原命題與其逆命題的真假情況是()A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真C．原命題真，逆命題真 D．原命題假，逆命題假[解析]原命題的逆否命題：若a，b都小于1，則a＋b<2，是真命題，所以原命題為真命題；原命題的逆命題：若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2，如a＝3，b＝－3滿足條件a，b中至少有一個不小于1，但此時a＋b＝0，故逆命題為假命題，故選A.[答案]A9．使函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3a－1）x＋4a，x≤1，,logax，x>1，))在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)的一個充分不必要條件是()A.eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3) B．0<a<eq\f(1,3)C.eq\f(1,7)<a<eq\f(1,3) D．0<a<eq\f(1,7)[解析]由f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,0<a<1，,7a－1≥0，))解得eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3)，所求應(yīng)該是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(1,3)))的真子集，故選C.[答案]C10．已知a、b∈R，那么“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]將ab＋1>a＋b變形為(a－1)(b－1)>0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<1，,b<1.))在平面直角坐標系中分別作出滿足條件a2＋b2<1和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,b>1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<1，,b<1，))的點(a，b)，若分別構(gòu)成集合P和Q.P是圓內(nèi)的點，Q是直線x＝1和y＝1兩直線把平面分成四部分中右上和左下對角區(qū)域的部分，顯然有P是Q的真子集，所以選C.[答案]C二、填空題11．命題“全等三角形一定相似”的逆否命題為________．[解析]首先將原命題寫成“若p則q”的形式，其中p：兩個三角形全等，q：兩個三角形相似，則其逆否命題為“若綈q則綈p”．[答案]若兩個三角形不相似，則它們一定不全等12．(2016·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)，則“a＝4”是“函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)”的________條件．(選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要條件”、“既不充分也不必要”)[解析]若a＝4時，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，而當函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)時，只需a≤4即可，故“a＝4”是函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)的充分不必要條件．[答案]充分不必要13．(2016·煙臺調(diào)研)已知p：eq\f(1,x－1)<1，q：x2＋(q－1)x－a>0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]由題意知，p：x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，q：(x－1)(x＋a)>0，由p是q的充分不必要條件可知p中不等式的解集是q中不等式的解集的真子集，從而有－a＝1或1<－a<2，所以實數(shù)a的取值范圍是(－2，－1]．[答案](－2，－1]三、解答題14．設(shè)命題p：(4x－3)2≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．[解]設(shè)A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵q是p的必要不充分條件，即AB，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1.))故所求實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).15．求證：方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實根的充要條件是0<m<eq\f(1,3).[證明](1)充分性：∵0<m<eq\f(1,3)，∴方程mx2－2x＋3＝0的判別式Δ＝4－12m>0，且eq\f(3,m)>0，∴方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實根．(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實根，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m>0，,\f(3,m)>0，))∴0<m<eq\f(1,3).綜合(1)(2)可知，方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不相等的實根的充要條件是0<m<eq\f(1,3).16．(2016·保定一中月考)已知全集U＝R，非空集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－（3a＋1）)<0))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－a2－2,x－a)<0)))).(1)當a＝eq\f(1,2)時，求(?UB)∩A；(2)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．[解](1)當a＝eq\f(1,2)時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x－\f(5,2))<0))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(5,2)))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－\f(9,4),x－\f(1,2))<0))))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<\f(9,4)))))，∴?UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,2)或x≥\f(9,4))))).∴(?UB)∩A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)≤x<\f(5,2))))).(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．①當3a＋1>2，即a>eq\f(1,3)時，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分條件，∴A?B.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a＋1≤a2＋2，))即eq\f(1,3)<a≤eq\f(3－\r(5),2).②當3a＋1＝2，即a＝eq\f(1,3)時，A＝?，不符合題意；③當3a＋1<2，即a<eq\f(1,3)時，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A?B得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤3a＋1，,a2＋2≥2，))∴－eq\f(1,2)≤a<eq\f(1,3).綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3－\r(5),2))).第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞最新考綱：1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的且、或、非叫作邏輯聯(lián)結(jié)詞．(2)命題p∧q、p∨q、綈p的真假判斷pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，用“?”表示；含有全稱量詞的命題叫作全稱命題．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，用“?”表示；含有存在量詞的命題叫作特稱命題．3．含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)問題探究：同一個全稱命題或特稱命題的表述是否唯一？提示：不唯一．如?x∈R，x2≥0，對任一實數(shù)x有x2≥0.或：對所有的實數(shù)x，都有x2≥0等．1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)命題p∧q為假命題，則命題p、q都是假命題．()(2)全稱命題一定含有全稱量詞，特稱命題一定含有存在量詞．()(3)命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2<0”．()(4)?x0∈M，p(x0)與?x∈M，綈p(x)的真假性相反．()(5)“有些偶數(shù)能被3整除”的否定是“所有的偶數(shù)都不能被3整除”．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·合肥一中摸底)已知命題p：對任意x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域為(0，＋∞)，得p為真命題；而“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，故q為假命題．根據(jù)復(fù)合命題的真假規(guī)律，可得p∧(綈q)為真命題，故選D.[答案]D3．(2016·北京海淀期末)已知命題p：?x∈R，x2＋x－1<0，則綈p為()A．?x∈R，x2＋x－1>0B．?x∈R，x2＋x－1≥0C．?x?R，x2＋x－1≥0D．?x?R，x2＋x－1>0[解析]含有存在量詞的命題的否定，需將存在量詞改為全稱量詞，并將結(jié)論否定，即綈p為?x∈R，有x2＋x－1≥0，故選B.[答案]B4．(2015·河北唐山高三模擬)若命題“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[2，6] B．[－6，－2]C．(2，6) D．(－6，－2)[解析]由命題?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0為假命題得Δ＝m2－4(2m－3)≤0，即2≤m≤6，選A.[答案]A5．(2015·長沙模擬一)已知命題p：m∈R，且m＋1≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q為假命題，則m的取值范圍是________．[解析]先求p∧q是真命題時m的取值范圍，再求其補集．命題p是真命題時，m≤－1，命題q是真命題時，m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命題時，－2<m≤－1，故p∧q為假命題，則m的取值范圍是m≤－2或m>－1.[答案]m≤－2或m>－1考點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題及其真假判斷若要判斷一個含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據(jù)“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判斷即可．在生活中，我們經(jīng)常使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”，但表達的含義與用法和數(shù)學(xué)中的含義與用法不盡相同，要結(jié)合實例進行比較、體會．(1)已知命題p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q)”是假命題；③命題“(綈p)∨q”是真命題；④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題．其中正確的是()A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④(2)(2016·東北師大附中期末考試)已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若x>y，則x2>y2.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧綈q；④(綈p)∨q中，真命題是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④[解題指導(dǎo)]切入點：判斷p，q的真假；關(guān)鍵點：根據(jù)真值表判斷．[解析](1)命題p、q均為真命題，則綈p、綈q為假命題．從而結(jié)論①②③④均正確，故選D.(2)當x>y時，－x<－y，故命題p為真命題，從而綈p為假命題．當x>y時，x2>y2不一定成立，故命題q為假命題，從而綈q為真命題．由真值表知，①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③p∧綈q為真命題；④(綈p)∨q為假命題．故選C.[答案](1)D(2)C“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命題真假的判斷步驟(1)確定命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中命題p、q的真假；(3)確定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命題的真假．對點訓(xùn)練1．(2016·山東棗莊第一學(xué)期期中)如果命題“p∨q”與命題“綈p”都是真命題，則()A．命題q一定是真命題B．命題p不一定是假命題C．命題q不一定是真命題D．命題p與命題q真假相同[解析]由于綈p是真命題，則命題p是假命題．又p∨q是真命題，則命題q是真命題．故選A.[答案]A2．(2015·安徽六校聯(lián)考)已知命題p：“a＝1是x>0，x＋eq\f(a,x)≥2的充分必要條件”；命題q：“存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0－2>0”，下列命題正確的是()A．命題“p∧q”是真命題B．命題“(綈p)∧q”是真命題C．命題“p∧(綈q)”是真命題D．命題“(綈p)∧(綈q)”是真命題[解析]因為當x>0，a>0時，x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(x·\f(a,x))＝2eq\r(a)，由2eq\r(a)≥2可得a≥1，所以命題p為假命題；因為當x＝2時，x2＋x－2＝22＋2－2＝4>0，所以命題q為真命題．所以(綈p)∧q為真命題，故選B.[答案]B3．(2016·吉林長春二調(diào))已知命題p：函數(shù)y＝2－ax＋1的圖象恒過定點(1，2)；命題q：若函數(shù)y＝f(x－1)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則下列命題為真命題的是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧q D．p∨(綈q)[解析]函數(shù)y＝2－ax＋1的圖象可看出是先把函數(shù)y＝ax的圖象向左平移一個單位，再將所得圖象沿x軸作翻折，最后再將所得圖象向上平移2個單位得到，而y＝ax的圖象恒過(0，1)，所以y＝2－ax＋1的圖象恒過(－1，1)，因此p為假命題；若函數(shù)f(x－1)為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于y軸對稱，f(x)的圖象即f(x－1)向左平移一個單位得到，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，因此q為假命題．故p∨(綈q)為真命題，故選D.[答案]D考點二全(特)稱命題的否定1．全稱命題(特稱命題)的否定與命題的否定有著一定的區(qū)別，全稱命題(特稱命題)的否定是其全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定，而命題的否定則直接否定結(jié)論即可．從命題形式上看，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．2．常見詞語的否定形式有根據(jù)命題的含義確定是否為全(特)稱命題是解決這類問題的關(guān)鍵．(1)(2015·湖北卷)命題“?x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．?x?(0，＋∞)，lnx≠x－1C．?x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．?x0?(0，＋∞)，lnx0＝x0－1(2)(2016·合肥調(diào)研)命題“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．?x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0[解題指導(dǎo)]切入點：確定量詞；關(guān)鍵點：根據(jù)含有一個量詞的命題的否定形式進行判斷．[解析](1)該命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞，等號改為不等號即可，故選A.(2)把全稱量詞“?”改為存在量詞“?”，并把結(jié)論加以否定，故選C.[答案](1)A(2)C全稱命題和特稱命題的否定具有特定的形式：全稱命題“?x∈M，p(x)”的否定形式為“?x∈M，綈p(x)”，特稱命題“?x∈M，q(x)”的否定形式為“?x∈M，綈q(x)”．對點訓(xùn)練1．命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是()A．對任意實數(shù)x，都有x>1B．不存在實數(shù)x，使x≤1C．對任意實數(shù)x，都有x≤1D．存在實數(shù)x，使x≤1[解析]特稱命題的否定為全稱命題，所以“存在”對“任意”，“x>1”對“x≤1”．故選C.[答案]C2．(2016·鄭州預(yù)測(二))已知命題p：?x>2，x3－8>0，那么綈p是()A．?x≤2，x3－8≤0 B．?x>2，x3－8≤0C．?x>2，x3－8≤0 D．?x≤2，x3－8≤0[解析]依題意，綈p是“?x>2，x3－8≤0”，故選B.[答案]B3．(2015·河南適應(yīng)性測試)命題“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|>3”的否定是________．[解析]命題“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|>3”的否定是“對任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”．[答案]“對任意的x∈R，都有|x－1|－|x＋1|≤3”考點三利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍對含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題中參數(shù)討論問題，應(yīng)先求出簡單命題成立的參數(shù)范圍，再根據(jù)復(fù)合命題構(gòu)成形式求出復(fù)合命題成立的條件．“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題．(1)已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若p∨q是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)(2015·東北三校聯(lián)考)設(shè)p：關(guān)于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函數(shù)y＝eq\r(ax2－x＋a)的定義域為R.若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解題指導(dǎo)]切入點：當p，q為真時，求出實數(shù)a的范圍；關(guān)鍵點：對復(fù)合命題的真假情況分類討論．[解析](1)若命題p是真命題，則Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命題q是真命題，則－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.因為p或q是真命題，分為p真q真，p真q假，p假q真，所以a∈R，即a的取值范圍是(－∞，＋∞)．(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知命題p為真時，實數(shù)a的取值集合為P＝{a|0<a<1}；對于命題q：函數(shù)的定義域為R的充要條件是ax2－x＋a≥0恒成立．當a＝0時，不等式為－x≥0，解得x≤0，顯然不成立；當a≠0時，不等式恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－1）2－4a2≤0，))解得a≥eq\f(1,2).綜上，命題q為真時，a的取值集合為Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2))))).由“p∨q是真命題，p∧q是假命題”，可知命題p，q一真一假，當p真q假時，a的取值范圍是P∩(?RQ)＝{a|0<a<1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(1,2)))))；當p假q真時，a的取值范圍是(?RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2)))))＝{a|a≥1}．綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[答案](1)(－∞，＋∞)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求解參數(shù)取值范圍的基本步驟可分為三步：第一步，先求出相關(guān)命題為真時所對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍；第二步，根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，判斷兩個命題的真假；第三步，根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補集運算求解參數(shù)的取值范圍．[拓展探究](1)在本例(1)條件下，若p∧q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．(2)在本例(1)條件下，若p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．(3)把本例(2)中的“p∨q是真命題，p∧q是假命題”改為“綈p是真命題，p∨q是真命題”，結(jié)果如何？[解](1)∵p∧q為真，∴p和q均為真，∴a的取值范圍為[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)∵p∧q為真命題時，a的取值范圍為[－12，－4]∪[4，＋∞)，∴p∧q為假命題時，a的取值范圍為(－∞，－12)∪(－4，4)．(3)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知命題p為真時，實數(shù)a的取值集合為P＝{a|0<a<1}；對于命題q：函數(shù)的定義域為R的充要條件是ax2－x＋a≥0恒成立．當a＝0時，不等式為－x≥0，解得x≤0，顯然不成立；當a≠0時，不等式恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝（－1）2－4a×a≤0，))解得a≥eq\f(1,2).綜上，命題q為真時，a的取值集合為Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,2))))).由“綈p是真命題，p∨q是真命題”，可知命題p假q真．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a≥\f(1,2)，))得a≥1.故實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)．————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．把握含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的形式，特別是字面上未出現(xiàn)“或”、“且”時，要結(jié)合語句的含義理解．2．要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，再對照否定結(jié)構(gòu)去寫，并注意與否命題區(qū)別；否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．[易錯點睛]1．p∨q為真命題，只需p、q有一個為真即可；p∧q為真命題，必須p、q同時為真．2．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定；非p或非q.3．“否命題”是對原命題“若p，則q”的條件和結(jié)論分別加以否定而得到的命題，它既否定其條件，又否定其結(jié)論；“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論．課時跟蹤訓(xùn)練(三)一、選擇題1．(2015·鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測)下列命題中的假命題是()A．?x∈R，x2≥0 B．?x∈R，2x－1>0C．?x∈R，lgx<1 D．?x∈R，sinx＋cosx＝2[解析]對于D選項，sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\