小學(xué)奧數(shù)匯編教材 第十九講 統(tǒng)計(jì)與概率

特級(jí)教師小學(xué)奧數(shù)匯編教材第十九講統(tǒng)計(jì)與概率在我們?nèi)粘Ｉ钪?，通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，我們可以了解某一情況，作出某些決定，如根據(jù)商場(chǎng)銷售量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，決定如何進(jìn)貨；也可以由部分個(gè)體的情況了解總體的情況，如通過(guò)抽樣調(diào)查了解我國(guó)人口狀況等；還可以對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的某些現(xiàn)象作出判斷，如評(píng)判游戲活動(dòng)的公平性、獲獎(jiǎng)的可能性等；還可以對(duì)一些事物的未來(lái)狀況作出預(yù)測(cè)，如預(yù)測(cè)次日下雨的可能性等．在數(shù)學(xué)內(nèi)部，概率統(tǒng)計(jì)與其他分支的結(jié)合，使數(shù)學(xué)科學(xué)出現(xiàn)了許多新進(jìn)展，如具有廣泛應(yīng)用性的蒙特卡羅方法等．在其他領(lǐng)域，概率統(tǒng)計(jì)也發(fā)揮著日益重要的作用，如考古工作者可以通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析一件文物的年代；文學(xué)工作者可以通過(guò)兩本著作中部分詞語(yǔ)的使用頻率分析作者的寫(xiě)作風(fēng)格，并判別它們是否出自同與作者；自然科學(xué)工作者可以通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)分析，提出一些理論假設(shè)，以解釋一些自然現(xiàn)象．一、基本概念在統(tǒng)計(jì)里，我們把所要考察對(duì)象的全體叫做總體，其中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本的容量?？傮w中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，把樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。二、概率的定義隨著人們遇到問(wèn)題的復(fù)雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點(diǎn)，特別是對(duì)于同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產(chǎn)生了種種悖論。另一方面，隨著經(jīng)驗(yàn)的積累，人們逐漸認(rèn)識(shí)到，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示一定的穩(wěn)定性。R.von米澤斯把這個(gè)固定數(shù)定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。A.H.柯?tīng)柲缏宸蛴?933年給出了概率的公理化定義。普遍認(rèn)為，人們對(duì)將要發(fā)生的機(jī)率總有一種不好的感覺(jué)，或者說(shuō)不安全感，俗稱「點(diǎn)背」，下面列出的幾個(gè)例子可以形象描述人們有時(shí)對(duì)機(jī)率存在的錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)：■1.六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13983816種可能性（參閱組合數(shù)學(xué)），普遍認(rèn)為，如果每周都買一個(gè)不相同的號(hào)，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后獲得頭等獎(jiǎng)。事實(shí)上這種理解是錯(cuò)誤的，因?yàn)槊看沃歇?jiǎng)的機(jī)率是相等的，中獎(jiǎng)的可能性并不會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的推移而變大?！?.生日悖論：在一個(gè)足球場(chǎng)上有23個(gè)人（2X11個(gè)運(yùn)動(dòng)員和1個(gè)裁判員），不可思議的是，在這23人當(dāng)中至少有兩個(gè)人的生日是在同一天的機(jī)率要大于50％?！?.輪盤(pán)游戲：在游戲中玩家普遍認(rèn)為，在連續(xù)出現(xiàn)多次紅色后，出現(xiàn)黑色的機(jī)率會(huì)越來(lái)越大。這種判斷也是錯(cuò)誤的，即出現(xiàn)黑色的機(jī)率每次是相等的，因?yàn)榍虮旧聿](méi)有“記憶”，它不會(huì)意識(shí)到以前都發(fā)生了什么，其機(jī)率始終是18/37。■4.三門(mén)問(wèn)題：在電視臺(tái)舉辦的猜隱藏在門(mén)后面的汽車的游戲節(jié)目中，在參賽者的對(duì)面有三扇關(guān)閉的門(mén)，其中只有一扇門(mén)的后面有一輛汽車，其它兩扇門(mén)后是山羊。游戲規(guī)則是，參賽者先選擇一扇他認(rèn)為其後面有汽車的門(mén)，但是這扇門(mén)仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著主持人打開(kāi)沒(méi)有被參賽者選擇的另外兩扇門(mén)中後面有山羊的一扇門(mén)，這時(shí)主持人問(wèn)參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門(mén)，以使得贏得汽車的機(jī)率更大一些？正確結(jié)果是，如果此時(shí)參賽者改變主意而選擇另一扇關(guān)

閉著的門(mén)，他贏得汽車的機(jī)率會(huì)增加一倍。概率的基本含義事件總數(shù)與滿足條件的事件簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)圖表..【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1.扇形的統(tǒng)計(jì)圖表2.用排除法解決概率問(wèn)題例1】（難度等級(jí)※）在多家商店中調(diào)查某商品的價(jià)格，所得的數(shù)據(jù)如下（單位：元）2521232527292528302926242527262224252628請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表價(jià)格范圍商品數(shù)所占百分?jǐn)?shù)20.5~22.522.5~24.524.5~26.526.5~28.528.5~30.5合計(jì)分析與解】?jī)r(jià)格范圍商品數(shù)所占百分?jǐn)?shù)20.5~22.5212210%22.5~24.523242415%24.5~26.5252525262625252640%26.5~28.52728272820%28.5~30.529293015%合計(jì)100%【例2】（難度等級(jí)探）在一只口袋里裝著2個(gè)紅球，3個(gè)荒丘和4個(gè)黑球。從口袋中任取一個(gè)球，請(qǐng)問(wèn)：（1）這個(gè)球是紅球的概率有多少？（2）這個(gè)球是黃球或者是黑球的概率有多少？（3）這個(gè)是綠球的概率有多少？不是綠球的概率又有多少?【分析與解】口袋里一共有9個(gè)球，2個(gè)紅球，隨機(jī)取有2/9的概率取到紅球這個(gè)球不是是紅球就是黃球或者黑球，所以取到黃球或者黑球的概率是7/9，由于沒(méi)有綠球，所以取到旅求概率是0，不是綠球的概率是1【例3】（難度等級(jí)探※）一只普通的骰子有6個(gè)面，分別寫(xiě)有1、2、3、4、5、6。擲出這個(gè)骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6.假設(shè)你將某一個(gè)骰子連續(xù)投擲了9次，每次的結(jié)果都是1點(diǎn)朝上。那么第十次投擲后，朝上的面上的點(diǎn)數(shù)恰好是奇數(shù)的概率是多少？【分析與解】本題要注意當(dāng)你投擲9次之后的結(jié)果其實(shí)對(duì)第十次是沒(méi)有影響的，所以第十次投擲只要投擲出1,3,5就滿足條件，而總共有1?6六種可能，所以概率是1/2.【例4】（難度等級(jí)※）冬冬與阿奇做游戲：由冬冬拋出3枚硬幣，如果拋出的結(jié)果中，有2枚或2枚以上的硬幣正面朝上，冬冬就獲勝；否則阿奇獲勝。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)游戲公平嗎？【分析與解】冬冬獲勝的概率為，兩枚或者兩枚以上硬幣正面朝上，兩枚硬幣正面朝上的概率為從三次投擲中選兩次正面朝上有3種可能，每種的概率是3個(gè)1/2連乘。等于3/8，三枚硬幣都正面朝上概率為1/8。所以冬冬獲勝的概率為1/2.也就是阿奇獲勝概率也是1/2，所以游戲是公平的。【例5】（難度等級(jí)※※）有黑桃、紅桃、方塊、草花這4種花色的撲克牌各2張，從這8張牌中任意取出2張。請(qǐng)問(wèn)：這2張撲克牌花色相同的概率是多少？【分析與解】先從8張牌中選2張牌有28種選法。然后滿足條件的選法只有4種，即4種不同的花色，所以這兩張牌花色相同的概率是4/28=1/7【例6】（難度等級(jí)※※）小悅從1、2、3、4、5這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，冬冬從2、3、4、5、6、7這6個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)。選出的兩個(gè)數(shù)中，恰好有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的概率是多少？【分析與解】小悅從1、2、3、4、5這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，有5種選法冬冬從2、3、4、5、6、7這6個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，有6種許選法所以總共的組合有5X6=30種不同選法，其中滿足倍數(shù)關(guān)系的分別有小悅?cè)?時(shí)，有6種小悅?cè)?時(shí)，有3種,小悅?cè)?時(shí)，有2種,小悅?cè)?時(shí)，有2種，小悅?cè)?時(shí)，有1種，一共有14種.所以滿足條件的概率是14/30=7/15【例7】（難度等級(jí)探※※）一直口袋里裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，另一只口袋里裝有4個(gè)黑球和4個(gè)白球。從兩只口袋里各取出一個(gè)球。請(qǐng)問(wèn)：取出的兩個(gè)球顏色相同的概率是多少？【分析與解】總共的取法數(shù)是8X8=64種滿足條件的選法有當(dāng)選出都是黑球5X4=20種當(dāng)選出都是白球3X4=12種一共有32種滿足條件所以兩個(gè)球顏色相同概率是32/64=1/2【例8】（難度等級(jí)探※※）阿奇一次指出8枚硬幣，結(jié)果恰有4枚硬幣正面朝上的概率是多少？有超過(guò)4枚的硬幣正面朝上的概率是多少？【分析與解】投擲8枚硬幣，恰有4次正面朝上，應(yīng)該從8次中選擇4次正面朝上，這四次朝上的概率是4個(gè)1/2的聯(lián)乘，這時(shí)不要忘記剩下的4次一定是反面朝上，也是4個(gè)1/2的連乘，所以恰好4枚硬幣朝上的概率是35/128。利用對(duì)稱的思想，有超過(guò)4枚硬幣正面朝上的概率應(yīng)該和有少于4枚硬幣朝上的概率相同，所以有超過(guò)4枚硬幣正面朝上的概率為（1-35/128）22=93/256【例9】（難度等級(jí)探※※）在一次軍事演習(xí)中，進(jìn)攻方?jīng)Q定對(duì)目標(biāo)進(jìn)行兩次炮擊。第一炮命中的概率是0.6，第二炮命中的概率是0.8.請(qǐng)問(wèn)：兩炮都集中目標(biāo)的概率是多少？恰好有一炮擊中目標(biāo)的概率是多少？?jī)膳诙嘉磽糁心繕?biāo)的概率是多少？【分析與解】?jī)膳诙紦糁心繕?biāo)的概率是同時(shí)都擊中時(shí)的0.6X0.8=0.48恰有一炮擊中目標(biāo)，第一炮擊中第二炮沒(méi)擊中，等于0.6X0.2=0.12第二炮擊中第一炮沒(méi)擊中，等于0.4X0.8=0.32恰有一炮擊中概率為0.44【例10】（難度等級(jí)※※）張先生每天早晨上班時(shí)有1/3的概率碰到堵車。在不堵車的時(shí)候，張先生按時(shí)到達(dá)單位的概率為0.9，吃到的概率為0.1；而堵車的時(shí)候，張先生上班遲到的概率高達(dá)0.8，按時(shí)到達(dá)的概率只有0.2.請(qǐng)問(wèn)：張先生上班遲到的概率是多少？【分析與解】張先生遲到的概率分為不堵車時(shí)，2/3X0.1=1/15堵車時(shí)，1/3X0.8=4/15所以遲到的概率是1/3【例11】（難度等級(jí)※※）口袋里裝有100張卡片，分別寫(xiě)著1,2,3,……，100.從中任意抽出一張。請(qǐng)問(wèn)：（1）抽出的卡片上的數(shù)正好是37的概率是多少？（2）抽出的卡片上的數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？（3）抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率是多少？（4）抽出的卡片上的數(shù)是101的概率是多少？（5）抽出的卡片上的數(shù)小于200的概率是多少？【分析與解】隨機(jī)抽出有100種可能，所以是37的概率是1/100100種有50個(gè)偶數(shù)，所以是偶數(shù)概率是50/100=1/2100以內(nèi)有25個(gè)質(zhì)數(shù)，所以是質(zhì)數(shù)的概率是1/4抽出卡片不可能是101，所以概率為0抽出所有數(shù)都小于200，所以概率為1.【例12】（難度等級(jí)※※※）在標(biāo)準(zhǔn)英文字典中,由2個(gè)不同字母組成的單詞一共有55個(gè).如果從26個(gè)字母中任取2個(gè)不同的排列起來(lái),那么恰好能拍成一個(gè)單詞的概率是多少？【分析與解】從26個(gè)自母中任選2個(gè)字母進(jìn)行排列有650種不同的選法，滿足條件的只有26種，所有恰好構(gòu)成一個(gè)單詞的概率是55/650=11/130【例13】（難度等級(jí)※※探）媽媽去家樂(lè)福購(gòu)物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴蓮大降價(jià)。于是她決定從這4中水果中任選一種買回家。爸爸下班時(shí)路過(guò)集貿(mào)市場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)有蘋(píng)果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售他也決定任選一種買回家。請(qǐng)問(wèn)：他們買了不同的水果的概率是多少？【分析與解】媽媽爸爸都買香蕉的概率是1/4X1/5=1/20都買橘子的概率是1/4X1/5=1/20都買葡萄的概率是1/4X1/5=1/20。所以他們買的水果不同的概率為1-3/20=17/20【例14】（難度等級(jí)※※探）小悅擲出了2枚骰子，擲出的2個(gè)數(shù)字之和恰好等于10的概率有多少？【分析與解】擲出2個(gè)骰子總情況有6X6=36種，其中和為10的有第一次擲出4，第二次擲出6第一次擲出5，第二次擲出5第一次擲出6，第二次擲出4，所以滿足條件情況只有三種，所以恰好為10的概率是1/12?！纠?5】（難度等級(jí)※※海）盒子里裝著20支圓珠筆，其中有5支紅色的，7支藍(lán)色的，8支黑色的。從中隨意抽出4支，每種顏色的筆都被抽出的概率是多少？【分析與解】20支筆從中選出4支筆，總共4845種不同選法，其中3種顏色都有的情況是，一：2支紅色1支藍(lán)色1支黑色10X7X8=560種，二:1支紅色2支藍(lán)色1支黑色5X21X8=840種，

三：1支紅色1支藍(lán)色2支黑色5X7X28=980種。所以一共有560+840+980=2380種滿足條件的概率是2380/4845=28/57【例16】(難度等級(jí)探※※)CD⑵用下圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)進(jìn)行“配紫色”游戲.CD⑵分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，則可配成紫色，此時(shí)小剛得1分，否則小明得1分.這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？若你認(rèn)為不公平，如何修改規(guī)則，才能使該游戲?qū)﹄p方公平呢？【分析與解】為了保證自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針落在每個(gè)區(qū)域的可能性相同，我們把轉(zhuǎn)盤(pán)(1)按逆時(shí)針把紅色區(qū)域等分成四部分，分別記作紅1、紅2、紅3、紅4，轉(zhuǎn)盤(pán)(2)也類似地把藍(lán)色區(qū)域分別記作藍(lán)1、藍(lán)2、藍(lán)3、藍(lán)4．接下來(lái)，我們就可以用列表法計(jì)算分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色可配成紫色的概率．列表如下：if-------一一一第二個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色第一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色藍(lán)1藍(lán)2藍(lán)3藍(lán)4紅色紅1VVVVX紅2VVVVX紅3VVVVX紅4VVVVX藍(lán)色XXXXV注：“V”表示可配成紫色，“X”表示不可配成紫色.178分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，可配成紫色的概率為25，不可配成紫色的概率為25?

因此，這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平，對(duì)小明不利.小明和小剛改用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做“配紫色”游戲．配成紫色，小剛得1分．否則小明得1分，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？【例17】(難度等級(jí)※※探)黃藍(lán)藍(lán)【例17】(難度等級(jí)※※探)黃藍(lán)藍(lán)紅【分析與解】由上面兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做“配紫色”游戲，等可能的結(jié)果列表如下：-第二個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色第一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)出的顏色--紅黃藍(lán)紅（紅，紅）（紅，黃）（紅，藍(lán)）藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，黃）（藍(lán)，藍(lán)）2142由上面的表格可得：配成紫色的概率為：,配不成紫色的概率為：,因此游戲不公6363平，對(duì)小剛不利．【例18】（難度等級(jí)探※※）轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，每次指針都指向一個(gè)數(shù)字.兩次所指的數(shù)字之積是質(zhì)數(shù)，游戲者A得10分；乘積不是質(zhì)數(shù)，游戲者B得1分.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平，你愿意做游戲者A還是游戲者B?為什么？你能設(shè)法修改游戲規(guī)則使得它對(duì)游戲雙方都公平嗎？【分析與解】根據(jù)題意，我們可以用列表法計(jì)算出兩次指針?biāo)笖?shù)字之積是質(zhì)數(shù)的概率和積不是質(zhì)數(shù)的概率．列表如下：第二次轉(zhuǎn)動(dòng)指針?biāo)笖?shù)第一次轉(zhuǎn)動(dòng)指、、、針?biāo)笖?shù)12345611X11X21X31X41X51X622X12X22X32X42X52X633X13X23X33X43X53X644X14X24X34X44X54X6

55X15X25X35X45X55X666X16X26X36X46X56X6由表格可求得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，指針?biāo)笖?shù)字之積是質(zhì)數(shù)的概率為一二-，指針?biāo)笖?shù)字之305366積不是質(zhì)數(shù)的概率為至二6-游戲顯然不公平?當(dāng)然愿做A,因?yàn)锳得高分的可能性較大.若使游戲公平，游戲規(guī)則應(yīng)修改為：兩次所指的數(shù)字之積是質(zhì)數(shù)，則游戲者A得5分；乘積不是質(zhì)數(shù)，游戲者B得1分.這樣對(duì)游戲者雙方都公平.【例19】（難度等級(jí)探※※※）用轉(zhuǎn)盤(pán)（如圖）做游戲，每次游戲游戲者需交游戲費(fèi)1元.游戲時(shí)，游戲者先押一個(gè)數(shù)字，然后快速地轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，若轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)父褡又械臄?shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則游戲者將獲得獎(jiǎng)勵(lì)36元.該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊幔哭D(zhuǎn)動(dòng)多少次后，游戲者平均每次將獲利或損失多少元？分析與解】，押錯(cuò)的在此游戲中，指針落在37個(gè)區(qū)域的可能性是一樣的，而游戲者押中的概率為，押錯(cuò)的概率為37>概率為37>3637每押中一次獲得獎(jiǎng)金（36—1=）35元，押錯(cuò)損失1元，因此轉(zhuǎn)動(dòng)多次后，游戲者平均每次將1361獲利35X37TX37=-37（元）-因此，該游戲?qū)τ螒蛘卟焕?，游戲者平均每次損失3-元.【例20】（難度等級(jí)※※※※）小悅與阿奇比賽下軍棋，兩人水平相當(dāng)，兩人約定塞7局，先贏4局者勝，現(xiàn)在已經(jīng)比了三局，小悅勝了2局，阿奇勝了1局。請(qǐng)問(wèn)：小悅獲得最后勝利的概率有多少？【分析與解】小悅已經(jīng)勝了2局，如果5局結(jié)束比賽，則第4第5局小悅都勝利了，概率為1/4如果6局結(jié)束比賽，則4，5局中阿奇勝了1局，第六局小悅勝，概率為2X1/2X1/2X1/2=1/4

如果進(jìn)行了7場(chǎng)比賽，則4，5，6局比賽中小悅只贏了一局，第7局小悅勝利3X1/2X1/2X1/2X1/2=3/16所以小悅總共獲勝的概率是11/16總囲【作業(yè)】總囲【作業(yè)】甲乙兩人在靶場(chǎng)射擊。甲擊中目標(biāo)的概率是0.6，乙擊中目標(biāo)的概率是0.7.兩人朝著同一個(gè)目標(biāo)各射擊一次，結(jié)果目標(biāo)被擊中了。請(qǐng)問(wèn)：恰好是甲擊中目標(biāo)而乙沒(méi)有擊中的概率是多少？【答案】9/44口袋里裝有3張卡片，一張一面紅一面黃，一張一面黃一面藍(lán)，一張一面藍(lán)一面紅。張莉從口袋中隨意摸出其中一張，發(fā)現(xiàn)朝向自己的一面恰好是紅色。請(qǐng)問(wèn)，此時(shí)這張卡片的另一面是藍(lán)色的概率是多少？【答案】1/2口袋里裝有4張卡片，兩張兩面全黑，一張兩面全白，一張一面黑一面白。張莉從口袋中隨意摸出其中一張，發(fā)現(xiàn)朝向自己的一面恰好是黑色。請(qǐng)問(wèn)，此時(shí)這張卡片的另一面是還是黑色的概率是多少？【答案】4/56名小朋友在操場(chǎng)上做游戲，他們被老師分成三組，每組2個(gè)人。請(qǐng)問(wèn)：趙倩和孫莉恰好分到了