2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)10.2《雙曲線》達(dá)標(biāo)練習(xí)（教師版）

2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)10.2《雙曲線》達(dá)標(biāo)練習(xí)一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3已知雙曲線9y2－m2x2=1(m＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為eq\f(1,5)，則m=()A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案為：D解析：由題意知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，一條漸近線的方程為mx－3y=0，則頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×3)),\r(m2＋9))=eq\f(1,5)，解得m=4.LISTNUMOutlineDefault\l3已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)=1(b＞0)的離心率等于eq\f(\r(3),3)b，則該雙曲線的焦距為()A.2eq\r(5)B.2eq\r(6)C.6D.8【答案解析】答案為：D解析：設(shè)雙曲線的焦距為2c.由已知得eq\f(c,2)=eq\f(\r(3),3)b，又c2=4＋b2，解得c=4，則該雙曲線的焦距為8.LISTNUMOutlineDefault\l3已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)=1B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)=1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)=1D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)=1【答案解析】答案為：A解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25，,1＝\f(b,a)×2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝5，))∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)=1.LISTNUMOutlineDefault\l3已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4，0)，(4，0)，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)=1B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)=1C.eq\f(x2,10)－eq\f(y2,6)=1D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,10)=1【答案解析】答案為：A；解析：已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4，0)，(4，0)，則c=4，a=2，b2=12，即雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)=1，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是()A.(eq\r(2)，＋∞)B.(eq\r(2)，2)C.(1，eq\r(2))D.(1,2)【答案解析】答案為：C解析：依題意得，雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(1,a2))，因?yàn)閍>1，所以e∈(1，eq\r(2))，故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1的漸近線方程是()A.y＝±eq\f(9,4)xB.y＝±eq\f(4,9)xC.y＝±eq\f(3,2)xD.y＝±eq\f(2,3)x【答案解析】答案為：C解析：雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中a＝3，b＝2，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.LISTNUMOutlineDefault\l3已知P是雙曲線eq\f(x2,3)－y2=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值是()A.－eq\f(3,8)B.eq\f(3,16)C.－eq\f(\r(3),8)D.不確定【答案解析】答案為：A；解析：令點(diǎn)P(x0，y0)，因?yàn)樵撾p曲線的漸近線分別是eq\f(x,\r(3))－y=0，eq\f(x,\r(3))＋y=0，所以可取|PA|=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,\r(3))－y0)),\r(\f(1,3)＋1))，|PB|=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0,\r(3))＋y0)),\r(\f(1,3)＋1))，又cos∠APB=－cos∠AOB=－cos2∠AOx=－coseq\f(π,3)=－eq\f(1,2)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|·cos∠APB=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0))),\f(4,3))·(－eq\f(1,2))=eq\f(3,4)×(－eq\f(1,2))=－eq\f(3,8).LISTNUMOutlineDefault\l3已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)=1(b>0)的一條漸近線方程為y=eq\f(\r(6),2)x，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，|PF1|∶|PF2|=3∶1，則|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|的值是()A.4B.2eq\r(6)C.2eq\r(10)D.eq\f(6\r(10),5)【答案解析】答案為：C；解析：由漸近線方程得eq\f(b,a)=eq\f(\r(6),2)，又a=2，所以b=eq\r(6)，故c=eq\r(10).設(shè)|PF1|=3k，|PF2|=k，則由雙曲線定義知3k－k=4，k=2，所以|PF1|=6，|PF2|=2，可判斷∠F1PF2=90°，所以以eq\o(PF1,\s\up6(→))、eq\o(PF2,\s\up6(→))為鄰邊的四邊形為矩形，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|=2eq\r(10).LISTNUMOutlineDefault\l3已知橢圓C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1【答案解析】答案為：A解析：在橢圓中，a1＝m，c1＝eq\r(m2－1)，e1＝eq\f(\r(m2－1),m).在雙曲線中，a2＝n，c2＝eq\r(n2＋1)，e2＝eq\f(\r(n2＋1),n).因?yàn)閏1＝c2，所以n2＝m2－2.由n>0，m>1可得m>n，且m2－2>0.從而eeq\o\al(2,1)·eeq\o\al(2,2)＝eq\f(m2－1n2＋1,m2·n2)＝eq\f(m2－12,m2·m2－2)，則eeq\o\al(2,1)eeq\o\al(2,2)－1＝eq\f(m2－12,m2m2－2)－1＝eq\f(1,m2m2－2)>0，即e1e2>1.故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線交該雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)M，若|FM|=2a，記該雙曲線的離心率為e，則e2=()A.eq\f(1＋\r(17),2)B.eq\f(1＋\r(17),4)C.eq\f(2＋\r(5),2)D.eq\f(2＋\r(5),4)【答案解析】答案為：A；解析：由題意得，F(xiàn)(c，0)，該雙曲線的一條漸近線為y=－eq\f(b,a)x，將x=c代入y=－eq\f(b,a)x得y=－eq\f(bc,a)，所以eq\f(bc,a)=2a，即bc=2a2，所以4a4=b2c2=c2(c2－a2)，所以e4－e2－4=0，解得e2=eq\f(1＋\r(17),2)，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y=eq\f(1,4)x2，AB為過焦點(diǎn)F的弦，過A，B分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)M，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，則：①若AB的斜率為1，則|AB|=4；②|AB|min=2；③yM=－1；④若AB的斜率為1，則xM=1；⑤xA·xB=－4.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【答案解析】答案為：B.解析：由題意得，焦點(diǎn)F(0，1)，對(duì)于①，lAB為y=x＋1，聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y＝\f(1,4)x2，))消去x，得y2－6y＋1=0，得yA＋yB=6，則|AB|=yA＋yB＋p=8，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，|AB|min=2p=4，故②錯(cuò)誤；因?yàn)閥′=eq\f(x,2)，則lAM∶y－yA=eq\f(xA,2)(x－xA)，即lAM：y=eq\f(1,2)xAx－yA，同理lBM：y=eq\f(1,2)xBx－yB，聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)xAx－yA，,y＝\f(1,2)xBx－yB，))解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋xB,2)，\f(xA·xB,4))).設(shè)lAB為y=kx＋1，聯(lián)立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y＝\f(1,4)x2，))消去y，得x2－4kx－4=0，xA＋xB=4k，xA·xB=－4，所以yM=－1，③和⑤均正確；對(duì)于④，AB的斜率為1時(shí)，xM=2，故④錯(cuò)誤，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P是直線x=eq\f(a,2)上一點(diǎn)，△F1PF2是頂角為θ的等腰三角形，若cosθ=eq\f(5,8)，則雙曲線E的離心率為()A.eq\f(3,2)B.2C.eq\f(5,2)D.3【答案解析】答案為：B；解析：由題意知∠PF1F2=θ或∠PF2F1=θ，設(shè)直線x=eq\f(a,2)與x軸的交點(diǎn)為D，則D（eq\f(a,2)，0），因?yàn)椤鱂1PF2是頂角為θ的等腰三角形，cosθ=eq\f(5,8)，若∠PF1F2=θ，則有|F1F2|=|PF1|=2c，在Rt△PDF1中，|DF1|=|PF1|cosθ，即c＋eq\f(a,2)=2c×eq\f(5,8)，所以離心率e=eq\f(c,a)=2；若∠PF2F1=θ，則有|F1F2|=|PF2|=2c，在Rt△PDF2中，|DF2|=|PF2|cosθ，即c－eq\f(a,2)=2c×eq\f(5,8)，不合題意.綜上，雙曲線E的離心率為2.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn).若|AF|＋|BF|=4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________.【答案解析】答案為：y=±eq\f(\r(2),2)x解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義可知|AF|=y1＋eq\f(p,2)，|BF|=y2＋eq\f(p,2)，|OF|=eq\f(p,2)，由|AF|＋|BF|=y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)=y1＋y2＋p=4|OF|=2p，得y1＋y2=p.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2=0，所以y1＋y2=eq\f(2pb2,a2)，所以eq\f(2pb2,a2)=p，即eq\f(b2,a2)=eq\f(1,2)，故eq\f(b,a)=eq\f(\r(2),2)，所以雙曲線的漸近線方程為y=±eq\f(\r(2),2)x.LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(3),2)c，則其離心率的值為________.【答案解析】答案為：2.解析：[雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離d=eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))=b.∴b=eq\f(\r(3),2)c，∴a=eq\r(c2－b2)=eq\f(1,2)c，∴e=eq\f(c,a)=2.]LISTNUMOutlineDefault\l3已知F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,b2)=1(b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等.【答案解析】答案為：4；解析：由題意知a=1，如圖，由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|=2a=2，|BF1|－|BF2|=2a=2，∴|AF1|=2＋|AF2|=4，|BF1|=2＋|BF2|.由題意知|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|，∴|BA|=|BF1|，∴△BAF1為等腰三角形，∵∠F1AF2=45°，∴∠ABF1=90°，∴△BAF